2017安徽中考數(shù)學(xué)練習(xí)試卷(2)
2017安徽中考數(shù)學(xué)練習(xí)試題參考答案
一、選擇題(本大題共12小題，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項選出來，每小題選對得3分，錯選、不選或選出的答案超過一個均記0分.)
1.下列運算正確的是( )
A.an•a2=a2n B.a3•a2=a6
C.an•(a2)n=a2n+2 D.a2n﹣3÷a﹣3=a2n
【考點】48：同底數(shù)冪的除法;46：同底數(shù)冪的乘法;47：冪的乘方與積的乘方;6F：負整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則、同底數(shù)冪的乘法法則計算，判斷即可.
【解答】解：an•a2=a2+n，A選項錯誤;
a3•a2=a5，B選項錯誤;
an•(a2)n=a3n，C選項錯誤;
a2n﹣3÷a﹣3=a2n，D選項正確，
故選：D.
2.人工智能AlphaGo因在人機大戰(zhàn)中大勝韓國圍棋手李世石九段而聲名顯赫.它具有自我對弈學(xué)習(xí)能力，決戰(zhàn)前已做了兩千萬局的訓(xùn)練(等同于一個人近千年的訓(xùn)練量).此處“兩千萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.0.2×107 B.2×107 C.0.2×108 D.2×108
【考點】1I：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，n是負數(shù).
【解答】解：將“兩千萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為：2×107，
故選：B
3.如圖，廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC=10米，∠B=36°，則中柱AD(D為底邊中點)的長是( )
A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米
【考點】T8：解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切進行計算即可得到AD的長度.
【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，
∴DC=BD=5米，
在Rt△ADC中，∠B=36°，
∴tan36°= ，即AD=BD•tan36°=5tan36°(米).
故選：C.
4.已知關(guān)于x的分式方程 + =1的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是( )
A.m>2 B.m≥2 C.m≥2且m≠3 D.m>2且m≠3
【考點】B2：分式方程的解.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解表示出x，根據(jù)方程的解為非負數(shù)求出m的范圍即可.
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，
解得：x=m﹣2，
由方程的解為非負數(shù)，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3.
故選：C
5.若關(guān)于x的方程x2﹣ +cosα=0有兩個相等的實數(shù)根，則銳角α為( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【考點】AA：根的判別式;T5：特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosα的方程，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答.
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣ +cosα=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=0，
即 ﹣4×1×cosα=0，
∴cosα= ，
∴α=60°.
故選C.
6.已知一個圓錐體的三視圖如圖所示，則這個圓錐體的側(cè)面積是( )
A.40π B.24π C.20 π D.12π
【考點】U3：由三視圖判斷幾何體;MP：圓錐的計算.
【分析】先利用三視圖得到底面圓的半徑為4，圓錐的高為3，再根據(jù)勾股定理計算出母線長l為5，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)=πrl代入計算即可.
【解答】解：根據(jù)三視圖得到圓錐的底面圓的直徑為8，即底面圓的半徑r為4，圓錐的高為3，
所以圓錐的母線長l= =5，
所以這個圓錐的側(cè)面積是π×4×5=20π.
故選C.
7.如圖，在△ABC中，∠CAB=65°，將△ABC在平面內(nèi)繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為( )
A.35° B.40° C.50° D.65°
【考點】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ACC′=∠CAB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC′，然后利用等腰三角形兩底角相等求∠CAC′，再根據(jù)∠CAC′、∠BAB′都是旋轉(zhuǎn)角解答.
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°.
故選C.
8.如圖，矩形ABCD中，AB= ，BC= ，點E在對角線BD上，且BE=1.8，連接AE并延長交DC于F，則 等于( )
A. B. C. D.
【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì);LB：矩形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)勾股定理求出BD，得到DE的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入計算即可求出DF的長，求出CF，計算即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，又AB= ，BC= ，
∴BD= =3，
∵BE=1.8，
∴DE=3﹣1.8=1.2，
∵AB∥CD，
∴ = ，即 = ，
解得，DF= ，
則CF=CD﹣DF= ，
∴ = = ，
故選A.
9.二次函數(shù)y=﹣x2+1的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，下列說法錯誤的是( )
A.點C的坐標(biāo)是(0，1) B.線段AB的長為2
C.△ABC是等腰直角三角形 D.當(dāng)x>0時，y隨x增大而增大
【考點】HA：拋物線與x軸的交點;H3：二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】判斷各選項，點C的坐標(biāo)可以令x=0，得到的y值即為點C的縱坐標(biāo);令y=0，得到的兩個x值即為與x軸的交點坐標(biāo)A、B;且AB的長也有兩點坐標(biāo)求得，對函數(shù)的增減性可借助函數(shù)圖象進行判斷.
【解答】解：A，令x=0，y=1，則C點的坐標(biāo)為(0，1)，正確;
B，令y=0，x=±1，則A(﹣1，0)，B(1，0)，|AB|=2，正確;
C，由A、B、C三點坐標(biāo)可以得出AC=BC，且AC2+BC2=AB2，則△ABC是等腰直角三角形，正確;
D，當(dāng)x>0時，y隨x增大而減小，錯誤.
故選D.
10.如圖，⊙C過原點，與x軸、y軸分別交于A、D兩點.已知∠OBA=30°，點D的坐標(biāo)為(0，2)，則⊙C半徑是( )
A. B. C. D.2
【考點】M2：垂徑定理;D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì);M5：圓周角定理.
【分析】連接AD.根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，得AD是直徑，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得∠D=∠B=30°，運用解直角三角形的知識即可求解.
【解答】解：連接AD.
∵∠AOD=90°，
∴AD是圓的直徑.
在直角三角形AOD中，∠D=∠B=30°，OD=2，
∴AD= = .
則圓的半徑是 .
故選B.
11.如圖，在菱形ABCD中，∠B=45°，以點A為圓心的扇形與BC，CD相切，向這樣一個靶子上隨意拋一枚飛鏢，則飛鏢插在陰影區(qū)域的概率為( )
A.1﹣ B. C.1﹣ D.
【考點】X5：幾何概率;MC：切線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到AE⊥BC，根據(jù)投資研究得到AE=BE= AB，根據(jù)求概率的公式即可得到結(jié)論.
【解答】解：如圖，設(shè)切點為E，F(xiàn)，連接AE，
∵以點A為圓心的扇形與BC，CD相切，
∴AE⊥BC，
∵∠B=45°，
∴AE=BE= AB，∠BAC=135°，
∴S菱形ABCD=BC•AE= AB2，
S陰影=S菱形﹣S扇形= AB2﹣ = πAB2，
∴飛鏢插在陰影區(qū)域的概率=1﹣ ，
故選A.
12.如圖，邊長分別為1和2的兩個等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.設(shè)小三角形移動的距離為x，兩個三角形重疊面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是( )
A. B. C. D.
【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象.
【分析】根據(jù)題目提供的條件可以求出函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式判斷函數(shù)的圖象的形狀.
【解答】解：①x≤1時，兩個三角形重疊面積為小三角形的面積，
∴y= ×1× = ，
?、诋?dāng)1
y= (2﹣x)× = x2﹣ x+ ，
?、郛?dāng)x=2時，兩個三角形沒有重疊的部分，即重疊面積為0，
故選：B.
二、填空題(本大題共6小題，共18分.只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得3分.)
13.分解因式：x2﹣y2﹣3x﹣3y= (x+y)(x﹣y﹣3) .
【考點】56：因式分解﹣分組分解法.
【分析】根據(jù)觀察可知，此題有4項且前2項適合平方差公式，后2項可提公因式，分解后也有公因式(x+y)，直接提取即可.
【解答】解：x2﹣y2﹣3x﹣3y，
=(x2﹣y2)﹣(3x+3y)，
=(x+y)(x﹣y)﹣3(x+y)，
=(x+y)(x﹣y﹣3).
14.計算 ﹣|2 ﹣2cos30°|+( )﹣1﹣(1﹣π)0的結(jié)果是 2 +1 .
【考點】2C：實數(shù)的運算;6E：零指數(shù)冪;6F：負整數(shù)指數(shù)冪;T5：特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】原式利用二次根式性質(zhì)，絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=3 ﹣ +2﹣1=2 +1，
故答案為：2 +1
15.如圖，已知函數(shù)y=ax+b與函數(shù)y=kx﹣3的圖象交于點P(4，﹣6)，則不等式ax+b≤kx﹣3<0的解集是 ﹣4
【考點】FD：一次函數(shù)與一元一次不等式.
【分析】先把P點坐標(biāo)代入y=kx﹣3得k=﹣ ，則可確定函數(shù)y=﹣ x﹣3與x軸的交點坐標(biāo)，然后利用函數(shù)圖象寫出在x軸下方，且直線y=ax+b不在直線y=kx﹣3上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.
【解答】解：如圖，把P(4，﹣6)代入y=kx﹣3得4k﹣3=﹣6，解得k=﹣ ，
則y=0時，y=﹣ x﹣3=0，解得x=﹣4，
所以不等式ax+b≤kx﹣3<0的解集為﹣4
故答案為﹣4
16.計算： = .
【考點】6B：分式的加減法.
【分析】原式通分并利用同分母分式的加減法則計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式= = = ，
故答案為：
17.如圖，已知正方形ABCD的對角線交于點O，過O點作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，則EF等于 5 .
【考點】LE：正方形的性質(zhì);KD：全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】由△BOF全等于△AOE，得到BF=AE=4，在直角△BEF中，從而求得EF的值.
【解答】解：解：∵正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE和COF全等(ASA)，
∴BF=AE=4，
∵AB=BC，
∴BE=CF=3，
在Rt△BEF中，BF=4，BE=3，
∴EF=5.
故答案為5;
18.手機上常見的wifi標(biāo)志如圖所示，它由若干條圓心相同的圓弧組成，其圓心角為90°，最小的扇形半徑為1.若每兩個相鄰圓弧的半徑之差為1，由里往外的陰影部分的面積依次記為S1、S2、S3…，則S1+S2+S3+…+S20= 195π .
【考點】MO：扇形面積的計算.
【分析】先利用扇形的面積公式分別計算出S1= π;S2= π+π;S3= π+2π，則利用此規(guī)律得到S20= π+19π，然后把它們相加即可.
【解答】解：S1= π•12= π;
S2= π•(32﹣22)= π+π;
S3= π•(52﹣42)= π+2π;
…
S20= π+19π;
∴S1+S2+S3+…+S20=5π+(1+2+3+…+19)π=195π.
故答案為195π.
三、解答題(本大題共7小題，共66分.解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19.某校數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組在“測量教學(xué)樓高度”的活動中，設(shè)計了以下兩種方案：
課題 測量教學(xué)樓高度
方案 一 二
圖示
測得數(shù)據(jù) CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°， EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43°
參考數(shù)據(jù) sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，
tan22°≈0.40
sin13°≈0.22，cos13°≈0.97
tan13°≈0.23 sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62
sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93
請你選擇其中的一種方法，求教學(xué)樓的高度(結(jié)果保留整數(shù))
【考點】T8：解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】若選擇方法一，在Rt△BGC中，根據(jù)CG= 即可得出CG的長，同理，在Rt△ACG中，根據(jù)tan∠ACG= 可得出AG的長，根據(jù)AB=AG+BG即可得出結(jié)論.
若選擇方法二，在Rt△AFB中由tan∠AFB= 可得出FB的長，同理，在Rt△ABE中，由tan∠AEB= 可求出EB的長，由EF=EB﹣FB且EF=10，可知 ﹣ =10，故可得出AB的長.
【解答】解：若選擇方法一，解法如下：
在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9，
∵CG= ≈ =30，
在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°，
∵tan∠ACG= ，
∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12，
∴AB=AG+BG=12+6.9≈19(米).
答：教學(xué)樓的高度約19米.
若選擇方法二，解法如下：
在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°，
∵tan∠AFB= ，
∴FB= ≈ ，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°，
∵tan∠AEB= ，
∴EB= ≈ ，
∵EF=EB﹣FB且EF=10，
∴ ﹣ =10，解得AB=18.6≈19(米).
答：教學(xué)樓的高度約19米.
20.目前中學(xué)生帶手機進校園現(xiàn)象越來越受到社會關(guān)注，針對這種現(xiàn)象，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)隨機調(diào)查了學(xué)校若干名家長對“中學(xué)生帶手機”現(xiàn)象的態(tài)度(態(tài)度分為：A.無所謂;B.基本贊成;C.贊成;D.反對)，并將調(diào)查結(jié)果繪制成頻數(shù)折線統(tǒng)計圖1和扇形統(tǒng)計圖2(不完整).請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)此次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了多少名中學(xué)生家長;
(2)求出圖2中扇形C所對的圓心角的度數(shù)，并將圖1補充完整;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請你估計1萬名中學(xué)生家長中有多少名家長持反對態(tài)度;
(4)在此次調(diào)查活動中，初三(1)班和初三(2)班各有2位家長對中學(xué)生帶手機持反對態(tài)度，現(xiàn)從這4位家長中選2位家長參加學(xué)校組織的家?；顒?，用列表法或畫樹狀圖的方法求選出的2人來自不同班級的概率.
【考點】X6：列表法與樹狀圖法;V5：用樣本估計總體;V9：頻數(shù)(率)分布折線圖;VB：扇形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)用B類的人數(shù)除以它所占的百分比即可得到調(diào)查的總?cè)藬?shù);
(2)用360°乘以C類所占的百分比得到扇形C所對的圓心角的度數(shù)，再計算出C類人數(shù)，然后補全條形統(tǒng)計圖;
(3)用10000乘以D類的百分比可估計持反對態(tài)度的家長的總數(shù);
(4)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出2人來自不同班級的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解：(1)共調(diào)查的中學(xué)生家長數(shù)是：40÷20%=200(人);
(2)扇形C所對的圓心角的度數(shù)是：360°×(1﹣20%﹣15%﹣60%)=18°，
C類的人數(shù)是：200×(1﹣20%﹣15%﹣60%)=10(人)，
補圖如下：
(3)根據(jù)題意得：
10000×60%=6000(人)，
答：10000名中學(xué)生家長中有6000名家長持反對態(tài)度;
(4)設(shè)初三(1)班兩名家長為A1，A2，初三(2)班兩名家長為B1，B2，
畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中2人來自不同班級共有8種，
所以選出的2人來自不同班級的概率= = .
21.小明早晨從家里出發(fā)勻速步行去上學(xué)，小明的媽媽在小明出發(fā)后10分鐘，發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本沒帶，于是她帶上課本立即勻速騎車按小明上學(xué)的路線追趕小明，結(jié)果與小明同時到達學(xué)校.已知小明在整個上學(xué)途中，他出發(fā)后t分鐘時，他所在的位置與家的距離為s千米，且s與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖中的折線段OA﹣AB所示.
(1)試求折線段OA﹣AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請解釋圖中線段AB的實際意義;
(3)請在所給的圖中畫出小明的媽媽在追趕小明的過程中，她所在位置與家的距離s(千米)與小明出發(fā)后的時間t(分鐘)之間函數(shù)關(guān)系的圖象.(友情提醒：請對畫出的圖象用數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)臉?biāo)注)
【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)OA為正比例函數(shù)圖象，可以用待定系數(shù)法求出;
(2)AB段離家距離沒發(fā)生變化說明在以家為圓心做曲線運動;
(3)媽媽的速度正好是小明的2倍，所以媽媽走弧線路用(20﹣12)÷2=4分鐘.
【解答】解：(1)線段OA對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：s= t(0≤t≤12)
線段AB對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：s=1(12
(2)圖中線段AB的實際意義是：
小明出發(fā)12分鐘后，沿著以他家為圓心，1千米為半徑的圓弧形道路上勻速步行了8分鐘;
(3)由圖象可知，小明花20分鐘到達學(xué)校，則小明的媽媽花20﹣10=10分鐘到達學(xué)校，可知小明媽媽的速度是小明的2倍，即：小明花12分鐘走1千米，則媽媽花6分鐘走1千米，故D(16，1)，小明花20﹣12=8分鐘走圓弧形道路，則媽媽花4分鐘走圓弧形道路，故B(20，1).
媽媽的圖象經(jīng)過(10，0)(16，1)(20，1)如圖中折線段CD﹣DB就是所作圖象.
22.LED燈具有環(huán)保節(jié)能、投射范圍大、無頻閃、使用壽命較長等特點，在日常生活中，人們更傾向于LED燈的使用，某校數(shù)學(xué)興趣小組為了解LED燈泡與普通白熾燈泡的銷售情況，進行了市場調(diào)查：某商場購進一批30瓦的LED燈泡和普通白熾燈泡進行銷售，其進價與標(biāo)價如下表：
LED燈泡 普通白熾燈泡
進價(元) 45 25
標(biāo)價(元) 60 30
(1)該商場購進了LED燈泡與普通白熾燈泡共300個，LED燈泡按標(biāo)價進行銷售，而普通白熾燈泡打九折銷售，當(dāng)銷售完這批燈泡后可以獲利3200元，求該商場購進LED燈泡與普通白熾燈泡的數(shù)量分別為多少個?
(2)由于春節(jié)期間熱銷，很快將兩種燈泡銷售完，若該商場計劃再次購進兩種燈泡120個，在不打折的情況下，請問如何進貨，銷售完這批燈泡時獲利最多且不超過進貨價的30%，并求出此時這批燈泡的總利潤為多少元?
【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用;9A：二元一次方程組的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)該商場購進LED燈泡x個，普通白熾燈泡的數(shù)量為y個，利用該商場購進了LED燈泡與普通白熾燈泡共300個和銷售完這批燈泡后可以獲利3200元列方程組，然后解方程組即可;
(2)設(shè)該商場購進LED燈泡a個，則購進普通白熾燈泡個，這批燈泡的總利潤為W元，利用利潤的意義得到W=(60﹣45)a+(30﹣25)=10a+600，再根據(jù)銷售完這批燈泡時獲利最多且不超過進貨價的30%可確定a的范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.
【解答】解：(1)設(shè)該商場購進LED燈泡x個，普通白熾燈泡的數(shù)量為y個，
根據(jù)題意得 ，
解得 ，
答：該商場購進LED燈泡與普通白熾燈泡的數(shù)量分別為200個和100個;
(2)設(shè)該商場購進LED燈泡a個，則購進普通白熾燈泡個，這批燈泡的總利潤為W元，
根據(jù)題意得W=(60﹣45)a+(30﹣25)
=10a+600，
∵10a+600≤[45a+25]×30%，解得a≤75，
∵k=10>0，
∴W隨a的增大而增大，
∴a=75時，W最大，最大值為1350，此時購進普通白熾燈泡=45個.
答：該商場購進LED燈泡75個，則購進普通白熾燈泡45個，這批燈泡的總利潤為1350元.
23.如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別為EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形：
(1)當(dāng)把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，CD=BE嗎?若相等請證明，若不等于請說明理由;
(2)當(dāng)把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，△AMN還是等邊三角形嗎?若是請證明，若不是，請說明理由(可用第一問結(jié)論).
【考點】KM：等邊三角形的判定與性質(zhì);KD：全等三角形的判定與性質(zhì);R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】(1)CD=BE.利用“等邊三角形的三條邊相等、三個內(nèi)角都是60°”的性質(zhì)證得△ABE≌△ACD;然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可求得結(jié)論CD=BE;
(2)△AMN是等邊三角形.首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的對應(yīng)角相等、已知條件“M、N分別是BE、CD的中點”、等邊△ABC的性質(zhì)證得△ABM≌△ACN;然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一個角是60°的等腰三角形的正三角形.
【解答】解：(1)CD=BE.理由如下：
∵△ABC和△ADE為等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，
∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD(SAS)
∴CD=BE;
(2)△AMN是等邊三角形.理由如下：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD.
∵M、N分別是BE、CD的中點，∴BM=CN
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN(SAS).
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°
∴△AMN是等邊三角形.
24.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=10，點O為AC上一點，以O(shè)A為半徑作⊙O交AB于點D，BD的中垂線分別交BD，BC于點E，F(xiàn)，連結(jié)DF.
(1)求證：DF為⊙O的切線;
(2)若AO=x，DF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
【考點】ME：切線的判定與性質(zhì);KG：線段垂直平分線的性質(zhì);T7：解直角三角形.
【分析】(1)連接OD，由于EF是BD的中垂線，DF=BF.從而可知∠FDB=∠B，又因為OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，從而可證明∠ODF=90°;
(2)連接OF，由題意可知：AO=x，DF=y，OC=6﹣x，CF=8﹣y，然后在Rt△COF中與Rt△ODF中利用勾股定理分別求出OF，化簡原式即可求出答案.
【解答】(1)連接OD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵EF是BD的中垂線，
∴DF=BF.
∴∠FDB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°.
∴∠ODA+∠FDB=90°.
∴∠ODF=90°，
又∵OD為⊙O的半徑，
∴DF為⊙O的切線，
(2)連接OF.
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，sinA= ，AB=10，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=x，DF=y，
∴OC=6﹣x，CF=8﹣y，
在Rt△COF中，
OF2=(6﹣x)2+(8﹣x)2
在Rt△ODF中，
OF2=x2+y2
∴(6﹣x)2+(8﹣x)2=x2+y2，
∴y=﹣ x+ (0
25.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=﹣ x2+ x+4經(jīng)過A、B兩點.
(1)寫出點A、點B的坐標(biāo);
(2)若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，分別交線段OA、CA和拋物線于點E、M和點P，連接PA、PB.設(shè)直線l移動的時間為t(0
(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在一點P，使得△PAM是直角三角形?若存在，請求出點P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)拋物線的解析式中，令x=0，能確定點B的坐標(biāo);令y=0，能確定點A的坐標(biāo).
(2)四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分;△ABC的面積是定值，關(guān)鍵是求出△PBA的面積表達式;若設(shè)直線l與直線AB的交點為Q，先用t表示出線段PQ的長，而△PAB的面積可由( PQ•OA)求得，在求出S、t的函數(shù)關(guān)系式后，由函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值.
(3)△PAM中，∠APM是銳角，而PM∥y軸，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一種可能，即 直線AP、直線AC垂直，此時兩直線的斜率乘積為﹣1，先求出直線AC的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式后可求得點P的坐標(biāo).
【解答】解：(1)拋物線y=﹣ x2+ x+4中：
令x=0，y=4，則 B(0，4);
令y=0，0=﹣ x2+ x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，則 A(8，0);
∴A(8，0)、B(0，4).
(2)△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，則OB=OC=4，∴C(0，﹣4).
由A(8，0)、B(0，4)，得：直線AB：y=﹣ x+4;
依題意，知：OE=2t，即 E(2t，0);
∴P(2t，﹣2t2+7t+4)、Q(2t，﹣t+4)，PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;
S=S△ABC+S△PAB= ×8×8+ ×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;
∴當(dāng)t=2時，S有最大值，且最大值為64.
(3)∵PM∥y軸，∴∠AMP=∠ACO<90°;
而∠APM是銳角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°;
由A(8，0)、C(0，﹣4)，得：直線AC：y= x﹣4;
所以，直線AP可設(shè)為：y=﹣2x+h，代入A(8，0)，得：
﹣16+h=0，h=16
∴直線AP：y=﹣2x+16，聯(lián)立拋物線的解析式，得：
，解得 、
∴存在符合條件的點P，且坐標(biāo)為(3，10).
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