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黃岡市2016-2017學(xué)年高一期末文理科數(shù)學(xué)試卷(2)

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  黃岡市2016-2017學(xué)年高一下期末理科數(shù)學(xué)試卷

  一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

  1.下列結(jié)論正確的是(  )

  A.若ab,則ac2bc2 B.若a2b2,則ab

  C.若ab,c0,則ac

  2.設(shè)數(shù)列an}是等差數(shù)列,若a2a4+a6=12,則a1a2+…+a7等于(  )

  A.14 B.21 C.28 D.35

  3.設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是(  )

  A.若lm,mα,則lα B.若lα,lm,則mα

  C.若lα,mα,則lm D.若lα,mα,則lm

  4.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若3a=2b,則的值為(  )

  A.﹣ B. C.1 D.

  5.已知等比數(shù)列an}中,a3=2,a4a6=16,則=(  )

  A.2 B.4 C.8 D.16

  6.從點(diǎn)(2,3)射出的光線沿斜率k=的方向射到y(tǒng)軸上,則反射光線所在的直線方程為(  )

  A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0

  7.若α,β為銳角,且滿足cosα=,cos(αβ)=,則sinβ的值為(  )

  A.﹣ B. C. D.

  8.若動(dòng)點(diǎn)A(x1,y2)、B(x2,y2)分別在直線l1:xy﹣11=0和l2:xy﹣1=0上移動(dòng),則AB中點(diǎn)M所在直線方程為(  )

  A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0

  9.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中,正(主)視圖,側(cè)(左)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成,俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成,根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為(  )

  A. B. C. D.

  10.將正偶數(shù)集合2,4,6,…從小到大按第n組有2n個(gè)偶數(shù)進(jìn)行分組:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,…,則2018位于(  )組.

  A.30 B.31 C.32 D.33

  11.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則ω=的取值范圍是(  )

  A.﹣1,] B.﹣,] C.﹣,1) D.﹣,)

  12.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且A1F平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構(gòu)成的集合是(  )

  A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}

  二、填空題(每小題5分,本題共20分)

  13.若關(guān)于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1,m),則m=   .

  14.若,則tan2α=   .

  15.若ABC的面積為,BC=2,C=60°,則邊AB的長(zhǎng)度等于   .

  16.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,則

  (1)z=x2y2的最小值為   .

  (2)若函數(shù)y=2x﹣1m的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是   .

  三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

  17.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知A(1,a),B(﹣5,﹣3),C(4,0);

  (1)當(dāng)a(,3)時(shí),求直線AC的傾斜角α的取值范圍;

  (2)當(dāng)a=2時(shí),求ABC的BC邊上的高AH所在直線方程l.

  18.在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊, =,且ac=2.

  (1)求角B;

  (2)求邊長(zhǎng)b的最小值.

  19.已知A(4,﹣3),B(2,﹣1)和直線l:4x3y﹣2=0.

  (1)求在直角坐標(biāo)平面內(nèi)滿足PA|=|PB|的點(diǎn)P的方程;

  (2)求在直角坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PA|=|PB|且點(diǎn)P到直線l的距離為2的坐標(biāo).

  20.如圖所示的多面體,它的正視圖為直角三角形,側(cè)視圖為正三角形,俯視圖為正方形(尺寸如圖所示),E為VB的中點(diǎn).

  (1)求證:VD平面EAC;

  (2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

  21.某投資公司計(jì)劃投資A,B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)y1與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y1=18﹣,B產(chǎn)品的利潤(rùn)y2與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y2= (注:利潤(rùn)與投資金額單位:萬元).

  (1)該公司已有100萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品中,其中x萬元資金投入A產(chǎn)品,試把A,B兩種產(chǎn)品利潤(rùn)總和表示為x的函數(shù),并寫出定義域;

  (2)在(1)的條件下,試問:怎樣分配這100萬元資金,才能使公司獲得最大利潤(rùn)?其最大利潤(rùn)為多少萬元?

  22.已知曲線f(x)=(x0)上有一點(diǎn)列Pn(xn,yn)(nN*),過點(diǎn)Pn在x軸上的射影是Qn(xn,0),且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)

  (1)求數(shù)列xn}的通項(xiàng)公式;

  (2)設(shè)四邊形PnQnQn1Pn+1的面積是Sn,求Sn;

  (3)在(2)條件下,求證: ++…+<4.

  2016-2017學(xué)年湖北省黃岡市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

  參考答案與試題解析

  一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

  1.下列結(jié)論正確的是(  )

  A.若ab,則ac2bc2 B.若a2b2,則ab

  C.若ab,c0,則ac

  【考點(diǎn)】71:不等關(guān)系與不等式.

  【分析】對(duì)于A,B舉反例即可,對(duì)于C,D根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷

  【解答】解:對(duì)于A:當(dāng)c=0時(shí),不成立,

  對(duì)于B:當(dāng)a=﹣2,b=1時(shí),則不成立,

  對(duì)于C:根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可得若ab,c0,則ac>b+c,故C不成立,

  對(duì)于D:若<,則ab,成立,

  故選:D

  2.設(shè)數(shù)列an}是等差數(shù)列,若a2a4+a6=12,則a1a2+…+a7等于(  )

  A.14 B.21 C.28 D.35

  【考點(diǎn)】85:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

  【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)及其求和公式即可得出.

  【解答】解:數(shù)列an}是等差數(shù)列,a2a4+a6=12,

  3a4=12,解得a4=4.

  則a1a2+…+a7=7a4=28.

  故選:C.

  3.設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是(  )

  A.若lm,mα,則lα B.若lα,lm,則mα

  C.若lα,mα,則lm D.若lα,mα,則lm

  【考點(diǎn)】LS:直線與平面平行的判定.

  【分析】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):A,根據(jù)線面垂直的判定定理判斷.C:根據(jù)線面平行的判定定理判斷.D:由線線的位置關(guān)系判斷.B:由線面垂直的性質(zhì)定理判斷;綜合可得答案.

  【解答】解:A,根據(jù)線面垂直的判定定理,要垂直平面內(nèi)兩條相交直線才行,不正確;

  C:lα,mα,則lm或兩線異面,故不正確.

  D:平行于同一平面的兩直線可能平行,異面,相交,不正確.

  B:由線面垂直的性質(zhì)可知:平行線中的一條垂直于這個(gè)平面則另一條也垂直這個(gè)平面.故正確.

  故選B

  4.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若3a=2b,則的值為(  )

  A.﹣ B. C.1 D.

  【考點(diǎn)】HR:余弦定理;HP:正弦定理.

  【分析】根據(jù)正弦定理,將條件進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.

  【解答】解:3a=2b,b=,

  根據(jù)正弦定理可得===,

  故選:D.

  5.已知等比數(shù)列an}中,a3=2,a4a6=16,則=(  )

  A.2 B.4 C.8 D.16

  【考點(diǎn)】8G:等比數(shù)列的性質(zhì).

  【分析】設(shè)等比數(shù)列an}的公比為q,由于a3=2,a4a6=16,可得=2, =16,解得q2.可得=q4.

  【解答】解:設(shè)等比數(shù)列an}的公比為q,a3=2,a4a6=16, =2, =16,

  解得q2=2.

  則==q4=4.

  故選:B.

  6.從點(diǎn)(2,3)射出的光線沿斜率k=的方向射到y(tǒng)軸上,則反射光線所在的直線方程為(  )

  A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0

  【考點(diǎn)】IQ:與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程.

  【分析】用點(diǎn)斜式求出入射光線方程,求出入射光線與反射軸y軸交點(diǎn)的坐標(biāo),再利用(2,3)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)(﹣2,3),在反射光線上,點(diǎn)斜式求出反射光線所在直線方程,并化為一般式.

  【解答】解:由題意得,射出的光線方程為y﹣3=(x﹣2),即x﹣2y4=0,與y軸交點(diǎn)為(0,2),

  又(2,3)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為(﹣2,3),

  反射光線所在直線過(0,2),(﹣2,3),

  故方程為y﹣2=(x﹣0),即 x2y﹣4=0.

  故選:A.

  7.若α,β為銳角,且滿足cosα=,cos(αβ)=,則sinβ的值為(  )

  A.﹣ B. C. D.

  【考點(diǎn)】GQ:兩角和與差的正弦函數(shù).

  【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα、sin(αβ)的值,再利用兩角和差的正弦公式求得sinβ=sin(αβ)﹣α的值.

  【解答】解:α,β為銳角,且滿足cosα=,cos(αβ)=,

  sinα=,sin(αβ)=,

  sinβ=sin[(αβ)﹣α=sin(αβ)cosα﹣cos(αβ)sinα=﹣=,

  故選:B

  8.若動(dòng)點(diǎn)A(x1,y2)、B(x2,y2)分別在直線l1:xy﹣11=0和l2:xy﹣1=0上移動(dòng),則AB中點(diǎn)M所在直線方程為(  )

  A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0

  【考點(diǎn)】J3:軌跡方程.

  【分析】根據(jù)題意可推斷出M點(diǎn)的軌跡為平行于直線l1、l2且到l1、l2距離相等的直線l進(jìn)而根據(jù)兩直線方程求得M的軌跡方程.

  【解答】解:由題意知,M點(diǎn)的軌跡為平行于直線l1、l2且到l1、l2距離相等的直線l,故其方程為xy﹣6=0,

  故選:D.

  9.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中,正(主)視圖,側(cè)(左)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成,俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成,根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為(  )

  A. B. C. D.

  【考點(diǎn)】L!:由三視圖求面積、體積.

  【分析】先由三視圖還原成原來的幾何體,再根據(jù)三視圖中的長(zhǎng)度關(guān)系,找到幾何體中的長(zhǎng)度關(guān)系,進(jìn)而可以求幾何體的體積.

  【解答】解:由三視圖可得該幾何體的上部分是一個(gè)三棱錐,下部分是半球,

  所以根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得:

  V=××

  =,

  故選C.

  10.將正偶數(shù)集合2,4,6,…從小到大按第n組有2n個(gè)偶數(shù)進(jìn)行分組:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,…,則2018位于(  )組.

  A.30 B.31 C.32 D.33

  【考點(diǎn)】F1:歸納推理.

  【分析】根據(jù)題意可分析第一組、第二組、第三組、…中的數(shù)的個(gè)數(shù)及最后的數(shù),從中尋找規(guī)律即可使問題得到解決.

  【解答】解:第一組有2=12個(gè)數(shù),最后一個(gè)數(shù)為4;

  第二組有4=22個(gè)數(shù),最后一個(gè)數(shù)為12即2(24);

  第三組有6=23個(gè)數(shù),最后一個(gè)數(shù)為24,即2(24+6);

  …

  第n組有2n個(gè)數(shù),其中最后一個(gè)數(shù)為2(24+…+2n)=4(12+3+…+n)=2n(n1).

  當(dāng)n=31時(shí),第31組的最后一個(gè)數(shù)為231×32=1984,

  當(dāng)n=32時(shí),第32組的最后一個(gè)數(shù)為232×33=2112,

  2018位于第32組.

  故選:C

  11.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則ω=的取值范圍是(  )

  A.﹣1,] B.﹣,] C.﹣,1) D.﹣,)

  【考點(diǎn)】7C:簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

  【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用直線的斜率公式,結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

  【解答】解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,

  ω的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(﹣1,1)的斜率,

  由圖象知當(dāng)直線和BC:x﹣y=0平行時(shí),直線斜率最大,此時(shí)直線斜率為1,但取不到,

  當(dāng)直線過A(1,0)時(shí),直線斜率最小,

  此時(shí)AD的斜率k==,

  則ω的范圍是﹣,1),

  故選:C

  12.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且A1F平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構(gòu)成的集合是(  )

  A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}

  【考點(diǎn)】MI:直線與平面所成的角.

  【分析】設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G,連接AG、EG,則G為BC的中點(diǎn).分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N,連接AM、MN、AN,可證出平面A1MN平面D1AE,從而得到A1F是平面A1MN內(nèi)的直線.由此將點(diǎn)F在線段MN上運(yùn)動(dòng)并加以觀察,即可得到A1F與平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置,由此不難得到A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍.

  【解答】解:設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G,連接AG、EG,則G為BC的中點(diǎn)

  分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N,連接AM、MN、AN,則

  A1M∥D1E,A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,

  A1M∥平面D1AE.同理可得MN平面D1AE,

  A1M、MN是平面A1MN內(nèi)的相交直線

  平面A1MN平面D1AE,

  由此結(jié)合A1F平面D1AE,可得直線A1F平面A1MN,即點(diǎn)F是線段MN上上的動(dòng)點(diǎn).

  設(shè)直線A1F與平面BCC1B1所成角為θ

  運(yùn)動(dòng)點(diǎn)F并加以觀察,可得

  當(dāng)F與M(或N)重合時(shí),A1F與平面BCC1B1所成角等于A1MB1,此時(shí)所成角θ達(dá)到最小值,滿足tanθ==2;

  當(dāng)F與MN中點(diǎn)重合時(shí),A1F與平面BCC1B1所成角達(dá)到最大值,滿足tanθ==2

  A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍為2,2]

  故選:D

  二、填空題(每小題5分,本題共20分)

  13.若關(guān)于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1,m),則m= 2 .

  【考點(diǎn)】74:一元二次不等式的解法.

  【分析】由二次不等式的解集形式,判斷出 1,m是相應(yīng)方程的兩個(gè)根,利用韋達(dá)定理求出m的值.

  【解答】解:ax2﹣6xa2<0的解集是 (1,m),

  a>0,

  1,m是相應(yīng)方程ax2﹣6xa2=0的兩根,

  解得 m=2;

  故答案為:2.

  14.若,則tan2α=  .

  【考點(diǎn)】GU:二倍角的正切.

  【分析】由條件可得tanα的值,再利用二倍角的正切公式,即可求得結(jié)論.

  【解答】解:,

  2(sinαcosα)=sinα﹣cosα

  sinα=﹣3cosα

  tanα=﹣3

  tan2α===

  故答案為:

  15.若ABC的面積為,BC=2,C=60°,則邊AB的長(zhǎng)度等于 2 .

  【考點(diǎn)】HP:正弦定理.

  【分析】利用三角形面積公式列出關(guān)系式,把已知面積,a,sinC的值代入求出b的值,再利用余弦定理求出c的值即可.

  【解答】解:ABC的面積為,BC=a=2,C=60°,

  absinC=,即b=2,

  由余弦定理得:c2=a2b2﹣2abcosC=44﹣4=4,

  則AB=c=2,

  故答案為:2

  16.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,則

  (1)z=x2y2的最小值為  .

  (2)若函數(shù)y=2x﹣1m的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是  .

  【考點(diǎn)】7C:簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

  【分析】由題意作平面區(qū)域,(1)利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求解z=x2y2的最小值;

  (2)利用圖形,求出圖形中A,B,C坐標(biāo);化簡(jiǎn)y=2x﹣1m,從而確定最值.

  【解答】解:由題意作不等式組平面區(qū)域如圖:

  (1)z=x2y2的最小值為圖形中OP的距離的平方;

  可得: =.

  (2)

  結(jié)合圖象可知,,可得B(,),解得A(2,﹣1).當(dāng)x時(shí),

  y=1m﹣2x,解得C(,)

  x(,2時(shí),y=2x﹣1m,m的范圍在A,B,C之間取得,y=2x﹣1m,

  經(jīng)過A時(shí),可得3m=﹣1,即m=﹣4,m有最小值為﹣4;

  經(jīng)過C可得,可得m=,即最大值為:;

  經(jīng)過B可得1﹣+m=,m=.

  函數(shù)y=2x﹣1m的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍:.

  故答案為:,.

  三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

  17.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知A(1,a),B(﹣5,﹣3),C(4,0);

  (1)當(dāng)a(,3)時(shí),求直線AC的傾斜角α的取值范圍;

  (2)當(dāng)a=2時(shí),求ABC的BC邊上的高AH所在直線方程l.

  【考點(diǎn)】IG:直線的一般式方程.

  【分析】(1)求出AC的斜率,根據(jù)a的范圍,求出AC的斜率的范圍,從而求出傾斜角的范圍即可;

  (2)求出BC的斜率,根據(jù)垂直關(guān)系求出AH的斜率,代入點(diǎn)斜式方程即可求出l.

  【解答】解:(1)KAC==﹣,

  a(,3),則KAC(﹣1,﹣),

  k=tanα,又α∈[0,π,

  α∈(,);

  (2)KBC==,

  AH為高,AH⊥BC,

  KAH•KBC=﹣1,

  KAH=﹣3;

  又l過點(diǎn)A(1,2),

  l:y﹣2=﹣3(x﹣1),

  即3xy﹣5=0.

  18.在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊, =,且ac=2.

  (1)求角B;

  (2)求邊長(zhǎng)b的最小值.

  【考點(diǎn)】HS:余弦定理的應(yīng)用;HP:正弦定理.

  【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)表達(dá)式,求角B;個(gè)兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可.

  (2)利用余弦定理求邊長(zhǎng)b的最小值.推出b的表達(dá)式,利用基本不等式求解即可.

  【解答】解:(1)在ABC中,由已知,

  即cosCsinB=(2sinA﹣sinC)cosB,

  sin(BC)=2sinAcosB,sinA=2sinAcosB,…4分

  ABC 中,sinA0,

  故. …6分.

  (2)ac=2,

  由(1),因此b2=a2c2﹣2accosB=a2c2﹣ac …9分

  由已知b2=(ac)2﹣3ac=4﹣3ac …10分

  …11分

  故b 的最小值為1.…12分

  19.已知A(4,﹣3),B(2,﹣1)和直線l:4x3y﹣2=0.

  (1)求在直角坐標(biāo)平面內(nèi)滿足PA|=|PB|的點(diǎn)P的方程;

  (2)求在直角坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PA|=|PB|且點(diǎn)P到直線l的距離為2的坐標(biāo).

  【考點(diǎn)】IT:點(diǎn)到直線的距離公式.

  【分析】(1)A(4,﹣3),B(2,﹣1),可得線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,﹣2),又kAB=﹣1,即可得出線段AB的垂直平分線方程.

  (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),由于點(diǎn)P(a,b)在上述直線上,可得a﹣b﹣5=0.又點(diǎn)P(a,b)到直線l:4x3y﹣2=0的距離為2,可得=2,聯(lián)立解出即可得出.

  【解答】解:(1)A(4,﹣3),B(2,﹣1),

  線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,﹣2),又kAB=﹣1,

  線段AB的垂直平分線方程為y2=x﹣3,

  即點(diǎn)P的方程x﹣y﹣5=0.…

  (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),

  點(diǎn)P(a,b)在上述直線上,a﹣b﹣5=0.

  又點(diǎn)P(a,b)到直線l:4x3y﹣2=0的距離為2,

  =2,即4a3b﹣2=10,…

  聯(lián)立可得或

  所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,﹣4)或.…

  20.如圖所示的多面體,它的正視圖為直角三角形,側(cè)視圖為正三角形,俯視圖為正方形(尺寸如圖所示),E為VB的中點(diǎn).

  (1)求證:VD平面EAC;

  (2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

  【考點(diǎn)】MR:用空間向量求平面間的夾角;LS:直線與平面平行的判定.

  【分析】(1)欲證VD平面EAC,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證VD與平面EAC內(nèi)一直線平行即可,而連接BD交AC于O點(diǎn),連接EO,由已知易得VDEO,VD平面EAC,EO平面EAC,滿足定理?xiàng)l件;

  (2)設(shè)AB的中點(diǎn)為P,則VP平面ABCD,建立坐標(biāo)系,利用向量的夾角公式,可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

  【解答】(1)證明:由正視圖可知:平面VAB平面ABCD

  連接BD交AC于O點(diǎn),連接EO,由已知得BO=OD,VE=EB

  VD∥EO

  又VD平面EAC,EO平面EAC

  VD∥平面EAC;

  (2)設(shè)AB的中點(diǎn)為P,則VP平面ABCD,建立如圖所示的坐標(biāo)系,

  則=(0,1,0)

  設(shè)平面VBD的法向量為

  ∴由,可得,可取=(,,1)

  二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ==

  21.某投資公司計(jì)劃投資A,B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)y1與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y1=18﹣,B產(chǎn)品的利潤(rùn)y2與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y2= (注:利潤(rùn)與投資金額單位:萬元).

  (1)該公司已有100萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品中,其中x萬元資金投入A產(chǎn)品,試把A,B兩種產(chǎn)品利潤(rùn)總和表示為x的函數(shù),并寫出定義域;

  (2)在(1)的條件下,試問:怎樣分配這100萬元資金,才能使公司獲得最大利潤(rùn)?其最大利潤(rùn)為多少萬元?

  【考點(diǎn)】5D:函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.

  【分析】(1)其中x萬元資金投入A產(chǎn)品,則剩余的100﹣x(萬元)資金投入B產(chǎn)品,根據(jù)A產(chǎn)品的利潤(rùn)y1與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y1=18﹣,B產(chǎn)品的利潤(rùn)y2與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y2=,可得利潤(rùn)總和;

  (2)f(x)=40﹣﹣,x0,100,由基本不等式,可得結(jié)論.

  【解答】解:(1)其中x萬元資金投入A產(chǎn)品,則剩余的100﹣x(萬元)資金投入B產(chǎn)品,

  利潤(rùn)總和f(x)=18﹣+=38﹣﹣(x0,100).…

  (2)f(x)=40﹣﹣,x0,100,

  由基本不等式得:f(x)40﹣2=28,取等號(hào),當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),即x=20.…

  答:分別用20萬元和80萬元資金投資A、B兩種金融產(chǎn)品,可以使公司獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為28萬元.…

  22.已知曲線f(x)=(x0)上有一點(diǎn)列Pn(xn,yn)(nN*),過點(diǎn)Pn在x軸上的射影是Qn(xn,0),且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)

  (1)求數(shù)列xn}的通項(xiàng)公式;

  (2)設(shè)四邊形PnQnQn1Pn+1的面積是Sn,求Sn;

  (3)在(2)條件下,求證: ++…+<4.

  【考點(diǎn)】8I:數(shù)列與函數(shù)的綜合;8K:數(shù)列與不等式的綜合.

  【分析】(1)求出n=1時(shí),x1=1;n2時(shí),將n換為n﹣1,兩式相減,即可得到所求通項(xiàng)公式;

  (2)運(yùn)用點(diǎn)滿足函數(shù)式,代入化簡(jiǎn),求出梯形的底和高,由梯形的面積公式,化簡(jiǎn)可得;

  (3)求得:,運(yùn)用數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)即可得證.

  【解答】解:(1)n=1時(shí),x1=22﹣1﹣2=1,

  n2時(shí),x1x2+x3+…+xn﹣1=2n﹣(n﹣1)﹣2,

  又x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2,

 ?、讴伒茫簒n=2n﹣1(n=1仍成立)

  故xn=2n﹣1;

  (2),

  ,又,,

  故四邊形PnQnQn1Pn+1的面積為:;

  (3)證明:,


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