2017年高考山東卷理數(shù)試題和答案(2)
2017年高考山東卷理數(shù)試題解析版
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
(1)設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域為,則
(A)(1,2) (B) (C)(-2,1) (D)[-2,1)
【答案】D
【考點】 1.集合的運算2.函數(shù)的定義域3.簡單不等式的解法.
【名師點睛】集合的交、并、補運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.
(2)已知,i是虛數(shù)單位，若，則a=
(A)1或-1 (B) (C)- (D)
【答案】A 【解析】試題分析：由得，所以，故選A.
【考點】 1.復(fù)數(shù)的概念.2.復(fù)數(shù)的運算.
【名師點睛】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，據(jù)此結(jié)合已知條件，求得的方程即可.
(3)已知命題p:;命題q：若a>b，則，下列命題為真命題的是
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】試題分析：由時有意義，知p是真命題，由可知q是假命題，即均是真命題，故選B.
【考點】1.簡易邏輯聯(lián)結(jié)詞.2.全稱命題.
【名師點睛】解答簡易邏輯聯(lián)結(jié)詞相關(guān)問題，關(guān)鍵是要首先明確各命題的真假，利用或、且、非真值表，進(jìn)一步作出判斷.
(4)已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是
(A)0 (B) 2 (C) 5 (D)6
【答案】C
【考點】 簡單的線性規(guī)劃
【名師點睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：
(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域;
(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形;
(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解;
(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.
(5)為了研究某班學(xué)生的腳長(單位：厘米)和身高(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為.已知，，.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】試題分析：由已知 ,選C.
【考點】線性相關(guān)與線性回歸方程的求法與應(yīng)用.
【名師點睛】(1)判斷兩個變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：(1)利用散點圖直觀判斷;(2)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出，然后根據(jù)的大小進(jìn)行判斷.求線性回歸方程時在嚴(yán)格按照公式求解時，一定要注意計算的準(zhǔn)確性.
(6)執(zhí)行兩次右圖所示的程序框圖，若第一次輸入的的值為，第二次輸入的的值為，則第一次、第二次輸出的的值分別為
(A)0，0 (B)1，1 (C)0，1 (D)1，0
【答案】D
【考點】程序框圖，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)
【名師點睛】識別算法框圖和完善算法框圖是高考的重點和熱點.解決這類問題：首先，要明確算法框圖中的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu);第二，要識別運行算法框圖，理解框圖解決的實際問題;第三，按照題目的要求完成解答.對框圖的考查常與函數(shù)和數(shù)列等相結(jié)合，進(jìn)一步強(qiáng)化框圖問題的實際背景.
(7)若，且，則下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】試題分析：，且
，所以選B.
【考點】1.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2.基本不等式.
【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.
(8)從分別標(biāo)有，，，的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【考點】古典概型
【名師點睛】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.江蘇對古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當(dāng)正面問題比較復(fù)雜時，往往采取計數(shù)其對立事件.
(9)在中，角，，的對邊分別為，，.若為銳角三角形，且滿足
，則下列等式成立的是
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】試題分析：
所以，選A.
【考點】1.三角函數(shù)的和差角公式2.正弦定理.
【名師點睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形. 首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問題時，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個隱含條件，不容忽視.
(10)已知當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【考點】函數(shù)的圖象、函數(shù)與方程及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍;
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決;
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
第II卷
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分
(11)已知的展開式中含有項的系數(shù)是，則 .
【答案】
【解析】試題分析：由二項式定理的通項公式，令得：，解得.
【考點】二項式定理
【名師點睛】根據(jù)二項式展開式的通項，確定二項式系數(shù)或確定二項展開式中的指定項，是二項式定理問題中的基本問題，往往要綜合運用二項展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項式展開式的通項求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計算能力等.
(12)已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實數(shù)的值是 .
【答案】
【解析】試題分析：，
，
，
，解得：.
【考點】1.平面向量的數(shù)量積.2.平行向量的夾角.3.單位向量.
【名師點睛】
1.平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：.
2.由向量的數(shù)量積的性質(zhì)有，，，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題.
3.本題主要利用向量的模與向量運算的靈活轉(zhuǎn)換，應(yīng)用平面向量的夾角公式，建立的方程.
(13)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積為 .
【答案】
【解析】試題分析：該幾何體的體積為.
【考點】1.三視圖.2.幾何體的體積.
【名師點睛】1.解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖
2.三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù).3.利用面積或體積公式計算.
(14)在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為 .
【答案】
【考點】1.雙曲線的幾何性質(zhì).2.拋物線的定義及其幾何性質(zhì).
【名師點睛】1.在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨特的一種性質(zhì)，也是考查的重點內(nèi)容.對漸近線：(1)掌握方程;(2)掌握其傾斜角、斜率的求法;(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).
求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式，當(dāng)，，時為橢圓，當(dāng)時為雙曲線.
2.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理.
(15)若函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有性質(zhì)的函數(shù)的序號為 .
② ③ ④
【答案】①④
【解析】試題分析：①在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì);
②在上單調(diào)遞減，故不具有性質(zhì);
?、?，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不具有性質(zhì);
?、埽?，則，在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì).
【考點】1.新定義問題.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【名師點睛】
1.本題考查新定義問題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向.它考查學(xué)生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學(xué)生分析問題與解決問題的能力，新定義的概念實質(zhì)上只是一個載體，解決新問題時，只要通過這個載體把問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的知識即可.
2.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先);
(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x);
(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集.
(4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間.若遇不等式中帶有參數(shù)時，可分類討論求得單調(diào)區(qū)間.
3.由函數(shù)f(x)在(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，要注意“=”是否可以取到.
三、解答題：本大題共6小題，共75分。
16.設(shè)函數(shù)，其中.已知.
()求;
()將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.
【答案】().()得最小值.
從而.
根據(jù)得到，進(jìn)一步求最小值.
試題解析：()因為，
所以
即時，取得最小值.
【考點】1.兩角和與差的三角函數(shù).2.三角函數(shù)圖象的變換與性質(zhì).
【名師點睛】此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題易錯點在于一是圖象的變換與解析式的對應(yīng)，二是忽視設(shè)定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.
17.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形(及其內(nèi)部)以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點.
()設(shè)是上的一點，且，求的大小;
()當(dāng)，，求二面角的大小.
【答案】().().
據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)即得所求的角.
思路二：
以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，求平面的一個法向量，平面的一個法向量
計算即得.
取的中點，連接，，.
因為，
所以四邊形為菱形，
所以.
取中點，連接，，.
則，，
所以為所求二面角的平面角.
又，所以.
在中，由于，
由余弦定理得，
所以，因此為等邊三角形，
故所求的角為.
解法二：
設(shè)是平面的一個法向量.
由可得
取，可得平面的一個法向量.
所以.
因此所求的角為.
【考點】1.垂直關(guān)系.2. 空間角的計算.
【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.立體幾何中角的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運算能力等.
(18)(本小題滿分12分)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
(I)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。
(II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.
【答案】(I)(II)X的分布列為
X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是.
得X的分布列為
X 0 1 2 3 4 P 進(jìn)一步計算X的數(shù)學(xué)期望.
試題解析：(I)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則
(II)由題意知X可取的值為：.則
因此X的分布列為
X 0 1 2 3 4 P
X的數(shù)學(xué)期望是
=
【考點】1.古典概型.2.隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.3.超幾何分布.
【名師點睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運算求解能力等.
(19)(本小題滿分12分)
已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2
()求數(shù)列{xn}的通項公式;
()如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.
【答案】(I)(II)
因為,所以，
因此數(shù)列的通項公式為
(II)過……向軸作垂線，垂足分別為……,
由(I)得
記梯形的面積為.
由題意，
所以
……+
=……+ ①
又……+ ②
【考點】1.等比數(shù)列的通項公式;2.等比數(shù)列的求和;3.“錯位相減法”.
【名師點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯位相減法”.此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù).本題將數(shù)列與解析幾何結(jié)合起來，適當(dāng)增大了難度，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.
(20)(本小題滿分13分)
已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
()求曲線在點處的切線方程;
()令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.
【答案】().
()綜上所述：
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)有極小值，極小值是;
當(dāng)時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，
極大值是
極小值是;
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值;
當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，
極大值是;
極小值是.
【解析】試題分析：()求導(dǎo)數(shù)得斜率，由點斜式寫出直線方程.
，
即 .
()由題意得 ，
因為
，
令
則
所以在上單調(diào)遞增.
因為
所以 當(dāng)時，
當(dāng)時，
(1)當(dāng)時，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以 當(dāng)時取得極小值，極小值是 ;
極大值為，
當(dāng)時取到極小值，極小值是 ;
當(dāng)時，，
所以 當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值;
當(dāng)時，
所以 當(dāng)時，，單調(diào)遞增;
當(dāng)時，，單調(diào)遞減;
當(dāng)時，，單調(diào)遞增;
所以 當(dāng)時取得極大值，極大值是;
當(dāng)時取得極小值.
極小值是.
綜上所述：
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)有極小值，極小值是;
當(dāng)時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，
【考點】1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值.3.分類討論思想.
【名師點睛】1.函數(shù)f (x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)的幾何意義是曲線y=f (x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率.相應(yīng)地，切線方程為y−y0=f ′(x0)(x−x0).注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同.
2. 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.
(21)(本小題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.
()求橢圓的方程;
()如圖，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.
【答案】(I).
()的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.
試題解析：(I)由題意知 ，，
所以 ，
因此 橢圓的方程為.
()設(shè)，
聯(lián)立方程
得，
由題意知，
且，
所以 .
由題意可知圓的半徑為
由題設(shè)知，
所以
而
，
令，
則，
因此 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，
【考點】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì);2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系;3. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).
【名師點睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓(圓錐曲線)方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.
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