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高三理科數(shù)學一模考試卷及答案

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  高三的理科數(shù)學大家復習的如何?馬上就要一模考試了,數(shù)學往年的一模試卷要抓緊時間做。下面由學習啦小編為大家提供關于高三理科數(shù)學一??荚嚲砑按鸢?,希望對大家有幫助!

  高三理科數(shù)學一??荚嚲磉x擇題

  本大題共12小題,每小題5分,共60分,每小題給出四個選項,只有一個選項符合題目要求.

  1.已知z= (i為虛數(shù)單位),則|z|=(  )

  A. B.1 C. D.2

  2.計算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的結(jié)果為(  )

  A. B. C. D.

  3.設命題p:∀a>1,函數(shù)f(x)=xa(x>0)是增函數(shù),則¬p為(  )

  A.∃a0<1,函數(shù)f(x)=xa0(x>0)是減函數(shù)

  B.∀a>1,函數(shù)f(x)=xa(x>0)不是減函數(shù)

  C.∃a0>1,函數(shù)f(x)=xa(x>0)不是增函數(shù)

  D.∀a>1,函數(shù)f(x)=xa(x>0)是減函數(shù)

  4.位于平面直角坐標系原點的一個質(zhì)點P按下列規(guī)則移動:質(zhì)點每次移動一個單位,移動的方向是向上或向下,并且向上移動的概率為 ,則質(zhì)點P移動4次后位于點(0,2)的概率是(  )

  A. B. C. D.

  5.設F1,F(xiàn)2分別是雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦點,O為坐標原點,若按雙曲線右支上存在一點P,使 • =0,且| |=| |,則雙曲線的離心率為(  )

  A.1± B.1+ C.2 D.

  6.一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4m,側(cè)面展開圖的圓心角為 ,則這個圓錐的體積等于(  )

  A. πm3 B. πm3 C. πm3 D. πm3

  7.已知向量 =(1,λ), =(2,1),若2 + 與 =(1,﹣2)共線,則 在 方向上的投影是(  )

  A. B.﹣ C.﹣ D.﹣

  8.已知函數(shù)f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0),函數(shù)f(x)相鄰兩個零點之間的絕對值為 ,則下列為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的是(  )

  A.[0, ] B.[ ,π] C.[ , ] D.[ , ]

  9.在如下程序框圖中,已知f0(x)=sinx,則輸出的結(jié)果是(  )

  A.sinx B.cosx C.﹣sinx D.﹣cosx

  10.(x2﹣3x+2)5的展開式中,含x項的系數(shù)為(  )

  A.﹣240 B.﹣120 C.0 D.120

  11.如圖為一個幾何體的三視圖,則該幾何體外接球的表面積為(  )

  A.4 π B.12π C.12 π D.24π

  12.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當x∈[0,2)時,f(x)= ,函數(shù)g(x)=(2x﹣x2)ex+m,若∀x1∈[﹣4,﹣2],∃x2∈[﹣1,2],使得不等式f(x1)﹣g(x2)≥0成立,則實數(shù)m的取值范圍是(  )

  A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞, +2] C.[ +2,+∞) D.(﹣∞, ﹣2]

  高三理科數(shù)學一??荚嚲矸沁x擇題

  二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共25分.

  13.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x>0時,f(x)=2x+1,則f(﹣2)等于      .

  14.中心在原點的橢圓C的一個頂點是圓E:x2+y2﹣4x+3=0的圓心,一個焦點是圓E與x軸其中的一個交點,則橢圓C的標準方程為      .

  15.若變量x,y滿足 ,則z= 的取值范圍是      .

  16.如圖,為了測量河對岸電視塔CD的高度,小王在點A處測得塔頂D仰角為30°,塔底C與A的連線同河岸成15°角,小王向前走了1200m到達M處,測得塔底C與M的連線同河岸成60°角,則電視塔CD的高度為      .

  三、解答題:本大題共5小題,滿分60分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

  17.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點( ,Sn)在曲線y=2x2﹣2上.

  (1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;

  (2)設數(shù)列{bn}滿足bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

  18. 如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AB⊥PA,AB∥CD,且PB=BC=BD= ,CD=2AB=2 ,∠PAD=120°,E和F分別是棱CD和PC的中點.

  (1)求證:平面BEF⊥平面PCD;

  (2)求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值.

  19.在一次考試中,5名同學的數(shù)學、物理成績?nèi)绫硭荆?/p>

  學生 A B C D E

  數(shù)學(x分) 89 91 93 95 97

  物理(y分) 87 89 89 92 93

  (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求物理分y關于數(shù)學分x的回歸方程;

  (2)試估計某同學數(shù)學考100分時,他的物理得分;

  (3)要從4名數(shù)學成績在90分以上的同學中選出2名參加一項活動,以X表示選中的同學中物理成績高于90分的人數(shù),試解決下列問題:

 ?、偾笾辽龠x中1名物理成績在90分以下的同學的概率;

 ?、谇箅S機變變量X的分布列及數(shù)學期望E(X).

  (附:回歸方程:: = x+ 中 = , = ﹣b )

  20.如圖所示,已知點A(﹣1,0)是拋物線的準線與x軸的焦點,過點A的直線與拋物線交于M,N兩點,過點M的直線交拋物線于另一個點Q,且直線MQ過點B(1,﹣1).

  (1)求拋物線的方程;

  (2)求證:直線QN過定點.

  21.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2,且函數(shù)f(x)在點(2,f(2))處 的切線的一個方向向量是(2,﹣3).

  (1)若關于x的方程f(x)+ x2=3x﹣b在區(qū)間[ ,2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍;

  (2)證明: ( )2> (n∈N*,且n≥2)

  請考生在22、23、24三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.[選修4-1:幾何證明選講]

  22.如圖,AB是圓O的直徑,C,F(xiàn)為圓O上的點,CA是∠BAF的角平分線,CD與圓O切于點C,且交AF的延長線于點D,CM⊥AB,垂足為點M.

  (1)求證:DF=BM;

  (2)若圓O的半徑為1,∠BAC=60°,試求線段CD的長.

  [選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]

  23.在直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸為正半軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ﹣2sinθ,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a為常數(shù)).

  (1)求直線l普通方程與圓C的直角坐標方程;

  (2)若直線l分圓C所得的兩弧長度之比為1:2,求實數(shù)a的值.

  [選修4-5:不等式選講]

  24.已知函數(shù)f(x)=|kx+1|+|kx﹣2k|,g(x)=x+1.

  (1)當k=1時,求不等式f(x)>g(x)的解集;

  (2)若存在x0∈R,使得不等式f(x0)≤2成立,求實數(shù)k的取值范圍.

  高三理科數(shù)學一??荚嚲泶鸢?/h2>

  一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,每小題給出四個選項,只有一個選項符合題目要求.

  1.已知z= (i為虛數(shù)單位),則|z|=(  )

  A. B.1 C. D.2

  【考點】復數(shù)求模.

  【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;定義法;數(shù)系的擴充和復數(shù).

  【分析】利用復數(shù)的運算法則和模的計算公式即可得出.

  【解答】解:z= = = = = + i,

  ∴|z|= =1,

  故選:B.

  【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則和模的計算公式,屬于基礎題.

  2.計算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的結(jié)果為(  )

  A. B. C. D.

  【考點】兩角和與差的正弦函數(shù).

  【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;三角函數(shù)的求值.

  【分析】由條件利用誘導公式、兩角和差的正弦公式,化簡所給的式子,可得結(jié)果.

  【解答】解:﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°=﹣sin47°(﹣cos17°)﹣cos47°sin17°

  =sin(47°﹣17°)=sin30°= ,

  故選:A.

  【點評】本題主要考查誘導公式、兩角和差的正弦公式的應用,屬于基礎題.

  3.設命題p:∀a>1,函數(shù)f(x)=xa(x>0)是增函數(shù),則¬p為(  )

  A.∃a0<1,函數(shù)f(x)=xa0(x>0)是減函數(shù)

  B.∀a>1,函數(shù)f(x)=xa(x>0)不是減函數(shù)

  C.∃a0>1,函數(shù)f(x)=xa(x>0)不是增函數(shù)

  D.∀a>1,函數(shù)f(x)=xa(x>0)是減函數(shù)

  【考點】命題的否定.

  【專題】計算題;規(guī)律型;簡易邏輯.

  【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題,寫出結(jié)果即可.

  【解答】解:因為全稱命題是否定是特稱命題,所以,命題p:∀a>1,函數(shù)f(x)=xa(x>0)是增函數(shù),則¬p為:∃a0>1,函數(shù)f(x)=xa(x>0)不是增函數(shù).

  故選:C.

  【點評】本題考查命題的否定,特稱命題與全稱命題否定關系,是基礎題.

  4.位于平面直角坐標系原點的一個質(zhì)點P按下列規(guī)則移動:質(zhì)點每次移動一個單位,移動的方向是向上或向下,并且向上移動的概率為 ,則質(zhì)點P移動4次后位于點(0,2)的概率是(  )

  A. B. C. D.

  【考點】幾何概型.

  【專題】計算題;方程思想;綜合法;概率與統(tǒng)計.

  【分析】根據(jù)題意,分析可得質(zhì)點P移動4次后位于點(0,2),其中向上移動3次,向右下移動1次,進而借助排列、組合知識,由相互獨立事件的概率公式,計算可得答案.

  【解答】解:根據(jù)題意,質(zhì)點P移動4次后位于點(0,2),其中向上移動3次,向右下移動1次;

  則其概率為C41×( )1×( )3= ,

  故選:D.

  【點評】本題考查相互獨立事件的概率的計算,其難點在于分析質(zhì)點P移動4次后位于點(0,2),其中向上移動3次,向右下移動1次的情況,這里要借助排列組合的知識.

  5.設F1,F(xiàn)2分別是雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦點,O為坐標原點,若按雙曲線右支上存在一點P,使 • =0,且| |=| |,則雙曲線的離心率為(  )

  A.1± B.1+ C.2 D.

  【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).

  【專題】方程思想;分析法;平面向量及應用;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

  【分析】由題意可得PF2⊥x軸,且|PF2|=2c,令x=c代入雙曲線的方程,可得 =2c,由a,b,c的關系和離心率公式,解方程即可得到所求值.

  【解答】解:由題意可得PF2⊥x軸,且|PF2|=2c,

  由x=c代入雙曲線的方程可得y=±b =± ,

  即有 =2c,即c2﹣a2﹣2ac=0,

  由e= ,可得e2﹣2e﹣1=0,

  解得e=1+ (負的舍去).

  故選:B.

  【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運用向量垂直的條件:數(shù)量積為0,以及運用方程求解的思想,考查運算能力,屬于基礎題.

  6.一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4m,側(cè)面展開圖的圓心角為 ,則這個圓錐的體積等于(  )

  A. πm3 B. πm3 C. πm3 D. πm3

  【考點】旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺).

  【專題】計算題;函數(shù)思想;綜合法;空間位置關系與距離;立體幾何.

  【分析】根據(jù)已知求出圓錐的底面半徑和高,代入圓錐體積公式,可得答案.

  【解答】解:設圓錐的底面半徑為r,

  圓錐形物體的母線長l=4m,側(cè)面展開圖的圓心角為 ,

  故2πr= l,

  解得:r= m,

  故圓錐的高h= = m,

  故圓錐的體積V= = πm3,

  故選:D

  【點評】本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體,熟練掌握圓錐的幾何特征和體積公式是解答的關鍵.

  7.已知向量 =(1,λ), =(2,1),若2 + 與 =(1,﹣2)共線,則 在 方向上的投影是(  )

  A. B.﹣ C.﹣ D.﹣

  【考點】平面向量數(shù)量積的運算.

  【專題】對應思想;綜合法;平面向量及應用.

  【分析】根據(jù)向量共線求出λ,再代入平面向量的投影公式計算.

  【解答】解:2 + =(4,2λ+1),

  ∵2 + 與 =(1,﹣2)共線,

  ∴﹣8﹣(2λ+1)=0,解得λ=﹣ .

  ∴ , =2﹣ =﹣ .

  ∴ 在 方向上的投影為| |× = =﹣ .

  故選:D.

  【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算,向量共線與數(shù)量積的關系,屬于基礎題.

  8.已知函數(shù)f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0),函數(shù)f(x)相鄰兩個零點之間的絕對值為 ,則下列為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的是(  )

  A.[0, ] B.[ ,π] C.[ , ] D.[ , ]

  【考點】余弦函數(shù)的圖象.

  【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

  【分析】由條件利用誘導公式,余弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

  【解答】解:由函數(shù)f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0),函數(shù)f(x)相鄰兩個零點之間的絕對值為 ,

  可得 • = ,∴ω=2,函數(shù)f(x)=3cos( ﹣2x)=3cos(2x﹣ ).

  令2kπ≤2x﹣ ≤2kπ+π,求得kπ+ ≤x≤kπ+ ,

  可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z.

  結(jié)合所給的選項,

  故選:C.

  【點評】本題主要考查誘導公式,余弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎題.

  9.在如下程序框圖中,已知f0(x)=sinx,則輸出的結(jié)果是(  )

  A.sinx B.cosx C.﹣sinx D.﹣cosx

  【考點】程序框圖.

  【專題】計算題;圖表型;數(shù)學模型法;算法和程序框圖.

  【分析】分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)計算函數(shù)及導函數(shù)的函數(shù)值,模擬程序的運行,分析程序運行過程中函數(shù)值呈現(xiàn)周期性變化,求出周期T后,不難得到輸出結(jié)果.

  【解答】解:∵f0(x)=sinx,

  f1(x)=cosx,

  f2(x)=﹣sinx,

  f3(x)=﹣cosx,

  f4(x)=sinx,

  f5(x)=cosx.

  ∴題目中的函數(shù)為周期函數(shù),且周期T=4,

  ∴f2005(x)=f1(x)=cosx.

  故選:B.

  【點評】根據(jù)流程圖(或偽代碼)寫程序的運行結(jié)果,是算法這一模塊最重要的題型,其處理方法是:①分析流程圖(或偽代碼),從流程圖(或偽代碼)中即要分析出計算的類型,又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)(如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多,也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理)⇒②建立數(shù)學模型,根據(jù)第一步分析的結(jié)果,選擇恰當?shù)臄?shù)學模型③解模.

  10.(x2﹣3x+2)5的展開式中,含x項的系數(shù)為(  )

  A.﹣240 B.﹣120 C.0 D.120

  【考點】二項式定理的應用.

  【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項式定理.

  【分析】根據(jù)(x2﹣3x+2)5=(x﹣1)5•(x﹣2)5,利用二項式定理展開,可得含x項的系數(shù).

  【解答】解:由于(x2﹣3x+2)5=(x﹣1)5•(x﹣2)5

  =[ •x5﹣ •x4+ •x3﹣ •x2+ •x﹣1]•[ •x5﹣2 •x4+4 •x3﹣8 •x2+16 •x﹣32],

  故展開式中,含x項的系數(shù)為﹣32• ﹣16• =﹣240,

  故選:A.

  【點評】本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式,屬于基礎題.

  11.如圖為一個幾何體的三視圖,則該幾何體外接球的表面積為(  )

  A.4 π B.12π C.12 π D.24π

  【考點】由三視圖求面積、體積.

  【專題】計算題;數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;立體幾何.

  【分析】幾何體為直三棱柱,作出直觀圖,根據(jù)三棱柱的結(jié)構特征找出外接球的球心外置,計算半徑.

  【解答】解:由三視圖可知該幾何體為直三棱柱ABC﹣A'B'C',

  作出直觀圖如圖所示:則AB⊥BC,AB=BC=2,AA'=2.∴AC=2 .

  ∴三棱柱的外接球球心為平面ACC'A'的中心O,

  ∴外接球半徑r=OA= AC'= = .

  ∴外接球的表面積S=4π× =12π.

  故選B.

  【點評】本題考查了棱柱與外接球的三視圖和結(jié)構特征,屬于中檔題.

  12.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當x∈[0,2)時,f(x)= ,函數(shù)g(x)=(2x﹣x2)ex+m,若∀x1∈[﹣4,﹣2],∃x2∈[﹣1,2],使得不等式f(x1)﹣g(x2)≥0成立,則實數(shù)m的取值范圍是(  )

  A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞, +2] C.[ +2,+∞) D.(﹣∞, ﹣2]

  【考點】分段函數(shù)的應用.

  【專題】函數(shù)思想;分析法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;不等式的解法及應用.

  【分析】由f(x+2)=f(x),可得周期T=2,可得f(x)在[0,2]的最小值即為f(x)在[﹣4,﹣2]的最小值,運用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,求得f(x)的最小值;對g(x),求得導數(shù),求得單調(diào)區(qū)間和極值,最值,可得g(x)的最小值,由題意可得f(x)min≥g(x)min,解不等式即可得到所求范圍.

  【解答】解:由f(x+2)=f(x),可得周期T=2,

  可得f(x)在[0,2]的最小值即為f(x)在[﹣4,﹣2]的最小值,

  當0≤x<1時,f(x)= ﹣2x2>f(1)= ﹣2=﹣ ,

  當1≤x<2時,f(x)= ,

  f(x)在[1, )遞減,在[ ,2)遞增,

  可得f(x)在x= 處取得最小值,且為﹣2;

  由﹣2<﹣ ,可得f(x)在[0,2]的最小值為﹣2;

  對于g(x)=(2x﹣x2)ex+m,g′(x)=(2﹣x2)ex,

  當x∈[﹣1, ]時,g′(x)>0,g(x)遞增;

  當x∈[ ,2]時,g′(x)<0,g(x)遞減.

  可得x= 處g(x)取得極大值,也為最大值;

  g(﹣1)=﹣3e﹣1+m

  由題意可得f(x)min≥g(x)min,

  即為﹣2≥﹣3e﹣1+m,即m≤ ﹣2.

  故選:D.

  【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)和運用,考查周期性和單調(diào)性的運用,注意運用最大值、最小值來解決恒成立和存在性問題,屬于中檔題.

  二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共25分.

  13.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x>0時,f(x)=2x+1,則f(﹣2)等于 5 .

  【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

  【專題】計算題;函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用.

  【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義有f(﹣2)=f(2),從而將x=2帶入x>0時的解析式f(x)=2x+1即可求出f(2),從而得出f(﹣2)的值.

  【解答】解:f(﹣2)=f(2)=22+1=5.

  故答案為:5.

  【點評】考查偶函數(shù)的定義,以及已知函數(shù)求值時,要注意函數(shù)的定義域.

  14.中心在原點的橢圓C的一個頂點是圓E:x2+y2﹣4x+3=0的圓心,一個焦點是圓E與x軸其中的一個交點,則橢圓C的標準方程為   .

  【考點】橢圓的簡單性質(zhì).

  【專題】計算題;方程思想;數(shù)學模型法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

  【分析】化圓的一般式方程為標準方程,求出圓心坐標和圓與x軸的交點,結(jié)合隱含條件求得橢圓的標準方程.

  【解答】解:由x2+y2﹣4x+3=0,得(x﹣2)2+y2=1,

  ∴圓E的圓心為(2,0),與x軸的交點為(1,0),(3,0),

  由題意可得,橢圓的右頂點為(2,0),右焦點為(1,0),

  則a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3,

  則橢圓的標準方程為: .

  故答案為: .

  【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了橢圓標準方程的求法,是基礎題.

  15.若變量x,y滿足 ,則z= 的取值范圍是 [0,1] .

  【考點】簡單線性規(guī)劃.

  【專題】數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化法;不等式.

  【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用z的幾何意義結(jié)合斜率公式進行求解即可.

  【解答】解:作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:

  z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到點(﹣1,0)的斜率,

  由圖象知CD的斜率最小為0,

  AD的斜率最大,

  由 得 .即A(0,1),

  此時z= = =1,

  即0≤z≤1,

  故答案為:[0,1]

  【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用直線斜率的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵.

  16.如圖,為了測量河對岸電視塔CD的高度,小王在點A處測得塔頂D仰角為30°,塔底C與A的連線同河岸成15°角,小王向前走了1200m到達M處,測得塔底C與M的連線同河岸成60°角,則電視塔CD的高度為 600 m .

  【考點】解三角形的實際應用.

  【專題】數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;解三角形.

  【分析】在△ACM中由正弦定理解出AC,在Rt△ACD中,根據(jù)三角函數(shù)的定義得出CD.

  【解答】解:在△ACM中,∠MCA=60°﹣15°=45°,∠AMC=180°﹣60°=120°,

  由正弦定理得 ,即 ,解得AC=600 .

  在△ACD中,∵tan∠DAC= = ,

  ∴DC=ACtan∠DAC=600 × =600 .

  故答案為:600 .

  【點評】本題考查了解三角形的應用,尋找合適的三角形是解題的關鍵.

  三、解答題:本大題共5小題,滿分60分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

  17.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點( ,Sn)在曲線y=2x2﹣2上.

  (1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;

  (2)設數(shù)列{bn}滿足bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

  【考點】數(shù)列的求和;等比數(shù)列的通項公式.

  【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;等差數(shù)列與等比數(shù)列.

  【分析】(1)通過Sn=2an﹣2與Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2)作差,進而可得數(shù)列{an}是首項、公比均為2的等比數(shù)列;

  (2)通過(1)裂項可知bn=4( ﹣ ),進而并項相加即得結(jié)論.

  【解答】(1)證明:依題意,Sn=2an﹣2,

  ∴Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2),

  兩式相減得:an=2an﹣2an﹣1,即an=2an﹣1,

  又∵a1=2a1﹣2,即a1=2,

  ∴數(shù)列{an}是首項、公比均為2的等比數(shù)列;

  (2)解:由(1)可知an=2n,

  ∴bn= = = =4( ﹣ ),

  ∴Tn=4(1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )

  =4(1﹣ )

  = .

  【點評】本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查裂項相消法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

  18. 如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AB⊥PA,AB∥CD,且PB=BC=BD= ,CD=2AB=2 ,∠PAD=120°,E和F分別是棱CD和PC的中點.

  (1)求證:平面BEF⊥平面PCD;

  (2)求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值.

  【考點】直線與平面所成的角;平面與平面垂直的判定.

  【專題】證明題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間位置關系與距離.

  【分析】(1)先推導出四邊形ABED是矩形,從而AB⊥平面PAD,進而CD⊥PD,CD⊥EF,CD⊥BE,由此得到CD⊥平面BEF,由此能證明平面BEF⊥平面PCD.

  (2)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,建立空間直角坐標角系,利用向量法能求出直線PD與平面PBC所成的角的正弦值.

  【解答】證明:(1)∵BC=BD,E為CD中點,∴BE⊥CD,

  ∵AB∥CD,∴CD=2AB,

  ∴AB∥DE,且AB=DE,∴四邊形ABED是矩形,

  ∴BE∥AD,BE=AD,AB⊥AD,

  ∵AB⊥PA,又PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,

  ∴CD⊥PD,且CD⊥AD,

  又∵在平面PCD中,EF∥PD,∴CD⊥EF,

  ∵EF∩BE=E,∴EF⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,

  又CD⊥BE,∴CD⊥平面BEF,

  ∵CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.

  解:(2)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,建立空間直角坐標角系,

  ∵PB=BC=BD= ,CD=2AB=2 ,∠PAD=120°,

  ∴PA= = =2,AD=BE= =2,

  BC= = =2,

  則P(0,﹣1, ),D(0,2,0),B( ),C(2 ,2,0),

  =(0,3,﹣ ), =(﹣ ), =( ),

  設平面PBC的法向量 =(x,y,z),

  則 ,取x= ,得 =( , ),

  設直線PD與平面PBC所成的角為θ,

  sinθ=|cos< >|=| |=| |= .

  ∴直線PD與平面PBC所成的角的正弦值為 .

  【點評】本題考查面面垂直的證明,考查線面角的正弦值的求法,則中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

  19.在一次考試中,5名同學的數(shù)學、物理成績?nèi)绫硭荆?/p>

  學生 A B C D E

  數(shù)學(x分) 89 91 93 95 97

  物理(y分) 87 89 89 92 93

  (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求物理分y關于數(shù)學分x的回歸方程;

  (2)試估計某同學數(shù)學考100分時,他的物理得分;

  (3)要從4名數(shù)學成績在90分以上的同學中選出2名參加一項活動,以X表示選中的同學中物理成績高于90分的人數(shù),試解決下列問題:

 ?、偾笾辽龠x中1名物理成績在90分以下的同學的概率;

 ?、谇箅S機變變量X的分布列及數(shù)學期望E(X).

  (附:回歸方程:: = x+ 中 = , = ﹣b )

  【考點】線性回歸方程.

  【專題】函數(shù)思想;綜合法;概率與統(tǒng)計.

  【分析】(1)根據(jù)回歸系數(shù)公式計算回歸系數(shù),得出回歸方程;

  (2)根據(jù)回歸方程估計;

  (3)依次計算X=0,1,2時的概率,列出分布列計算數(shù)學期望.

  【解答】解:(1) , .

  =(﹣4)2+(﹣2)2+0+22+42=40.

  =(﹣4)×(﹣3)+(﹣2)×(﹣1)+0+2×2+4×3=30.

  ∴ = , =90﹣0.75×93=20.25.

  ∴物理分y關于數(shù)學分x的回歸方程為 =0.75x+20.25.

  (2)當x=100時, =0.75×100+20.25=95.25分.

  (3)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.

  P(X=0)= = .

  P(X=1)= = .

  P(X=2)= = .

  ①至少選中1名物理成績在90分以下的同學的概率為P=P(X=0)+P(X=1)= .

 ?、赬的分布列為:

  X 0 1 2

  P

  ∴X的數(shù)學期望E(X)=0× +1× +2× =1.

  【點評】本題考查了線性回歸方程的解法,古典概型的概率計算,隨機變量的數(shù)學期望,屬于基礎題.

  20.如圖所示,已知點A(﹣1,0)是拋物線的準線與x軸的焦點,過點A的直線與拋物線交于M,N兩點,過點M的直線交拋物線于另一個點Q,且直線MQ過點B(1,﹣1).

  (1)求拋物線的方程;

  (2)求證:直線QN過定點.

  【考點】拋物線的簡單性質(zhì).

  【專題】綜合題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

  【分析】(1)由題意,拋物線的準線方程為x=﹣1,即可求出拋物線的方程;

  (2)設AM的方程為y=k(x+1),代入拋物線的方程,可得ky2﹣4y+4k=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),則y1y2=4,直線MB的方程為y+1= (x﹣1),可得y2y3+4(y2+y3)+4=0,直線QN的方程為y﹣y2= (x﹣x2),可得y2y3﹣y(y2+y3)+4x=0,即可得出直線QN過定點.

  【解答】(1)解:由題意,拋物線的準線方程為x=﹣1,

  ∴拋物線的方程為y2=4x;

  (2)證明:設AM的方程為y=k(x+1),代入拋物線的方程,可得ky2﹣4y+4k=0

  設M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),則y1y2=4,

  由kMQ= = = ,

  直線MB的方程為y+1= (x﹣1),

  ∴y1+1= (x1﹣1),

  可得y1=﹣ ,

  ∴ =﹣ ,

  ∴y2y3+4(y2+y3)+4=0

  直線QN的方程為y﹣y2= (x﹣x2)

  可得y2y3﹣y(y2+y3)+4x=0,

  ∴x=1,y=﹣4,

  ∴直線QN過定點(1,﹣4)

  【點評】本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關系,考查直線過定點,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

  21.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2,且函數(shù)f(x)在點(2,f(2))處 的切線的一個方向向量是(2,﹣3).

  (1)若關于x的方程f(x)+ x2=3x﹣b在區(qū)間[ ,2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍;

  (2)證明: ( )2> (n∈N*,且n≥2)

  【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程;根的存在性及根的個數(shù)判斷.

  【專題】轉(zhuǎn)化思想;分析法;導數(shù)的概念及應用;不等式的解法及應用.

  【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),求得切線的斜率,解方程可得a的值,由題意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[ ,2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根,即為g(x)=lnx+x2﹣3x和直線y=﹣b在[ ,2]上有兩個交點,求得g(x)的導數(shù),可得單調(diào)區(qū)間,即可得到所求b的范圍;

  (2)可得當x>1時,f′(x)<0,f(x)遞減.即有l(wèi)nx﹣ x2<﹣ ,即為lnx< (x2﹣1),即有 > = ﹣ ,可令x=2,3,…,n,累加即可得證.

  【解答】解:(1)函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2的導數(shù)為f′(x)= ﹣2ax,

  由題意可得在點(2,f(2))處的切線斜率為 ﹣4a=﹣ ,

  解得a= ,

  即有f(x)=lnx﹣ x2,

  由題意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[ ,2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根,

  即為g(x)=lnx+x2﹣3x和直線y=﹣b在[ ,2]上有兩個交點,

  由g(x)的導數(shù)為g′(x)= +2x﹣3= ,

  當

  當10,g(x)遞增.

  則有g(1)<﹣b≤g( ),

  即為﹣2<﹣b≤﹣ln2﹣ ,解得ln2+ ≤b<2;

  (2)證明:由f(x)=lnx﹣ x2的導數(shù)為f′(x)= ﹣x= ,

  當x>1時,f′(x)<0,f(x)遞減.

  即有l(wèi)nx﹣ x2<﹣ ,即為lnx< (x2﹣1),

  即有 > = ﹣ ,

  則有 + +…+ >1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣

  =1+ ﹣ ﹣ = =

  =(3+ )• > .

  【點評】本題考查導數(shù)的運用:求切線的斜率和單調(diào)性,考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和不等式的證明,注意運用函數(shù)的單調(diào)性和累加法,考查運算能力,屬于中檔題.

  請考生在22、23、24三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.[選修4-1:幾何證明選講]

  22.如圖,AB是圓O的直徑,C,F(xiàn)為圓O上的點,CA是∠BAF的角平分線,CD與圓O切于點C,且交AF的延長線于點D,CM⊥AB,垂足為點M.

  (1)求證:DF=BM;

  (2)若圓O的半徑為1,∠BAC=60°,試求線段CD的長.

  【考點】與圓有關的比例線段.

  【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;推理和證明.

  【分析】(1)根據(jù)三角形全等以及切割線定理進行證明即可證明DF=BM;

  (2)根據(jù)三角形中的邊角關系進行求解即可.

  【解答】解:(1)連接OC,CB,則有∠OAC=∠OCA,

  ∵CA是∠BAF的角平分線,

  ∴∠OAC=∠FAC,

  ∴∠FAC=∠ACO,則OC∥AD,

  ∵DC是圓O的切線,∴CD⊥OC,

  則CD⊥AD,

  由題意得△AMC≌△ADC,

  ∴DC=CM,DA=AM,

  由切割線定理得DC2=DF•DA=DF•AM=CM2,①,

  在Rt△ABC中,由射影定理得CM2=AM•BM,②,

  由①②得DF•AM=AM•MB,即DF=MB.

  (2)在Rt△ABC中,AC=ABcos∠BAC=2cos30°=2× = ,

  則CM= AC= ,

  于是CD=CM= ,

  即CD的長為 .

  【點評】本題主要考查幾何的推理和證明,根據(jù)切割線定理以及三角形全等關系是解決本題的關鍵.考查學生的運算和推理能力.

  [選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]

  23.在直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸為正半軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ﹣2sinθ,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a為常數(shù)).

  (1)求直線l普通方程與圓C的直角坐標方程;

  (2)若直線l分圓C所得的兩弧長度之比為1:2,求實數(shù)a的值.

  【考點】參數(shù)方程化成普通方程;參數(shù)的意義.

  【專題】數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化法;直線與圓;坐標系和參數(shù)方程.

  【分析】(1)利用極坐標公式,把極坐標方程化為普通方程,消去參數(shù)t,把參數(shù)方程化為普通方程;

  (2)根據(jù)題意,得出直線l被圓C截得的弦所對的圓心角為120°,圓心C到直線l的距離d= r,由此列出方程求出a的值.

  【解答】解:(1)圓C的極坐標方程ρ=4cosθ﹣2sinθ可化為ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ,

  利用極坐標公式,化為普通方程是x2+y2=4x﹣2y,

  即(x﹣2)2+(y+1)2=5;

  直線l的參數(shù)方程為 ,

  消去參數(shù)t,化為普通方程是y= ﹣ax;

  (2)圓C的方程為(x﹣2)2+(y+1)2=5,圓心C為(2,﹣1),半徑r= ,

  直線l的方程為y= ﹣ax,即ax+y﹣ =0,

  直線l將圓C分成弧長之比為1:2的兩段圓弧,

  ∴直線l被圓截得的弦所對的圓心角為120°,

  ∴圓心C到直線l的距離d= r= ,

  即 = ,

  整理得11a2﹣24a+4=0,

  解得a=2或a= .

  【點評】本題考查了參數(shù)方程與極坐標的應用問題,也考查了直線與圓的應用問題,由題意得出圓心C到直線l的距離d等于半徑r的一半是解題的關鍵.

  [選修4-5:不等式選講]

  24.已知函數(shù)f(x)=|kx+1|+|kx﹣2k|,g(x)=x+1.

  (1)當k=1時,求不等式f(x)>g(x)的解集;

  (2)若存在x0∈R,使得不等式f(x0)≤2成立,求實數(shù)k的取值范圍.

  【考點】絕對值不等式的解法.

  【專題】綜合題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;不等式的解法及應用.

  【分析】(1)問題轉(zhuǎn)化為|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1>0,設函數(shù)y=|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1,通過討論x的范圍求出不等式的解集即可;

  (2)問題 等價于|2k﹣1|≤2,解出即可.

  【解答】解(1)k=1時,不等式f(x)>g(x)化為:|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1>0,

  設函數(shù)y=|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1,則y= ,

  令y>0,解得:x>4或x< ,

  ∴原不等式的解集是{x|x< 或x>4};

  (2)∵f(x)﹣|kx﹣1|+|kx﹣2k|>|kx﹣1﹣kx+2k|﹣|2k﹣1|,

  ∴存在x0∈R,使得不等式f(x0)≤2成立

  等價于|2k﹣1|≤2,解得:﹣ ≤k≤ ,

  故所求實數(shù)k的范圍是[﹣ , ].

  【點評】本題考查了絕對值不等式問題,考查函數(shù)恒成立問題以及分類討論思想,是一道中檔題.


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