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高考數(shù)學(xué)題解法思想指引

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數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過高度提煉概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識,是數(shù)學(xué)知識和方法產(chǎn)生的根本源泉,是解決數(shù)學(xué)問題過程中的指路明燈. 一道好的試題,不在于華麗的“包裝”,而在于本身所蘊(yùn)涵的思想方法.下面就是小編給大家?guī)淼母呖紨?shù)學(xué)題解法思想指引,希望大家喜歡!

高考數(shù)學(xué)題解法思想指引

在數(shù)學(xué)的知識和技能中,蘊(yùn)涵著具有普遍性的數(shù)學(xué)思想,它是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂,是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是人們對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論,經(jīng)過高度提煉概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識,是數(shù)學(xué)知識和方法產(chǎn)生的根本源泉,是解決數(shù)學(xué)問題的指路明燈. 對數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向更深層次的一個標(biāo)志. 高考試題中也蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想,只有挖掘其中的思想,才能深入認(rèn)識試題,透徹分析試題,順利解答試題.

試題呈現(xiàn):已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值是_______. (2014年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試卷第16題)

點(diǎn)評:此題雖小,卻是亮點(diǎn).看似平常,卻是豐富多彩.入口寬,方法多,蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想.

探究視角1 構(gòu)造思想方法的應(yīng)用

構(gòu)造法是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法,其本質(zhì)特征是構(gòu)造,通過觀察、分析已知條件和需要解決的問題,聯(lián)系已有的知識,構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子或數(shù)學(xué)模型,來解決問題.

1. 構(gòu)造重要不等式

x,y∈R,x2+y2≥2xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等.

推論:x,y∈R,x2+y2≥,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等.

解法1:因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,

因?yàn)椋╞+c)2≤2(b2+c2),所以a2≤2-2a2,所以3a2≤2,

所以-≤a≤,所以a的最大值是,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等.

解法2:因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以a2=1-(b2+c2)≤1-=1-,所以a2≤2-2a2,所以3a2≤2,所以-≤a≤,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等.

解法3:因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,

所以bc==a2-. 因?yàn)閎,c∈R,b2+c2≥2bc,

所以a2≤2-2a2,所以3a2≤2,所以-≤a≤,

所以a的最大值是,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等.

2. 構(gòu)造柯西不等式

二維柯西不等式:任取實(shí)數(shù)x1,x2,y1,y2,(x21+x22)(y21+y22)≥(x1y1+x2y2)2,

當(dāng)且僅當(dāng)xi=kyi(i=1,2)時取等.

解法4:因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2.

由柯西不等式可得(b2+c2)(12+12)≥(b+c)2,所以a2≤2-2a2,所以3a2≤2,所以-≤a≤,所以a的最大值是,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等.

探究視角2 函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用

函數(shù)與方程思想是數(shù)學(xué)本質(zhì)的思想之一. 函數(shù)思想是指利用函數(shù)的概念與性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題.方程思想是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手,用數(shù)學(xué)語言問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,如方程、不等式、方程與不等式組等,然后通過解方程或不等式組使問題得到解決.

解法5:(構(gòu)造方程)

因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,所以bc==a2-,所以b,c為一元二次方程x2+ax+a2-=0的兩個分布在(-1,1)上的實(shí)根.

所以Δ=a2-4a2-≥0,1+a+a2->0,1-a+a2->0,-1<-<1,

所以a2≤,所以-≤a≤,所以a的最大值是.

點(diǎn)評:此法是將已知條件轉(zhuǎn)化為一元二次方程,常用判別式來探求根的情況,但要注意根的分布.

解法6:(消元,減少變量)

因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以c= -(a+b).

所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),所以ab+bc+ac=-.

消掉c得,a2+b2+ab-=0.

解法7:(增量換元,構(gòu)造函數(shù))

因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2.

所以令b=-+x,c=--x,x∈R,則-+x+--x=1-a2,x∈R.所以a2=(1-2x2),x∈R,所以a2≤,所以-≤a≤,所以a的最大值是.

解法8:(三角換元)

因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,b=sinθ,c=cosθ,則-a=b+c=(sinθ+cosθ)=·sinθ+.

所以sinθ+= ,所以≤1.

所以a2≤,所以-≤a≤,所以a的最大值是.

點(diǎn)評:換元法又稱輔助元素法、變量代換法,即通過引進(jìn)新的變量,可以將分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者將條件與結(jié)論聯(lián)系起來,或者變?yōu)槭煜さ男问?,從而將?fù)雜的計算和證明簡化.

探究視角3 數(shù)學(xué)結(jié)合思想

華羅庚先生說過:“數(shù)與形本是兩依倚,焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微.” 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想,運(yùn)用時關(guān)鍵在于數(shù)形相互轉(zhuǎn)化,即用代數(shù)方法處理幾何問題,或通過構(gòu)圖解決代數(shù)問題,數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用不僅能整合學(xué)生相關(guān)的數(shù)學(xué)知識,而且能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

解法9:(坐標(biāo)思想,直線與圓的位置關(guān)系)

因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,

所以點(diǎn)(b,c)在以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上,同時又在直線b+c+a=0上,則由直線與圓的位置關(guān)系可得:圓心距d=≤.

所以a2≤,所以-≤a≤,所以a的最大值是.

解法10:(構(gòu)造三角形,利用正余弦定理來解三角形)

因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以c= -(a+b),

所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),所以ab+bc+ac=-

消掉c得,a2+b2+ab-=0?圯a2+b2-=-ab. 以a,b,為邊構(gòu)造三角形,令其所對角分別為A,B,D,則由余弦定理可得,cosD==.

(1)若ab>0,則cosD===-,則D=,在△ABD中由正弦定理可得,=,則a=sinA,A∈0,,0 ?。?)若ab<0,則cosD===,則D=,A+B=,在△ABD中由正弦定理可得,=,則a=sinA,A∈0,,0  由(1)(2)可得a的最大值是.

探究視角4 特殊化思想的應(yīng)用

根據(jù)矛盾論的基本原理,我們在認(rèn)識事物和解決問題的過程中,必須堅持具體問題具體分析. 也就是在矛盾普遍性原理的指導(dǎo)下,具體分析矛盾的特殊性.數(shù)學(xué)問題,特別是高考試題變化無窮、深淺莫測、精彩紛呈. 在解題中,若能充分挖掘隱藏于問題之中或與之相關(guān)的特殊值、特殊點(diǎn)、特殊圖形、特殊位置和特殊結(jié)構(gòu),則可避免煩瑣的運(yùn)算、作圖和推理,得到意想不到的、新穎獨(dú)特的最佳解法. 這種利用特殊因素,采取特殊方法,解決特殊問題的思維方法,我們稱之為特殊化思想方法. 每年的高考題中(尤其是選擇題和填充題)都有幾道題可直接運(yùn)用特殊化思想方法獲解.

解法11:特殊值法

因?yàn)閍+b+c=0,a2+b2+c2=1,令b=c,則a=-2b,a2=1-2b2.

所以消掉b得a2=1-2,所以a2=,所以a=±,

所以a的最大值是.

數(shù)學(xué)思想方法不是操作程序,沒有具體的步驟,需要感悟、理解,但是,沒有數(shù)學(xué)思想方法就找不到解題方向. 在上述解法探究中,要感悟試題中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想,在上述四個視角中體現(xiàn)了構(gòu)造思想、函數(shù)思想、方程思想、換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊化思想. 近年的高考越來越重視對數(shù)學(xué)思想方法的考查. 隨著試題難度的上升,數(shù)學(xué)思想方法的作用會越來越重要.

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