初三上冊數(shù)學(xué)期末測試卷(2)
初三上冊數(shù)學(xué)期末測試卷參考答案
一、選擇題(共10小題，每小題3分，滿分30分)
1.如圖，將正方形圖案繞中心O旋轉(zhuǎn)180°后，得到的圖案是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.
【專題】操作型.
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后，各點(diǎn)的相對位置不變，得到的圖形全等，找到關(guān)鍵點(diǎn)，分析選項(xiàng)可得答案.
【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后，各點(diǎn)的相對位置不變，得到的圖形全等，
分析選項(xiàng)，可得正方形圖案繞中心O旋轉(zhuǎn)180°后，得到的圖案是C.
故選：C.
【點(diǎn)評】圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變.
2.一元二次方程x2+2x=0的根是( )
A.x=0或x=﹣2 B.x=0或x=2 C.x=0 D.x=﹣2
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】首先提取公因式x可得x(x+2)=0，然后解一元一次方程x=0或x+2=0，據(jù)此選擇正確選項(xiàng).
【解答】解：∵x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x=0或x+2=0，
∴x1=0或x2=﹣2，
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了因式分解法解一元二次方程的知識，解答本題要掌握因式分解法解方程的步驟，先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，此題難度不大.
3.關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根是0，則a的值為( )
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.
【考點(diǎn)】一元二次方程的解.
【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x=0代入方程，即可得到關(guān)于a的方程，再根據(jù)一元二次方程的定義即可求解.
【解答】解：根據(jù)題意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，
解得：a=﹣1.
故選B.
【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，特別需要注意的條件是二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.
4.袋中裝有除顏色外完全相同的a個(gè)白球，b個(gè)紅球，c個(gè)黃球，則任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】概率公式.
【分析】由袋中裝有除顏色外完全相同的a個(gè)白球，b個(gè)紅球，c個(gè)黃球，直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：∵袋中裝有除顏色外完全相同的a個(gè)白球，b個(gè)紅球，c個(gè)黃球，
∴任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是： .
故選B.
【點(diǎn)評】此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
5.拋物線y=(x﹣1)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(1，2) B.(1，﹣2) C.(﹣1，2) D.(﹣1，﹣2)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【解答】解：y=(x﹣1)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2).
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點(diǎn)式解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵.
6.把拋物線y=x2+1向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線( )
A.y=(x+3)2﹣1 B.y=(x+3)2+3 C.y=(x﹣3)2﹣1 D.y=(x﹣3)2+3
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】易得原拋物線的頂點(diǎn)及平移后拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移不改變拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)可得新的拋物線解析式.
【解答】解：由題意得原拋物線的頂點(diǎn)為(0，1)，
∴平移后拋物線的頂點(diǎn)為(3，﹣1)，
∴新拋物線解析式為y=(x﹣3)2﹣1，
故選：C.
【點(diǎn)評】考查二次函數(shù)的幾何變換;用到的知識點(diǎn)為：二次函數(shù)的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù);得多新拋物線的頂點(diǎn)是解決本題的突破點(diǎn).
7.如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于( )
A.160° B.150° C.140° D.120°
【考點(diǎn)】圓周角定理;垂徑定理.
【專題】壓軸題.
【分析】利用垂徑定理得出 = ，進(jìn)而求出∠BOD=40°，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得出答案.
【解答】解：∵線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，
∴ = ，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°.
故選：C.
【點(diǎn)評】此題主要考查了圓周角定理以及垂徑定理等知識，得出∠BOD的度數(shù)是解題關(guān)鍵.
8.一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情況是( )
A.沒有實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D.有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
【考點(diǎn)】根的判別式.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)根的判別式△=b2﹣4ac的符號來判定一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情況.
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+3=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=1，一次項(xiàng)系數(shù)b=﹣2，常數(shù)項(xiàng)c=3，
∴△=b2﹣4ac=4﹣12=﹣8<0，
∴原方程無實(shí)數(shù)根.
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式的情況決定一元二次方程根的情況.
9.下列命題中，不正確的是( )
A.垂直平分弦的直線經(jīng)過圓心
B.平分弦的直徑一定垂直于弦
C.平行弦所夾的兩條弧相等
D.垂直于弦的直徑必平分弦所對的弧
【考點(diǎn)】垂徑定理.
【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論即可判定B錯(cuò)誤，A、D正確，根據(jù)圓周角定理的推論可知C正確.
【解答】解：A、根據(jù)垂徑定理的推論可知，垂直平分弦的直線經(jīng)過圓心;故本答案正確.
B、直徑是最長的弦，任意兩條直徑互相平分，但不一定互相垂直，故被平分飛弦不能是直徑;故本答案錯(cuò)誤.
C、如圖所示，兩弦平行，則圓周角相等，圓周角相等，則弧相等;故本選項(xiàng)正確.
D、根據(jù)垂徑定理可知，垂直于弦的直徑必平分弦所對的弧;故本選項(xiàng)正確.
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理及圓周角定理，對于一個(gè)圓和一條直線來說如果一條直線具備下列，①經(jīng)過圓心，②垂直于弦，③平分弦(弦不是直徑)，④平分弦所對的優(yōu)弧，⑤平分弦所對的劣弧，五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么也就具備其他三個(gè).
10.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：
?、賏+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.
其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】壓軸題.
【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.
【解答】解：①當(dāng)x=1時(shí)，結(jié)合圖象y=a+b+c<0，故此選項(xiàng)正確;
?、诋?dāng)x=﹣1時(shí)，圖象與x軸交點(diǎn)負(fù)半軸明顯小于﹣1，∴y=a﹣b+c>0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
?、塾蓲佄锞€的開口向上知a>0，
∵對稱軸為1>x=﹣ >0，
∴2a>﹣b，
即2a+b>0，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
?、軐ΨQ軸為x=﹣ >0，
∴a、b異號，即b<0，
圖象與坐標(biāo)相交于y軸負(fù)半軸，
∴c<0，
∴abc>0，
故本選項(xiàng)正確;
∴正確結(jié)論的序號為①④.
故選：C.
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，同學(xué)們應(yīng)掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定：
(1)a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a>0;否則a<0;
(2)b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=﹣ 判斷符號;
(3)c由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定：交點(diǎn)在y軸正半軸，則c>0;否則c<0;
(4)當(dāng)x=1時(shí)，可以確定y=a+b+C的值;當(dāng)x=﹣1時(shí)，可以確定y=a﹣b+c的值.
二、填空題(共5小題，每小題3分，滿分15分)
11.口袋內(nèi)裝有一些除顏色外完全相同的紅球、白球和黑球，從中摸出一球，摸出紅球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 0.3 .
【考點(diǎn)】概率公式.
【專題】壓軸題.
【分析】讓1減去摸出紅球和白球的概率即為所求的概率.
【解答】解：根據(jù)概率公式摸出黑球的概率是1﹣0.2﹣0.5=0.3.
【點(diǎn)評】用到的知識點(diǎn)為：各個(gè)部分的概率之和為1.
12.若x=3是一元二次方程x2+mx+6=0的一個(gè)解，則方程的另一個(gè)解是 2 .
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】設(shè)方程另一根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到3t=6，然后解一次方程即可.
【解答】解：設(shè)方程另一根為t，
根據(jù)題意得3t=6，
解得t=2.
故答案為2.
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2= ，x1x2= .
13.如圖，⊙O的半徑為5cm，圓心O到AB的距離為3cm，則弦AB長為 8 cm.
【考點(diǎn)】垂徑定理;勾股定理.
【分析】連接OA，由OC垂直于弦AB，利用垂徑定理得到C為AB的中點(diǎn)，在直角三角形AOC中，由OA與OC的長，利用勾股定理求出AC的長，即可得出AB的長.
【解答】解：連接OA，
∵OC⊥AB，
∴C為AB的中點(diǎn)，即AC=BC，
在Rt△AOC中，OA=5cm，OC=3cm，
根據(jù)勾股定理得：AC= = =4cm，
∴AB=2AC=8cm.
故答案為：8.
【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
14.扇形的弧長為10πcm，面積為120πcm2，則扇形的半徑為 24 cm.
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算;弧長的計(jì)算.
【分析】根據(jù)扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的關(guān)系：S扇形= lr，把對應(yīng)的數(shù)值代入即可求得半徑r的長.
【解答】解：∵S扇形= lr
∴120π= •10π•r
∴r=24;
故答案為24.
【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積和弧長公式之間的關(guān)系，解此類題目的關(guān)鍵是掌握住扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的等量關(guān)系：S扇形= lr.
15.如圖是某公園一圓形噴水池，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下，建立如圖所示的坐標(biāo)系，如果噴頭所在處A(0，1.25)，水流路線最高處M(1，2.25)，如果不考慮其他因素，那么水池的半徑至少要 2.5 m，才能使噴出的水流不至落到池外.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】所謂的水池半徑即為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)出拋物線方程，代入已知點(diǎn)即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵M(jìn)(1，2.25)為拋物線的頂點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線方程為：y=a(x﹣1)2+2.25，
∵點(diǎn)A(0，1.25)為拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，
∴1.25=a(0﹣1)2+2.25，
解得：a=﹣1，
∴拋物線方程為：y=﹣(x﹣1)2+2.25，
將y=0代入拋物線方程得：0=﹣(x﹣1)2+2.25，
解得：x1=2.5，x2=﹣0.5(舍去)，
故答案為：2.5.
【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線方程得頂點(diǎn)式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是明白所求的半徑為拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
三、解答題(共9小題，滿分75分)
16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>
(1)x2﹣4x﹣12=0;
(2)5x2﹣3x=x+1.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】(1)分解因式得出(x﹣6)(x+2)=0，推出方程x﹣6=0，x+2=0，求出方程的解即可;
(2)首先把方程化成一般形式，然后把方程的左邊分解因式，即可化成兩個(gè)一元一次方程，即可求解.
【解答】解：(1)∵x2﹣4x﹣12=0，
∴(x﹣6)(x+2)=0，
∴x﹣6=0或x+2=0，
∴x1=6，x2=﹣2;
(2)∵5x2﹣3x=x+1，
∴5x2﹣4x﹣1=0，
∴(5x+1)(x﹣1)=0，
∴x1=1，x2=﹣ .
【點(diǎn)評】本題主要考查對解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.
17.已知關(guān)于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2=0，
(1)當(dāng)m取什么值時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根;
(2)對m選取一個(gè)合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并求這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和.
【考點(diǎn)】根的判別式;根與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】計(jì)算題;壓軸題;判別式法.
【分析】(1)要使原方程沒有實(shí)數(shù)根，只需△<0即可，然后可以得到關(guān)于m的不等式，由此即可求出m的取值范圍;
(2)根據(jù)(1)中求得的范圍，在范圍之外確定一個(gè)m的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得兩根的平方和.
【解答】解：(1)∵方程沒有實(shí)數(shù)根
∴b2﹣4ac=[﹣2(m+1)]2﹣4m2=8m+4<0，
∴ ，
∴當(dāng) 時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根;
(2)由(1)可知， 時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，
∴當(dāng)m=1時(shí)，原方程變?yōu)閤2﹣4x+1=0，
設(shè)此時(shí)方程的兩根分別為x1，x2，
則x1+x2=4，x1•x2=1，
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=16﹣2=14，
∴當(dāng)m=1時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是14.
【點(diǎn)評】此題要求學(xué)生能夠用根的判別式求解字母的取值范圍，熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于兩個(gè)根的一些代數(shù)式的值.
18.在一個(gè)不透明的紙箱里裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，它們除顏色外完全相同.小明和小亮做摸球游戲，游戲規(guī)則是：兩人各摸1次球，先由小明從紙箱里隨機(jī)摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回，將小球搖勻，再由小亮隨機(jī)摸出1個(gè)球.若兩人摸到的球顏色相同，則小明贏，否則小亮贏.這個(gè)游戲規(guī)則對雙方公平嗎?請你用樹狀圖或列表法說明理由.
【考點(diǎn)】游戲公平性;列表法與樹狀圖法.
【分析】游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機(jī)會(huì)是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等.
【解答】解：如表所示：
第2次
第1次 紅 紅 白
紅 (紅，紅) (紅，紅) (紅，白)
紅 (紅，紅) (紅，紅) (紅，白)
白 (白，紅) (白，紅) (白，白)
由上述樹狀圖或表格知：
P(小明贏)= ，P(小亮贏)= .
∴此游戲?qū)﹄p方不公平，小明贏的可能性大.
【點(diǎn)評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
19.在下面的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6.
?、僭囎鞒觥鰽BC以B為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△BA1C1;
?、谌酎c(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，4)，試建立合適的直角坐標(biāo)系，并寫出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換.
【分析】①根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△BA1C1即可;
?、谟牲c(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，4)，試建立合適的直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)B、C在坐標(biāo)系中的位置寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【解答】解：①如圖所示;
?、谟蓤D可知，B(0，﹣2)，C(﹣3，﹣2).
【點(diǎn)評】本題考查的是作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
20.已知二次函數(shù)y=2x2﹣4x﹣6.
(1)用配方法將y=2x2﹣4x﹣6化為y=a(x﹣h)2+k的形式;并寫出對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象;
(3)當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而減少?
(4)當(dāng)x取何值時(shí)，y=0，y>0，y<0;
(5)當(dāng)0
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的三種形式;二次函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】(1)直接利用配方法求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸得出答案;
(2)利用(1)中所求進(jìn)而畫出函數(shù)圖象;
(3)直接利用函數(shù)圖象得出增減性;
(4)利用函數(shù)圖象得出y>0，y<0時(shí)對應(yīng)x的取值范圍;
(5)直接利用二次函數(shù)增減性以及結(jié)合極值法求出y的取值范圍.
【解答】解：(1)由題意可得：
y=2x2﹣4x﹣6=2(x﹣1)2﹣8，
對稱軸為：直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1，﹣8);
(2)如圖所示：
(3)當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而減少;
(4)當(dāng)y=0時(shí)，
則0=2x2﹣4x﹣6，
解得：x1=1，x2=﹣3，
當(dāng)y>0時(shí)，x<﹣1或x>3，
當(dāng)y<0時(shí)，﹣1
(5)當(dāng)0
當(dāng)x=1，y=﹣8，當(dāng)x=4，y=10
則y的取值范圍為：﹣8≤y<10.
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象、配方法求其頂點(diǎn)坐標(biāo)，正確畫出函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵.
21.如圖，⊙C經(jīng)過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，D為⊙C在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)且∠ODB=60°，解答下列各題：
(1)求線段AB的長及⊙C的半徑;
(2)求B點(diǎn)坐標(biāo)及圓心C的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】垂徑定理;坐標(biāo)與圖形性質(zhì);勾股定理.
【分析】(1)連接AB;由圓周角定理可知，AB必為⊙C的直徑;Rt△ABO中，易知OA的長，而∠OAB=∠ODB=60°，通過解直角三角形，即可求得斜邊AB的長，也就求得了⊙C的半徑;
(2)在Rt△ABO中，由勾股定理即可求得OB的長，進(jìn)而可得到B點(diǎn)的坐標(biāo);過C分別作弦OA、OB的垂線，設(shè)垂足為E、F;根據(jù)垂徑定理即可求出OE、OF的長，也就得到了圓心C的坐標(biāo).
【解答】解：(1)連接AB;∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°
∴∠OAB=60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直徑，∠OBA=30°;
∴AB=2OA=4，∴⊙C的半徑r=2;
(2)在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB2+OA2=AB2，
∴OB= ，∴B的坐標(biāo)為：( ，0)
過C點(diǎn)作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
由垂徑定理得：OE=AE=1，OF=BF= ，
∴CE= ，CF=1，
∴C的坐標(biāo)為( ，1).
【點(diǎn)評】此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、點(diǎn)的坐標(biāo)意義、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用能力，綜合性較強(qiáng)，難度適中.
22.如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E.
(1)求證：AB=AC;
(2)求證：DE為⊙O的切線;
(3)若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長.
【考點(diǎn)】切線的判定;圓周角定理.
【專題】計(jì)算題;證明題.
【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的判斷方法與性質(zhì)易得AD是BC的垂直平分線，故可得AB=AC;
(2)連接OD，由平行線的性質(zhì)，易得OD⊥DE，且DE過圓周上一點(diǎn)D故DE為⊙O的切線;
(3)由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB=BC=10，CD= BC=5;又∠C=60°，借助三角函數(shù)的定義，可得答案.
【解答】(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°;
∵BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分線.
∴AB=AC.
(2)證明：連接OD，
∵點(diǎn)O、D分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE.
∴DE為⊙O的切線.
(3)解：由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等邊三角形，
∵⊙O的半徑為5，
∴AB=BC=10，CD= BC=5.
∵∠C=60°，
∴DE=CD•sin60°= .
【點(diǎn)評】本題考查切線的判定，線段相等的證明及線段長度的求法，要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題.
23.某商場購進(jìn)一種單價(jià)為40元的商品，如果以單價(jià)60元售出，那么每天可賣出300個(gè).根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，每降價(jià)1元，每天可多賣出20個(gè).假設(shè)每個(gè)降價(jià)x(元)，每天銷售量y(個(gè))，每天獲得最大利潤W(元).
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)6000元是否為每天銷售這種商品的最大利潤?如果是，請說明理由;如果不是，請求出最大利潤，此時(shí)這種商品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)易求;(2)先求利潤表達(dá)式，再運(yùn)用性質(zhì)求解.
【解答】解：由題意得：
(1)y=300+20x
(2)W=(60﹣x﹣40)=(20﹣x)
=﹣20x2+100x+6000=﹣20(x﹣ )2+6125
其中，0≤x≤20
當(dāng)x= 時(shí)，W有最大值，最大值是6125.
∵6000<6125，6000不是最大利潤，
∴60﹣2.5=57.5，銷售價(jià)應(yīng)定為57.5元.
【點(diǎn)評】此題的重點(diǎn)在于求利潤的函數(shù)表達(dá)式，認(rèn)真審題很重要，自變量x的取值范圍不要忽視.
24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1，a)，B(3，a)，且最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4.
(1)求拋物線的表達(dá)式及a的值;
(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，記拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分為圖象G(包含A，B兩點(diǎn))，如果直線DP與圖象G恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求點(diǎn)P縱坐標(biāo)t的取值范圍.
(3)拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足S△QAB=12，并求出此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)A和B的縱坐標(biāo)相同，則一定是對稱點(diǎn)，則可以求得對稱軸，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式和a的值;
(2)首先求出直線CD的表達(dá)式和直線BD的表達(dá)式，然后求得直線BD與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)圖象即可確定;
(3)首先求得AB的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求得AB邊上的高，從而求得Q的縱坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式求得Q的橫坐標(biāo)即可.
【解答】解：(1)∵拋物線y=2x2+mx+n過點(diǎn)A(﹣1，a )，B(3，a)，
∴拋物線的對稱軸x=1.
∵拋物線最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4，
∴拋物線的頂點(diǎn)是(1，﹣4).
∴拋物線的表達(dá)式是y=2(x﹣1)2﹣4，
即y=2x2﹣4x﹣2.
把A(﹣1，a )代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)=2x2﹣4x﹣2，則a=4;
(2)∵拋物線頂點(diǎn)C(1，﹣4)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，
∴D(﹣1，﹣4).
求出直線CD的表達(dá)式為y=﹣4.
B的坐標(biāo)是(3，4)，設(shè)BD的解析式是y=kx+b，
則 ，
解得： ，
則直線BD的表達(dá)式為y=2x﹣2，當(dāng)x=1時(shí)，y=0.
所以﹣4
(3)存在點(diǎn)Q，使△QAB的面積等于12，
AB=3﹣(﹣1)=4，
設(shè)P到AB的距離是d，則 ×4d=12，
解得：d=6，
則Q的縱坐標(biāo)是4﹣6=﹣2，或4+6=10.
當(dāng)Q的縱坐標(biāo)是﹣2時(shí)，在y=2x2﹣4x﹣2中令y=﹣2，則2x2﹣4x=0，
解得：x=0或2，
則Q的坐標(biāo)是(0，﹣2)或(2，﹣2);
當(dāng)Q的坐標(biāo)是10時(shí)，在y=2x2﹣4x﹣2中令y=﹣2，則2x2﹣4x﹣2=10，
解得：x=1+ 或1﹣ ，
則Q的坐標(biāo)是(1+ ，10)或(1﹣ ，10).
總之，Q的坐標(biāo)是：(0，﹣2)或(2，﹣2)或(1+ ，10)或(1﹣ ，10).
【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及三角形的面積公式，根據(jù)三角形的面積公式確定Q的縱坐標(biāo)是關(guān)鍵.
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