2017九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷(2)
2017九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷
2017九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷參考答案
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1. 的倒數(shù)是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì).
【分析】 的倒數(shù)是 ，但 的分母需要有理化.
【解答】解：因?yàn)椋?的倒數(shù)是 ，而 =
故：選D
2.下列運(yùn)算中，正確的是( )
A.2x+2y=2xy B.(x2y3)2=x4y5 C.(xy)2÷ =(xy)3 D.2xy﹣3yx=xy
【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方;合并同類項(xiàng);分式的乘除法.
【分析】分別利用合并同類項(xiàng)法則以及分式除法運(yùn)算和積的乘方運(yùn)算得出即可.
【解答】解：A、2x+2y無法計算，故此選項(xiàng)錯誤;
B、(x2y3)2=x4y6，故此選項(xiàng)錯誤;
C、此選項(xiàng)正確;
D、2xy﹣3yx=﹣xy，故此選項(xiàng)錯誤;
故選：C.
3.反比例函數(shù)y= 的圖象，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是( )
A.k<2 B.k≤2 C.k>2 D.k≥2
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小得出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可.
【解答】解：∵反比例函數(shù)y= 中，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小，
∴k﹣2>0，
解得k>2.
故選C.
4.如圖所示的由六個小正方體組成的幾何體的俯視圖是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖.
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中.
【解答】解：從上面看易得左邊第一列有3個正方形，中間第二列有1個正方形，最右邊一列有1個正方形.
故選D.
5.松北某超市今年一月份的營業(yè)額為50萬元.三月份的營業(yè)額為72萬元.則二、三兩個月平均每月營業(yè)額的增長率是( )
A.25% B.20% C.15% D.10%
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】可設(shè)增長率為x，那么三月份的營業(yè)額可表示為50(1+x)2，已知三月份營業(yè)額為72萬元，即可列出方程，從而求解.
【解答】解：設(shè)增長率為x，根據(jù)題意得50(1+x)2=72，
解得x=﹣2.2(不合題意舍去)，x=0.2，
所以每月的增長率應(yīng)為20%，
故選：B.
6.若將拋物線y=2x2向上平移3個單位，所得拋物線的解析式為( )
A.y=2x2+3 B.y=2x2﹣3 C.y=2(x﹣3)2 D.y=2(x+3)2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】直接根據(jù)“上加下減、左加右減”的原則進(jìn)行解答即可.
【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2x2向上平移3個單位可得到函數(shù)y=2x2+3，
故選：A.
7.如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊(E、F分別是AD、BC上的點(diǎn))，使點(diǎn)B與四邊形CDEF內(nèi)一點(diǎn)B′重合，若∠B′FC=50°，則∠AEF等于( )
A.110° B.115° C.120° D.130°
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì);翻折變換(折疊問題).
【分析】先根據(jù)平角的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可求出∠EFB′的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.
【解答】解：∵四邊形A′EFB′是四邊形ABFE折疊而成，
∴∠BFE=∠EFB′，
∵∠B'FC=50°，
∴∠EFB= = =65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=180°﹣∠EFB=115°.
故選B.
8.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA= ，那么AC邊的長是( )
A.6 B.2 C.3 D.2
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及勾股定理求解.
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4，
∴sinA= = = ，
∴AB=6.
∴AC= =2 .
故選B.
9.如圖，DE∥BC，分別交△ABC的邊AB、AC于點(diǎn)D、E， = ，若AE=1，則EC=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 = ，即 = ，然后利用比例性質(zhì)求EC.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
∴EC=2.
故選A.
10.甲、乙兩車沿同一平直公路由A地勻速行駛(中途不停留)，前往終點(diǎn)B地，甲、乙兩車之間的距離S(千米)與甲車行駛的時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列說法：
①甲、乙兩地相距210千米;
②甲速度為60千米/小時;
?、垡宜俣葹?20千米/小時;
?、芤臆嚬残旭? 小時，
其中正確的個數(shù)為( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以分別計算出各個小題中的結(jié)果，從而可以判斷各小題是否正確，從而可以解答本題.
【解答】解：由圖可知，
甲車的速度為：60÷1=60千米/時，故②正確，
則A、B兩地的距離是：60× =210(千米)，故①正確，
則乙的速度為：(60×2)÷(2﹣1)=120千米/時，故③正確，
乙車行駛的時間為：2 ﹣1=1 (小時)，故④錯誤，
故選C.
二、填空題(每小題3分，共30分)
11.數(shù)字12800000用科學(xué)記數(shù)法表示為 1.28×107 .
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，n是負(fù)數(shù).
【解答】解：將12800000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.28×107.
故答案為：1.28×107.
12.函數(shù)y= 中，自變量x的取值范圍是 x≠﹣2 .
【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍.
【分析】根據(jù)分母不等于0列式計算即可得解.
【解答】解：根據(jù)題意得x+2≠0，
解得x≠﹣2.
故答案為：x≠﹣2.
13.計算： = ﹣ .
【考點(diǎn)】二次根式的加減法.
【分析】二次根式的加減運(yùn)算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.
【解答】解：原式=2 ﹣3 =﹣ .
14.把多項(xiàng)式2m2﹣8n2分解因式的結(jié)果是 2(m+2n)(m﹣2n) .
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】直接提取公因式2，進(jìn)而利用平方差公式分解即可.
【解答】解：2m2﹣8n2=2(m2﹣4n2)=2(m+2n)(m﹣2n).
故答案為：2(m+2n)(m﹣2n).
15.不等式組 的解集為 ﹣2≤x< .
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組.
【分析】先求出每個不等式的解集，再根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可.
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x< ，
∴不等式組的解集為﹣2≤x< ，
故答案為：﹣2≤x< .
16.分式方程 = 的解為x= 3 .
【考點(diǎn)】解分式方程.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：2x﹣2=x+1，
解得：x=3，
經(jīng)檢驗(yàn)x=3是分式方程的解，
故答案為：3
17.若弧長為4π的扇形的圓心角為直角，則該扇形的半徑為 8 .
【考點(diǎn)】弧長的計算.
【分析】利用扇形的弧長公式表示出扇形的弧長，將已知的圓心角及弧長代入，即可求出扇形的半徑.
【解答】解：∵扇形的圓心角為90°，弧長為4π，
∴l= ，
即4π= ，
則扇形的半徑r=8.
故答案為：8.
18.已知，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y= x+2的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，則△AOB的面積= 4 .
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵一次函數(shù)y= x+2的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴A(﹣4，0)，B(0，2)，
∴△AOB的面積= ×2×4=4.
故答案為：4.
19.已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于E，交AC所在直線于P，若∠APE=54°，則∠B= 72°或18° .
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的兩種情況，推出AP=BP，推出∠BAC=∠ABP，求出∠BAC的度數(shù)和∠ABC的度數(shù)即可.
【解答】解：分為兩種情況：
?、偃鐖D1，
∵PE是AB的垂直平分線，
∴AP=BP，
∴∠A=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，
∴∠A=∠ABP=36°，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC= =72°;
②如圖2，
∵PE是AB的垂直平分線，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，
∴∠PAB=∠ABP=36°，
∴∠BAC=144°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC= =18°，
故答案為：72°或18°.
20.如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB= ，點(diǎn)P為CD上一動點(diǎn)，當(dāng)BP+ CP最小時，DP= 5 .
【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題;解直角三角形.
【分析】如圖，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′.易知PB+ PC=PB+PE，所以當(dāng)BE′⊥AC時，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，由tan∠ACB= = ，設(shè)BE′=5 ，CE′=3k，則AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，根據(jù)BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，列出方程求出k，即可解決問題.
【解答】解：如圖，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′.
∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8，
∴PE= PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4 ，
∴PB+ PC=PB+PE，
∴當(dāng)BE′⊥AC時，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，
∵tan∠ACB= = ，設(shè)BE′=5 ，CE′=3k，
∴AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，
∴BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，
∴(12﹣6k)2+48=9k2+75k2，
整理得k2+3k﹣4=0，
∴k=1或﹣4(舍棄)，
∴BE′=5 ，
∴PB+ PC的最小值為5 .
故答案為5 .
三、解答題(21、22小題各7分，23、24小題各8分，25、26、27小題各10分，共60分)
21.先化簡，再求代數(shù)式 ÷(1﹣ )的值，其中x=2sin45°﹣tan45°.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】先化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題.
【解答】解： ÷(1﹣ )
=
=
= ，
當(dāng)x=2sin45°﹣tan45°=2× ﹣1= ，
原式= .
22.如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，各個小正方形的頂點(diǎn)稱之為格點(diǎn)，點(diǎn)A、C、E、F均在格點(diǎn)上，根據(jù)不同要求，選擇格點(diǎn)，畫出符合條件的圖形：
(1)在圖1中，畫一個以AC為一邊的△ABC，使∠ABC=45°(畫出一個即可);
(2)在圖2中，畫一個以EF為一邊的△DEF，使tan∠EDF= ，并直接寫出線段DF的長.
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖;銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn)，AB在水平格線上，BC為4×4的正方形的對角線;
(2)由于tan∠EDF= ，則在含∠D的直角三角形中，滿足對邊與鄰邊之比為1：2即可.
【解答】解：(1)如圖1，△ABC為所作;
(2)如圖2，△DEF為所作，DF= =4 .
23.為便于管理與場地安排，松北某中學(xué)校以小明所在班級為例，對學(xué)生參加各個體育項(xiàng)目進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計.并把調(diào)查的結(jié)果繪制了如圖所示的不完全統(tǒng)計圖，請你根據(jù)下列信息回答問題：
(1)在這次調(diào)查中，小明所在的班級參加籃球項(xiàng)目的同學(xué)有多少人?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.
(2)如果學(xué)校有800名學(xué)生，請估計全校學(xué)生中有多少人參加籃球項(xiàng)目.
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計圖;用樣本估計總體;扇形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)根據(jù)跳繩人數(shù)除以跳繩人數(shù)所占的百分比，可得抽查總?cè)藬?shù)，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得參加籃球項(xiàng)目的人數(shù)，根據(jù)參加籃球項(xiàng)目的人數(shù)，可得答案;
(2)根據(jù)全校學(xué)生人數(shù)乘以參加籃球項(xiàng)目所占的百分比，可得答案.
【解答】解：(1)抽查總?cè)藬?shù)是：20÷40%=50(人)，
參加籃球項(xiàng)目的人數(shù)是：50﹣20﹣10﹣15=5(人)，
即小明所在的班級參加籃球項(xiàng)目的同學(xué)有5人，
補(bǔ)全條形圖如下：
(2)800× =80(人).
答：估計全校學(xué)生中大約有80人參加籃球項(xiàng)目.
24.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD為△ABC的中線，作CO⊥AB于O，點(diǎn)E在CO延長線上，DE=AD，連接BE、DE.
(1)求證：四邊形BCDE為菱形;
(2)把△ABC分割成三個全等的三角形，需要兩條分割線段，若AC=6，求兩條分割線段長度的和.
【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)容易證三角形BCD為等邊三角形，又DE=AD=BD，再證三角形DBE為等邊三角形四邊相等的四邊形BCDE為菱形.
(2)畫出圖形，證出BM+MN=AM+MC=AC=6即可.
【解答】(1)證明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD為△ABC的中線，
∴BC= AB，CD= AB=AD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BDC=30°+30°=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵CO⊥AB，
∴OD=OB，
∴DE=BE，
∵DE=AD，
∴CD=BC=DE=BE，
∴四邊形BCDE為菱形;
(2)解：作∠ABC的平分線交AC于N，再作MN⊥AB于N，如圖所示：
則MN=MC= BM，∠ABM=∠A=30°，
∴AM=BM，
∵AC=6，
∴BM+MN=AM+MC=AC=6;
即兩條分割線段長度的和為6.
25.某商廈進(jìn)貨員預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用0.8萬元購進(jìn)這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求.于是，商廈又用1.76萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍，但單價貴了4元，商廈銷售這種襯衫時每件預(yù)定售價都是58元.
(1)求這種襯衫原進(jìn)價為每件多少元?
(2)經(jīng)過一段時間銷售，根據(jù)市場飽和情況，商廈經(jīng)理決定對剩余的100件襯衫進(jìn)行打折銷售，以提高回款速度，要使這兩批襯衫的總利潤不少于6300元，最多可以打幾折?
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)這種襯衫原進(jìn)價為每件x元.根據(jù)“用1.76萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍，但單價貴了4元”列出方程并解答，注意需要驗(yàn)根;
(2)設(shè)打m折，根據(jù)題意列出不等式即可.
【解答】解：(1)設(shè)這種襯衫原進(jìn)價為每件x元
= ，
解得：x=40.
經(jīng)檢驗(yàn)：x=40是原分式方程的解，
答：這種襯衫原進(jìn)價為每件40元;
(2)設(shè)打m折，
8000÷40×3=600，58=29000，
29000+58×100× ≥8000+17600+6300，
解得：m≥5.
答：最多可以打5折.
26.已知，AB、AC是圓O的兩條弦，AB=AC，過圓心O作OH⊥AC于點(diǎn)H.
(1)如圖1，求證：∠B=∠C;
(2)如圖2，當(dāng)H、O、B三點(diǎn)在一條直線上時，求∠BAC的度數(shù);
(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)E為劣弧BC上一點(diǎn)，CE=6，CH=7，連接BC、OE交于點(diǎn)D，求BE的長和 的值.
【考點(diǎn)】圓的綜合題.
【分析】(1)如圖1中，連接OA.欲證明∠B=∠C，只要證明△AOC≌△AOB即可.
(2)由OH⊥AC，推出AH=CH，由H、O、B在一條直線上，推出BH垂直平分AC，推出AB=BC，由AB=AC，推出AB=AC=BC，推出△ABC為等邊三角形，即可解決問題.
(3)過點(diǎn)B作BM⊥CE延長線于M，過E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K.設(shè)ME=x，則BE=2x，BM= x，在△BCM中，根據(jù)BC2=BM2+CM2，可得BM=5 ，推出sin∠BCM= = ，推出NE= ，OK= CK= ，由NE∥OK，推出DE：OD=NE：OK即可解決問題.
【解答】證明：(1)如圖1中，連接OA.
∵AB=AC，
∴ = ，
∴∠AOC=∠AOB，
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠B=∠C.
解：(2)連接BC，
∵OH⊥AC，
∴AH=CH，
∵H、O、B在一條直線上，
∴BH垂直平分AC，
∴AB=BC，∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°.
解：(3)過點(diǎn)B作BM⊥CE延長線于M，過E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K.
∵CH=7，
∴BC=AC=14，
設(shè)ME=x，
∵∠CEB=120°，
∴∠BEM=60°，
∴BE=2x，
∴BM= x，
△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，
∴142=( x)2+(6+x)2，
∴x=5或﹣8(舍棄)，
∴BM=5 ，
∴sin∠BCM= = ，
∴NE= ，
∴OK= CK= ，
∵NE∥OK，
∴DE：OD=NE：OK=45：49.
27.如圖，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于點(diǎn)A、B(A左B右)，交y軸于點(diǎn)C，S△ABC=6，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若∠PCB=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1，連接PC、AQ，當(dāng)PC= AQ時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及△PCQ的面積.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用三角形的面積求出a即可得出拋物線解析式;
(2)先判斷出∠OBC=45°，而點(diǎn)P在第一象限，所以得出CP∥OB即：點(diǎn)P和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)一樣，即可確定出點(diǎn)P坐標(biāo);
(3)根據(jù)點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)Q在第二象限，且橫坐標(biāo)相差1，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P(3﹣m，﹣m2+4m)(0
【解答】解：(1)∵拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x+1)(x﹣3)，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3a)，
∴AB=4，OC=|﹣3a|=|3a|，
∵S△ABC=6，
∴ AB•OC=6，
∴ ×4×|3a|=6，
∴a=﹣1或a=1(舍)，
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)由(1)知，B(3，0)，C(0，﹣3a)，
∴C(0，3)，
∴OB=3，OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，且∠PCB=45°，
∴PC∥OB，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
由(1)知，拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，
令y=3，∴﹣x2+2x+3=3，
∴x=0(舍)或x=2，
∴P(2，3);
(3)如圖2，過點(diǎn)P作PD⊥x軸交CQ于D，設(shè)P(3﹣m，﹣m2+4m)(0
∵C(0，3)，
∴PC2=(3﹣m)2+(﹣m2+4m﹣3)2=(m﹣3)2[(m﹣1)2+1]，
∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1，
∴Q(4﹣m，﹣m2+6m﹣5)，
∵A(﹣1，0).
∴AQ2=(4﹣m+1)2+(﹣m2+6m﹣5)2=(m﹣5)2[(m﹣1)2+1]
∵PC= AQ，
∴81PC2=25AQ2，
∴81(m﹣3)2[(m﹣1)2+1]=25(m﹣5)2[(m﹣1)2+1]，
∵0
∴[(m﹣1)2+1]≠0，
∴81(m﹣3)2=25(m﹣5)2，
∴9(m﹣3)=±5(m﹣5)，
∴m= 或m= (舍)，
∴P( ， )，Q( ，﹣ )，
∵C(0，3)，
∴直線CQ的解析式為y=﹣ x+3，
∵P( ， )，
∴D( ，﹣ )，
∴PD= + = ，
∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD= PD×xP+ PD×(xQ﹣xP)= PD×xQ= × × = .
28.如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)，B(5，0)兩點(diǎn)，直線y=﹣ x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若PE=5EF，求m的值;
(3)若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)、是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E′落在y軸上?若存在，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF，然后列方程求解;
(3)解題關(guān)鍵是識別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形，然后根據(jù)PE=CE的條件，列出方程求解;當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時，P點(diǎn)y軸上，即可得到點(diǎn)P坐標(biāo).
【解答】解：(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A (﹣1，0)，B(5，0)兩點(diǎn)，
∴ 解得 ，
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5.
(2)∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P(m，﹣m2+4m+5)，E(m，﹣ m+3)，F(xiàn)(m，0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣ m+3)|=|﹣m2+ m+2|，
EF=|yE﹣yF|=|(﹣ m+3)﹣0|=|﹣ m+3|.
由題意，PE=5EF，即：|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=|﹣ m+15|
?、偃舂乵2+ m+2=﹣ m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，
解得：m=2或m= ;
?、谌舂乵2+ m+2=﹣(﹣ m+15)，整理得：m2﹣m﹣17=0，
解得：m= 或m= .
由題意，m的取值范圍為：﹣1
∴m=2或m= .
(3)假設(shè)存在.
作出示意圖如下：
∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對稱，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′.
∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形.
當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時，
由直線CD解析式y(tǒng)=﹣ x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5.
過點(diǎn)E作EM∥x軸，交y軸于點(diǎn)M，易得△CEM∽△CDO，
∴ = =，即 = ，解得CE= |m|，
∴PE=CE= |m|，又由(2)可知：PE=|﹣m2+ m+2|
∴|﹣m2+ m+2|= |m|.
?、偃舂乵2+ m+2= m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣ ;
②若﹣m2+ m+2=﹣ m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+ ，m2=3﹣ .
由題意，m的取值范圍為：﹣1
當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時，
此時P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，E，C，E'三點(diǎn)重合與y軸上，也符合題意，
∴P(0，5)
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，5)或(﹣ ， )或(4，5)或(3﹣ ，2 ﹣3).
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