證明三角形內心判定方法
三角形內心指三個內角的三條角平分線相交于一點，這個點叫做三角形的內心。這個點也是這個三角形內切圓的圓心。三角形內心到三角形三條邊的距離相等。下面小編給大家?guī)碜C明三角形內心判定方法，希望能幫助到大家!
證明三角形內心判定方法
在三角形中，三個內角的三條角平分線的相交于一點，這個點是這個三角形內切圓的圓心，也叫做三角形的內心。三角形內心到三角形三條邊的距離相等。
三角形的重心，外心，垂心，內心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內心定理，旁心定理的總稱。
作∠B、∠C的角平分線于AC、AB交于F、D
CD與BF交于I，連接AI交BC并延長至E
由塞瓦定理有：
BF、CD為角平分線
由角平分線定理有：
由角平分線定理的逆定理有AE為∠A的角分線
證明三角形內心判定定義
角平分線的一個性質：角平分線分對邊與該角的兩邊成比例。
在△ABC中，連接BO交AC于E，O是內心，所以BE是∠B的角平分線，而且AD過內心O(均為內心的定義所知)，所以在△ADB中BO是∠B的角平分線， 所以有AB/BD=AO/OD,
同理AO/OD=AC/CD
內心：三角形三條角平分線的交點，也是內接圓的圓心。
本題用到的定理的證明
△ABC中，AD是∠A的角平分線，D在BC上，abc是角的對邊ABC，d=AD。由于正弦定理b/sinB=c/sinC d=R1sinB=R2sinC,R1是△ABD的外接圓半 徑，R2是△ACD的外接圓半徑，所以R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=R1sinBAD， CD=R2sinCAD,∠CAD=∠BAD，所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC
證明三角形內心判定性質
設△ABC的內切圓為☉I(r)，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2
1、三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r
2、∠BIC=90°+∠BAC/2
3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形內切圓切BC于D，則S△ABC=BD×CD
4、點O是平面ABC上任意一點，點I是△ABC內心的充要條件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).
5、在△ABC中，內心的坐標是：
6、(歐拉定理)△ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，外心和內心的距離為d，則d?=R^2-2Rr
7、△ABC中：a,b,c分別為三邊，S為三角形面積，則內切圓半徑r=2S/(a+b+c)
內切圓
8、雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。
9、△ABC中，內切圓分別與AB，BC，CA相切于P，Q，R，則AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。
10、三角形內角平分線定理：△ABC中，I為內心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的內角平分線分別交BC、AC、AB于A'、B'、C',則BA'/CA'=AB/AC,AB'/CB'=BA/BC,AC'/BC'=CA/CB
怎樣證明三角形的內心?
內心即為角平分線的交點
角平分線有一性質,即其上各點到兩邊的距離相等,可以用角角邊的知識解釋
而三條角平分線的交點到三邊的距離都是兩兩的相等的,
所以三角形的內心到三邊的距離相等.對銳直鈍三角都適用
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