數(shù)學(xué)猜想與發(fā)現(xiàn)論文(2)
數(shù)學(xué)猜想與發(fā)現(xiàn)論文
數(shù)學(xué)猜想與發(fā)現(xiàn)論文篇三
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)提出：“推理一般包括合情推理和演繹推理”，要求“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力。”數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)，具體的形式有歸納性猜想、類比性猜想、探索性猜想、仿照性猜想等。
一、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的思考
1.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的必要性
什么是科學(xué)的方法，如果用一句話回答，那么它應(yīng)該是“猜想與驗(yàn)證”。數(shù)學(xué)方法理論的倡導(dǎo)者波利亞對(duì)猜想作了深入研究，著有《數(shù)學(xué)與猜想》一書(shū)。波利亞曾說(shuō)，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度;在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須有猜想的地位;教學(xué)必須為發(fā)明做準(zhǔn)備，或至少給一點(diǎn)發(fā)明的嘗試。無(wú)論如何，教學(xué)不應(yīng)該壓制學(xué)生中間的發(fā)明萌芽。波利亞認(rèn)為，在有些情況下，教猜想比教證明更重要。牛頓也曾說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想，就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”
2.數(shù)學(xué)猜想能力的本質(zhì)
數(shù)學(xué)猜想實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)想象，是人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律、本質(zhì)時(shí)的一種策略。它是建立在已有的事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)上，運(yùn)用非邏輯手段而得到的一種假定，是一種合情推理。數(shù)學(xué)猜想能縮短解決問(wèn)題的時(shí)間，能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，能鍛煉數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)猜想并不是胡思亂想，基本思維模式是：?jiǎn)栴}反復(fù)思索聯(lián)想—頓悟提出假說(shuō)—驗(yàn)證結(jié)論。歷史上許多重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是經(jīng)過(guò)“猜想”這一非邏輯手段而得到的。
3.對(duì)數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的觀念更新
培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，是數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)，是數(shù)學(xué)教育永恒不變的主題?？v觀歷年來(lái)的教學(xué)大綱與《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，對(duì)于數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的認(rèn)識(shí)在提高、觀念在更新。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)只重視邏輯思維能力的培養(yǎng)是不夠的，還需要發(fā)展學(xué)生的形象思維和直覺(jué)思維。
綜上所述，大膽猜想、仔細(xì)驗(yàn)證是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)猜想實(shí)際上是一種創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力有利于鼓勵(lì)學(xué)生用多種思維方式思考問(wèn)題，從而可以更好地培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。
二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的實(shí)踐
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)，就是要選擇合適的題材，把握好教育與訓(xùn)練的時(shí)機(jī)，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體事例提出猜想的過(guò)程，教會(huì)學(xué)生猜想，進(jìn)行合情推理，使學(xué)生獲得探究、發(fā)現(xiàn)和論證的體驗(yàn)，從而訓(xùn)練學(xué)生的猜想能力。那么，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中合理運(yùn)用與有機(jī)滲透呢?下面談?wù)勎业囊恍?shí)踐和思考。
1.歸納性猜想
數(shù)學(xué)家高斯說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)中許多方法與定理是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)行的手續(xù)而已。”歸納性猜想是從對(duì)個(gè)別或特殊的事物的判斷，擴(kuò)大為對(duì)同類一般事物的判斷，這種思維過(guò)程稱為歸納性猜想。數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的形成和法則的概括以及解題就應(yīng)體現(xiàn)出歸納思想，要盡量通過(guò)觀察直觀圖形，或讓學(xué)生自己動(dòng)手借助于實(shí)物的討論，在有了豐富感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上提出猜想，進(jìn)而歸納出相應(yīng)的法則、性質(zhì)和公式。小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念、法則、公式都是通過(guò)對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)事實(shí)進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合，從中歸納出一般的結(jié)論。在新知教學(xué)中，要充分展示發(fā)現(xiàn)新知的探究過(guò)程，充分展現(xiàn)獲取新知的思維過(guò)程，給學(xué)生充分的探索、歸納、發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生的“歸納性猜想”。
2.類比性猜想
波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)：“在求解(求證)一個(gè)問(wèn)題時(shí)，如果能成功地發(fā)現(xiàn)一個(gè)比較簡(jiǎn)單的類比題，那么這個(gè)類比問(wèn)題可以引導(dǎo)我們到達(dá)原問(wèn)題的解答。”類比性猜想是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象之間在某些方面(如特性、屬性、關(guān)系)的相似或相同，從而猜測(cè)它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤囊环N猜想。常見(jiàn)的類比有直線與平面的類比、平面和空間的類比、數(shù)和形的類比、加減和乘除的類比、有限和無(wú)限的類比、個(gè)體和整體的類比。教學(xué)中，我們既要讓學(xué)生敢于進(jìn)行類比，不怕失敗;同時(shí)還要正確地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理類比，講清原則和作用。引導(dǎo)學(xué)生用類比推理作出合理猜想，再用嚴(yán)格的邏輯推理加以驗(yàn)證，這是我們數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的基本而重要的思想方法。在新知教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于新舊知識(shí)緊密聯(lián)系的內(nèi)容，抓住新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情境，要引導(dǎo)學(xué)生充分調(diào)動(dòng)原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生能借助舊知產(chǎn)生正遷移，憑借“猜想—驗(yàn)證”的途徑，先建立“類比性猜想”，然后從不同角度來(lái)驗(yàn)證猜想，利用類比性猜想來(lái)創(chuàng)造新知，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系。
案例一：“圓柱體積公式計(jì)算”的教學(xué)片段與反思
片段一 創(chuàng)設(shè)情景，感知圓柱體積的概念。
教師拿出一個(gè)裝了半杯水的燒杯，拿出一個(gè)圓柱形的物體，準(zhǔn)備投入燒杯中。
師：同學(xué)們想一想會(huì)發(fā)生什么情況?(教師將圓柱形的物體投入水中)請(qǐng)仔細(xì)觀察后，說(shuō)一說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn)?
生1：水面上升了一些。生2：圓柱形的物體擠掉了原來(lái)水占有的空間。生3：圓柱體占有一定空間。
師：我們通常把這個(gè)空間叫體積。
生：我發(fā)現(xiàn)上升的水的體積和圓柱的體積是相等的。
師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)得都很精彩，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)什么叫圓柱的體積。
生：圓柱所占空間的大小就叫圓柱的體積。
片段二 比較大小，創(chuàng)設(shè)猜想圓柱體積的情景。
教師又拿出一個(gè)圓柱(底面略小而高長(zhǎng)一些，體積相差不多)。
師：這兩個(gè)圓柱的體積，哪個(gè)比較大一些?
生1：第一個(gè)比較大，因?yàn)樗咭恍?。?：第二個(gè)比較大，因?yàn)樗忠恍?。?：他們都是猜的。第一個(gè)圓柱它雖然高一些，但底面積小一些;第二個(gè)圓柱雖然底面大一些，但它的高少了一些，所以無(wú)法準(zhǔn)確地比較它們的大小。
師：有什么辦法能比較它們的大小呢?(小組討論)
生：準(zhǔn)備半杯水，將第一個(gè)圓柱浸沒(méi)水中，做好標(biāo)志，再把第二個(gè)圓柱浸沒(méi)水中，做個(gè)標(biāo)志，哪個(gè)水面上升得高一些，哪個(gè)圓柱的體積就比較大。
師：這個(gè)方法好。如果要準(zhǔn)確地知道哪個(gè)圓柱的體積大，大多少，你有什么好辦法?(小組討論) 生：要是學(xué)會(huì)了計(jì)算圓柱的體積就好解決了。
片段三 類比猜想，感知圓柱的體積計(jì)算公式。
師：你覺(jué)得圓柱體積的大小和什么有關(guān)?
生1：和圓柱的高有關(guān)，一個(gè)圓柱它的高增加，它的體積也會(huì)變大些。
生2：和圓柱的底面大小有關(guān)，一個(gè)圓柱的底面增加，它的體積也會(huì)變大些。
師：很好!大膽地推想一下圓柱的體積應(yīng)如何計(jì)算?(小組討論)
生：我猜想用圓柱的底面積乘以它的高就可以求出體積。
師：你同意他的猜想嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由。
生1：我覺(jué)得他的想法很有道理，因?yàn)閳A柱體可以看作是有很多個(gè)相同的圓疊加起來(lái)的。
生2：我也覺(jué)得有道理，因?yàn)殚L(zhǎng)方體和正方體的體積公式也是底面積乘以高。
片段四 仔細(xì)驗(yàn)證，推導(dǎo)圓柱的體積計(jì)算公式。
師：同學(xué)們都會(huì)大膽猜想，但還要小心地論證猜想的科學(xué)性。
教師拿出一個(gè)圓柱體教具，把它藏在衣服里，只露出一個(gè)底面。
師：你看到了什么?
生：圓形。
師：你還記得圓是轉(zhuǎn)化成什么圖形的面積來(lái)求它的面積公式的嗎?
生：把圓的面積轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積。
教師把整個(gè)圓柱拿出來(lái)，問(wèn)：怎么求這個(gè)圓柱的體積呢?(小組討論)
生：可以把這個(gè)圓柱轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)會(huì)求的長(zhǎng)方體的體積來(lái)求。
師：說(shuō)說(shuō)你們小組是如何轉(zhuǎn)化的。
生上臺(tái)操作展示。生：我們把圓柱平均分成16份，可以拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的高就是圓柱的高，底面積和圓柱的底面積相等。所以，圓柱的體積可以用底面積乘高來(lái)求。
師：你同意嗎?照這樣做一遍，然后說(shuō)一說(shuō)如何求圓柱的體積。
教師課件出示將圓柱分成32份和64份后拼成長(zhǎng)方體的過(guò)程;然后總結(jié)“如果分的份數(shù)越多就越接近于長(zhǎng)方體”;最后學(xué)生自主得出圓柱的體積公式。
反思：整個(gè)教學(xué)，由淺及深，引導(dǎo)學(xué)生積極探索、猜想、驗(yàn)證。首先，使得學(xué)生建立圓柱的體積概念，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生“你覺(jué)得圓柱體積的大小和什么有關(guān)”，給學(xué)生提供了重要的猜想的條件和情境。其次，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想圓柱的體積應(yīng)如何計(jì)算?直接讓學(xué)生自由猜想圓柱的體積計(jì)算公式。實(shí)踐表明，學(xué)生根據(jù)已有的長(zhǎng)方體(或正方體)的體積就可以類比猜想出圓柱的體積計(jì)算公式。最后，進(jìn)行驗(yàn)證。這樣教學(xué)，培養(yǎng)了學(xué)生大膽猜想、勇于探索、積極思索、敢于創(chuàng)新的精神。
3.探索性猜想
歸納性猜想和類比性猜想都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、猜想、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的。波利亞曾說(shuō)：“我想談一個(gè)小小的建議，可否在學(xué)生做題之前，讓他們猜想該題的結(jié)果，或者部分結(jié)果。”在解決問(wèn)題時(shí)，如果能先對(duì)問(wèn)題作初步的邏輯分析，然后再依據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生作出逼近結(jié)論的猜想。最后，再加以檢驗(yàn)、修改和驗(yàn)證。我們把這種帶有探索推理性的猜想稱為探索性猜想。
(1)通過(guò)試驗(yàn)假設(shè)提出探索性猜想。在解決問(wèn)題時(shí)，使邏輯思維因素和非邏輯思維因素交織在一起，兩者協(xié)同作用，有利于激活思維，開(kāi)闊思路，把握問(wèn)題的關(guān)鍵，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力。這樣教學(xué)，既要注重算理，又要合理估計(jì)結(jié)果，并能根據(jù)條件合理作出猜想，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。
教學(xué)中，教師應(yīng)給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在觀察、討論、交流、猜測(cè)的過(guò)程中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，從中探得規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去分析、解決問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生探索和解決問(wèn)題的能力。教學(xué)中，既讓學(xué)生說(shuō)算理，又引導(dǎo)學(xué)生估計(jì)結(jié)果，并能依據(jù)條件作出合情猜想，從中學(xué)會(huì)科學(xué)的思維方法。
(2)通過(guò)數(shù)形結(jié)合提出探索性猜想。數(shù)形結(jié)合方法之一是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)而有效地觀察圖形，培養(yǎng)學(xué)生從圖中讀懂重要信息并整理信息的能力，提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思維模式的認(rèn)知，體會(huì)圖形對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律形成的意義。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、歸納、類比、猜測(cè)等過(guò)程，提出探索性猜想，發(fā)展合情推理能力。
4.仿照性猜想
精心選擇與課本上相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)或思想方法，通過(guò)猜想驗(yàn)證，在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生去探索，舉一反三，在知識(shí)遷移中發(fā)展“仿照性猜想”。
案例二：猜想與驗(yàn)證相結(jié)合
在學(xué)習(xí)圓柱的表面積和體積之后，我出示了以下這道題：
把一個(gè)底面積為24平方厘米的正方體木塊削成一個(gè)最大的圓柱體，然后在圓柱體的表面涂上油漆。要刷油漆的面積是多少?
同學(xué)們議論紛紛。大家都認(rèn)為要求圓柱的表面積，需要知道底面直徑(或半徑)以及圓柱的高。可這道題只告訴我們正方體的底面積是24平方厘米，底面(正方形)的邊長(zhǎng)求不出來(lái)，怎么辦呢?
善于思考的同學(xué)聯(lián)想到以前做過(guò)一道與今天有點(diǎn)類似的題目：已知正方形的面積是10平方厘米，求正方形內(nèi)最大圓的面積。
這道題中圓柱的表面積與正方體表面積會(huì)不會(huì)也存在類似這樣的規(guī)律呢?即圓柱的表面積是不是占正方體表面積的78.5%呢?
我們就列式計(jì)算，然后驗(yàn)算。
最后證明，剛才的猜想是正確的。于是，我們可以很快求出要刷油漆的面積(圓柱的表面積)。
反思：探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線。開(kāi)啟學(xué)生的“猜想”，讓學(xué)生喜歡和善于猜想，讓猜想成為學(xué)生自主探索的序曲。我們既要讓學(xué)生大膽猜想，又要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)驗(yàn)證，并能依據(jù)條件或經(jīng)驗(yàn)作出合理的猜想。然后，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來(lái)探索，在探索過(guò)程中經(jīng)歷先猜想、后驗(yàn)證的體驗(yàn)與經(jīng)歷，將觀察、分析、假設(shè)、驗(yàn)證交織在一起，不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
綜上所述，讓小學(xué)生充分經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、猜想和驗(yàn)證的過(guò)程，合理地滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)學(xué)猜想能力，有利于從小培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)的素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。
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