2017萊蕪數(shù)學(xué)中考練習(xí)試題及答案(2)
2017萊蕪數(shù)學(xué)中考練習(xí)真題答案
一、選擇題：(本大題共12個小題，每小題4分，共48分)在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的.
1.在0、﹣1、 、π四個實數(shù)中，最小的數(shù)是( )
A.﹣1 B.0 C. D.π
【考點】實數(shù)大小比較.
【專題】推理填空題.
【分析】正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可.
【解答】解：根據(jù)實數(shù)比較大小的方法，可得
﹣ <﹣1<0<π，
∴在0、﹣1、 、π四個實數(shù)中，最小的數(shù)是﹣ .
故選：C.
【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實數(shù)>0>負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小.
2.下列運算中正確的是( )
A.(a2)3=a5 B. C.a2+a2=a4 D.3x2﹣3x=x
【考點】冪的乘方與積的乘方;立方根;合并同類項.
【分析】根據(jù)冪的乘方、立方根、合并同類項，即可解答.
【解答】解：A、(a2)3=a6，故本選項錯誤;
B、 =﹣3，正確;
C、a2+a2=2a2，故本選項錯誤;
D、3x2與3x不能合并同類項、故本選項錯誤;
故選：B.
【點評】本題考查了冪的乘方、立方根、合并同類項，解決本題的關(guān)鍵是熟記冪的乘方、立方根、合并同類項.
3.如圖，點B是△ADC的邊AD的延長線上一點，DE∥AC，若∠C=50°，∠BDE=60°，則∠CDB的度數(shù)等于( )
A.70° B.100° C.110° D.120°
【考點】三角形的外角性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【專題】計算題.
【分析】因為DE∥AC，所以∠A=∠BDE=50°，因為∠BDC是外角，所以∠BDC=∠A+∠C=60°+50°=110°.
【解答】解：∵DE∥AC，∠BDE=60°，∠C=50°，
∴∠BDE=∠A=60°，
∵∠BDC=∠A+∠C=60°+50°=110°.
故選C.
【點評】本題比較簡單，考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì).
4.為了比較某校同學(xué)漢字聽寫誰更優(yōu)秀，語文老師隨機抽取了10次聽寫情況，發(fā)現(xiàn)甲乙兩人平均成績一樣，甲、乙的方差分別為2.7和3.2，則下列說法正確的是( )
A.甲的發(fā)揮更穩(wěn)定 B.乙的發(fā)揮更穩(wěn)定
C.甲、乙同學(xué)一樣穩(wěn)定 D.無法確定甲、乙誰更穩(wěn)定
【考點】方差.
【分析】根據(jù)甲乙的方差，可以比較它們的大小，方差越小越穩(wěn)定，從而可以解答本題.
【解答】解：∵2.7<3.2，
∴甲的發(fā)揮更穩(wěn)定，
故選A.
【點評】本題考查方差，解題的關(guān)鍵是明確方差的意義，方差越小越穩(wěn)定.
5.二元一次方程組 的解是( )
A. B. C. D.
【考點】解二元一次方程組.
【分析】觀察原方程組，由于兩個方程的y系數(shù)互為相反數(shù)，可用加減消元法進行求解，進而可判斷出正確的選項.
【解答】解： ，
?、?②，得：3x+4=10，即x=2;③
將③代入①，得：2+y=10，即y=8;
∴原方程組的解為： .
故選A.
【點評】此題考查的是二元一次方程組的解法，常用的方法有：代入消元法和加減消元法;要針對不同的題型靈活的選用合適的方法.
6.若a2+b+5=0，則代數(shù)式3a2+3b+10的值為( )
A.25 B.5 C.﹣5 D.0
【考點】代數(shù)式求值.
【分析】先由a2+b+5=0得出a2+b=﹣5，再把代數(shù)式變形為3(a2+b)+10的形式，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值.
【解答】解：∵a2+b+5=0，
∴a2+b=﹣5，
則代數(shù)式3a2+3b+10=3(a2+b)+10，
=3×(﹣5)+10，
=﹣5.
故選C.
【點評】本題考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是利用“整體代入法”求代數(shù)式的值.
7.若一次函數(shù)y=kx+b的圖象與直線y=﹣x+1平行，且過點(8，2)，則此一次函數(shù)的解析式為( )
A.y=﹣x﹣2 B.y=﹣x﹣6 C.y=﹣x﹣1 D.y=﹣x+10
【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.
【分析】根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出k，然后把點P(﹣1，2)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式計算即可得解.
【解答】解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與直線y=﹣x+1平行，
∴k=﹣1，
∵一次函數(shù)過點(8，2)，
∴2=﹣8+b
解得b=10，
∴一次函數(shù)解析式為y=﹣x+10.
故選D.
【點評】本題考查了兩直線平行的問題，根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出一次函數(shù)解析式的k值是解題的關(guān)鍵.
8.如圖，AB為半圓O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與半圓O相切于點D，且AB=2CD=8，則圖中陰影部分的面積為( )
A. B.32﹣8π C.4﹣π D.8﹣2π
【考點】扇形面積的計算;切線的性質(zhì).
【分析】求出OD=CD=4，求出∠BOD=45°，分別求出三角形OCD的面積和扇形DOB的面積，即可求出答案.
【解答】解：∵AB=2CD=8，AB=2OD，
∴OD=CD=4，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴∠BOD=45°，
∴陰影部分的面積是S△OCD﹣S扇形DOB= ×4×4﹣ =8﹣2π，
故選D.
【點評】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，扇形的面積，三角形的面積的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出扇形和三角形的面積，題目比較典型，難度適中.
9.在﹣2、﹣1、0、1、2、3這六個數(shù)中，任取兩個數(shù)，恰好互為相反數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，進而利用概率公式求出答案.
【解答】解：由題意畫樹狀圖得：
，
一共有30種可能，符合題意的有4種，故恰好互為相反數(shù)的概率為： .
故選：A.
【點評】此題主要考查了樹狀圖法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵.
10.如圖，用火柴棒擺出一列正方形圖案，第①個圖案用了4根，第②個圖案用了12根，第③個圖案用了24根，按照這種方式擺下去，擺出第⑥個圖案用火柴棒的根數(shù)是( )
A.84 B.81 C.78 D.76
【考點】規(guī)律型：圖形的變化類.
【分析】圖形從上到下可以分成幾行，第n個圖形中，豎放的火柴有n(n+1)根，橫放的有n(n+1)根，因而第n個圖案中火柴的根數(shù)是：n(n+1)+n(n+1)=2n(n+1).把n=6代入就可以求出.
【解答】解：設(shè)擺出第n個圖案用火柴棍為Sn.
?、賵D，S1=1×(1+1)+1×(1+1);
?、趫D，S2=2×(2+1)+2×(2+1);
?、蹐D，S3=3×(3+1)+3×(3+1);
…;
第n個圖案，Sn=n(n+1)+n(n+1)=2n(n+1).
則第⑥個圖案為：2×6×(6+1)=84.
故選A.
【點評】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化，此題注意第n個圖案用火柴棍為2n(n+1).
11.關(guān)于x的方程 的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組 有解，則符合題意的整數(shù)m有( )個.
A.4 B.5 C.6 D.7
【考點】分式方程的解;解一元一次不等式;一元一次不等式組的整數(shù)解.
【分析】先求出方程的解與不等式組的解集，再根據(jù)題目中的要求，求出相應(yīng)的m的值即可解答本題.
【解答】解：∵關(guān)于x的方程 的解為正數(shù)，
∴2﹣(x+m)=2(x﹣2)，
解得：x= ，
則6﹣m>0，
故m<6，
∵關(guān)于y的不等式組 有解，
∴m+2≤y≤3m+4，
且m+2≤3m+4，
解得：m≥﹣1，
故m的取值范圍是：﹣1≤m<6，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴ ≠2，
m≠0，
則符合題意的整數(shù)m有：﹣1，1，2，3，4，5，共6個.
故選：C.
【點評】本題考查分式方程的解、一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.
12.重慶實驗外國語學(xué)校坐落在美麗的“華巖寺”旁邊，它被譽為“巴山靈境”.我校實踐活動小組準備利用測角器和所學(xué)的三角函數(shù)知識去測“華巖寺”大佛的高度.他們在A處測得佛頂P的仰角為45°，繼而他們沿坡度為i=3：4的斜坡AB前行25米到達大佛廣場邊緣的B處，BQ∥AC，PQ⊥BQ，在B點測得佛頂P的仰角為63°，則大佛的高度PQ為( )米.
(參考數(shù)據(jù)： ， ， )
A.15 B.20 C.25 D.35
【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題;解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題.
【分析】如圖，作BE⊥AC于E，延長PQ交AC于F.設(shè)PQ=4x，則四邊形BEFQ是矩形，求出BQ、EF、AE，列出方程即可解決問題.
【解答】解：如圖，作BE⊥AC于E，延長PQ交AC于F.設(shè)PQ=4x，則四邊形BEFQ是矩形，
∵tan∠PBQ= = ，
∴BQ=EF=3x，
∵ = ，AB=25，
∴BE=15，AE=20，
∵∠PAF=45°，∠PFA=90°，
∴∠PAF=∠APF=45°，
∴AF=PF，
∴20+3x=4x+15，
∴x=5.
∴PQ=20米
故選B.
【點評】本題考查解直角三角形，仰角問題、坡度問題等知識，解題的關(guān)鍵是理解這些概念，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.
二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
13.地球半徑約為6 400 000m，這個數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為 6.4×106 m.
【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成M時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負數(shù).確定a×10n(1≤|a|<10，n為整數(shù))中n的值，由于3 120 000有7位，所以可以確定n=7﹣1=6.
【解答】解：6 400 000=6.4×106，
故答案為：6.4×106.
【點評】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，把一個數(shù)M記成a×10n(1≤|a|<10，n為整數(shù))的形式，掌握當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，n與M的整數(shù)部分的位數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
14.計算 = 5 .
【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負整數(shù)指數(shù)冪.
【專題】計算題;實數(shù).
【分析】原式利用絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪法則，以及算術(shù)平方根定義計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=2+1﹣2+4=5，
故答案為：5
【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.
15.如圖，△ABC中，E是AB上一點，且AE：EB=3：4，過點E作ED∥BC，交AC于點D，則△AED與四邊形BCDE的面積比是 9：40 .
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】由DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求得S△ADE：S△ABC的值，繼而求得△ADE與四邊形DBCE的面積比.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AE：EB=3：4，
∴AE：AB=3：7，
∴S△ADE：S△ABC=9：49，
∴S△ADE：S四邊形DBCE=9：40.
故答案為：9：40.
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度不大，注意掌握相似三角形面積比等于相似比的平方定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.
16.如圖，A，B，C是⊙O上三點，∠ACB=25°，則∠BAO的度數(shù)是 65° .
【考點】圓周角定理.
【分析】連接OB，要求∠BAO的度數(shù)，只要在等腰三角形OAB中求得一個角的度數(shù)即可得到答案，利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得∠AOB=50°，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形內(nèi)角和定理即可求得.
【解答】解：連接OB，
∵∠ACB=25°，
∴∠AOB=2∠ACB=50°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=(180°﹣60°)÷2=65°，
故答案為：65°
【點評】本題考查了圓周角定理;作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形是正確解答本題的關(guān)鍵.
17.某物流公司的快遞車和貨車同時從甲地出發(fā)，以各自的速度勻速向乙地行駛，快遞車到達乙地后缷完物品再另裝貨物共用45分鐘，立即按原路以另一速度勻速返回，直至與貨車相遇.已知貨車的速度為60千米/時，兩車之間的距離y(千米)與貨車行駛時間x(小時)之間的函數(shù)圖象如圖所示，現(xiàn)有以下4個結(jié)論：
?、倏爝f車從甲地到乙地的速度為100千米/時;
②甲、乙兩地之間的距離為120千米;
?、蹐D中點B的坐標(biāo)為(3 ，75);
?、芸爝f車從乙地返回時的速度為90千米/時，
以上4個結(jié)論正確的是 ①③④ .
【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象結(jié)合實際問題對每一項進行分析即可得出答案.
【解答】解：①設(shè)快遞車從甲地到乙地的速度為x千米/時，則
3(x﹣60)=120，
x=100.(故①正確);
?、谝驗?20千米是快遞車到達乙地后兩車之間的距離，不是甲、乙兩地之間的距離，(故②錯誤);
③因為快遞車到達乙地后缷完物品再另裝貨物共用45分鐘，
所以圖中點B的橫坐標(biāo)為3+ =3 ，
縱坐標(biāo)為120﹣60× =75，(故③正確);
?、茉O(shè)快遞車從乙地返回時的速度為y千米/時，則
(y+60)(4 ﹣3 )=75，
y=90，(故④正確).
故答案為;①③④.
【點評】本題考查的是用一次函數(shù)解決實際問題，此類題是近年中考中的熱點問題，關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象結(jié)合實際問題判斷出每一結(jié)論是否正確.
18.如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊AD、AB上且AE=BF=1，連接BE、CF交于點G，在線段EG上取一點H使HG=BG，連接DH，把△EDH沿AD邊翻折得到△EDH’，則點H到邊DH’的距離是 .
【考點】翻折變換(折疊問題);三角形的面積;全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理的應(yīng)用;正方形的性質(zhì);平行線分線段成比例.
【專題】方程思想;面積法.
【分析】先連接HH'，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，判定△ABE≌△BCF，再根據(jù)勾股定理求得CF= ，BG= ，進而得出EH：HB=2：3，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，求得PE= ，PH= ，PD= ，最后設(shè)點H到邊DH'的距離是h，根據(jù)面積法得到 ×HH'×PD= ×DH'×h，求得h的值即可.
【解答】解：連接HH'，交AD于P，則AD垂直平分HH'，
∴DH=DH'，即△DHH'是等腰三角形，
∵正方形ABCD的邊長為3，AE=BF=1，∠A=∠FBC=90°，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠ABE=∠BCF，CF=BE，
又∵∠ABE+∠GBC=90°，
∴∠BCG+∠GBC=90°，
∴BG⊥CF，
∵BF=1，BC=3，
∴Rt△BCF中，CF= ，BG= ，
∴HG=BG= ，
又∵CF=BE= ，
∴HE= ，
∴EH：HB=2：3，
∵PH∥AB，
∴ = = ，即 = = ，
∴PE= ，PH= ，PD= ，
∴Rt△PDH中，DH= = =DH'，HH'=2× = ，
設(shè)點H到邊DH'的距離是h，則
×HH'×PD= ×DH'×h，
∴ × = ×h，
∴h= ，
∴點H到邊DH'的距離是 .
故答案為： .
【點評】本題以折疊問題為背景，主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)面積法列出等式求得點H到邊DH'的距離，解題時注意方程思想的運用.
三、解答題(本大題共3個小題，共24分)解答時每小題都必須寫出必要的演算過程或推理步驟，請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上.
19.已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且DE=BF.
求證：EA⊥AF.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)條件可以得出AD=AB，∠ABF=∠ADE=90°，從而可以得出△ABF≌△ADE，就可以得出∠FAB=∠EAD，就可以得出結(jié)論.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，
∴∠ABF=90°.
∵在△BAF和△DAE中，
，
∴△BAF≌△DAE(SAS)，
∴FAB=∠EAD，
∵∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=90°，
∴∠FAE=90°，
∴EA⊥AF.
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的判定，在解答本題時，證明三角形全等是關(guān)鍵.
20.數(shù)學(xué)興趣小組為了解我校初三年級1800名學(xué)生的身體健康情況，從初三隨機抽取了若干名學(xué)生，將他們按體重(均為整數(shù)，單位：kg)分成五組(A：39.5～46.5;B：46.5～53.5;C：53.5～60.5;D：60.5～67.5;E：67.5～74.5)，并依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.
補全條形統(tǒng)計圖，并估計我校初三年級體重介于47kg至53kg的學(xué)生大約有多少名.
【考點】條形統(tǒng)計圖;用樣本估計總體;扇形統(tǒng)計圖.
【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖可以求得本次調(diào)查的人數(shù)和體重落在B組的人數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計圖補充完整，進而可以求得我校初三年級體重介于47kg至53kg的學(xué)生大約有多少名.
【解答】解：本次調(diào)查的學(xué)生有：32÷16%=200(名)，
體重在B組的學(xué)生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64(名)，
補全的條形統(tǒng)計圖如右圖所示，
我校初三年級體重介于47kg至53kg的學(xué)生大約有：1800× =576(名)，
即我校初三年級體重介于47kg至53kg的學(xué)生大約有576名.
【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.
21.化簡下列各式：
(1)(a﹣b)2﹣a(a﹣2b)+(2a+b)(2a﹣b)
(2) .
【考點】分式的混合運算;整式的混合運算.
【分析】(1)根據(jù)完全平方公式和單項式乘以多項式、平方差公式將原式展開，然后再合并同類項即可解答本題;
(2)先化簡括號內(nèi)的式子，再根據(jù)分式的除法即可解答本題.
【解答】解：(1)(a﹣b)2﹣a(a﹣2b)+(2a+b)(2a﹣b)
=a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab+4a2﹣b2
=4a2;
(2)
=
=
=
= .
【點評】本題考查分式的混合運算、整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法.
四、解答題(本大題共3個小題，共30分)解答時每小題都必須寫出必要的演算過程或推理步驟，請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上.
22.(2015•荊州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，直線AB分別與x軸、y軸交于B和A，與反比例函數(shù)的圖象交于C、D，CE⊥x軸于點E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2.
(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OCD的面積.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)根據(jù)已知條件求出A、B、C點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AB和反比例的函數(shù)解析式;
(2)聯(lián)立一次函數(shù)的解析式和反比例的函數(shù)解析式可得交點D的坐標(biāo)，從而根據(jù)三角形面積公式求解.
【解答】解：(1)∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6.
∵CE⊥x軸于點E，tan∠ABO= = = .
∴OA=2，CE=3.
∴點A的坐標(biāo)為(0，2)、點B的坐標(biāo)為C(4，0)、點C的坐標(biāo)為(﹣2，3).
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則 ，
解得 .
故直線AB的解析式為y=﹣ x+2.
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= (m≠0)，
將點C的坐標(biāo)代入，得3= ，
∴m=﹣6.
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=﹣ .
(2)聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式可得 ，
可得交點D的坐標(biāo)為(6，﹣1)，
則△BOD的面積=4×1÷2=2，
△BOC的面積=4×3÷2=6，
故△OCD的面積為2+6=8.
【點評】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題.主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.求A、B、C點的坐標(biāo)需用正切定義或相似三角形的性質(zhì)，起點稍高，部分學(xué)生感覺較難.
23.重慶外國語學(xué)校為解決“停車難”問題，決定對車庫進行擴建，擴建工程原計劃由A施工隊獨立完成，8周后為了縮短工期，學(xué)校計劃從第九周起增派B施工隊與A施工隊共同施工，預(yù)計共同施工4周后工程即可完工，已知B施工隊單獨完成整個工程的工期為20周.
(1)增派B施工隊后，整個工程的工期比原計劃縮短了幾周?
(2)增派B施工隊后，學(xué)校需要重新與A施工隊商定從第九周起的工程費支付問題，已知學(xué)校在工程開始前已支付給A工程隊設(shè)計費、勘測費共計200萬元，工程開始后前八周的工程費已按每周40萬元進行支付，從第九周開始，學(xué)校需要支付給A施工隊的每周工程費在原來40萬元的基礎(chǔ)上增加20%.支付給B施工隊的每周工程費為a萬元，在整個工程結(jié)束后再一次性支付給A、B兩個施工隊的總費用不超過1000萬元，則每周支付給B施工隊的施工費最多為多少萬元?
【考點】分式方程的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)原計劃需x周完成，則A隊每周完成總量的 ，B隊每周完成總量的 ，根據(jù)：A隊8周的工作量+A、B兩隊合作4周的工作量=1，列方程求解可得;
(2)根據(jù)：前8周付給A工程隊的費用+后4周付給A工程隊的費用+后4周付給B工程隊的費用≤1000，列不等式求解可得.
【解答】解：(1)設(shè)原計劃需x周完成，則A隊每周完成總量的 ，B隊每周完成總量的 ，
根據(jù)題意，得：8× +4×( + )=1，
解得：x=15，
經(jīng)檢驗：x=15是原分式方程的解，
∴15﹣(8+4)=3，
答：增派B施工隊后，整個工程的工期比原計劃縮短了3周;
(2)根據(jù)題意，得：40×8+4×40(1+0.2)+4a≤1000
解得：a≤120.5，
答：每周支付給B施工隊的施工費最多為120.5萬元.
【點評】本題主要考查分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用能力，理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系或不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵
24.有一個n位自然數(shù) 能被x0整除，依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù) 能被x0+1整除，再依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù) 能被x0+2整除，按此規(guī)律輪換后， 能被x0+3整除，…， 能被x0+n﹣1整除，則稱這個n位數(shù) 是x0的一個“輪換數(shù)”.
例如：60能被5整除，06能被6整除，則稱兩位數(shù)60是5的一個“輪換數(shù)”;
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，則稱三位數(shù)324是2個一個“輪換數(shù)”.
(1)若一個兩位自然數(shù)的個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，求證這個兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”.
(2)若三位自然數(shù) 是3的一個“輪換數(shù)”，其中a=2，求這個三位自然數(shù) .
【考點】數(shù)的整除性.
【分析】(1)先設(shè)出兩位自然數(shù)的十位數(shù)字，表示出這個兩位自然數(shù)，和輪換兩位自然數(shù)即可;
(2)先表示出三位自然數(shù)和輪換三位自然數(shù)，再根據(jù)能被5整除，得出b的可能值，進而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可.
【解答】解：(1)設(shè)兩位自然數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為2x，
∴這個兩位自然數(shù)是10x+2x=12x，
∴這個兩位自然數(shù)是12x能被6整除，
∵依次輪換個位數(shù)字得到的兩位自然數(shù)為10×2x+x=21x
∴輪換個位數(shù)字得到的兩位自然數(shù)為21x能被7整除，
∴一個兩位自然數(shù)的個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，這個兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”.
(2)∵三位自然數(shù) 是3的一個“輪換數(shù)”，且a=2，
∴100a+10b+c能被3整除，
即：10b+c+200能被3整除，
第一次輪換得到的三位自然數(shù)是100b+10c+a能被4整除，
即100b+10c+2能被4整除，
第二次輪換得到的三位自然數(shù)是100c+10a+b能被5整除，
即100c+b+20能被5整除，
∵100c+b+20能被5整除，
∴b+20的個位數(shù)字不是0，便是5，
∴b=0或b=5，
當(dāng)b=0時，
∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+2能被4整除，
∴c只能是1，3，5，7，9;
∴這個三位自然數(shù)可能是為201，203，205，207，209，
而203，205，209不能被3整除，
∴這個三位自然數(shù)為201，207，
當(dāng)b=5時，∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+502能被4整除，
∴c只能是1，5，7，9;
∴這個三位自然數(shù)可能是為251，255，257，259，
而251，257，259不能被3整除，
∴這個三位自然數(shù)為255，
即這個三位自然數(shù)為201，207，255.
【點評】此題是數(shù)的整除性，主要考查了3的倍數(shù)，4的倍數(shù)，5的倍數(shù)的特點，解本題的關(guān)鍵是用5的倍數(shù)求出b的值.
五、解答題(本大題共2個小題，共24分)解答時每小題都必須寫出必要的演算過程或推理步驟
25.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，分別以AB、AC為邊，向Rt△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE
(1)如圖1，連接BE、CD，若BC=2，求BE的長;
(2)如圖2，連接DE交AB于點F，作BH⊥AD于H，連接FH.求證：BH=2FH;
(3)如圖3，取AB、CD得中點M、N，連接M、N，試探求MN和AE的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論.
【考點】三角形綜合題.
【分析】(1)如圖1，先根據(jù)30°角的性質(zhì)求AB的長，利用勾股定理求AC的長，即是AE的長，最后在Rt△EAB中，利用勾股定理求BE的長即可;
(2)如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△EGA≌△BDH和△EFG≌△DFB，得EF=FD，則FH是△AED的中位線，由三角形的中位線定理得：AE=2FH，所以BH=2FH;
(3)如圖3，作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△CNB≌△DNH，得BN=NH，BC=DH，所以MN是△ABH的中位線，有MN= AH，設(shè)BC=x，表示MN和AE的長，相比可得關(guān)系式.
【解答】解：(1)如圖1，Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=2，
∴AB=4，AC=2 ，
∵△ACE是等邊三角形，
∴AE=AC=2 ，∠EAC=60°，
∴∠EAB=60°+30°=90°，
在Rt△EAB中，EB= = =2 ;
(2)如圖2，過E作EG∥BD，交BA的延長線于G，
∴∠EGA=∠ABD，
∵△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠EGA=60°，
∵∠CAB=30°，∠BAD=60°，
∴∠CAH=90°，
∵BH⊥AD，
∴∠AHB=90°，
∴∠BCA=∠AHB=∠CAH=90°，
∴四邊形CAHB是矩形，
∴BH=AC，
∴BH=AE，
∵∠EAB=60°+30°=90°，
∴∠EAG=∠BHD=90°，
∵△ABD是等邊三角形，BH⊥AD，
∴∠HBD=30°，AH=HD，
∴∠BDH=60°=∠EGA，
∴△EGA≌△BDH，
∴BD=EG，
∵∠EFG=∠BFD，
∴△EFG≌△DFB，
∴EF=FD，
∵AH=HD，
∴FH是△AED的中位線，
∴AE=2FH，
∴BH=AC=AE=2FH;
即BH=2FH;
(3)如圖3，連接BN，并延長交AD于H，
∵∠CBA=60°=∠BAD，
∴BC∥AD，
∴∠BCN=∠NDH，
∵CN=ND，∠CNB=∠DNH，
∴△CNB≌△DNH，
∴BN=NH，BC=DH，
∵M是AB的中點，
∴MN是△ABH的中位線，
∴MN= AH，
設(shè)BC=x，則DH=x，AB=AD=2x，
∴AH=x，
∴MN= x，
Rt△ACB中，AC=2 x，
∴AE=2 x，
∴ = = ，
∴AE=4 MN.
【點評】本題是三角形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、三角形中位線定理、直角三角形30°角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵，第3問有難度，利用中點的已知條件作輔助線，根據(jù)三角形中位線定理解決問題即可.
26.如圖1，正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點A在x軸上，點C在y軸上，點D是邊OA的中點，連接CD，點E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC，拋物線y= x2﹣ x+2過C，E兩點，與AB的交點為K.
(1)求線段CK的長度;
(2)點P為EC線段下方拋物線上一點，過點P作y軸的平行線與EC線段交于點Q，當(dāng)線段PQ最長時，在y軸上找一點F使|PF﹣DF|的值最大，求符合題意的F點坐標(biāo);
(3)如圖2，DE與AB交于點G，過點B作BH⊥CD于點H，把△BCH沿射線CB的方向以每秒1個單位長度的速度向右平移.平移過程中的三角形記為△B′C′H′，當(dāng)點H′運動到四邊形HDEB的外部時運動停止，設(shè)運動時間為t(t>0)，△B′C′H′與△BEG重疊部分的面積為S，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)如圖1中，作EM⊥x軸于M.首先證明△COD≌△MDE，推出E(3，1)，求出直線CE的解析式即可即可問題.
(2)如圖2中，設(shè)P(m， m2﹣ m+2)則Q(m，﹣ +2).構(gòu)建二次函數(shù)，求出PQ最大時，點P坐標(biāo)，延長PD交y軸于F，此時|PF﹣DF|的值最大，
(3)分三種情形①如圖3中，當(dāng)0≤t≤ 時，重疊部分是△BMN;②如圖4中，當(dāng)
【解答】解：(1)如圖1中，作EM⊥x軸于M.
∵拋物線y= x2﹣ x+2過C，
∴C(0，2)，
∴OA=AB=BC=OC=2，
∵OD=DA，
∴OD=OA=1，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=∠EMD=∠COD=90°，
∴∠CDO+∠EDA=90°，∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠CDO=∠DEM，∵DC=DE，
∴△COD≌△MDE，
∴EM=OD=2，OC=DM=2，
∴E(3，1)，
∴直線CE的解析式為y=﹣ x+2，
∴點K坐標(biāo)(2， )，
∴CK= = .
(2)如圖2中，設(shè)P(m， m2﹣ m+2)則Q(m，﹣ +2).
∴PQ=﹣ m+2﹣( m2﹣ m+2)=﹣ m2+m=﹣ (m﹣ )2+ ，
∵﹣ <0，
∴m= 時，PQ的值最大，此時P( ， )，
延長PD交y軸于F，此時|PF﹣DF|的值最大，
∵直線PD的解析式為y= x﹣ ，
∴點F坐標(biāo)(0，﹣ ).
(3)①如圖3中，
∵C(0，2)，D(1，0)，
∴直線CD的解析式為y=﹣2x+2，
∵BH⊥CD，B(2，2)，
∴直線BH的解析式為y= x+1，
由 ，解得 ，
∴H( ， )，
∴CH= ，BH= ，
∵B′(2+t，2)，B′H′∥BH，
∴直線B′H′的解析式為y= x+1﹣ t，
∴M(2，2﹣ t)，BM=2﹣(2﹣ t)= t，
由 解得 ，
∴N( t+2，﹣ )，
當(dāng)H′在AB時時，2﹣ t= ，
∴t= ，
∴當(dāng)0≤t≤ 時，重疊部分是△BMN，S= • t• t= t2.
②如圖4中，當(dāng)
∵直線C′H′的解析式為y=﹣2x+2+2t，
∴M(2，﹣2+2t)，
S=S△B′C′H′﹣S△BMC′﹣S△BB′N= • • ﹣ •(4﹣2t)•(2﹣t)﹣ •t•[2﹣(﹣ t+20]=﹣ t2+4t﹣ .
?、廴鐖D5中，當(dāng)2
由 解得 ，
∴M(2t﹣2，6﹣2t)，∵N( t+2，﹣ t+2)，H′( +t， )，
∴S= •H′M•H′N= • = t2﹣4t+ (0
【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、面積問題，最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會分類討論，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求交點坐標(biāo)，屬于中考壓軸題.
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