中學(xué)數(shù)學(xué)論文參考范文
中學(xué)數(shù)學(xué)論文參考范文
中學(xué)數(shù)學(xué)作為中學(xué)教育的基礎(chǔ)課程,對(duì)于學(xué)生后續(xù)的課程學(xué)習(xí)和思維培養(yǎng)具有至關(guān)重要的作用。下文是學(xué)習(xí)啦小編為大家搜集整理的關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)論文參考范文的內(nèi)容，歡迎大家閱讀參考!
中學(xué)數(shù)學(xué)論文參考范文篇1
淺析中學(xué)數(shù)學(xué)中的變量代換
摘 要：由于數(shù)學(xué)問(wèn)題的多樣性、復(fù)雜性和靈活性，在直接解決問(wèn)題受阻時(shí)，常需要采用轉(zhuǎn)化策略，而變量代換就是教師在解決問(wèn)題中常用的變換手段。通過(guò)一些例子論述了變量代換在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用和作用，以及如何正確進(jìn)行變量代換，從而優(yōu)化解題過(guò)程。
關(guān)鍵詞：代換;中學(xué)數(shù)學(xué);應(yīng)用
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們常常覺(jué)得一些公式的變形、等式的變化很難理解，在解題時(shí)往往感到很難下手，于是對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼、厭倦情緒，然而變量代換是眾多數(shù)學(xué)方法中易于掌握且行之有效的方法.
所謂變量代換是指某些變量的解析表達(dá)式用另一些新的變量(或變量表達(dá)式)來(lái)代換，這種方法也稱為換元法.
一、變量代換的幾種常用方法
用變量代換法分析和解決問(wèn)題可以化難為易，把抽象問(wèn)題變具體，使解題者對(duì)數(shù)學(xué)更加有興趣，從而提高學(xué)習(xí)積極性.在中學(xué)中，變量代換應(yīng)用廣泛，總結(jié)概括為以下幾點(diǎn)：
(一)初等變換法
有關(guān)函數(shù)知識(shí)及問(wèn)題常常要用變量代換思想去分析和理解.初學(xué)函數(shù)概念與符號(hào)f(x)時(shí)，很多學(xué)生對(duì)其表達(dá)意義不能正確領(lǐng)會(huì)和應(yīng)用.例如，f(x)=x2，則f(x+ )=(x+ )2，在課堂不注重方式的令x=x+ ，學(xué)生很難理解，因?yàn)閤≠x+ ，事實(shí)上把f(t)=t2中的變量t用x+ 代入得到結(jié)論就比較容易讓學(xué)生理解了.
例1.定義在R上的函數(shù)y=f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1且對(duì)任意a、b∈R有f(a+b)=f(a)?f(b)，又f(0)≠0.
(1)求證：f(0)=1;
(2)求證：對(duì)x∈R，有f(x)>0;
(3)求證：f(x)是R上增函數(shù).
分析：解決本題關(guān)鍵在于把條件中的a，b，進(jìn)行多次變量代換，
還有利用等量代換，如f(0)=1.
證：(1)由f(a+b)=f(a)?f(b)，得f(0+0)=f(0)?f(0).因?yàn)閒(0)≠0，所以f(0)=1.
(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1>0;當(dāng)x<0時(shí)，因?yàn)?x>0，所以f(-x)>0.
由f[x+(-x)]=f(x)?f(-x)，知
f(x)= = >0.
綜上知：x∈R，有f(x)>0.
(3)設(shè)x1 0.因f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)?f(x1);
又當(dāng)x2-x1>0時(shí)，f(x2-x1)>1，且f(x1)>0，所以
f(x2)=f(x2-x1)?f(x1)>f(x1)，
因此f(x)是R上增函數(shù).
(二)遞推數(shù)列下標(biāo)代換法
例2.在數(shù)列an中，a1=3，nan+1=(n+2)an+2n(n+1)(n+2)，求通項(xiàng)公式an.
分析：解題過(guò)程中主要是把 變換為bn，這樣過(guò)程可以簡(jiǎn)化些，最后再用an回代.
解：對(duì)原遞推式兩邊同除以n(n+1)(n+2)可得：
= +2 ①
令
bn= ②
則①為bn+1=bn+2，即數(shù)列bn是首項(xiàng)為b1= = ，公差是bn+1-bn=2的等差數(shù)列，因而
bn= +2(n-1)=2n- ，
代入②式中得
an= n(n+1)(4n-1).
故所求的通項(xiàng)公式是
an= n(n+1)(4n-1).
(三)方程代換法
例3.若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.
分析：題中的a，b之和與a，b之積是聯(lián)想韋達(dá)定理的信號(hào)，因此考慮構(gòu)造方程進(jìn)行代換.
解：設(shè)ab=p，則a+b=p-3，故a，b是方程x2-(p-3)的兩個(gè)正根，則有
?駐=(p-3)2-4p≥0，p>0，p-3>0，
解得p≥9，即a，b的取值范圍為[9，+∞).
(四)整體代換
例4.設(shè)x，y，z>0，x+y+z=1，求 + + 的最小值.
分析：注意到x+y+z=1，其他的代數(shù)式與之相乘后不會(huì)改變其原來(lái)的性質(zhì).就該題而言，相乘后可得到能利用均值不等式的模式.
證： + + =(x+y+z)( + + )=14+ + + + + ≥2( + + )=14+2(2+6+3)=36.
當(dāng)x= ，y= ，z= 時(shí)等號(hào)成立.
(五)不等式中的變量代換
在代數(shù)式的恒等變形和解方程時(shí)，我們使用過(guò)變量代換.而在不等式的證明中若能引進(jìn)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，不僅能使證明簡(jiǎn)化，而且比較容易找到證題思路.下面用兩道例題進(jìn)行描述，權(quán)作引玉之磚.
例5.已知a>0，b>0，c>0，求證： + + ≥ .
分析：直接證明似乎不太容易，若注意到不等式的對(duì)稱性，把b+c，a+c，a+b看作三個(gè)新的變量進(jìn)行代換，就會(huì)使形式變得簡(jiǎn)單，容易證明.
證：令x=b+c，y=c+a，z=a+b，則
a= (-x+y+z)，b= (x-y+z)，c= (x+y-z)，
于是
+ + = + +
=- + ( + )+ ( + )+ ( + )
≥- +3= .
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z，即a=b=c時(shí)取“=”號(hào).
二、變量代換的作用
變量代換在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的運(yùn)用，被稱為是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力杠桿.下面通過(guò)舉例說(shuō)明幾種常見(jiàn)的用處.
(一)用代換變未知為已知
在一些題目中，往往通過(guò)引進(jìn)新的變量可把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，使隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，或者變?yōu)槭煜さ男问?，從而把原本?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化. 例6.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B， + + ，求cos 的值.
分析：本題中A+C=120°是已知，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算.再次除由已知想到引進(jìn)變量進(jìn)行代換后，還要求對(duì)三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練.
解：由△ABC中已知A+C=2B，可得
A+C=120°B=60°
由A+C=120°，可設(shè)A=60°+αC=60°-α代入已知等式得
+ = + = + = = =-2 .
(二)溝通數(shù)學(xué)中各分科的統(tǒng)一
解數(shù)學(xué)綜合題的關(guān)鍵是尋找各知識(shí)點(diǎn)的有機(jī)聯(lián)系，通過(guò)知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移以達(dá)到代數(shù)問(wèn)題三角解，幾何問(wèn)題代數(shù)解.而變量代換在知識(shí)的轉(zhuǎn)化中起到了橋梁作用.
例7.若a<1，b<1，求證： ≤1.
證：因?yàn)閍<1，b<1，令a=sin α，b=sin β，則
ab± =sin α sin β± =sin α sin β± =sin α sin β±cos α cos β=±cos(α β)
所以
ab± =±cos(α β)≤1.
(三)可以拓寬解題思路，實(shí)現(xiàn)一題多解
“一題多解”即在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，一些題目往往具有多種不同的解法，但由于每個(gè)學(xué)生原有知識(shí)、本身素質(zhì)以及掌握信息量不盡相同，對(duì)題中數(shù)字方式以及構(gòu)建新的聯(lián)系也各不相同，正如通常情況下運(yùn)用變量代換就可使題目有不同的解法.
例8.已知x、y是正數(shù)，且x+y=1，A=ax+by，B=ay+bx，試比較AB與ab的大小.
分析：本題通過(guò)觀察條件的結(jié)構(gòu)特征，引入中間變量，使兩個(gè)變?cè)膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變?cè)膯?wèn)題，且差的符號(hào)也容易判定.
解法1：令x=cos2 α，y=sin2 α，α∈(0， )，則
AB-ab=(ax+by)(ay+bx)-ab=(a2+b2)cos2 α sin2 α+ab(cos4 α+sin4 α)-ab=(a-b)2cos2 α sin2 α≥0
所以AB≥ab.
解法2：令x= t，y= -t(0≤t≤ )，則
AB-ab=[(a-b)t+ ][-(a-b)t+ ]-ab
=-(a-b)2t2+( )2-ab=(a-b)2( -t2)≥0
而(a-b)2≥0， -t2>0，即AB≥ab.
三、用變量代換法解題錯(cuò)誤解析
變量代換是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法，正確的運(yùn)用它常常能事半功倍，而運(yùn)用不當(dāng)則常會(huì)導(dǎo)致不易發(fā)覺(jué)的錯(cuò)誤，長(zhǎng)此則會(huì)影響解題者思維的嚴(yán)密性.
例9.若x+y+z=1，試證：x2+y2+z2≥ .
解：設(shè)x= -t，y= -2t，z= +3t(t∈R)，所以
x2+y2+z2=( -t)2+( -2t)2+( +3t)2= +14t2≥ .
當(dāng)t=0，即x=y=z= 時(shí)，等號(hào)成立.
辨析：粗看確是一個(gè)好方法，可仔細(xì)看發(fā)現(xiàn)其中代換x= -t，y= -2t，z= +3t欠妥當(dāng)，因?yàn)閤= ，y= ，z= 顯然適合已知條
件x+y+z=1，但都無(wú)法從中代換得出，而且類似這樣不能得出的x、y、z還有很多.由此可見(jiàn)，這種代換實(shí)質(zhì)上縮小了原變量的可取值范圍，因此失之片面.
正確解法如下：
解：設(shè)x= +t，y= +s，則z= -t-s，所以
x2+y2+z2=( +t)2+( +s)2+( -t-s)2= +t2+s2+(t+s)2≥ .
當(dāng)t=s=0，即x=y=z= 時(shí)，等號(hào)成立.
由以上例子可看出，在用變量代換的轉(zhuǎn)化思想時(shí)必須注意在作代換轉(zhuǎn)化過(guò)程中可能出現(xiàn)的一些問(wèn)題，對(duì)此須有補(bǔ)救措施，以確保代換后問(wèn)題轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.
參考文獻(xiàn)：
[1]徐正水.淺談變量代換思想的教學(xué)[J].中學(xué)月刊，2006(7)：22-23.
[2]王豪榜.變量代換在解題中的應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2002：18-20.
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