遼寧省高三數(shù)學(xué)一模試卷答案解析
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遼寧省高三數(shù)學(xué)一模試卷答案解析選擇題
(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)
1.(5分)(2015•沈陽一模)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},則集合(∁UM)∩N等于( )
A. {2,3} B. {2,3,5,6} C. {1,4} D. {1,4,5,6}
【考點】: 交、并、補集的混合運算.
【專題】: 集合.
【分析】: 根據(jù)集合的基本運算即可得到結(jié)論.
【解析】: 解:由補集的定義可得∁UN={2,3,5},
則(∁UN)∩M={2,3},
故選:A
【點評】: 本題主要考查集合的基本運算,比較基礎(chǔ).
2.(5分)(2015•沈陽一模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1﹣i)z=2i,則z=( )
A. ﹣1+i B. ﹣1﹣i C. 1+i D. 1﹣i
【考點】: 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.
【專題】: 計算題.
【分析】: 根據(jù)所給的等式兩邊同時除以1﹣i,得到z的表示式,進行復(fù)數(shù)的除法運算,分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),整理成最簡形式,得到結(jié)果.
【解析】: 解:∵復(fù)數(shù)z滿足z(1﹣i)=2i,
∴z= =﹣1+i
故選A.
【點評】: 本題考查代數(shù)形式的除法運算,是一個基礎(chǔ)題,這種題目若出現(xiàn)一定是一個送分題目,注意數(shù)字的運算.
3.(5分)(2014•安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【考點】: 充要條件.
【專題】: 計算題;簡易邏輯.
【分析】: 根據(jù)不等式的性質(zhì),利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結(jié)論.
【解析】: 解:∵x<0,∴x+1<1,當(dāng)x+1>0時,ln(x+1)<0;
∵ln(x+1)<0,∴0
∴“x<0”是ln(x+1)<0的必要不充分條件.
故選:B.
【點評】: 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ).
4.(5分)(2015•沈陽一模)拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點坐標(biāo)是( )
A. (0,a) B. (a,0) C. (0, ) D. ( ,0)
【考點】: 拋物線的簡單性質(zhì).
【專題】: 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】: 先將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式,再求出拋物線的焦點坐標(biāo).
【解析】: 解:由題意知,y=4ax2(a≠0),則x2= ,
所以拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點坐標(biāo)是(0, ),
故選:C.
【點評】: 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo),屬于基礎(chǔ)題.
5.(5分)(2015•沈陽一模)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1,公差d=2,Sn+2﹣Sn=36,則n=( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【考點】: 等差數(shù)列的性質(zhì).
【專題】: 等差數(shù)列與等比數(shù)列.
【分析】: 由Sn+2﹣Sn=36,得an+1+an+2=36,代入等差數(shù)列的通項公式求解n.
【解析】: 解:由Sn+2﹣Sn=36,得:an+1+an+2=36,
即a1+nd+a1+(n+1)d=36,
又a1=1,d=2,
∴2+2n+2(n+1)=36.
解得:n=8.
故選:D.
【點評】: 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差數(shù)列的通項公式,是基礎(chǔ)題.
6.(5分)(2015•沈陽一模)已知某幾何體的三視圖如,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸 (單位:cm),可得這個幾何體的體積是( )
A. B. C. 2cm3 D. 4cm3
【考點】: 棱柱、棱錐、棱臺的體積.
【專題】: 空間位置關(guān)系與距離.
【分析】: 由題目給出的幾何體的三視圖,還原得到原幾何體,然后直接利用三棱錐的體積公式求解.
【解析】: 解:由三視圖可知,該幾何體為底面是正方形,且邊長為2cm,高為2cm的四棱錐,
如圖,
故 ,
故選B.
【點評】: 本題考查了棱錐的體積,考查了空間幾何體的三視圖,能夠由三視圖還原得到原幾何體是解答該題的關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.
7.(5分)(2015•沈陽一模)已知x,y滿足約束條件 ,則z=2x+y的最大值為( )
A. 3 B. ﹣3 C. 1 D.
【考點】: 簡單線性規(guī)劃.
【專題】: 計算題.
【分析】: 先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值,z=2x+y表示直線在y軸上的截距,只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可.
【解析】: 解:作圖
易知可行域為一個三角形,
當(dāng)直線z=2x+y過點A(2,﹣1)時,z最大是3,
故選A.
【點評】: 本小題是考查線性規(guī)劃問題,本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題.
8.(5分)(2015•沈陽一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的k的值為( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【考點】: 程序框圖.
【專題】: 計算題;規(guī)律型;算法和程序框圖.
【分析】: 分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是輸出輸出不滿足條件S=0+1+2+8+…<100時,k+1的值.
【解析】: 解:分析程序中各變量、各語句的作用,
再根據(jù)流程圖所示的順序,
可知:該程序的作用是:
輸出不滿足條件S=0+1+2+8+…<100時,k+1的值.
第一次運行:滿足條件,s=1,k=1;
第二次運行:滿足條件,s=3,k=2;
第三次運行:滿足條件,s=11<100,k=3;滿足判斷框的條件,繼續(xù)運行,
第四次運行:s=1+2+8+211>100,k=4,不滿足判斷框的條件,退出循環(huán).
故最后輸出k的值為4.
故選:A.
【點評】: 本題考查根據(jù)流程圖(或偽代碼)輸出程序的運行結(jié)果.這是算法這一模塊最重要的題型,其處理方法是::①分析流程圖(或偽代碼),從流程圖(或偽代碼)中即要分析出計算的類型,又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)(如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多,也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理)⇒②建立數(shù)學(xué)模型,根據(jù)第一步分析的結(jié)果,選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模.
9.(5分)(2015•沈陽一模)已知函數(shù) ,若 ,則f(﹣a)=( )
A. B. C. D.
【考點】: 函數(shù)的值.
【專題】: 計算題.
【分析】: 利用f(x)=1+ ,f(x)+f(﹣x)=2即可求得答案.
【解析】: 解:∵f(x)= =1+ ,
∴f(﹣x)=1﹣ ,
∴f(x)+f(﹣x)=2;
∵f(a)= ,
∴f(﹣a)=2﹣f(a)=2﹣ = .
故選C.
【點評】: 本題考查函數(shù)的值,求得f(x)+f(﹣x)=2是關(guān)鍵,屬于中檔題.
10.(5分)(2015•沈陽一模)在△ABC中,若| + |=| ﹣ |,AB=2,AC=1,E,F(xiàn)為BC邊的三等分點,則 • =( )
A. B. C. D.
【考點】: 平面向量數(shù)量積的運算.
【專題】: 計算題;平面向量及應(yīng)用.
【分析】: 運用向量的平方即為模的平方,可得 =0,再由向量的三角形法則,以及向量共線的知識,化簡即可得到所求.
【解析】: 解:若| + |=| ﹣ |,
則 = ,
即有 =0,
E,F(xiàn)為BC邊的三等分點,
則 =( + )•( + )=( )•( )
=( + )•( + )
= + + = ×(1+4)+0= .
故選B.
【點評】: 本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì),考查向量的平方即為模的平方,考查向量共線的定理,考查運算能力,屬于中檔題.
11.(5分)(2015•沈陽一模)函數(shù)y= 的圖象與函數(shù)y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和等于( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【考點】: 奇偶函數(shù)圖象的對稱性;三角函數(shù)的周期性及其求法;正弦函數(shù)的圖象.
【專題】: 壓軸題;數(shù)形結(jié)合.
【分析】: 的圖象由奇函數(shù) 的圖象向右平移1個單位而得,所以它的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱,再由正弦函數(shù)的對稱中心公式,可得函數(shù)y2=2sinπx的圖象的一個對稱中心也是點(1,0),故交點個數(shù)為偶數(shù),且每一對對稱點的橫坐標(biāo)之和為2.由此不難得到正確答案.
【解析】: 解:函數(shù) ,y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個函數(shù)的圖象如圖
當(dāng)1
而函數(shù)y2在(1,4)上出現(xiàn)1.5個周期的圖象,
在 和 上是減函數(shù);
在 和 上是增函數(shù).
∴函數(shù)y1在(1,4)上函數(shù)值為負(fù)數(shù),且與y2的圖象有四個交點E、F、G、H
相應(yīng)地,y1在(﹣2,1)上函數(shù)值為正數(shù),且與y2的圖象有四個交點A、B、C、D
且:xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2,故所求的橫坐標(biāo)之和為8
故選D
【點評】: 發(fā)現(xiàn)兩個圖象公共的對稱中心是解決本題的入口,討論函數(shù)y2=2sinπx的單調(diào)性找出區(qū)間(1,4)上的交點個數(shù)是本題的難點所在.
12.(5分)(2015•廣西校級一模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,則不等式exf(x)>ex+3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為( )
A. (0,+∞) B. (﹣∞,0)∪(3,+∞) C. (﹣∞,0)∪(0,+∞) D. (3,+∞)
【考點】: 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)的運算.
【專題】: 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.
【分析】: 構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),研究g(x)的單調(diào)性,結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值,即可求解
【解析】: 解:設(shè)g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),
則g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1],
∵f(x)+f′(x)>1,
∴f(x)+f′(x)﹣1>0,
∴g′(x)>0,
∴y=g(x)在定義域上單調(diào)遞增,
∵exf(x)>ex+3,
∴g(x)>3,
又∵g(0)═e0f(0)﹣e0=4﹣1=3,
∴g(x)>g(0),
∴x>0
故選:A.
【點評】: 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合,結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù),然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
遼寧省高三數(shù)學(xué)一模試卷答案解析填空題
(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題紙上.)
13.(5分)(2015•沈陽一模)若雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ,則雙曲線E的漸進線的方程是 y= x .
【考點】: 雙曲線的簡單性質(zhì).
【專題】: 計算題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】: 求出雙曲線的a,b,再由漸近線方程y= x,即可得到所求方程.
【解析】: 解:雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ,
則a=2,b=1,
即有漸近線方程為y= x,
即為y= x.
故答案為:y= x.
【點評】: 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì):漸近線方程,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.
14.(5分)(2015•沈陽一模)已知{an}是等比數(shù)列, ,則a1a2+a2a3+…+anan+1= .
【考點】: 數(shù)列的求和;等比數(shù)列的通項公式.
【專題】: 計算題.
【分析】: 首先根據(jù)a2和a5求出公比q,根據(jù)數(shù)列{anan+1}每項的特點發(fā)現(xiàn)仍是等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得出答案.
【解析】: 解:由 ,解得 .
數(shù)列{anan+1}仍是等比數(shù)列:其首項是a1a2=8,公比為 ,
所以,
故答案為 .
【點評】: 本題主要考查等比數(shù)列通項的性質(zhì)和求和公式的應(yīng)用.應(yīng)善于從題設(shè)條件中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,充分挖掘有效信息.
15.(5分)(2015•沈陽一模)若直線l: (a>0,b>0)經(jīng)過點(1,2)則直線l在x軸和y軸的截距之和的最小值是 3+2 .
【考點】: 直線的截距式方程.
【專題】: 直線與圓.
【分析】: 把點(1,1)代入直線方程,得到 =1,然后利用a+b=(a+b)( ),展開后利用基本不等式求最值.
【解析】: 解:∵直線l: (a>0,b>0)經(jīng)過點(1,2)
∴ =1,
∴a+b=(a+b)( )=3+ ≥3+2 ,當(dāng)且僅當(dāng)b= a時上式等號成立.
∴直線在x軸,y軸上的截距之和的最小值為3+2 .
故答案為:3+2 .
【點評】: 本題考查了直線的截距式方程,考查利用基本不等式求最值,是中檔題.
16.(5分)(2015•沈陽一模)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若BC⊥AC,∠A= ,AC=4,AA1=4,M為AA1的中點,點P為BM中點,Q在線段CA1上,且A1Q=3QC.則異面直線PQ與AC所成角的正弦值 .
【考點】: 異面直線及其所成的角.
【專題】: 空間角.
【分析】: 以C為原點,CB為x軸,CA為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線PQ與AC所成角的正弦值.
【解析】: 解:以C為原點,CB為x軸,CA為y軸,CC1為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則由題意得A(0,4,0),C(0,0,0),
B(4 ,0,0),M(0,4,2),A1(0,4,4),
P(2 ,2,1), = = (0,4,4)=(0,1,1),
∴Q(0,1,1), =(0,﹣4,0), =(﹣2 ,﹣1,0),
設(shè)異面直線PQ與AC所成角為θ,
cosθ=|cos< >|=| |= ,
∴sinθ= = .
故答案為: .
【點評】: 本題考查異面直線PQ與AC所成角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
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