2018年山東省初二期末數學試卷
2018年山東省初二期末數學試卷
2018年的山東省初二同學們，即將到來的期末考試都有信心嗎?數學只要平時多做試卷，相信考試不會難道你的。下面由學習啦小編為大家提供關于2018年山東省初二期末數學試卷，希望對大家有幫助!
2018年山東省初二期末數學試卷選擇題
(共12小題，每小題3分，滿分36分)
1.下列分解因式正確的是( )
A.﹣a+a3=﹣a(1+a2) B.2a﹣4b+2=2(a﹣2b)
C.a2﹣1=(a﹣1)2 D.﹣a2+4b2=(2b+ a)(2b﹣a)
2.下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是( )
A.一組對邊平行，另一組對邊相等
B.對角線相等
C.一條對角線平分另一條對角線
D.兩條對角線互相平分
3.繞某個點旋轉180°后不能與自身重合的圖形是( )
A.平行四邊形 B.長方形 C.線段 D.等邊三角形
4.一件襯衫售價a元，利潤為m%(m>0)，則這種商品每件的成本是( )
A. B. C.a(1+m%) D.a(1﹣m%)
5.某公司要出口一批易拉罐啤酒，標準體積為每瓶350mL，現抽取10瓶樣品進行檢測，它們的體積與標準體積的差值(單位：mL)如下：﹣6，+3，0，+3，0，0，﹣3，0，+3，+6 ，則這10瓶易拉罐啤酒體積的平均數及眾數為( )
A.350.6mL，350mL B.0.6mL，0mL
C.356mL，353mL D.350.6mL，353mL
6.在▱ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，BC=5，OF=1.5，則四邊形ABFE的周長是( )
A.11 B.11.5 C.12 D.12.5
7.2710﹣324可以被20和30之間的某兩個整數整除，這兩個數是( )
A.22，24 B.23，25 C.26，28 D.27，29
8.設p= ﹣ ，q= ﹣ ，則p，q的關系是( )
A.p=q B.p>q C.p
9.如圖，在菱形ABCD中，對角線的交點為O，點E是BC的中點，∠BAD=110°，則∠BOE=( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
10.如圖，已知點A(1，0)，B(4，0)，將線段AB平移 得到線段CD，點B的對應點C恰好落在y軸上，且四邊形ABCD的面積為9，則四邊形ABCD的周長為( )
A.14 B.16 C.18 D.20
11.如圖，將△ABC繞點P逆時針旋轉90°得到△A′B′C，則點P的坐標是( )
A.(1，1) B.(2，1) C.(1，2) D.(1，3)
12.如圖，過邊長為2的正方形ABCD的中心O引兩條互相垂直的射線，分別與正方形的邊交于E，F兩點，則線段EF長的取值范圍是( )
A. ≤EF≤2 B. ≤EF≤2 C. ≤EF≤2 D. ≤EF≤
2018年山東省初二期末數學試卷非選擇題
二、填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)
13.分解因式：x2﹣3x﹣4= .
14. =(a﹣1)+ .
15.某學校開展數學競賽，八(1)、八(2)班根據初賽成績各選出5名選手參加復賽，兩個班的5名選手的復賽成績如圖所示.根據圖示回答：一班復賽成績的中位數是 分，二班復 賽成績的極差是 分.
16.如圖，人民幣舊版壹角硬幣內部的正多邊形每個內角度數是 °.
17.如圖，在▱ABCD中，G是CD上一點，連接BG且延長交AD的延長線于點E，AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，則∠BFD= .
18.如圖，將三條線段CD，EF，GN分別繞點O旋轉，不能與線段AB重合的線段是 .
三、解答題(共7小題)
19.把下列各式因式分解：
(1)﹣9a2+6a(a﹣b)﹣(a﹣b)2;
(2)(x﹣1)(x﹣2)+ .
20.先化簡，再求值：( ﹣ )÷(a+1﹣ )，其中a=﹣ .
21.如圖，在▱ABCD中，AB=AE，連接BE且延長CD的延長線于點F.求證：AD=CF.
22.小明和小亮在課外活動中，報名參加了短跑訓練.在五次百米訓練中，所測成績如圖所示，請根據圖中所給信息解答以下問題：分別計算他們的平均數、極差和方差.
23.手機專賣店經營的某種手機去年銷售總額為10萬元，今年每部售價比去年降低500元，若今年賣出的數量與去年賣出的數量相同，且銷售總額比去年減少10%，求今年每部手機的售價是多少元.
24.如圖，菱形ABCD的邊長為5，過點A作對角線AC的垂線，交CB的延長線于點E，AE=4.
(1)求證：BE=BC;
(2)求S菱形ABCD.
25.如圖，P是等腰Rt△ACB內一點，AC=BC，且PA=8，PB=10，PC= .將△CPB繞點C按逆時針方向旋轉后，得到△CP′A.
(1)直接寫出旋轉的最小角度;
(2)求∠APC的度數.
2018年山東省初二期末數學試卷答案
一、選擇題(共12小題，每小題3分，滿分36分)
1.下列分解因式正確的是( )
A.﹣a+a3=﹣a(1+a2) B.2a﹣4b+2=2(a﹣2b)
C.a2﹣1=(a﹣1)2 D.﹣a2+4b2=(2b+a)(2b﹣a)
考點： 提公因式法與公式法的綜合運用.
分析： 分別利用提取公因式法以及公式法分解因式得出即可.
解答： 解：A、﹣a+a3=﹣a(1﹣a2)=﹣a(1+a)(1﹣a)，故此選項錯誤;
B、2a﹣4b+2=2(a﹣2b+1)，故此選項錯誤;
C、a2﹣1=(a﹣1)(a+1)，故此選項錯誤;
D、﹣a2+4b2=(2b+a)(2b﹣a)，正確.
故選：D.
點評： 此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用乘法公式是解題關鍵.
2.下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是( )
A.一組對邊平行，另一組對邊相等
B.對角線相等
C.一條對角線平分另一條對角線
D.兩條對角線互相平分
考點： 平行四邊形的判定.
分析： 根據平行四邊形的判定定理(①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;④有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形)進行判斷即可.
解答： 解：如圖：
A、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形，故本選項錯誤;
B、對角線相等不能判定四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤;
C、一條對角線平分另一條對角線不能判定四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤;
D、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項正確.
故選D.
點評： 本題考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵是了解平行四邊形的所有判定定理，難度不大.
3.繞某個點旋轉180°后不能與自身重合的圖形是( )
A.平行四邊形 B.長方形 C.線段 D.等邊三角形
考點： 旋轉對稱圖形.
分析： 利用中心對稱圖形的性質進而分析得出即可.
解答： 解;A、平行四邊形，是中心對稱圖形，繞某個點旋轉180°后能與自身重合的圖形，故此選項錯誤;
B、長方形，是中心對稱圖形，繞某個點旋轉180°后能與自身重合的圖形，故此選項錯誤;
C、線段，是中心對稱圖形，繞某個點旋轉180°后能與自身重合的圖形，故此選項錯誤;
D、等邊三角形，不是中心對稱圖形，繞某個點旋轉180°后不能與自身重合的圖形，故此選項正確;
故選：D.
點評： 此題主要考查了旋轉對稱圖形，正確把握中心對稱圖形的定義是解題關鍵.
4.一件襯衫售價a元，利潤為m%(m>0)，則這種商品每件的成本是( )
A. B. C.a(1+m%) D.a(1﹣m%)
考點： 列代數式(分式).
分析： 根據進價與利潤之間的關系求出即可.
解答： 解：設這種商品每件的成本是x元，根據題意可得：
x(1+m%)=a，
解得：x= .
故選：B.
點評： 此題主要考查了列代數式，正確掌握進價與利潤之間的關系是解題關鍵.
5.某公司要出口一批易拉罐啤酒，標準體積為每瓶350mL，現抽取10瓶樣品進行檢測，它們的體積與標準體 積的差值(單位：mL)如下：﹣6，+3，0，+3，0，0，﹣3，0，+3，+6，則這10瓶易拉罐啤酒體積的平均數及眾數為( )
A.350.6mL，350mL B.0.6mL，0mL
C.356mL，353mL D.350.6mL，353mL
考點： 眾數;加權平均數.
分析： 首先求得﹣6，+3，0，+3，0，0，﹣3，0，+3，+6這10個數的平均數以及眾數，然后分別加上350ml，即可求解.
解答： 解：平均數是：350+ (﹣6+3+0+3+0+0﹣3+0+3+6)=350+0.6=350 .6ml，
﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10的眾數是0，因而這10瓶啤酒的質量的眾數是：350+0=350ml.
故選A.
點評： 本題考查了眾數與平均數的求法，正確理解定理，理解與這10瓶罐頭質量的平均數及眾數的關系是關鍵.
6.在▱ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，BC=5，OF=1.5，則四邊形ABFE的周長是( )
A.11 B.11.5 C.12 D.12.5
考點： 平行四邊形的性質.
分析： 先利用平行四邊形的性質求出AB、CD、BC、AD的值，可利用全等的性質得到△AEO≌△CFO，即可求出四邊形的周長.
解答： 解：已知AB=4，BC=5，OE=1.5，
根據平行四邊形的性質，AB=CD=4，BC=AD=5，
在△AEO和△CFO中OA=OC，∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，
所以△AEO≌△CFO，OE=OF=1.5，
則ABFE的周長=EFCD的周長=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+AB+EF=5+4+3=12.
故選C.
點評： 本題考查平行四邊形的性質：①平行四邊形兩組對邊分別平行;②平行四邊形的兩組對邊分別相等;③平行四邊形的兩組對角分別相等;④平行四邊形的對角線互相平分.
7.2710﹣324可以被20和30之間的某兩個整數整除，這兩個數是( )
A.22，24 B.23，25 C.26，28 D.27，29
考點： 因式分解的應用.
分析： 將2710﹣324利用分解因式的知識進行分解，再結合題目能被20至30之間的兩個整數整除即可得出答案.
解答： 解：2710﹣324
=324(36﹣1)
=324(32﹣1)(33+1)
∵可以被20和30之間的某兩個整數整除，
∴這兩個數是26，28.
故選：C.
點評： 此題考查因式分解的實際運用，利用提公因式法和平方差公式是解決問題的關鍵.
8.設p= ﹣ ，q= ﹣ ，則p，q的關系是( )
A.p=q B.p>q C.p
考點： 分式的加減法.
專題： 計算題.
分析： 把p與q代入p+q中計算，即可做出判斷.
解答： 解：∵p= ﹣ ，q= ﹣ ，
∴p+q= ﹣ + ﹣ = ﹣ =1﹣1=0，
則p=﹣q，
故選D
點評： 此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
9.如圖，在菱形ABCD中，對角線的交點為O，點E是BC的中點，∠BAD=110°，則∠BOE=( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
考點： 菱形的性質.
分析： 由菱形的性質可求得∠ABC，進一步可求得∠ABO，再利用中位線定理可得∠BOE=∠ABO，可求得答案.
解答： 解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠ABC=180°﹣110°=70°，
∴∠ABO= ∠ABC=35°，
又∵E為BC中點，
∴OE為△ABC的中位線，
∴OE∥AB，
∴∠BOE=∠ABO=35°，
故選A.
點評： 本題主要考查菱形的性質，掌握菱形對邊平行、對角線互相平分且平分每一組對角是解題的關鍵.
10.如圖，已知點A(1，0)，B(4，0)，將線段AB平移得到線段CD，點B的對應點C恰好落在y軸上，且四邊形ABCD的面積為9，則四邊形ABCD的周長為( )
A.14 B.16 C.18 D.20
考點： 坐標與圖形變化-平移.
分析： 根據平移的性質可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據點A、B的坐標求出AB，再利用平行四邊形的面積求出OC，然后利用勾股定理列式求出BC，再根據平行四邊形的周長公式列式計算即可得解.
解答： 解：∵線段AB平移得到線段CD，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵A(1，0)，B(4，0)，
∴AB=4﹣1=3，
∵四邊形ABCD的面積為9，
∴3•OC=9，
解得OC=3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC= = =5，
∴四邊形ABCD的周長=2(3+5)=16.
故選B.
點評： 本題考查了坐標與圖形變化﹣平移，勾股定理，平行四邊形的判定與性質，熟記性質并求出BC長度是解題的關鍵.
11.如圖，將△ABC繞點P逆時針旋轉90°得到△A′B′C，則點P的坐標是( )
A.(1，1) B.(2，1) C.(1，2) D.(1，3)
考點： 坐標與圖形變化-旋轉.
分析： 先根據旋轉的性質得到點A的對應點為點A′，點B的對應點為點B′，再根據旋轉的性質得到旋轉中心在線段AA′的垂直平分線，也在線段BB ′的垂直平分線，即兩垂直平分線的交點為旋轉中心.
解答： 解：∵將△ABC以某點為旋轉中心，順時針旋轉90°得到△A′B′C′，
∴點A的對應點為點A′，點C的對應點為點C′，
作線段AA′和CC′的垂直平分線，它們的交點為P(1，2)，
∴旋轉中心的坐標為(1，2).
故選：C.
點評： 本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標.常見的是旋轉特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.
12.如圖，過邊長為2的正方形ABCD的中心O引兩條互相垂直的射線，分別與正方形的邊交于E，F兩點，則線段EF長的取值范圍是( )
A. ≤EF≤2 B. ≤EF≤2 C. ≤EF≤2 D. ≤EF≤
考點： 全等三角形的判定與性質;正方形的性質.
分析： 如圖，作輔助線;證明△AOE≌△DOF，進而得到OE=OF，此為解決該題的關鍵性結論;求出OE的范圍，借助勾股定理即可解決問題.
解答： 解：如圖，連接EF;
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠EAO=∠FDO=45°，AO=DO;
∵∠EOF=90°，∠AOD=90°，
∴∠AOE=∠DOF;
在△AOE與△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF(SAS)，
∴OE=OF(設為λ);
由勾股定理得：
EF2=OE2+OF2=2λ2;
由題意可得：1≤λ≤ ，
∴ ，
故選A.
點評： 該題以正方形為載體，主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定等幾何知識點的應用問題;牢固掌握全等三角形的判定等幾何知識點，是靈活解題的基礎和關鍵.
二、填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)
13.分解因式：x2﹣3x﹣4= (x+1)(x﹣4) .
考點： 因式分解-十字相乘法等.
分析： 因為﹣4=1×(﹣4)，1+(﹣4)=﹣3，所以x2﹣3x﹣4=(x+1)(x﹣4).
解答： 解：x2﹣3x﹣4=(x+1)(x﹣4).
點評： 本題考 查十字相乘法分解因式，因為x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，只要符合此形式，就可以進行因式分解，稱為十字相乘法.
14. =(a﹣1)+ .
考點： 分式的加減法.
專題： 計算題.
分析： 原式分子配方后，計算即可得到結果.
解答： 解：原式= =(a﹣1)+ ，
故答案為：
點評： 此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
15.某學校開展數學競賽，八(1)、八(2)班根據初賽成績各選出5名選手參加復賽，兩個班的5名選手的復賽成績如圖所示.根據圖示回答：一班復賽成績的中位數是 80 分，二班復賽成績的極差是 30 分.
考點： 中位數;條形統計圖;極差.
分析： 根據中位數和極差的概念求解.
解答： 解：八(1)班的成績按照從小到大的順序排列為：60，75，80，80，95，
則中位數為：80，
八(2)班的成績的極差為：95﹣65=30.
故答案為：80.30.
點評： 本題考查了中位數和極差的概念：極差是指一組數據中最大數據與最小數據的差;將一組數據按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數 據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數;如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.
16.如圖，人民幣舊版壹角硬幣內部的正多邊形每個內角度數是 140 °.
考點： 多邊形內角與外角.
分析： 根據多邊形的內角和公式即可得出結果.
解答： 解：∵九邊形的內角和=(9﹣2)•180°=1260°，
又∵九邊形的每個內角都相等，
∴每個內角的度數=1260°÷9=140°.
故答案為：140.
點評： 本題考查多邊形的內角和計算公式.多邊形內角和定理：多邊形內角和等于(n﹣2)•180°.
17.如圖，在▱ABCD中，G是CD上一點，連接BG且延長交AD的延長線于點E，AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，則∠BFD= 80° .
考點： 平行四邊形的性質.
分析： 根據平行四邊形的對角相等可得∠A=∠C，對邊相等可得AB=CD，再利用三角形的內角和定理求出∠ABE，然后求出四邊形BGDF是平行四邊形，最后利用平行四邊形的鄰角互補列式計算即可得解.
解答： 解：在在▱ABCD中，∠A=∠C=50°，AB=CD，
∵∠E=30°，
∴∠ABE=180°﹣50°﹣30°=100°，
∵AF=CG，
∴BF=DG，
又∵BF∥DG，
∴四邊形BGDF是平行四邊形，
∴∠BFD=180°﹣∠ABE=180°﹣100°=80°.
故答案為：80°.
點評： 本題考查了平行四邊形的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握平行四邊形的判定方法與性質是解題的關鍵.
18.如圖，將三條線段CD，EF，GN分別繞點O旋轉，不能與線段AB重合的線段是 線段CD .
考點： 旋轉的性質.
分析： 連結OA、OC、ON、OF、OB、OD、OG、OE，設小方格正方形的邊長為1，如圖，易得OA=ON=OF=2，而OC= ，根據對應點到旋轉中心的距離相等可判斷線段CD繞點O旋轉，不能與線段AB重合.
解答： 解：連結OA、OC、ON、OF、OB、OD、OG、OE，設小方格正方形的邊長為1，如圖，
∵OA=ON=OF=2，而OC= ，OB=OG=OE=3 ，而OD= ，
∴線段EF，GN分別繞點O旋轉，能與線段AB重合，而線段CD繞點O旋轉，不能與線段AB重合.
故答案為線段CD.
點評： 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前、后的圖形全等.也考查了等腰三角形的判定與性質.
三、解答題(共7小題)
19.把下列各式因式分解：
(1)﹣9a2+6a(a﹣b)﹣(a﹣b)2;
(2)(x﹣1)(x﹣2)+ .
考點： 提公因式法與公式法的綜合運用.
分析： (1)首先提取負號，進而利用完全平方公式分解因式得出即可;
(2)首先去括號，進而利用完全平方公式分解因式即可.
解答： 解：(1)﹣9a2+6a(a﹣b)﹣(a﹣b)2
=﹣[(3a﹣(a﹣b)]2
=﹣(2a+b)2;
(2)(x﹣1)(x﹣2)+
=x2﹣3x+2+
=(x﹣ )2.
點評： 此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用完全平方公式是解題關鍵.
20.先化簡，再求值：( ﹣ )÷(a+1﹣ )，其中a=﹣ .
考點： 分式的化簡求值.
專題： 計算題.
分析： 原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把a的值代入計算即可求出值.
解答： 解：原式= ÷ = • = ，
當a=﹣ 時，原式= = .
點評： 此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
21.如圖，在▱ABCD中，AB=AE，連接BE且延長CD的延長線于點F.求證：AD=CF.
考點： 平行四邊形的性質.
專題： 證明題.
分析： 利用平行四邊形的性質得出AD∥BC，AB∥FC，AD=BC，進而得出∠CBF=∠F，即可 得出AD=CF.
解答： 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥FC，AD=BC，
∴∠ABE=∠F，∠CBE=∠FED，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠CBF=∠F，
∴BC=FC，
∴AD=CF.
點評： 此題主要考查了平行四邊形的性質，利用平行線的性質得出∠CBF=∠F是解題關鍵.
22.小明和小亮在課外活動中，報名參加了短跑訓練.在五次百米訓練中，所測成績如圖所示，請根據圖中所給信息解答以下問題：分別計算他們的平均數、極差和方差.
考點： 方差;折線統計圖;算術平均數;極差.
分析： 從折線圖中得出小明和小亮的五次百米訓練的成績數據，再由公式計算平均數，極差，方差.
解答： 解：小明的短跑平均成績=(13.3+13.4+13.3+13.2+13.3)÷5=13.3秒，
小亮的短跑平均成績=(13.2+13.4+13.1+13.5+13.3)÷5=13.3秒，
小明的極差=13.4﹣13.2=0.2，
小亮的極差=13.5﹣13.1=0.4，
小明的方差=[(13.3﹣13.3)2+(13.4﹣13.3)2+(13.3﹣13.3)2+(13.2﹣13.3)2+(13.3﹣13.3)2]÷5=0.004，
小亮的方差=[(13.2﹣13.3)2+(13.4﹣13.3)2+(13.1﹣13.3)2+(13.5﹣13.3)2+(13.3﹣13.3)2]÷5=0.02.
點評： 本題考查平均數、極差和方差的定義與意義，方差反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.
23.手機專賣店經營的某種手機去年銷售總額為10萬元，今年每部售價比去年降低500元，若今年賣出的數量與去年賣出的數量相同，且銷售總額比去年 減少10%，求今年每部手機的售價是多少元.
考點： 分式方程的應用.
分析： 設今年每部手機的售價是x元，則去年每部手機的售價是(x+500)元，根據今年的銷售總額比去年減少10%，列方程求解.
解答： 解：設今年每部手機的售價是x元，則去年每部手機的售價是(x+500)元，
由題意得， x=100000×(1﹣10%)，
解得：x=4500，
經檢驗，x=4500是原分式方程的解，且符合題意.
答：今年每部手機的售價是4500元.
點評： 本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程求解，注意檢驗.
24.如圖，菱形ABCD的邊長為5，過點A作對角線AC的垂線，交CB的延長線于點E，AE=4.
(1)求證：BE=BC;
(2)求S菱形ABCD.
考點： 菱形的性質.
分析： (1)由條件可證得∠E+∠ACB=∠EAB+∠BAC，可證得∠E=∠EAB，可得結論;
(2)由(1)的結論，結合菱形的性質可得S菱形ABCD=S△EAC，結合條件可求得答案.
解答： (1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵EA⊥AC，
∴∠E+∠ACB=∠EAB+∠BAC，
∴∠E=∠EAB，
∴BA=BE，
∴BE=BC;
(2)解：
在Rt△ACE中，BC=BA=BE=5，
∴CE=10，
∴AC= = =2 ，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴△ABC≌△ADC，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=S△EAC= AE•AC= ×4×2 =4 .
點評： 本題主要考查菱形的性質，掌握菱形的四條邊都相等是解題的關鍵.
25.如圖，P是等腰Rt△ACB內一點，AC=BC，且PA=8，PB=10，PC= .將△CPB繞點C按逆時針方向旋轉后，得到△CP′A.
(1)直接寫出旋轉的最小角度;
(2)求∠APC的度數.
考點： 旋轉的性質.
專題： 計算題.
分析： (1)由等腰直角三角形的性質得CA=CB，∠ACB=90°，再根據旋轉的性質得∠ACB等于旋轉角，于是可判斷旋轉的最小角度為90°;
(2)連結PP′，如圖，根據旋轉的性質得∠P′CP=∠ACB=90°，CP′=CP= ，P′A=PB=10，則可判斷△CPP′為等腰直角三角形，得到PP′= CP=6，∠CPP′=45°，然后利用勾股定理的逆定理判斷△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，于是利用∠APC=∠APP′+∠CPP′計算即可.
解答： 解：(1)∵△ACB為等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠ACB=90°，
∵△CPB繞點C按逆時針方向旋轉后，得到△CP′A，
∴∠ACB等于旋轉角，
∴旋轉的最小角度為90°;
(2)連結PP′，如圖，
∵△CPB繞點C按逆時針方向旋轉后，得到△CP′A，
∴∠P′CP=∠ACB=90°，CP′=CP= ，P′A=PB=10，
∴△CPP′為等腰直角三角形，
∴PP′= CP= × =6，∠CPP′=45°，
在△APP′中，∵PP′=6，PA=8，P′A=10，
∴PP′2+PA2=P′A2，
∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，
∴∠APC=∠APP′+∠CPP′=90°+45°=135°.
點評： 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角; 旋轉前、后的圖形全等.也考查了等腰直角三角形的判定與性質和勾股定理的逆定理.
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