高三數(shù)學(xué)教案(復(fù)數(shù)和數(shù)列)

時(shí)間：2022-10-18 14:07:39 淑娟0由分享

數(shù)學(xué)不可比擬的永久性和萬能性及他對時(shí)間和文化背景的獨(dú)立行是其本質(zhì)的直接后果。今天小編在這給大家整理了高三數(shù)學(xué)教案大全，接下來隨著小編一起來看看吧!

高三數(shù)學(xué)教案(一)

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5》(人教版)第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時(shí)。

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分;另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

教學(xué)內(nèi)容針對的是高二的學(xué)生，經(jīng)過高中一年的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力，但也可能有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，所以在授課時(shí)要從具體的生活實(shí)例出發(fā)，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，注重引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生的積極主動(dòng)的去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步提高。

三、設(shè)計(jì)思想

1.教法

⑴誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對知識進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu);有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn);有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。

⑵分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

⑶講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。 2.學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問題(數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念;接著就等差數(shù)列概念的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;可以對各種能力的同學(xué)引導(dǎo)認(rèn)識多元的推導(dǎo)思維方法。

用多種方法對等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。

在引導(dǎo)分析時(shí)，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。

四、教學(xué)目標(biāo)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題;并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法遷移能力。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：

①等差數(shù)列的概念。

②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。難點(diǎn)：

①理解等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義。 ②理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵：

等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。

六、教學(xué)過程(略)

高三數(shù)學(xué)教案(二)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

一元二次不等式的解法是高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，在高中數(shù)學(xué)中起著廣泛的應(yīng)用工具作用，蘊(yùn)藏著重要的數(shù)形結(jié)合思想，是代數(shù)、三角、解析幾何交匯綜合的部分，在高中數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位。

教科書中對一元二次不等式的解法，沒有介紹較繁瑣的純代數(shù)方法，而是采取簡潔明了的數(shù)形結(jié)合的方法，從具體到抽象，從特殊到一般，用二次函數(shù)的圖象來研究一元二次不等式的解法。教學(xué)中，利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示功能，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合二次函數(shù)的圖象探究一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)“三個(gè)二次”間的聯(lián)系，歸納總結(jié)出一元二次不等式的求解過程。通過對一元二次不等式解集的探究過程，滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想。

一元二次不等式的解法是程序性較強(qiáng)的內(nèi)容，探究中應(yīng)注意對“特例”的處理，讓學(xué)生注意對“特殊情況”的處理，才能讓學(xué)習(xí)的內(nèi)容更加完整。

因此，本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)是圍繞一元二次不等式的解法，通過圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。

二、教學(xué)目標(biāo)解析

1. 通過對一元二次不等式解法的探究，讓學(xué)生了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。

2. 掌握一元二次不等式的求解步驟，尤其是對“特例”的處理。

3. 通過圖象解法滲透數(shù)形結(jié)合、分類化歸等重要的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力，觀察分析能力、抽象概括能力、歸納總結(jié)等系統(tǒng)的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生簡約直觀的思維方法和良好的思維品質(zhì)。

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)、一元二次方程、函數(shù)的零點(diǎn)等有關(guān)知識，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

學(xué)生根據(jù)具體的二次函數(shù)的圖象得對應(yīng)一元二次不等式的解集時(shí)問題不大，學(xué)生可能存在的困難：(1)二次函數(shù)是初中學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，許多學(xué)生對二次函數(shù)的知識掌握欠缺，對本節(jié)課的順利開展有一定的影響;(2)從特殊的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，學(xué)生全面考慮不同情況下的解集有一定的困難。教學(xué)中，(1)教師可提前讓學(xué)生復(fù)習(xí)二次函數(shù)的有關(guān)知識點(diǎn)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)掃清障礙。(2)利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示功能，通過變換二次函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生在變化中尋找不變的規(guī)律，從而得出影響一元二次不等式解集的因素，確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，全面考慮一元二次不等式解的情況。

因此，本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)是探究一元二次不等式的解集。

四、教學(xué)策略分析

依據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，采用啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)。教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生一元二次不等式的解法可以類比“一元一次不等式與一次函數(shù)、一元一次方程三者間的關(guān)系”，利用二次函數(shù)的圖象進(jìn)行求解。從特殊到一般，從具體到抽象，通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，得出一元二次不等式的求解步驟。教學(xué)中讓學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作學(xué)習(xí)完成學(xué)習(xí)過程，從動(dòng)態(tài)中觀察、探索歸納知識。

為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)中通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示函數(shù)圖象上的點(diǎn)在移動(dòng)時(shí)，隨著橫坐標(biāo)的變化，縱坐標(biāo)的取值變化情況，更直觀地向?qū)W生展示或時(shí)對應(yīng)的的取值范圍。利用圖象的直觀性，觀察二次函數(shù)圖象的變化對一元二次不等式解集的影響，恰當(dāng)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，有效解決教學(xué)中的難點(diǎn)。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

新課導(dǎo)入：剛才我們回顧了初中學(xué)過的一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)三者間的聯(lián)系，利用這種聯(lián)系可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集。那么對于一元二次不等式能否用類似的方法求解?我們以上網(wǎng)計(jì)時(shí)收費(fèi)問題中得到的一元二次不等式為例進(jìn)行探究。

問題一：如何求一元二次不等式的解集?

設(shè)計(jì)意圖：通過具體的例子，觀察三個(gè)二次的關(guān)系，直觀理解一元二次不等式的求法，由特殊到一般。

引導(dǎo)一：畫出二次函數(shù) 的草圖。

引導(dǎo)二：觀察一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù) 三者間有何聯(lián)系?

引導(dǎo)三：要寫出一元二次不等式的解集，需要確定哪些量?

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考三個(gè)二次的關(guān)系，首先畫出函數(shù) 的圖象。讓學(xué)生通過觀察圖象，發(fā)現(xiàn)“一元二次方程的兩個(gè)根是對應(yīng)二次函數(shù) 的零點(diǎn)”的結(jié)論，一元二次不等式的解即是二次函數(shù) 的圖象上函數(shù)值時(shí)對應(yīng)的的取值。利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示功能，在函數(shù) 的圖象上任取一點(diǎn) ，觀察當(dāng)點(diǎn) 在拋物線上移動(dòng)時(shí)，隨著的橫坐標(biāo)的變化，的縱坐標(biāo)有什么變化，借用動(dòng)態(tài)演示幫助看圖有困難的同學(xué)。

問題二：探究一元二次不等式的解集。

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加深學(xué)生對“三個(gè)二次”間關(guān)系的理解，通過二次函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)變化，尋找出恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，寫出二次不等式的解集，從具體到抽象。

引導(dǎo)一：要得到一個(gè)一元二次不等式的解集，關(guān)鍵應(yīng)考慮哪些因素?

師生活動(dòng)：教師利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示功能，改變二次函數(shù) 中的常數(shù) 的值，讓學(xué)生觀察隨著函數(shù)圖象的變化，不等式的解的變化情況，在變化中尋找不變的規(guī)律，從而得出確定一元二次不等式解集的兩個(gè)因素：(1)對應(yīng)的一元二次方程的根的情況;(2)對應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向。

引導(dǎo)二：應(yīng)如何分類討論一元二次不等式的解集?

師生活動(dòng)：在引導(dǎo)、分析的基礎(chǔ)上，由學(xué)生歸納得出分類的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：(1)分和 ;(2)分，，。并讓學(xué)生完成課本77頁的表，寫出時(shí)一元二次方程根和一元二次不等式的解集。

高三數(shù)學(xué)教案(三)

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握向量的有關(guān)概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

（2）理解并掌握復(fù)數(shù)集、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的集合、復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系；

（3）掌握復(fù)數(shù)的模的定義及其幾何意義；

（4）通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

（5）通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力，幫助學(xué)生逐步形成科學(xué)的思維習(xí)慣和方法

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

本節(jié)內(nèi)容首先從物理中所遇到的一些矢量出發(fā)引出向量的概念，介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接著介紹了復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系，指出了復(fù)數(shù)的模的定義及其計(jì)算公式

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)與復(fù)平面的向量的一一對應(yīng)關(guān)系的理解；難點(diǎn)是復(fù)數(shù)模的概念復(fù)數(shù)可以用向量表示，二者的對應(yīng)關(guān)系為什么只能說復(fù)數(shù)集與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的集合一一對應(yīng)關(guān)系，而不能說與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對應(yīng)，對這一點(diǎn)的理解要加以重視在復(fù)數(shù)向量的表示中，從復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)以及以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量之間的一一對應(yīng)關(guān)系是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)復(fù)數(shù)模的概念是一個(gè)難點(diǎn)，首先要理解復(fù)數(shù)的絕對值與實(shí)數(shù)絕對值定義的一致性質(zhì)，其次要理解它的幾何意義是表示向量的長度，也就是復(fù)平面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

三、教學(xué)建議

1在學(xué)習(xí)新課之前一定要復(fù)習(xí)舊知識，包括實(shí)數(shù)的絕對值及幾何意義，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、現(xiàn)行高中物理課本中的有關(guān)矢量知識等，特別是對于基礎(chǔ)較差的學(xué)生，這一環(huán)節(jié)不可忽視

2理解并掌握復(fù)數(shù)集、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集、復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合三者之間的關(guān)系

如圖所示，建立復(fù)平面以后，復(fù)數(shù) 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 形成—一對應(yīng)關(guān)系，而點(diǎn) 又與復(fù)平面的向量構(gòu)成—一對應(yīng)關(guān)系因此，復(fù)數(shù)集與復(fù)平面的以為起點(diǎn)，以為終點(diǎn)的向量集形成—一對應(yīng)關(guān)系因此，我們常把復(fù)數(shù) 說成點(diǎn)Z或說成向量點(diǎn) 、向量是復(fù)數(shù) 的另外兩種表示形式，它們都是復(fù)數(shù) 的幾何表示

相等的向量對應(yīng)的是同一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)平面內(nèi)與向量相等的向量有無窮多個(gè)，所以復(fù)數(shù)集不能與復(fù)平面上所有的向量相成—一對應(yīng)關(guān)系復(fù)數(shù)集只能與復(fù)平面上以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合構(gòu)成—一對應(yīng)關(guān)系

這種對應(yīng)關(guān)系的建立，為我們用解析幾何方法解決復(fù)數(shù)問題，或用復(fù)數(shù)方法解決幾何問題創(chuàng)造了條件

3向量的模，又叫向量的絕對值，也就是其有向線段的長度它的計(jì)算公式是，當(dāng)實(shí)部為零時(shí)，根據(jù)上面復(fù)數(shù)的模的公式與以前關(guān)于實(shí)數(shù)絕對值及算術(shù)平方根的規(guī)定一致這些內(nèi)容必須使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上牢固地掌握

4講解教材第182頁上例2的第（1）小題建議在講解教材第182頁上例2的第（1）小題時(shí)如果結(jié)合提問的圖形，可以幫助學(xué)生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面（曲線所包圍的平面部分）對于倒2的第（2）小題的圖形，畫圖時(shí)周界（兩個(gè)同心圓）都應(yīng)畫成虛線

5講解復(fù)數(shù)的模講復(fù)數(shù)的模的定義和計(jì)算公式時(shí)，要注意與向量的有關(guān)知識聯(lián)系，結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)為終點(diǎn)的向量之間的一一對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶。向量的模，又叫做向量的絕對值，也就是有向線段OZ的長度它也叫做復(fù)數(shù) 的?；蚪^對值它的計(jì)算公式是

高三數(shù)學(xué)教案(四)

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算法則，能熟練地進(jìn)行加、減法運(yùn)算；

（2）理解并掌握復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義，會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題；

（3）能初步運(yùn)用復(fù)平面兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問題；

（4）通過學(xué)平行四邊形法則和三角形法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

（5）通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，深刻性，靈活性等）

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)加法法則。難點(diǎn)是復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。復(fù)數(shù)加法法則是教材首先規(guī)定的法則，它是復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的基礎(chǔ)，對于這個(gè)規(guī)定的合理性，在教學(xué)過程中要加以重視。復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的難點(diǎn)在于復(fù)數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為向量加減法，以它為根據(jù)來解決某些平面圖形的問題，學(xué)生對這一點(diǎn)不容易接受。

三、教學(xué)建議

（1）在中，重點(diǎn)是加法教材首先規(guī)定了復(fù)數(shù)的加法法則對于這個(gè)規(guī)定，應(yīng)通過下面幾個(gè)方面，使學(xué)生逐步理解這個(gè)規(guī)定的合理性：①當(dāng) 時(shí)，與實(shí)數(shù)加法法則一致；②驗(yàn)證實(shí)數(shù)加法運(yùn)算律在復(fù)數(shù)集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則

（2）復(fù)數(shù)加法的向量運(yùn)算講解設(shè) ，畫出向量，后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學(xué)生自己畫出和向量（即合向量），畫出向量后，問與它對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么，即求點(diǎn)Z的坐標(biāo)OR與RZ（證法如教材所示）

（3）向?qū)W生介紹復(fù)數(shù)加法的三角形法則講過復(fù)數(shù)加法可按向量加法的平行四邊形法則來進(jìn)行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進(jìn)行：如教材中圖8－5（2）所示，求與的和，可以看作是求與的和這時(shí)先畫出第一個(gè)向量，再以的終點(diǎn)為起點(diǎn)畫出第二個(gè)向量，那么，由第一個(gè)向量起點(diǎn)O指向第二個(gè)向量終點(diǎn)Z的向量，就是這兩個(gè)向量的和向量

（4）向?qū)W生指出復(fù)數(shù)加法的三角形法則的好處向?qū)W生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當(dāng) 與在同一直線上時(shí)，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個(gè)壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復(fù)數(shù)減法的幾何意義時(shí)，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便

（5）講解了教材例2后，應(yīng)強(qiáng)調(diào) （注意：這里是起點(diǎn)，是終點(diǎn)）就是同復(fù)數(shù) －對應(yīng)的向量點(diǎn) ，之間的距離就是向量的模，也就是復(fù)數(shù) －的模，即

例如，起點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)－1、終點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù) 的那個(gè)向量（如圖），可用來表示因而點(diǎn) 與（）點(diǎn)間的距離就是復(fù)數(shù) 的模，它等于。

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義

教學(xué)目標(biāo)

1理解并掌握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義

2滲透轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法，提高分析、解決問題能力

3培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，深刻性，靈活性等）

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)減法法則

難點(diǎn)：對復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義（板書課題：復(fù)數(shù)減法及其幾何意義）

（二）復(fù)數(shù)減法

復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算，那么復(fù)數(shù)減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，

1復(fù)數(shù)減法法則

（1）規(guī)定：復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算；

（2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（，，， ∈R）

把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導(dǎo)這個(gè)法則

（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i

推導(dǎo)的想法和依據(jù)把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算

推導(dǎo)：設(shè)（ + i）-（ + i）= + i（， ∈R）即復(fù)數(shù) + i為復(fù)數(shù) + i減去復(fù)數(shù) + i的差由規(guī)定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據(jù)加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，得

故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù)

我們得到了復(fù)數(shù)減法法則，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差仍是復(fù)數(shù)是確定的復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的加（減）法與多項(xiàng)式加（減）法是類似的就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i

（三）復(fù)數(shù)減法幾何意義

我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則，那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么？

設(shè)z= + i（， ∈R），z1= + i（， ∈R），對應(yīng)向量分別為，如圖

由于復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以為一條對角線， 1為一條邊畫平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復(fù)數(shù)z-z1的差（ - ）+（ - ）i對應(yīng)，如圖

在這個(gè)平行四邊形中與z-z1差對應(yīng)的向量是只有向量 2嗎？

還有因?yàn)镺Z2 Z1Z，所以向量，也與z-z1差對應(yīng)向量是以Z1為起點(diǎn)，Z為終點(diǎn)的向量

能概括一下復(fù)數(shù)減法幾何意義是：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差z-z1與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng)

（四）應(yīng)用舉例

在直角坐標(biāo)系中標(biāo)Z1（-2，5），連接OZ1，向量 1與多數(shù)z1對應(yīng)，標(biāo)點(diǎn)Z2（3，2），Z2關(guān)于x軸對稱點(diǎn)Z2（3，-2），向量 2與復(fù)數(shù)對應(yīng)，連接，向量與的差對應(yīng)（如圖）

例2 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示，求復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式

解：設(shè)復(fù)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)Z1，Z2分別表示復(fù)數(shù)z1，z2，那么Z1Z2就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，點(diǎn)之間的距離就是向量的模，即復(fù)數(shù)z2-z1的模如果用d表示點(diǎn)Z1，Z2之間的距離，那么d=|z2-z1|

例3 在復(fù)平面內(nèi)，滿足下列復(fù)數(shù)形式方程的動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡是什么

（1）|z-1-i|=|z+2+i|；

方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1+i差的模

幾何意義是是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（1，1）間的距離方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)-2-i差的模，也就是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（-2，-1）間距離這個(gè)方程表示的是到兩點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）距離相等的點(diǎn)的軌跡方程，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）為端點(diǎn)的線段的垂直平分線

（2）|z+i|+|z-i|=4；

方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個(gè)定點(diǎn)（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓

（3）|z+2|-|z-2|=1

這個(gè)方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個(gè)定點(diǎn)（-2，0），（2，0）距離差等于1的點(diǎn)的軌跡，這個(gè)軌跡是雙曲線是雙曲線右支

由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程使有些曲線方程形式變得更為簡捷且反映曲線的本質(zhì)特征

例4 設(shè)動(dòng)點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)z= + i對應(yīng)，定點(diǎn)P與復(fù)數(shù)p= + i對應(yīng)求

（1）復(fù)平面內(nèi)圓的方程；

解：設(shè)定點(diǎn)P為圓心，r為半徑，如圖

由圓的定義，得復(fù)平面內(nèi)圓的方程|z-p|=r

（2）復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

解：復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點(diǎn)的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）利用復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)解決解析幾何中某些曲線方程不等式等問題

（五）小結(jié)

我們通過推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則，并進(jìn)一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義，應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問題，不等式以及最值問題

（六）布置作業(yè) P193習(xí)題二十七：2，3，8，9

探究活動(dòng)

復(fù)數(shù)等式的幾何意義

復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示以為圓心，以1為半徑的圓。請?jiān)倥e三個(gè)復(fù)數(shù)等式并說明它們在復(fù)平面上的幾何意義。

分析與解

1 復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示線段的中垂線。

2 復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示一個(gè)橢圓。

3 復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示一條線段。

4 復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示雙曲線的一支。

5 復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示原點(diǎn)為O、構(gòu)成一個(gè)矩形。

說明復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)有一一對應(yīng)的關(guān)系，如果我們對復(fù)數(shù)的代數(shù)形式工（幾何意義）之

間的關(guān)系比較熟悉的話，必然會強(qiáng)化對復(fù)數(shù)知識的掌握。

高三數(shù)學(xué)教案(五)

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握復(fù)數(shù)乘法與除法的運(yùn)算法則，并能熟練地進(jìn)行乘、除法的運(yùn)算；

（2）能應(yīng)用i和的周期性、共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)、模的性質(zhì)熟練地進(jìn)行解題；

（3）讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法；

（4）通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法與除法的運(yùn)算法則，培養(yǎng)學(xué)生探索問題、分析問題、解決問題的能力。

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘，與加減法一樣，可以按多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行，但必須在所得的結(jié)果中把換成－1，并且把實(shí)部與虛部分合并很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，即在復(fù)數(shù)集內(nèi)，乘法是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的，同時(shí)它滿足并換律、結(jié)合律及乘法對加法的分配律規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，它同多項(xiàng)式除法類似，當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式相除，可以寫成分式，若分母含有理式時(shí)，要進(jìn)行分母有理化，而兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí)，要使分母實(shí)數(shù)化，即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母變成實(shí)數(shù)

三、教學(xué)建議

1在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘時(shí)，復(fù)數(shù)的乘法法則規(guī)定按照如下法則進(jìn)行設(shè) 是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積：

也就是說復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，注意有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把換成一1，再把實(shí)部，虛部分別合并，而不必去記公式

2復(fù)數(shù)的乘法不僅滿足交換律與結(jié)合律，實(shí)數(shù)集R中整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律，在復(fù)數(shù)集C中仍然成立，即對任何，，及，有：

，，；

對于復(fù)數(shù) 只有在整數(shù)指數(shù)冪的范圍內(nèi)才能成立由于我們尚未對復(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行定義，因此如果把上述法則擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪內(nèi)運(yùn)用，就會得到荒謬的結(jié)果。如，若由，就會得到的錯(cuò)誤結(jié)論，對此一定要重視。

3講解復(fù)數(shù)的除法，可以按照教材規(guī)定它是乘法的逆運(yùn)算，即求一個(gè)復(fù)數(shù) ，使它滿足（這里，是已知的復(fù)數(shù)）列出上式后，由乘法法則及兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件得：

由此

于是

得出商以后，還應(yīng)當(dāng)著重向?qū)W生指出：如果根據(jù)除法的定義，每次都按上述做來法逆運(yùn)算的辦法來求商，這將是很麻煩的分析一下商的結(jié)構(gòu)，從形式上可以得出兩個(gè)復(fù)數(shù)相除的較為簡捷的求商方法，就是先把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡即可

4這道例題的目的之一是訓(xùn)練我們對于復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、乘方運(yùn)算及乘法公式的操作，要求我們做到熟練和準(zhǔn)確。從這道例題的運(yùn)算結(jié)果，我們應(yīng)該看出，也是-1的一個(gè)立方根。因此，我們應(yīng)該修正過去關(guān)于“-1的立方根是-1”的認(rèn)識，想到-1至少還有一個(gè)虛數(shù)根。然后再回顧例2的解題過程，發(fā)現(xiàn)其中所有的“-”號都可以改成“±”。這樣就能找出-1的另一個(gè)虛數(shù)根。所以-1在復(fù)數(shù)集C內(nèi)至少有三個(gè)根：-1，，。以上對于一道例題或練習(xí)題的反思過程，看起來并不難，但對我們學(xué)習(xí)知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維，拓寬和加深我們的知識，使我們對一個(gè)問題的認(rèn)識更加全面。

5教材194頁第6題這是關(guān)于復(fù)數(shù)模的一個(gè)重要不等式，在研究復(fù)數(shù)模的最值問題中有著廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用上述絕對值不等式過程中，要特別注意等號成立的條件。

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

復(fù)數(shù)的乘法

教學(xué)目標(biāo)

1掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則，能熟練地進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算；

2理解復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律；

3知道復(fù)數(shù)的乘法是同復(fù)數(shù)的積，理解復(fù)數(shù)集C中正整數(shù)冪的運(yùn)算律，掌握i的乘法運(yùn)算性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

難點(diǎn)是復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律的理解

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1 引入新課