高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_直線與方程知識(shí)點(diǎn)
高一數(shù)學(xué)怎么學(xué)?多預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)還可以培養(yǎng)自己的自學(xué)能力。今天小編在這給大家整理了高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_直線與方程知識(shí)點(diǎn)，接下來隨著小編一起來看看吧!
高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(一)
直線的傾斜角與斜率
定義：
x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。
范圍：
傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°。
理解：
(1)注意“兩個(gè)方向”：直線向上的方向、x軸的正方向;
(2)規(guī)定當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0度。
意義：
①直線的傾斜角，體現(xiàn)了直線對(duì)x軸正向的傾斜程度;
②在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角;
③傾斜角相同，未必表示同一條直線。
公式：
k=tanα
k>0時(shí)α∈(0°，90°)
k<0時(shí)α∈(90°，180°)
k=0時(shí)α=0°
當(dāng)α=90°時(shí)k不存在
ax+by+c=0(a≠0)傾斜角為A，
則tanA=-a/b，
A=arctan(-a/b)
當(dāng)a≠0時(shí)，
傾斜角為90度，即與X軸垂直
練習(xí)題：
1.直線l經(jīng)過原點(diǎn)和(-1，1)，則它的傾斜角為()
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.-45°
【解析】選B.直線l的斜率為k==-1，所以直線的傾斜角為鈍角135°.
2.設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是P，且傾斜角為α，若將此直線繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線的傾斜角為α+45°，則()
A.0°≤α<180°
B.0°≤α<135°
C.0°<α≤135°
D.0°<α<135°
【解析】選D.直線l與x軸相交，可知α≠0°，
又α與α+45°都是傾斜角，從而有
得0°<α<135°.
3.直線l的傾斜角是斜率為的直線的傾斜角的2倍，則l的斜率為()
A.1B.1C.3D.4
【解析】選B.因?yàn)閠anα=，0°≤α<180°，所以α=30°，
故2α=60°，所以k=tan60°=.故選B.
高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(二)
直線的方程
定義：
從平面解析幾何的角度來看，平面上的直線就是由平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)二元一次方程所表示的圖形。求兩條直線的交點(diǎn)，只需把這兩個(gè)二元一次方程聯(lián)立求解，當(dāng)這個(gè)聯(lián)立方程組無解時(shí)，兩直線平行;有無窮多解時(shí)，兩直線重合;只有一解時(shí)，兩直線相交于一點(diǎn)。常用直線向上方向與X軸正向的夾角(叫直線的傾斜角)或該角的正切(稱直線的斜率)來表示平面上直線(對(duì)于X軸)的傾斜程度?？梢酝ㄟ^斜率來判斷兩條直線是否互相平行或互相垂直，也可計(jì)算它們的交角。直線與某個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在該坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，稱為直線在該坐標(biāo)軸上的截距。直線在平面上的位置，由它的斜率和一個(gè)截距完全確定。在空間，兩個(gè)平面相交時(shí)，交線為一條直線。因此，在空間直角坐標(biāo)系中，用兩個(gè)表示平面的三元一次方程聯(lián)立，作為它們相交所得直線的方程。
表達(dá)式：
斜截式:y=kx+b
兩點(diǎn)式:(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)
點(diǎn)斜式:y-y1=k(x-x1)
截距式:(x/a)+(y/b)=0
補(bǔ)充一下：最基本的標(biāo)準(zhǔn)方程不要忘了,AX+BY+C=0,
因?yàn)?上面的四種直線方程不包含斜率K不存在的情況,如x=3,這條直線就不能用上面的四種形式表示,解題過程中尤其要注意,K不存在的情況。
練習(xí)題：
1.已知直線的方程是y+2=-x-1，則()
A.直線經(jīng)過點(diǎn)(2，-1)，斜率為-1
B.直線經(jīng)過點(diǎn)(-2，-1)，斜率為1
C.直線經(jīng)過點(diǎn)(-1，-2)，斜率為-1
D.直線經(jīng)過點(diǎn)(1，-2)，斜率為-1
【解析】選C.因?yàn)橹本€方程y+2=-x-1可化為y-(-2)=-[x-(-1)]，所以直線過點(diǎn)(-1，-2)，斜率為-1.
2.直線3x+2y+6=0的斜率為k，在y軸上的截距為b，則有()
A.k=-，b=3B.k=-，b=-2
C.k=-，b=-3D.k=-，b=-3
【解析】選C.直線方程3x+2y+6=0化為斜截式得y=-x-3，故k=-，b=-3.
3.已知直線l的方程為y+1=2(x+)，且l的斜率為a，在y軸上的截距為b，則logab的值為()
A.B.2C.log26D.0
【解析】選B.由題意得a=2，令x=0，得b=4，所以logab=log24=2.
4.直線l：y-1=k(x+2)的傾斜角為135°，則直線l在y軸上的截距是()
A.1B.-1C.2D.-2
【解析】選B.因?yàn)閮A斜角為135°，所以k=-1，
所以直線l：y-1=-(x+2)，
令x=0得y=-1.
5.經(jīng)過點(diǎn)(-1，1)，斜率是直線y=x-2的斜率的2倍的直線是()
A.x=-1B.y=1
C.y-1=(x+1)D.y-1=2(x+1)
【解析】選C.由已知得所求直線的斜率k=2×=.
則所求直線方程為y-1=(x+1).
高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(三)
直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式
二次函數(shù)拋物線頂點(diǎn)式&頂點(diǎn)坐標(biāo)
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k (a≠0，k為常數(shù)，x≠h)
頂點(diǎn)坐標(biāo)公式頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-b/2a),(4ac-b^2)/4a)
二次函數(shù)y=ax2;，y=a(x-h)2;，y=a(x-h)2;+k，y=ax2;+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：
解析式
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
頂點(diǎn)坐標(biāo)
[0，0]
[h，0]
[h，k]
[-b/2a,(4ac-b2)/4a ]
對(duì) 稱 軸
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，
當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.
當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象;
當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k>0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象;
因此，研究拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上"當(dāng)a<0時(shí),開口向下，對(duì)稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是[ -b/2a,(4ac-b2)/4a]
3.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a<0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小. 4.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);
(2)當(dāng)△=b2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x2-x1|=.
當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)△<0.圖象與x軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0;當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.
5.拋物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x=時(shí)，y最小(大)值=.
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x2)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).
高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(四)
直線與拋物線的交點(diǎn)
高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(五)
《直線與方程》知識(shí)點(diǎn)整理
1. 當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們把x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), 我們規(guī)定它的傾斜角為0°. 則直線l的傾斜角 的范圍是 .
2. 傾斜角不是90°的直線的斜率，等于直線的傾斜角的正切值，即 . 如果知道直線上兩點(diǎn) ，則有斜率公式 . 特別地是，當(dāng) ， 時(shí)，直線與x軸垂直，斜率k不存在;當(dāng) ， 時(shí)，直線與y軸垂直，斜率k=0.
注意：直線的傾斜角α=90°時(shí)，斜率不存在，即直線與y軸平行或者重合. 當(dāng)α=90°時(shí)，斜率k=0;當(dāng) 時(shí)，斜率 ，隨著α的增大，斜率k也增大;當(dāng) 時(shí)，斜率 ，隨著α的增大，斜率k也增大. 這樣，可以求解傾斜角α的范圍與斜率k取值范圍的一些對(duì)應(yīng)問題.
兩條直線平行與垂直的判定
1. 對(duì)于兩條不重合的直線 、 ，其斜率分別為 、 ，有：
(1) ? ;(2) ? .
2. 特例：兩條直線中一條斜率不存在時(shí)，另一條斜率也不存在時(shí)，則它們平行，都垂直于x軸;….
直線的點(diǎn)斜式方程
1. 點(diǎn)斜式：直線 過點(diǎn) ,且斜率為k，其方程為 .
2. 斜截式：直線 的斜率為k，在y軸上截距為b，其方程為 .
3. 點(diǎn)斜式和斜截式不能表示垂直x軸直線. 若直線 過點(diǎn) 且與x軸垂直,此時(shí)它的傾斜角為90°，斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，這時(shí)的直線方程為 ，或 .
4. 注意： 與 是不同的方程，前者表示的直線上缺少一點(diǎn) ，后者才是整條直線.
直線的兩點(diǎn)式方程
1. 兩點(diǎn)式：直線 經(jīng)過兩點(diǎn) ，其方程為 ，
2. 截距式：直線 在x、y軸上的截距分別為a、b，其方程為 .
3. 兩點(diǎn)式不能表示垂直x、y軸直線;截距式不能表示垂直x、y軸及過原點(diǎn)的直線.
4. 線段 中點(diǎn)坐標(biāo)公式 .
直線的一般式方程
1. 一般式： ，注意A、B不同時(shí)為0. 直線一般式方程 化為斜截式方程 ，表示斜率為 ，y軸上截距為 的直線.
2 與直線 平行的直線，可設(shè)所求方程為 ;與直線 垂直的直線，可設(shè)所求方程為 . 過點(diǎn) 的直線可寫為 .
經(jīng)過點(diǎn) ，且平行于直線l的直線方程是 ;
經(jīng)過點(diǎn) ，且垂直于直線l的直線方程是 .
3. 已知直線 的方程分別是： ( 不同時(shí)為0)， ( 不同時(shí)為0)，則兩條直線的位置關(guān)系可以如下判別：
(1) ; (2) ;
(3) 與 重合 ; (4) 與 相交 .
如果 時(shí)，則 ; 與 重合 ; 與 相交 .
兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
1. 一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得到二元一次方程組 . 若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo);若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行;若方程組有無數(shù)解，則兩條直線有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線重合.
2. 方程 為直線系，所有的直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，其定點(diǎn)就是 與 的交點(diǎn).
兩點(diǎn)間的距離
1. 平面內(nèi)兩點(diǎn) ， ，則兩點(diǎn)間的距離為： .
特別地，當(dāng) 所在直線與x軸平行時(shí)， ;當(dāng) 所在直線與y軸平行時(shí)， ;當(dāng) 在直線 上時(shí)， .
2. 坐標(biāo)法解決問題的基本步驟是：(1)建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)量;(2)進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算;(3)把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(六)
一般式：Ax+By+C=0(AB≠0)
斜截式：y=kx+b(k是斜率b是x軸截距)
點(diǎn)斜式：y-y1=k(x-x1)(直線過定點(diǎn)(x1,y1))
兩點(diǎn)式：(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2)(直線過定點(diǎn)(x1,y1)，(x2,y2))
截距式：x/a+y/b=1(a是x軸截距,b是y軸截距)
做題過程中，點(diǎn)斜式和斜截式用的最多(兩種合占90%以上)，一般式屬于中間過渡形態(tài)。
在與圓及圓錐曲線結(jié)合的過程中，還要用到點(diǎn)到直線距離公式。
高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(七)
各種不同形式的直線方程的局限性：
(1)點(diǎn)斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直線;
(2)兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線;
(3)截距式不能表示與坐標(biāo)軸平行或過原點(diǎn)的直線;
(4)直線方程的一般式中系數(shù)A、B不能同時(shí)為零。
高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(八)
空間兩直線的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)
空間兩條直線只有三種位置關(guān)系。
1、按是否共面可分為兩類：
(1)共面：平行、相交
(2)異面：
異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角：范圍為(0，90)esp?？臻g向量法
兩異面直線間距離：公垂線段(有且只有一條)esp?？臻g向量法
2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類：
(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線;(2)沒有公共點(diǎn)平行或異面
直線和平面的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)
直線和平面只有三種位置關(guān)系。
①直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
②直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。
esp。空間向量法(找平面的法向量)
規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0角
由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0，90]
最小角定理：斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線，與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直
esp。直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直。直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。
直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。
③直線和平面平行沒有公共點(diǎn)
直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。
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