高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料匯總(4)
高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料匯總
一、 平面.
1. 經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.
注：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).
2. 兩個(gè)平面可將平面分成3或4部分.(①兩個(gè)平面平行，②兩個(gè)平面相交)
3. 過(guò)三條互相平行的直線可以確定1或3個(gè)平面.(①三條直線在一個(gè)平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個(gè)平面內(nèi)平行)
[注]：三條直線可以確定三個(gè)平面，三條直線的公共點(diǎn)有0或1個(gè).
4. 三個(gè)平面最多可把空間分成 8 部分.(X、Y、Z三個(gè)方向)
二、 空間直線.
1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線—共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線—共面沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線—不同在任一平面內(nèi)
[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.(×)(可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等)
②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交
?、廴糁本€a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).
?、軆蓷l平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).
?、菰谄矫鎯?nèi)射影是直線的圖形一定是直線.(×)(射影不一定只有直線，也可以是其他圖形)
?、拊谕黄矫鎯?nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等.(×)(并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段)
?、呤菉A在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.
2. 異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.(不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線)
3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
4. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等(如下圖).
(二面角的取值范圍)
(直線與直線所成角)
(斜線與平面成角)
(直線與平面所成角)
(向量與向量所成角
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角(或直角)相等.
5. 兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.
空間兩條直線垂直的情況：相交(共面)垂直和異面垂直.
是異面直線，則過(guò)外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒(méi)有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi). (或在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面)
三、 直線與平面平行、直線與平面垂直.
1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).
2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.(“線線平行，線面平行”)
[注]：①直線與平面內(nèi)一條直線平行，則∥. (×)(平面外一條直線)
?、谥本€與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交. (×)(平面外一條直線)
③若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線與平行. (√)(不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之)
?、軆蓷l平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面. (×)(可能在此平面內(nèi))
?、萜叫杏谕恢本€的兩個(gè)平面平行.(×)(兩個(gè)平面可能相交)
⑥平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.(×)(兩直線可能相交或者異面)
?、咧本€與平面、所成角相等，則∥.(×)(、可能相交)
3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.(“線面平行，線線平行”)
4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.
l 若⊥，⊥，得⊥(三垂線定理)，
得不出⊥. 因?yàn)?perp;，但不垂直O(jiān)A.
l 三垂線定理的逆定理亦成立.
直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.(“線線垂直，線面垂直”)
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.
推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.
[注]：①垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行)
?、诖怪庇谕恢本€的兩個(gè)平面平行.(√)(一條直線垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面)
?、鄞怪庇谕黄矫娴膬蓷l直線平行.(√)
5. ⑴垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng);②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng);③垂線段比任何一條斜線段短.
[注]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn). [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.(×)]
⑵射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上
四、 平面平行與平面垂直.
1. 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.(“線面平行，面面平行”)
推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行;平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.
[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.
3. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.(“面面平行，線線平行”)
4. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.
兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.(“線面垂直，面面垂直”)
注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒(méi)有什么關(guān)系.
5. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.
推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.
證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，
因?yàn)閯t.
6. 兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：(為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有)
7. ⑴最小角定理：(為最小角，如圖)
?、谱钚〗嵌ɡ淼膽?yīng)用(∠PBN為最小角)
簡(jiǎn)記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.
成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.
成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.
成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒(méi)有.
五、 棱錐、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱側(cè)面積：(為底面周長(zhǎng)，是高)該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形得出的.
?、谛崩庾?cè)面積：(是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng))該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為平行四邊形得出的.
?、苳四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}.
{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.
⑶棱柱具有的性質(zhì)：
?、倮庵母鱾€(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等;直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形;正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.
?、诶庵膬蓚€(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.
?、圻^(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.
注：①棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱. (×)
(直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖)
?、?直棱柱定義)棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.
?、绕叫辛骟w：
定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.
[注]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).
定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.
推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則.
推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，則.
[注]：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面體的兩個(gè)平行的平面可以為矩形)
?、诟鱾?cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行)
?、蹖?duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體.(×)(只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形)
?、芾庵蔀橹崩庵囊粋€(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. (兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件)
2. 棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.
[注]：①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.
?、谝粋€(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐;所以.
?、泞僬忮F定義：底面是正多邊形;頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.
[注]：i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.(不是等邊三角形)
ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等
iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形(即側(cè)棱相等);底面為正多邊形.
?、谡忮F的側(cè)面積：(底面周長(zhǎng)為，斜高為)
?、劾忮F的側(cè)面積與底面積的射影公式：(側(cè)面與底面成的二面角為)
附： 以知⊥，，為二面角.
則①，②，③ ①②③得.
注：S為任意多邊形的面積(可分別多個(gè)三角形的方法).
?、评忮F具有的性質(zhì)：
①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高).
?、谡忮F的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.
?、翘厥饫忮F的頂點(diǎn)在底面的射影位置：
①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.
②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.
?、劾忮F的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
?、芾忮F的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
?、萑忮F有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.
⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.
?、呙總€(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑;
?、嗝總€(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.
[注]：i. 各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.(×)(各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等)
ii. 若一個(gè)三角錐，兩條對(duì)角線互相垂直，則第三對(duì)角線必然垂直.
簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令
得，已知
則.
iii. 空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.
iv. 若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.
簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等，則為正方形.
3. 球：⑴球的截面是一個(gè)圓面.
①球的表面積公式：.
?、谇虻捏w積公式：.
?、凭暥取⒔?jīng)度：
?、倬暥龋旱厍蛏弦稽c(diǎn)的緯度是指經(jīng)過(guò)點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).
?、诮?jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.
附：①圓柱體積：(為半徑，為高)
?、趫A錐體積：(為半徑，為高)
?、坼F形體積：(為底面積，為高)
4. ①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，，，
得.
注：球內(nèi)切于四面體：
②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.
六. 空間向量.
1. (1)共線向量：共線向量亦稱(chēng)平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
注：①若與共線，與共線，則與共線.(×) [當(dāng)時(shí)，不成立]
?、谙蛄抗裁婕此鼈兯谥本€共面.(×) [可能異面]
?、廴簟危瑒t存在小任一實(shí)數(shù)，使.(×)[與不成立]
④若為非零向量，則.(√)[這里用到之積仍為向量]
(2)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量， ∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)(具有唯一性)，使.
(3)共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作∥.
(4)①共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使.
?、诳臻g任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.(簡(jiǎn)證：P、A、B、C四點(diǎn)共面)
注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.
2. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.
推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z≠1).
注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其
中Q是△BCD的重心，則向量用即證.
3. (1)空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸(對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo))，y軸是縱軸(對(duì)應(yīng)為縱軸)，z軸是豎軸(對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)).
?、倭?(a1,a2,a3),，則
∥
(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)
?、诳臻g兩點(diǎn)的距離公式：.
(2)法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.
(3)用向量的常用方法：
?、倮梅ㄏ蛄壳簏c(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.
?、诶梅ㄏ蛄壳蠖娼堑钠矫娼嵌ɡ恚涸O(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小(方向相同，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角).
③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點(diǎn)不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使.(常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交).
II. 競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)
一、四面體.
1. 對(duì)照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類(lèi)似性質(zhì)：
①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心;
②四面體的四個(gè)面組成六個(gè)二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的內(nèi)接球的球心;
?、鬯拿骟w的四個(gè)面的重心與相對(duì)頂點(diǎn)的連接交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3︰1;
?、?2個(gè)面角之和為720°，每個(gè)三面角中任兩個(gè)之和大于另一個(gè)面角，且三個(gè)面角之和為180°.
2. 直角四面體：有一個(gè)三面角的三個(gè)面角均為直角的四面體稱(chēng)為直角四面體，相當(dāng)于平面幾何的直角三角形. (在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長(zhǎng)之和、表面積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高)，則有空間勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD.
3. 等腰四面體：對(duì)棱都相等的四面體稱(chēng)為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形.根據(jù)定義不難證明以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條面對(duì)角線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個(gè)等腰四面體拼補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體.
(在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，高為h)，則有
?、俚妊拿骟w的體積可表示為;
?、诘妊拿骟w的外接球半徑可表示為;
?、鄣妊拿骟w的四條頂點(diǎn)和對(duì)面重心的連線段的長(zhǎng)相等，且可表示為;
?、躧 = 4r.
二、空間正余弦定理.
空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D
空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D
立體幾何知識(shí)要點(diǎn)
一、知識(shí)提綱
(一)空間的直線與平面
?、逼矫娴幕拘再|(zhì) ⑴三個(gè)公理及公理三的三個(gè)推論和它們的用途.?、菩倍y(cè)畫(huà)法.
?、部臻g兩條直線的位置關(guān)系：相交直線、平行直線、異面直線.
?、殴硭?平行線的傳遞性).等角定理.
?、飘惷嬷本€的判定：判定定理、反證法.
?、钱惷嬷本€所成的角：定義(求法)、范圍.
⒊直線和平面平行 直線和平面的位置關(guān)系、直線和平面平行的判定與性質(zhì).
?、粗本€和平面垂直
?、胖本€和平面垂直：定義、判定定理.
?、迫咕€定理及逆定理.
5.平面和平面平行
兩個(gè)平面的位置關(guān)系、兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì).
6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理.
(二)直線與平面的平行和垂直的證明思路(見(jiàn)附圖)
(三)夾角與距離
7.直線和平面所成的角與二面角
?、牌矫娴男本€和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平
面所成的角、直線和平面所成的角.
?、贫娼牵孩俣x、范圍、二面角的平面角、直二面角.
?、诨ハ啻怪钡钠矫婕捌渑卸ǘɡ?、性質(zhì)定理.
8.距離
⑴點(diǎn)到平面的距離.
?、浦本€到與它平行平面的距離.
⑶兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段.
?、犬惷嬷本€的距離：異面直線的公垂線及其性質(zhì)、公垂線段.
(四)簡(jiǎn)單多面體與球
9.棱柱與棱錐
⑴多面體.
?、评庵c它的性質(zhì)：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性質(zhì).
⑶平行六面體與長(zhǎng)方體：平行六面體、直平行六面體、長(zhǎng)方體、正四棱柱、
正方體;平行六面體的性質(zhì)、長(zhǎng)方體的性質(zhì).
?、壤忮F與它的性質(zhì)：棱錐、正棱錐、棱錐的性質(zhì)、正棱錐的性質(zhì).
?、芍崩庵驼忮F的直觀圖的畫(huà)法.
10.多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)
?、藕?jiǎn)單多面體的歐拉公式.
⑵正多面體.
11.球
?、徘蚝退男再|(zhì)：球體、球面、球的大圓、小圓、球面距離.
?、魄虻捏w積公式和表面積公式.
二、常用結(jié)論、方法和公式
1.從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上;
2. 已知:直二面角M-AB-N中，AE M，BF N,∠EAB=,∠ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則
3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，BC和AB的射影BA1成，設(shè)∠ABC=,則coscos=cos;
4.異面直線所成角的求法：
(1)平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線;
(2)補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系;
5.直線與平面所成的角
斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵;
6.二面角的求法
(1)定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性;
(2)三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角;
(3)垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直;
(4)射影法：利用面積射影公式S射=S原cos,其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫(huà)出平面角;
特別:對(duì)于一類(lèi)沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法(尤其要考慮射影法)。
7.空間距離的求法
(1)兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算;
(2)求點(diǎn)到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解;
(3)求點(diǎn)到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來(lái)作，因此，確定已知面的垂面是關(guān)鍵;二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解;
8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)cos=S底;
9.已知:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1; 若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;
10.正方體和長(zhǎng)方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線長(zhǎng);
11.歐拉公式：如果簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E.那么V+F-E=2;并且棱數(shù)E=各頂點(diǎn)連著的棱數(shù)和的一半=各面邊數(shù)和的一半;
12.柱體的體積公式：柱體(棱柱、圓柱)的體積公式是V柱體=Sh.其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.
13.直棱柱的側(cè)面積和全面積
S直棱柱側(cè)= c (c表示底面周長(zhǎng)，表示側(cè)棱長(zhǎng)) S棱柱全=S底+S側(cè)
14.棱錐的體積:V棱錐=，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。
15.球的體積公式V=，表面積公式;掌握球面上兩點(diǎn)A、B間的距離求法：(1)計(jì)算線段AB的長(zhǎng)，(2)計(jì)算球心角∠AOB的弧度數(shù);(3)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧AB的長(zhǎng);
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