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關(guān)于高一數(shù)學(xué)上冊(cè)的知識(shí)點(diǎn)

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關(guān)于高一數(shù)學(xué)上冊(cè)的知識(shí)點(diǎn)1

(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)

1、對(duì)應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對(duì)應(yīng),而函數(shù)又是一種特殊的映射.

2、對(duì)于函數(shù)的概念,應(yīng)注意如下幾點(diǎn):

(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).

(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實(shí)際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式,特別是會(huì)求分段函數(shù)的解析式.

(3)如果y=f(u),u=g(_),那么y=f[g(_)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù),其中g(shù)(_)為內(nèi)函數(shù),f(u)為外函數(shù).

3、求函數(shù)y=f(_)的反函數(shù)的一般步驟:

(1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;

(2)由y=f(_)的解析式求出_=f-1(y);

(3)將_,y對(duì)換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1(_),并注明定義域.

注意①:對(duì)于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起.

②熟悉的應(yīng)用,求f-1(_0)的值,合理利用這個(gè)結(jié)論,可以避免求反函數(shù)的過程,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.

(二)、函數(shù)的解析式與定義域

1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對(duì)應(yīng)法則的同時(shí),求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型:

(1)有時(shí)一個(gè)函數(shù)來自于一個(gè)實(shí)際問題,這時(shí)自變量_有實(shí)際意義,求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮;

(2)已知一個(gè)函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可.如:

①分式的分母不得為零;

②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

③對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

④指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tan_(_∈R,且k∈Z),余切函數(shù)y=cot_(_∈R,_≠kπ,k∈Z)等.

應(yīng)注意,一個(gè)函數(shù)的解析式由幾部分組成時(shí),定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一個(gè)函數(shù)的定義域,求另一個(gè)函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可.

已知f(_)的定義域是[a,b],求f[g(_)]的定義域是指滿足a≤g(_)≤b的_的取值范圍,而已知f[g(_)]的定義域[a,b]指的是_∈[a,b],此時(shí)f(_)的定義域,即g(_)的值域.

2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況

(1)根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時(shí),必須引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)尋求函數(shù)的解析式.

(2)有時(shí)題設(shè)給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù),可設(shè)f(_)=a_+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,求出a,b即可.

(3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的表達(dá)式時(shí),可用換元法求函數(shù)f(_)的表達(dá)式,這時(shí)必須求出g(_)的值域,這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.

(4)若已知f(_)滿足某個(gè)等式,這個(gè)等式除f(_)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(-_),等),必須根據(jù)已知等式,再構(gòu)造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(_)的表達(dá)式.

(三)、函數(shù)的值域與最值

1、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:

(1)直接法:亦稱觀察法,對(duì)于結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì),直接觀察得出函數(shù)的值域.

(2)換元法:運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡(jiǎn)單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當(dāng)根式里一次式時(shí)用代數(shù)換元,當(dāng)根式里是二次式時(shí),用三角換元.

(3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(_)與其反函數(shù)f-1(_)的定義域和值域間的關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.

(4)配方法:對(duì)于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.

(5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧.

(6)判別式法:把y=f(_)變形為關(guān)于_的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性,可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.

(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.

2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異.

如函數(shù)的值域是(0,16],值是16,無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如_>0時(shí),函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.

3、函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用

函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識(shí)求解實(shí)際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價(jià)最低”,“利潤(rùn)”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實(shí)問題上,求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對(duì)自變量的制約,以便能正確求得最值.

(四)、函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性的定義:對(duì)于函數(shù)f(_),如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=-f(_)(或f(-_)=f(_)),那么函數(shù)f(_)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,要注意兩點(diǎn):(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(_)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(_)=-f(_)或f(-_)=f(_)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).

2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時(shí)需要將函數(shù)化簡(jiǎn)或應(yīng)用定義的等價(jià)形式:

注意如下結(jié)論的運(yùn)用:

(1)不論f(_)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),f(|_|)總是偶函數(shù);

(2)f(_)、g(_)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù),那么在D1∩D2上,f(_)+g(_)是奇函數(shù),f(_)·g(_)是偶函數(shù),類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);

(4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

3、有關(guān)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)及結(jié)論

(1)一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零,那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(3)若奇函數(shù)f(_)在_=0處有意義,則f(0)=0成立.

(4)若f(_)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù),則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。

(5)若f(_)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則F(_)=f(_)+f(-_)是偶函數(shù),G(_)=f(_)-f(-_)是奇函數(shù).

(6)奇偶性的推廣

函數(shù)y=f(_)對(duì)定義域內(nèi)的任一_都有f(a+_)=f(a-_),則y=f(_)的圖象關(guān)于直線_=a對(duì)稱,即y=f(a+_)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(_)對(duì)定義域內(nèi)的任-_都有f(a+_)=-f(a-_),則y=f(_)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱圖形,即y=f(a+_)為奇函數(shù)。

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一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義:某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。

2、集合的中元素的三個(gè)特性:

1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無序性

說明:(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。

(2)任何一個(gè)給定的集合中,任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象,相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí),僅算一個(gè)元素。

(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個(gè)集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示:{…}如{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1.用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列舉法與描述法。

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)

實(shí)例:設(shè)A={_|_2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

結(jié)論:對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=B

①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

③如果AíB,BíC,那么AíC

④如果AíB同時(shí)BíA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運(yùn)算

1.交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

記作A∩B(讀作”A交B”),即A∩B={_|_∈A,且_∈B}.

2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集。記作:A∪B(讀作”A并B”),即A∪B={_|_∈A,或_∈B}.

3、交集與并集的性質(zhì):A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

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冪函數(shù)的性質(zhì):

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則_^(p/q)=q次根號(hào)(_的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí),設(shè)a=-k,則_=1/(_^k),顯然_≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到_所受到的限制來源于兩點(diǎn),一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對(duì)于_>0,則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能,即對(duì)于_<0_="">0的所有實(shí)數(shù),q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對(duì)于_為大于且等于0的所有實(shí)數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

如果a為負(fù)數(shù),則_肯定不能為0,不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時(shí)q為偶數(shù),則_不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

在_大于0時(shí),函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在_小于0時(shí),則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于_大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

可以看到:

(1)所有的圖形都通過(1,1)這點(diǎn)。

(2)當(dāng)a大于0時(shí),冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時(shí),冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

(3)當(dāng)a大于1時(shí),冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí),冪函數(shù)圖形上凸。

(4)當(dāng)a小于0時(shí),a越小,圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點(diǎn)。

(6)顯然冪函數(shù)_。

解題方法:換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí),把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代替它,從而使問題得到簡(jiǎn)化,這種方法叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進(jìn)新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來.或者變?yōu)槭煜さ男问?,把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

它可以化高次為低次、。、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式,在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

練習(xí)題:

1、若f(_)=_2-_+b,且f(log2a)=b,log2[f(a)]=2(a≠1).

(1)求f(log2_)的最小值及對(duì)應(yīng)的_值;

(2)_取何值時(shí),f(log2_)>f(1)且log2[f(_)]<f(1)?< p="">

2、已知函數(shù)f(_)=3_+k(k為常數(shù)),A(-2k,2)是函數(shù)y=f-1(_)圖象上的點(diǎn).[來源:Z__k.Com]

(1)求實(shí)數(shù)k的值及函數(shù)f-1(_)的解析式;

(2)將y=f-1(_)的圖象按向量a=(3,0)平移,得到函數(shù)y=g(_)的圖象,若2f-1(_+-3)-g(_)≥1恒成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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