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初三上數(shù)學(xué)期末模擬考試卷(2)

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初三上數(shù)學(xué)期末模擬考試卷

  初三上數(shù)學(xué)期末模擬考試卷參考答案

  一、選擇題(每小題3分,共48分)

  1.tan45°的值為(  )

  A. B.1 C. D.

  【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.

  【分析】根據(jù)45°角這個(gè)特殊角的三角函數(shù)值,可得tan45°=1,據(jù)此解答即可.

  【解答】解:tan45°=1,

  即tan45°的值為1.

  故選:B.

  【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值,要熟練掌握,解答此類問題的關(guān)鍵是牢記30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值.

  2.已知⊙O的半徑是6cm,點(diǎn)O到同一平面內(nèi)直線l的距離為5cm,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是(  )

  A.相交 B.相切 C.相離 D.無法判斷

  【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

  【分析】設(shè)圓的半徑為r,點(diǎn)O到直線l的距離為d,若dr,則直線與圓相離,從而得出答案.

  【解答】解:設(shè)圓的半徑為r,點(diǎn)O到直線l的距離為d,

  ∵d=5,r=6,

  ∴d

  ∴直線l與圓相交.

  故選:A.

  【點(diǎn)評】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系,解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定.

  3.若x1,x2是方程x2=4的兩根,則x1+x2的值是(  )

  A.0 B.2 C.4 D.8

  【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系;解一元二次方程-直接開平方法.

  【分析】將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般形式,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣ 就可以求出其值.

  【解答】解:∵x2=4,

  ∴x2﹣4=0,

  ∴a=1,b=0,c=﹣4,

  ∵x1,x2是方程是x2=4的兩根,

  ∴x1+x2=﹣ ,

  ∴x1+x2=﹣ =0,

  故選A.

  【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的一般形式,根與系數(shù)的關(guān)系,在解答中注意求根公式的運(yùn)用.

  4.甲、乙、丙三個(gè)旅行團(tuán)的游客人數(shù)都相等,且毎團(tuán)游客的平均年齡都是32歲,這三個(gè)團(tuán)游客年齡的方差分別是S甲2=27,S乙2=19.6,S丙2=1.6,導(dǎo)游小王最喜歡帶游客年齡相近的團(tuán)隊(duì),若在三個(gè)團(tuán)中選擇一個(gè),則他應(yīng)選(  )

  A.甲團(tuán) B.乙團(tuán) C.丙團(tuán) D.甲或乙團(tuán)

  【考點(diǎn)】方差.

  【專題】應(yīng)用題.

  【分析】由S甲2=27,S乙2=19.6,S丙2=1.6,得到丙的方差最小,根據(jù)方差的意義得到丙旅行團(tuán)的游客年齡的波動最小.

  【解答】解:∵S甲2=27,S乙2=19.6,S丙2=1.6,

  ∴S甲2>S乙2>S丙2,

  ∴丙旅行團(tuán)的游客年齡的波動最小,年齡最相近.

  故選C.

  【點(diǎn)評】本題考查了方差的意義:方差反映了一組數(shù)據(jù)在其平均數(shù)的左右的波動大小,方差越大,波動越大,越不穩(wěn)定;方差越小,波動越小,越穩(wěn)定.

  5.圓心角為120°,弧長為12π的扇形半徑為(  )

  A.6 B.9 C.18 D.36

  【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算.

  【專題】計(jì)算題.

  【分析】根據(jù)弧長的公式l= 進(jìn)行計(jì)算.

  【解答】解:設(shè)該扇形的半徑是r.

  根據(jù)弧長的公式l= ,

  得到:12π= ,

  解得 r=18,

  故選:C.

  【點(diǎn)評】本題考查了弧長的計(jì)算.熟記公式是解題的關(guān)鍵.

  6.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(  )

  A. B. C. D.

  【考點(diǎn)】根的判別式.

  【專題】判別式法.

  【分析】先根據(jù)判別式的意義得到△=(﹣3)2﹣4m>0,然后解不等式即可.

  【解答】解:根據(jù)題意得△=(﹣3)2﹣4m>0,

  解得m< .

  故選:B.

  【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac:當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.

  7.若二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(﹣2,4),則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)(  )

  A.(2,4) B.(﹣2,﹣4) C.(﹣4,2) D.(4,﹣2)

  【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

  【分析】先確定出二次函數(shù)圖象的對稱軸為y軸,再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答.

  【解答】解:∵二次函數(shù)y=ax2的對稱軸為y軸,

  ∴若圖象經(jīng)過點(diǎn)P(﹣2,4),

  則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)(2,4).

  故選:A.

  【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,主要利用了二次函數(shù)圖象的對稱性,確定出函數(shù)圖象的對稱軸為y軸是解題的關(guān)鍵.

  8.已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3的平均數(shù)為6,則數(shù)據(jù)x1+1,x2+1,x3+1的平均數(shù)為(  )

  A.6 B.7 C.9 D.12

  【考點(diǎn)】算術(shù)平均數(shù).

  【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)x1,x2,x3的平均數(shù)和數(shù)據(jù)都加上一個(gè)數(shù)(或減去一個(gè)數(shù))時(shí),平均數(shù)也加或減這個(gè)數(shù)即可求出平均數(shù).

  【解答】解:∵數(shù)據(jù)x1,x2,x3的平均數(shù)是6,

  ∴數(shù)據(jù)x1+1,x2+1,x3+1的平均數(shù)是6+1=7.

  故選:B.

  【點(diǎn)評】此題考查平均數(shù)的意義,掌握平均數(shù)的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵.

  9.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于點(diǎn)E,若線段DE=5,則線段BC的長為(  )

  A.7.5 B.10 C.15 D.20

  【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

  【專題】常規(guī)題型;壓軸題.

  【分析】由DE∥BC,可證得△ADE∽△ABC,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得答案.

  【解答】解:∵DE∥BC,

  ∴△ADE∽△ABC,

  ∴ = ,

  ∵BD=2AD,

  ∴ = ,

  ∵DE=5,

  ∴ = ,

  ∴BC=15.

  故選:C.

  【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).此題比較簡單,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

  10.如圖,⊙O的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,∠A=22.5°,OC=4,CD的長為(  )

  A.2 B.4 C.4 D.8

  【考點(diǎn)】垂徑定理;等腰直角三角形;圓周角定理.

  【分析】根據(jù)圓周角定理得∠BOC=2∠A=45°,由于⊙O的直徑AB垂直于弦CD,根據(jù)垂徑定理得CE=DE,且可判斷△OCE為等腰直角三角形,所以CE= OC=2 ,然后利用CD=2CE進(jìn)行計(jì)算.

  【解答】解:∵∠A=22.5°,

  ∴∠BOC=2∠A=45°,

  ∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD,

  ∴CE=DE,△OCE為等腰直角三角形,

  ∴CE= OC=2 ,

  ∴CD=2CE=4 .

  故選:C.

  【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和垂徑定理.

  11.如圖,DE是△ABC的中位線,延長DE至F使EF=DE,連接CF,則S△CEF:S四邊形BCED的值為(  )

  A.1:3 B.2:3 C.1:4 D.2:5

  【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);三角形中位線定理.

  【分析】先利用SAS證明△ADE≌△CFE(SAS),得出S△ADE=S△CFE,再由DE為中位線,判斷△ADE∽△ABC,且相似比為1:2,利用相似三角形的面積比等于相似比,得到S△ADE:S△ABC=1:4,則S△ADE:S四邊形BCED=1:3,進(jìn)而得出S△CEF:S四邊形BCED=1:3.

  【解答】解:∵DE為△ABC的中位線,

  ∴AE=CE.

  在△ADE與△CFE中,

  ,

  ∴△ADE≌△CFE(SAS),

  ∴S△ADE=S△CFE.

  ∵DE為△ABC的中位線,

  ∴△ADE∽△ABC,且相似比為1:2,

  ∴S△ADE:S△ABC=1:4,

  ∵S△ADE+S四邊形BCED=S△ABC,

  ∴S△ADE:S四邊形BCED=1:3,

  ∴S△CEF:S四邊形BCED=1:3.

  故選:A.

  【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理.關(guān)鍵是利用中位線判斷相似三角形及相似比.

  12.如果點(diǎn)A(﹣2,y1),B(﹣1,y2),C(2,y3)都在反比例函數(shù) 的圖象上,那么y1,y2,y3的大小關(guān)系是(  )

  A.y1

  【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

  【分析】分別把x=﹣2,x=﹣1,x=2代入解析式求出y1、y2、y3根據(jù)k>0判斷即可.

  【解答】解:分別把x=﹣2,x=﹣1,x=2代入解析式得:

  y1=﹣ ,y2=﹣k,y3= ,

  ∵k>0,

  ∴y2

  故選:B.

  【點(diǎn)評】本題主要考查對反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的理解和掌握,能根據(jù)k>0確定y1、y2、y3的大小是解此題的關(guān)鍵.

  13.二次函數(shù)y=﹣x2+2kx+1(k<0)的圖象可能是(  )

  A. B. C. D.

  【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象.

  【分析】根據(jù)對稱軸公式,可得對稱軸在y軸的左側(cè),根據(jù)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn),可得答案.

  【解答】解:數(shù)y=﹣x2+2kx+1(k<0)的對稱軸是x=﹣ =k<0,得

  對稱軸在y軸的左側(cè).

  當(dāng)x=0時(shí),y=1,圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方,故A正確;

  故選:A.

  【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象,利用函數(shù)圖象的對稱軸及圖象與y軸的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

  14.如圖,邊長為a的正六邊形內(nèi)有兩個(gè)三角形(數(shù)據(jù)如圖),則 =(  )

  A.3 B.4 C.5 D.6

  【考點(diǎn)】正多邊形和圓.

  【分析】先求得兩個(gè)三角形的面積,再求出正六邊形的面積,求比值即可.

  【解答】解:如圖,

  ∵三角形的斜邊長為a,

  ∴兩條直角邊長為 a, a,

  ∴S空白= a• a= a2,

  ∵AB=a,

  ∴OC= a,

  ∴S正六邊形=6× a• a= a2,

  ∴S陰影=S正六邊形﹣S空白= a2﹣ a2= a2,

  ∴ = =5,

  法二:因?yàn)槭钦呅?,所以△OAB是邊長為a的等邊三角形,即兩個(gè)空白三角形面積為S△OAB,即 =5

  故選:C.

  【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形和圓,正六邊形的邊長等于半徑,面積可以分成六個(gè)等邊三角形的面積來計(jì)算.

  15.在二次函數(shù)y=﹣x2+2x+1的圖象中,若y隨x的增大而增大,則x的取值范圍是(  )

  A.x<1 B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1

  【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

  【專題】壓軸題.

  【分析】拋物線y=﹣x2+2x+1中的對稱軸是直線x=1,開口向下,x<1時(shí),y隨x的增大而增大.

  【解答】解:∵a=﹣1<0,

  ∴二次函數(shù)圖象開口向下,

  又對稱軸是直線x=1,

  ∴當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)圖象在對稱軸的左邊,y隨x的增大增大.

  故選A.

  【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì):當(dāng)a<0,拋物線開口向下,對稱軸為直線x=﹣ ,在對稱軸左邊,y隨x的增大而增大.

  16.如圖,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)的圖象與△ABC有交點(diǎn),則k的取值范圍是(  )

  A.2≤k≤ B.6≤k≤10 C.2≤k≤6 D.2≤k≤

  【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

  【專題】壓軸題;數(shù)形結(jié)合.

  【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,反比例函數(shù)和三角形有交點(diǎn)的臨界條件分別是交點(diǎn)為A、與線段BC有交點(diǎn),由此求解即可.

  【解答】解:反比例函數(shù)和三角形有交點(diǎn)的第一個(gè)臨界點(diǎn)是交點(diǎn)為A,

  ∵過點(diǎn)A(1,2)的反比例函數(shù)解析式為y= ,

  ∴k≥2.

  隨著k值的增大,反比例函數(shù)的圖象必須和線段BC有交點(diǎn)才能滿足題意,

  經(jīng)過B(2,5),C(6,1)的直線解析式為y=﹣x+7,

  ,得x2﹣7x+k=0

  根據(jù)△≥0,得k≤

  綜上可知2≤k≤ .

  故選:A.

  【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,有一定難度.注意自變量的取值范圍.

  二、仔細(xì)填一填(每小題3分,共12分)

  17.在Rt△ABC中,∠C=90°, ,BC=8,則△ABC的面積為 24 .

  【考點(diǎn)】解直角三角形.

  【專題】計(jì)算題.

  【分析】根據(jù)tanA的值及BC的長度可求出AC的長度,然后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

  【解答】解:∵tanA= = ,

  ∴AC=6,

  ∴△ABC的面積為 ×6×8=24.

  故答案為:24.

  【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的知識,比較簡單,關(guān)鍵是掌握在直角三角形中正切的表示形式,從而得出三角形的兩條直角邊,進(jìn)而得出三角形的面積.

  18.一小球被拋出后,距離地面的高度h(米)和飛行時(shí)間t(秒)滿足下面函數(shù)關(guān)系式:h=﹣5(t﹣1)2+6,則小球距離地面的最大高度是 6 .

  【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

  【分析】由函數(shù)的解析式就可以得出a=﹣5<0,拋物線的開口向下,函數(shù)由最大值,就可以得出t=1時(shí),h最大值為6.

  【解答】解:∵h(yuǎn)=﹣5(t﹣1)2+6,

  ∴a=﹣5<0,

  ∴拋物線的開口向下,函數(shù)由最大值,

  ∴t=1時(shí),h最大=6.

  故答案為:6.

  【點(diǎn)評】本題考了二次函數(shù)的解析式的性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)直接根據(jù)頂點(diǎn)式求出其值即可.

  19.如圖,在邊長為9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,則AE的長為 7 .

  【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).

  【分析】先根據(jù)邊長為9,BD=3,求出CD的長度,然后根據(jù)∠ADE=60°和等邊三角形的性質(zhì),證明△ABD∽△DCE,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,求得CE的長度,即可求出AE的長度.

  【解答】解:∵△ABC是等邊三角形,

  ∴∠B=∠C=60°,AB=BC;

  ∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6;

  ∴∠BAD+∠ADB=120°

  ∵∠ADE=60°,

  ∴∠ADB+∠EDC=120°

  ∴∠DAB=∠EDC,

  又∵∠B=∠C=60°,

  ∴△ABD∽△DCE,

  則 = ,

  即 = ,

  解得:CE=2,

  故AE=AC﹣CE=9﹣2=7.

  故答案為:7.

  【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得△ABD∽△DCE是解答此題的關(guān)鍵.

  20.如圖,直線l:y=﹣ x+1與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(m,0)是x軸上一動點(diǎn),以點(diǎn)M為圓心,2個(gè)單位長度為半徑作⊙M,當(dāng)⊙M與直線l相切時(shí),則m的值為 2﹣2 或2+2 . .

  【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系;一次函數(shù)的性質(zhì).

  【專題】壓軸題.

  【分析】根據(jù)直線ly=﹣ x+1由x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A(0,1),B(2,0),得到OA=1,OB=2,求出AB= ;設(shè)⊙M與AB相切與C,連接MC,則MC=2,MC⊥AB,通過△BMO~△ABO,即可得到結(jié)果.

  【解答】解:在y=﹣ x+1中,

  令x=0,則y=1,

  令y=0,則x=2,

  ∴A(0,1),B(2,0),

  ∴AB= ;

  如圖,設(shè)⊙M與AB相切與C,

  連接MC,則MC=2,MC⊥AB,

  ∵∠MCB=∠AOB=90°,∠B=∠B,

  ∴△BMC~△ABO,

  ∴ ,即 ,

  ∴BM=2 ,

  ∴OM=2 ﹣2,或OM=2 +2.

  ∴m=2﹣2 或m=2+2 .

  故答案為:2﹣2 ,2+2 .

  【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,一次函數(shù)的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),注意分類討論是解題的關(guān)鍵.

  三、用心答一答,相信你一定行(共6大題,60分)

  21.已知代數(shù)式x2+5x﹣4與4x+2的值相等,求x的值.

  【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.

  【專題】計(jì)算題.

  【分析】利用代數(shù)式x2+5x﹣4與4x+2的值相等列方程得到x2+5x﹣4=4x+2,再整理為x2+x﹣6=0,然后利用因式分解法解方程即可.

  【解答】解:根據(jù)題意得x2+5x﹣4=4x+2,

  整理得x2+x﹣6=0,

  (x+3)(x﹣2)=0,

  x+3=0或x﹣2=0,

  解得x1=﹣3,x2=2.

  【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式,那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解,這樣也就把原方程進(jìn)行了降次,把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

  四、解答題(共1小題,滿分8分)

  22.已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線AB與x軸交于點(diǎn)A(﹣2,0),與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象的交于點(diǎn)B(2,n),連接BO,若S△AOB=4.

  (1)求該反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式;

  (2)若直線AB與y軸的交點(diǎn)為C,求△OCB的面積.

  【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題.

  【專題】計(jì)算題;待定系數(shù)法.

  【分析】(1)先由A(﹣2,0),得OA=2,點(diǎn)B(2,n),S△AOB=4,得 OA•n=4,n=4,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,4),把點(diǎn)B(2,4)代入反比例函數(shù)的解析式為y= ,可得反比例函數(shù)的解析式為:y= ;再把A(﹣2,0)、B(2,4)代入直線AB的解析式為y=kx+b可得直線AB的解析式為y=x+2.

  (2)把x=0代入直線AB的解析式y(tǒng)=x+2得y=2,即OC=2,可得S△OCB= OC×2= ×2×2=2.

  【解答】解:(1)由A(﹣2,0),得OA=2;

  ∵點(diǎn)B(2,n)在第一象限內(nèi),S△AOB=4,

  ∴ OA•n=4;

  ∴n=4;

  ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,4);

  設(shè)該反比例函數(shù)的解析式為y= (a≠0),

  將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入,得4= ,

  ∴a=8;

  ∴反比例函數(shù)的解析式為:y= ;

  設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0),

  將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別代入,得 ,

  解得 ;

  ∴直線AB的解析式為y=x+2;

  (2)在y=x+2中,令x=0,得y=2.

  ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,2),

  ∴OC=2;

  ∴S△OCB= OC×2= ×2×2=2.

  【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力.此題有點(diǎn)難度.

  五、解答題(共1小題,滿分10分)

  23.如圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空,再按要求答題:

  sin2A1+sin2B1= 1 ;sin2A2+sin2B2= 1 ;sin2A3+sin2B3= 1 .

  (1)觀察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B= 1 .

  (2)如圖④,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,利用三角函數(shù)的定義和勾股定理,證明你的猜想.

  (3)已知:∠A+∠B=90°,且sinA= ,求sinB.

  【考點(diǎn)】勾股定理;互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系;解直角三角形.

  【專題】幾何綜合題;規(guī)律型.

  【分析】(1)由前面的結(jié)論,即可猜想出:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B=1;

  (2)在Rt△ABC中,∠C=90°.利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA= ,sinB= ,則sin2A+sin2B= ,再根據(jù)勾股定理得到a2+b2=c2,從而證明sin2A+sin2B=1;

  (3)利用關(guān)系式sin2A+sin2B=1,結(jié)合已知條件sinA= ,進(jìn)行求解.

  【解答】解:(1)由圖可知:sin2A1+sin2B1=( )2+( )2=1;

  sin2A2+sin2B2=( )2+( )2=1;

  sin2A3+sin2B3=( )2+( )2=1.

  觀察上述等式,可猜想:sin2A+sin2B=1.

  (2)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°.

  ∵sinA= ,sinB= ,

  ∴sin2A+sin2B= ,

  ∵∠C=90°,

  ∴a2+b2=c2,

  ∴sin2A+sin2B=1.

  (3)∵sinA= ,sin2A+sin2B=1,

  ∴sinB= = .

  【點(diǎn)評】本題考查了在直角三角形中互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系,勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義,比較簡單.

  六、解答題(共1小題,滿分10分)

  24.如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交C點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)它的對稱軸是直線x= .

  (1)求拋物線的解析式;

  (2)M是線段AB上的任意一點(diǎn),當(dāng)△MBC為等腰三角形時(shí),求M點(diǎn)的坐標(biāo).

  【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

  【專題】綜合題.

  【分析】(1)根據(jù)拋物線的對稱軸得到拋物線的頂點(diǎn)式,然后代入已知的兩點(diǎn)理由待定系數(shù)法求解即可;

  (2)首先求得點(diǎn)B的坐標(biāo),然后分CM=BM時(shí)和BC=BM時(shí)兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.

  【解答】解:(1)設(shè)拋物線的解析式

  把A(2,0)、C(0,3)代入得:

  解得:

  ∴

  即

  (2)由y=0得

  ∴x1=2,x2=﹣3

  ∴B(﹣3,0)

 ?、貱M=BM時(shí)

  ∵BO=CO=3 即△BOC是等腰直角三角形

  ∴當(dāng)M點(diǎn)在原點(diǎn)O時(shí),△MBC是等腰三角形

  ∴M點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)

 ?、谌鐖D所示:當(dāng)BC=BM時(shí)

  在Rt△BOC中,BO=CO=3,

  由勾股定理得BC=

  ∴BC= ,

  ∴BM=

  ∴M點(diǎn)坐標(biāo)( ,

  綜上所述:M點(diǎn)坐標(biāo)為:M1( ,M2(0,0).

  【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識,第一問考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式,較為簡單.第二問結(jié)合二次函數(shù)的圖象考查了等腰三角形的性質(zhì),綜合性較強(qiáng).

  七、解答題(共1小題,滿分12分)

  25.如圖,△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=80°,以點(diǎn)O為圓心,6為半徑的優(yōu)弧 分別交OA,OB于點(diǎn)M,N.

  (1)點(diǎn)P在右半弧上(∠BOP是銳角),將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得OP′.求證:AP=BP′;

  (2)點(diǎn)T在左半弧上,若AT與弧相切,求點(diǎn)T到OA的距離;

  (3)設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧 上,當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí),直接寫出∠BOQ的度數(shù).

  【考點(diǎn)】圓的綜合題.

  【分析】(1)首先根據(jù)已知得出∠AOP=∠BOP′,進(jìn)而得出△AOP≌△BOP′,即可得出答案;

  (2)利用切線的性質(zhì)得出∠ATO=90°,再利用勾股定理求出AT的長,進(jìn)而得出TH的長即可得出答案;

  (3)當(dāng)OQ⊥OA時(shí),△AOQ面積最大,且左右兩半弧上各存在一點(diǎn)分別求出即可.

  【解答】(1)證明:如圖1,∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP,

  ∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP,

  ∴∠AOP=∠BOP′,

  ∵在△AOP和△BOP′中

  ∴△AOP≌△BOP′(SAS),

  ∴AP=BP′;

  (2)解:如圖1,連接OT,過點(diǎn)T作TH⊥OA于點(diǎn)H,

  ∵AT與 相切,

  ∴∠ATO=90°,

  ∴AT= = =8,

  ∵ ×OA×TH= ×AT×OT,

  即 ×10×TH= ×8×6,

  解得:TH= ,即點(diǎn)T到OA的距離為 ;

  (3)解:如圖2,當(dāng)OQ⊥OA時(shí),△AOQ的面積最大;

  理由:∵OQ⊥OA,

  ∴QO是△AOQ中最長的高,則△AOQ的面積最大,

  ∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°,

  當(dāng)Q點(diǎn)在優(yōu)弧 右側(cè)上,

  ∵OQ⊥OA,

  ∴QO是△AOQ中最長的高,則△AOQ的面積最大,

  ∴∠BOQ=∠AOQ﹣∠AOB=90°﹣80°=10°,

  綜上所述:當(dāng)∠BOQ的度數(shù)為10°或170°時(shí),△AOQ的面積最大.

  【點(diǎn)評】此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識,根據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵.

  八、解答題(共1小題,滿分12分)

  26.在Rt△ABC中,∠C=90°,P是BC邊上不同于B、C的一動點(diǎn),過P作PQ⊥AB,垂足為Q,連接AP.

  (1)試說明不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí),都有△PBQ與△ABC相似;

  (2)若AC=3,BC=4,設(shè)BP長為x,請用含x的代數(shù)式表示PQ=  x ;BQ=  x ;當(dāng)BP為何值時(shí),△AQP面積最大,并求出最大值;

  (3)在Rt△ABC中,兩條直角邊BC、AC滿足關(guān)系式BC=kAC,是否存在一個(gè)k的值,使Rt△AQP既與Rt△ACP全等,也與Rt△BQP全等,并說明理由.

  【考點(diǎn)】相似形綜合題.

  【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可;

  (2)利用勾股定理求出AB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求出PQ、BQ,根據(jù)三角形的面積公式求出△AQP面積,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可;

  (3)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等和勾股定理計(jì)算即可.

  【解答】解:(1)不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí),都有

  ∠PQB=∠C=90°,∠B=∠B,

  ∴△PBQ∽△ABC;

  (2)∵∠C=90°,AC=3,BC=4,

  ∴AB= =5,

  ∵△PBQ與△ABC,

  ∴ = = ,即 = = ,

  ∴PQ= x,BQ= x;

  S△APQ= ×PQ×AQ= ×(5﹣ x)× x

  =﹣ x2+ x

  =﹣(x﹣ )2+ ,

  則當(dāng)BP= 時(shí),△AQP面積最大,最大值為 ;

  (3)存在.

  ∵Rt△AQP≌Rt△ACP,

  ∴AQ=AC,

  又Rt△AQP≌Rt△BQP,

  ∴AQ=QB,

  ∴AQ=QB=AC,

  在Rt△ABC中,由勾股定理得 BC2=AB2﹣AC2

  即BC2=(2AC)2﹣AC2,

  則BC2=3AC2,

  ∴BC= AC,

  ∴k= 時(shí),Rt△AQP既與Rt△ACP全等,也與Rt△BQP全等.

  【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì),掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式、掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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