2018湖南中考數(shù)學(xué)試卷的答案解析
2018湖南中考數(shù)學(xué)試卷的答案解析
2018年的湖南中考正在緊張的復(fù)習(xí)中，數(shù)學(xué)試比較難學(xué)習(xí)的科目，建議在鞏固好基礎(chǔ)知識之后，多做數(shù)學(xué)試卷。下面由學(xué)習(xí)啦小編為大家提供關(guān)于2018湖南中考數(shù)學(xué)試卷的答案解析，希望對大家有幫助!
2018湖南中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題
(每小題4分，共10小題，合計40分)
1.-8的絕對值是( )
A.8 B.-8 C. D.
2.x=1是關(guān)于x的方程2x-a=0的解，則a的值是( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
3.江永女書誕生于宋朝，是世界上唯一一種女性文字，主要書寫在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一種獨(dú)特而神奇的文化現(xiàn)象.下列四個文字依次為某女書傳人書寫的“女書文化”四個字，基本是軸對稱圖形的是( )
4.下列運(yùn)算正確的是( )
A.a•a2=a2 B.(ab)2=ab C. D.
5.下面是某一天永州市11個旅游景區(qū)最高氣溫(單位：℃)的統(tǒng)計表：
景區(qū) 瀟水湖 東山景區(qū) 浯溪碑林 舜皇山 陽明山 鬼崽嶺 九嶷山 上甘棠 涔天河 湘江源 南武當(dāng)
氣溫 31 30 31 25 28 27 26 28 28 25 29
則下列說法正確的是( )
A.該組數(shù)據(jù)的方差為0 B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為25
C.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27 D.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為28
6.湖南省第二次文物普查時，省考古研究所在冷水灘錢家州征集到一個宋代“青釉瓜棱形瓷執(zhí)壺”的主視圖，該壺為盛酒器，瓷質(zhì)，侈口，喇叭形長頸，長立把，則該“青釉瓜棱形瓷執(zhí)壺”的主視圖是( )
7.小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃打碎了，需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡，工人師傅在一塊如圖所示的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點(diǎn)A，B，C，給出三角形ABC，則這塊玻璃鏡的圓心是( )
A.AB，AC邊上的中線的交點(diǎn) B.AB，AC邊上的垂直平分線的交點(diǎn) C.AB，AC邊上的高所在直線的交點(diǎn) D.∠BAC與∠ABC的角平分線的交點(diǎn)
8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面積為1，則△BCD的面積為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x+k與y= (k為常數(shù)，k≠0)的圖象大致是( )
10.已知從n個人中，選出m個人按照一定的順序排成一行，所有不同的站位方法有n×(n-1)×…×(n-m+1)種.現(xiàn)某校九年級甲、乙、丙、丁4名同學(xué)和1位老師共5人在畢業(yè)前合影留念(站成一行)，若老師站在中間，則不同的站位方法有( )
A.6種 B.20種 C.24種 D.120種
2018湖南中考數(shù)學(xué)試卷二、填空題
(每小題4分，共8小題，合計32分)
11.2017年端午小長假的第一天，永州市共接待旅客約275 000人次，請將275 000用科學(xué)記數(shù)法表示為___________________.
12.滿足不等式組 的整數(shù)解是________________.
13.某水果店搞促銷活動，對某種水果打8折出售，若用60元錢買這種水果，可以比打折前多買3斤.設(shè)該種水果打折前的單價為x元，根據(jù)題意可列方程為________________.
14.把分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張同樣的小卡片放進(jìn)不透明的盒子里，攪拌均勻后隨機(jī)取出一張小卡片，則取出的卡片上的數(shù)字大于3的概率是________________.
15.(2017湖南永州)如圖，已知反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，過A點(diǎn)作AB⊥x軸，垂足為B，若△AOB的面積為1，則k=________________.
16.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)D是AC⌒的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC⌒上的一點(diǎn)，若∠CED=40°，則∠ADC=________度.
17.如圖，這是某同學(xué)用紙板做成的一個底面直徑為10cm，高為12cm的無底圓錐形玩具(接縫忽略不計)，則做這個玩具所需紙板的面積是_____________cm2(結(jié)果保留 ).
18.一小球從距地面1m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下.
(1)小球第3次著地時，經(jīng)過的總路程為________________m;
(2)小球第n次著地時，經(jīng)過的總路程為________________m.
2018湖南中考數(shù)學(xué)試卷三、解答題
本大題共8個小題，滿分78分.
19.(本小題滿分8分)計算： cos45°+( -2017)0- .
20.(本小題滿分8分)先化簡，再求值： .其中x是0，1，2這三個數(shù)中合適的數(shù).
21.(本小題滿分8分)某校組織了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校園欺凌及其他各種安全意識的調(diào)查活動，了解同學(xué)們在哪些方面的安全意識薄弱，便于今后更好地開展安全教育活動.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出圖1，圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請結(jié)合圖中的信息解答下列問題：
(1)本次調(diào)查的人數(shù)為___________，其中防校園欺凌意識薄弱的人數(shù)占_________%;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校共有1500名學(xué)生，請估計該校學(xué)生中防溺水意識薄弱的人數(shù);
(4)請你根據(jù)題中的信息，給該校的安全教育提一個合理的建議.
22.(本小題滿分10分)如圖，已知四邊形ABCD是菱形，DF⊥AB于點(diǎn)F，BE⊥CD于點(diǎn)E.
(1)求證：AF=CE;
(2)若DE=2，BE=4，求sin∠DAF的值.
23.(本小題滿分10分)永州市是一個降水豐富的地區(qū)，今年4月初，某地連續(xù)降雨導(dǎo)致該地某水庫水位持續(xù)上漲，下表是該水庫4月1日~4月4日的水位變化情況：
日期x 1 2 3 4
水位y(米) 20.00 20.50 21.00 21.50
(1)請建立該水庫水位y與日期x之間的函數(shù)模型;
(2)請用求出的函數(shù)表達(dá)式預(yù)測該水庫今年4月6日的水位;
(3)你能用求出的函數(shù)表達(dá)式預(yù)測該水庫今年12月1日的水位嗎?
24.(本小題滿分10分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，過O點(diǎn)作OP⊥AB，交弦AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，且使∠PCA=∠ABC.
(1)求證：PC是⊙O的切線;
(2)若∠P=60°，PC=2，求PE的長.
25.(本小題滿分12分)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過A(-1，0)，B(1，1)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)閱讀理解：
在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=k1x+b1(k1，b1為常數(shù)，且k1≠0)，直線l2：y=k2x+b2(k2，b2為常數(shù)，且k2≠0)，若l1⊥l2，則k1•k2=-1.
解決問題：
?、偃糁本€y=3x-1與直線y=mx+2互相垂直，求m的值;
?、谑欠翊嬖邳c(diǎn)P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由;
(3)M是拋物線上一動點(diǎn)，且在直線AB的上方(不與A，B重合)，求點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值.
26.(本小題滿分12分)已知點(diǎn)O是正方形ABCD對角線BD的中點(diǎn).
(1)如圖1，若點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，且使得∠CEF=90°，過點(diǎn)E作ME∥AD，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N.
?、?ang;AEM=∠FEM; ②點(diǎn)F是AB的中點(diǎn);
(2)如圖2，若點(diǎn)E是OD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，且使 ，請判斷△EFC的形狀，并說明理由;
(3)如圖3，若E是OD上的動點(diǎn)(不與O，D重合)，連接CE，過E點(diǎn)作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F，當(dāng) 時，請猜想 的值(請直接寫出結(jié)論).
2018湖南中考數(shù)學(xué)試卷答案
(每小題4分，共10小題，合計40分)
1.-8的絕對值是( )
A.8 B.-8 C. D.
答案：A.
解析：負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，所以-8的絕對值是8.
2.x=1是關(guān)于x的方程2x-a=0的解，則a的值是( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案：B，
解析：把x=1代入方程2x-a=0得2-a=0，解得a=2.
3.江永女書誕生于宋朝，是世界上唯一一種女性文字，主要書寫在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一種獨(dú)特而神奇的文化現(xiàn)象.下列四個文字依次為某女書傳人書寫的“女書文化”四個字，基本是軸對稱圖形的是( )
答案：A，
解析：選項(xiàng)A是軸對稱圖形，選項(xiàng)B、C、D都不是軸對稱圖形，判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，關(guān)鍵在于看是否存在一條直線，使得這個圖形關(guān)于這條直線對稱.
4.下列運(yùn)算正確的是( )
A.a•a2=a2 B.(ab)2=ab C. D.
答案：C，
解析：選項(xiàng)A屬于同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，所以a•a2=a3，選項(xiàng)A錯誤;選項(xiàng)B屬于積的乘方，等于把積的各個因式分別乘方，所以(ab)2=a2b2，選項(xiàng)B錯誤;選項(xiàng)C考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，根據(jù) (a≠0)知， ，所以選項(xiàng)C正確;選項(xiàng)D中把被開方數(shù)相同的二次根式相加減，只把系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變，所以 ，選項(xiàng)D錯誤.
5.下面是某一天永州市11個旅游景區(qū)最高氣溫(單位：℃)的統(tǒng)計表：
景區(qū) 瀟水湖 東山景區(qū) 浯溪碑林 舜皇山 陽明山 鬼崽嶺 九嶷山 上甘棠 涔天河 湘江源 南武當(dāng)
氣溫 31 30 31 25 28 27 26 28 28 25 29
則下列說法正確的是( )
A.該組數(shù)據(jù)的方差為0 B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為25
C.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27 D.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為28
答案：D，
解析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 ×(31×2+30+29+28×3+27+26+25×2)=28，把這組數(shù)據(jù)由小到大排列為，25，25，26，27，28，28，28，29，30，31，31，處在中間第6個數(shù)是28，所以中位數(shù)是28;這些數(shù)據(jù)中，28出現(xiàn)的次數(shù)最多(3次)，所以眾數(shù)是28;這組數(shù)據(jù)的方差是 [2×(31-28)2+(30-28)2+(29-28)2+3×(28-28)2+(27-28)2+(26-28)2+2×(25-28)2]= ，因此選項(xiàng)D正確.
6.湖南省第二次文物普查時，省考古研究所在冷水灘錢家州征集到一個宋代“青釉瓜棱形瓷執(zhí)壺”的主視圖，該壺為盛酒器，瓷質(zhì)，侈口，喇叭形長頸，長立把，則該“青釉瓜棱形瓷執(zhí)壺”的主視圖是( )
答案：D，
解析：物體的主視圖是由正面看到的圖形，應(yīng)選D.
7.小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃打碎了，需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡，工人師傅在一塊如圖所示的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點(diǎn)A，B，C，給出三角形ABC，則這塊玻璃鏡的圓心是( )
A.AB，AC邊上的中線的交點(diǎn) B.AB，AC邊上的垂直平分線的交點(diǎn) C.AB，AC邊上的高所在直線的交點(diǎn) D.∠BAC與∠ABC的角平分線的交點(diǎn)
答案：B，
解析：本題實(shí)質(zhì)上是要確定三角形外接圓的圓心，三角形外接圓的圓心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選B.
8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面積為1，則△BCD的面積為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C，
解析：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ ，∴ ，∴AB=4，∴ ，∴ ，∴S△ABC=4，∴S△BCD= S△ABC - S△ACD =4-1=3.
9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x+k與y= (k為常數(shù)，k≠0)的圖象大致是( )
答案：B，
解析：選項(xiàng)A中，由一次函數(shù)y=x+k的圖象知k<0，由反比例函數(shù)y= 的圖象知k>0，矛盾，所以選項(xiàng)A錯誤;選項(xiàng)B中，由一次函數(shù)y=x+k的圖象知k>0，由反比例函數(shù)y= 的圖象知k>0，正確，所以選項(xiàng)B正確;由一次函數(shù)y=x+k的圖象知，函數(shù)圖象從左到右上升，所以選項(xiàng)C、D錯誤.
10.已知從n個人中，選出m個人按照一定的順序排成一行，所有不同的站位方法有n×(n-1)×…×(n-m+1)種.現(xiàn)某校九年級甲、乙、丙、丁4名同學(xué)和1位老師共5人在畢業(yè)前合影留念(站成一行)，若老師站在中間，則不同的站位方法有( )
A.6種 B.20種 C.24種 D.120種
答案：D，
解析：5個人中選出4個，不同的站位方法有5×(5-1)×(5-2)×(5-4+1)=120(種)，故選D.
二、填空題：(每小題4分，共8小題，合計32分)
11.2017年端午小長假的第一天，永州市共接待旅客約275 000人次，請將275 000用科學(xué)記數(shù)法表示為___________________.
答案：2.75×105，
解析：275 000=2.75×105.
12.滿足不等式組 的整數(shù)解是________________.
答案：0，
解析：解不等式①得x≤ ，解不等式②得x>-1，所以這個不等式組的解集是-1
13.某水果店搞促銷活動，對某種水果打8折出售，若用60元錢買這種水果，可以比打折前多買3斤.設(shè)該種水果打折前的單價為x元，根據(jù)題意可列方程為________________.
答案： ，
解析：本題的等量關(guān)系是：打折后買的水果數(shù)=打折前買的水果數(shù)+3，打折后買的水果數(shù)為 ，打折前買的水果數(shù)為 ，所以可列方程為 .
14.把分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張同樣的小卡片放進(jìn)不透明的盒子里，攪拌均勻后隨機(jī)取出一張小卡片，則取出的卡片上的數(shù)字大于3的概率是________________.
答案： ，
解析：大于3的有2張，卡片總數(shù)為5張，根據(jù)概率公式可得相應(yīng)概率為 .
15.(2017湖南永州)如圖，已知反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，過A點(diǎn)作AB⊥x軸，垂足為B，若△AOB的面積為1，則k=________________.
答案：-2，
解析：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，n)，因?yàn)辄c(diǎn)A在y= 的圖象上，所以，有mn=k，△ABO的面積為 =1，∴ =2，∴ =2，∴k=±2，由函數(shù)圖象位于第二、四象限知k<0，∴k=-2.
16.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)D是AC⌒的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC⌒上的一點(diǎn)，若∠CED=40°，則∠ADC=________度.
答案：100，
解析：連接AE，∵點(diǎn)D是AC⌒的中點(diǎn)，∴∠AED=∠CED=40°，∴∠AEC=80°.∵∠AEC+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°-∠AEC=180°-80°=100°.
17.如圖，這是某同學(xué)用紙板做成的一個底面直徑為10cm，高為12cm的無底圓錐形玩具(接縫忽略不計)，則做這個玩具所需紙板的面積是_____________cm2(結(jié)果保留 ).
答案： ，
解析：PB= =13.做這個玩具所需紙板的面積等于展開后扇形的面積，S= = .
18.一小球從距地面1m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下.
(1)小球第3次著地時，經(jīng)過的總路程為________________m;
(2)小球第n次著地時，經(jīng)過的總路程為________________m.
答案：(1) ; (2) ，
解析：小球第1次著地時，經(jīng)過的總路程為1m;小球第2次著地時，經(jīng)過的總路程為1+ ×2=2(m);小球第3次著地時，經(jīng)過的總路程為2+ ×2= (m);小球第n次著地時，經(jīng)過的總路程為1+ ×2+ ×2+ ×2+…+ ×2= (m).
三、解答題：本大題共8個小題，滿分78分.
19.(本小題滿分8分)計算： cos45°+( -2017)0- .
思路分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、二次根式等各個知識點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果.，
解：原式= =1+1-3=-1.
20.(本小題滿分8分)先化簡，再求值： .其中x是0，1，2這三個數(shù)中合適的數(shù).
思路分析：先通分，同時把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分，化為最簡分式;選擇合適的數(shù)代入求值時，要注意使得分式的分母不能等于0，包括在分式化簡過程中的分母都不能等于0.
解：原式= = = .
x不能取0，2，只能取x=1，原式= = .
21.(本小題滿分8分)某校組織了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校園欺凌及其他各種安全意識的調(diào)查活動，了解同學(xué)們在哪些方面的安全意識薄弱，便于今后更好地開展安全教育活動.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出圖1，圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請結(jié)合圖中的信息解答下列問題：
(1)本次調(diào)查的人數(shù)為___________，其中防校園欺凌意識薄弱的人數(shù)占_________%;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校共有1500名學(xué)生，請估計該校學(xué)生中防溺水意識薄弱的人數(shù);
(4)請你根據(jù)題中的信息，給該校的安全教育提一個合理的建議.
思路分析：(1)用“其他”的人數(shù)除以“其他”所占的百分比可得總?cè)藬?shù)，防校園欺凌意識薄弱的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可該項(xiàng)目所占的百分比;(2)防交通事故的百分比乘總?cè)藬?shù)得到該項(xiàng)目的人數(shù)，再畫圖;(3)用樣本估計總體，防溺水意識薄弱的人數(shù)的百分比乘總?cè)藬?shù)可得到總體中該項(xiàng)目的人數(shù);(4)答案不唯一，合理即可.
解：(1)本次調(diào)查的人數(shù)為8÷16%=50，其中防校園欺凌意識薄弱的人數(shù)占20÷50×100%=40%，所以答案為50， 40;
(2)防交通事故意識薄弱的人數(shù)為24%×50=12，補(bǔ)全圖形如圖;
(3)1500× =120(人);
(4)答案不唯一，合理即可，如：應(yīng)加強(qiáng)防校園欺凌的宣傳力度，培養(yǎng)同學(xué)們的安全意識.
22.(本小題滿分10分)如圖，已知四邊形ABCD是菱形，DF⊥AB于點(diǎn)F，BE⊥CD于點(diǎn)E.
(1)求證：AF=CE;
(2)若DE=2，BE=4，求sin∠DAF的值.
思路分析：(1)根據(jù)AAS證明△ADF≌△CBE;(2)設(shè)BC=x，則CE=x-2，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得BE2+CE2=BC2列出關(guān)系x的方程，求出BC的長;在Rt△BCE中，可求得sin∠C的值，即為sin∠DAF的值.
解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=BC，∠A=∠C.又DF⊥AB，BE⊥CD，∴∠AFD=∠CEB=90°，在△ADF和△CBE中，∠AFD=∠CEB，∠A=∠C，AD=CB，∴△ADF≌△CBE.∴AF=CE.
(2)解：設(shè)BC=x，則CE=x-2，在Rt△BCE中，BE2+CE2=BC2，∴42+(x-2)2=x2，∴x=5，∴sin∠DAF=sin∠C= = .
23.(本小題滿分10分)永州市是一個降水豐富的地區(qū)，今年4月初，某地連續(xù)降雨導(dǎo)致該地某水庫水位持續(xù)上漲，下表是該水庫4月1日~4月4日的水位變化情況：
日期x 1 2 3 4
水位y(米) 20.00 20.50 21.00 21.50
(1)請建立該水庫水位y與日期x之間的函數(shù)模型;
(2)請用求出的函數(shù)表達(dá)式預(yù)測該水庫今年4月6日的水位;
(3)你能用求出的函數(shù)表達(dá)式預(yù)測該水庫今年12月1日的水位嗎?
思路分析：(1)先判斷是一次函數(shù)，再用待定系數(shù)法求得解析式;(2)把x=6代入(1)中求得的解析計算即可;(3)不能，因?yàn)橛盟⒌暮瘮?shù)模型遠(yuǎn)離已知數(shù)據(jù)作預(yù)測是不可靠的.
解：(1)水庫水位y隨日期x的變化是均勻的，因此水庫水位y與日期x之間是一次函數(shù)關(guān)系.設(shè)y=kx+b，把x=1，y=20.00和x=2，y=20.50代入得： 解得 所以水位y與日期x之間的函數(shù)關(guān)系是y=0.5x+19.5.
(2)當(dāng)x=6時，y=0.5×6+19.5=22.50.
(3)不能，因?yàn)橛盟⒌暮瘮?shù)模型遠(yuǎn)離已知數(shù)據(jù)作預(yù)測是不可靠的.
24.(本小題滿分10分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，過O點(diǎn)作OP⊥AB，交弦AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，且使∠PCA=∠ABC.
(1)求證：PC是⊙O的切線;
(2)若∠P=60°，PC=2，求PE的長.
思路分析：(1)連接OC，由OB=OC及已知可得∠PCA=∠OCB.由直徑所對的圓周角為直角有∠ACB=90°，從而可得∠OCP=90°，所以PC是⊙O的切線;(2)在Rt△PCO中，利用∠P的正切和正弦分別求得OC、OP的長，再根據(jù)PE=OP-OE計算即可.
解：(1)連接OC. ∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB. 又∠PCA=∠ABC，∴∠PCA=∠OCB.∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB=90°. ∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠PCA=90°，即∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切線;
(2)在Rt△PCO中，tan∠P= ，∴OC=PCtan∠P=2tan60°= ，sin∠P= ，∴OP= = =4，∴PE=OP-OE=OP-OC=4- .
25.(本小題滿分12分)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過A(-1，0)，B(1，1)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)閱讀理解：
在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=k1x+b1(k1，b1為常數(shù)，且k1≠0)，直線l2：y=k2x+b2(k2，b2為常數(shù)，且k2≠0)，若l1⊥l2，則k1•k2=-1.
解決問題：
?、偃糁本€y=3x-1與直線y=mx+2互相垂直，求m的值;
?、谑欠翊嬖邳c(diǎn)P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由;
(3)M是拋物線上一動點(diǎn)，且在直線AB的上方(不與A，B重合)，求點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值.
思路分析：(1)把A(-1，0)，B(1，1)兩點(diǎn)代入y=ax2+bx+1求解;(2)①根據(jù)k1•k2=-1計算;②先求出直線PA的表達(dá)式，從而可得與AB垂直的直線的k的值，然后分兩種情況討論：∠PAB=90°與∠PBA=90°，分別求出另一條直角邊所在直線的表達(dá)式，與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立方程組求解，得到點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)△ABM的底邊AB不變，當(dāng)△ABM的面積取最大值時，點(diǎn)M到直線AB的距離有最大值，因此把問題轉(zhuǎn)化為求△ABM的面積最大值問題，這樣只要建立關(guān)于△ABM的面積的二次函數(shù)關(guān)系式，再化為頂點(diǎn)式即可.
解：(1)根據(jù)題意得： 解得 ∴y= x2+ x+1.
(2)①3m=-1，∴m= ;
?、谠O(shè)PA的表達(dá)式為y=kx+c，過A(-1，0)，B(1，1)兩點(diǎn)的直線表達(dá)式為 ，顯然過點(diǎn)P的直角邊與AB垂直，∴k=-2，∴y=-2x+c.
若∠PAB=90°，把 A(-1，0)代入得0=-2×(-1)+c，解得c=-2，∴y=-2x-2，點(diǎn)P是直線PA與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組： 解得 ∴P(6，-14);
若∠PBA=90°，把B(1，1)代入y=-2x+c，得1=-2×1+c，解得c=3，∴y=-2x+3，點(diǎn)P是直線PB與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組： 解得 ∴P(4，-5).
綜上所述，存在點(diǎn)P(6，-14)或(4，-5)，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形.
(3)設(shè)M(n， n2+ n+1)，過M作MQ∥y軸，交AB于點(diǎn)Q，則Q(n， ).
∴S△ABM= [( n2+ n+1)-( )]×[1-(-1)]= .當(dāng)n=0時，最大面積為 ，AB= = ，設(shè)點(diǎn)M到直線AB距離最大為h，則 × ×h= ，∴h= .即點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值是 .
26.(本小題滿分12分)已知點(diǎn)O是正方形ABCD對角線BD的中點(diǎn).
(1)如圖1，若點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，且使得∠CEF=90°，過點(diǎn)E作ME∥AD，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N.
①∠AEM=∠FEM; ②點(diǎn)F是AB的中點(diǎn);
(2)如圖2，若點(diǎn)E是OD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，且使 ，請判斷△EFC的形狀，并說明理由;
(3)如圖3，若E是OD上的動點(diǎn)(不與O，D重合)，連接CE，過E點(diǎn)作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F，當(dāng) 時，請猜想 的值(請直接寫出結(jié)論).
思路分析：(1)①過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，根據(jù)ASA證明△CEG≌△FEM得CE=FE，再根據(jù)SAS證明△ABE≌△CBE 得AE=CE，在△AEF中根據(jù)等腰三角形“三線合一”即可證明結(jié)論成立;②設(shè)AM=x，則AF=2x，在Rt△DEN中，∠EDN=45°，DE= DN= x， DO=2DE=2 x，BD=2DO=4 x.在Rt△ABD中，∠ADB=45°，AB=BD•sin45°=4x，又AF=2x，從而AF= AB，得到點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).;(2)過點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M，延長ME交CD于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G.則△AEM≌△CEG(HL)，再證明△AME≌△FME(SAS)，從而可得△EFC是等腰直角三角形.(3)方法同第(2)小題.過點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M，延長ME交CD于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G.則△AEM≌△CEG(HL)，再證明△AEM≌△FEM (ASA)，得AM=FM，設(shè)AM=x，則AF=2x，DN =x，DE= x，BD= x，AB= x， =2x: x= .
解：(1)①過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，則四邊形MBGE為正方形，ME=GE，∠MFG=90°，即∠MEF+∠FEG=90°，又∠CEG+∠FEG=90°，∴∠CEG=∠FEM.又GE=ME，∠EGC=∠EMF=90°，∴△CEG≌△FEM.∴CE=FE，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°，BE=BE，∴△ABE≌△CBE.∴AE=CE，又CE=FE，∴AE=FE，又EM⊥AB， ∴∠AEM=∠FEM.
②設(shè)AM=x，∵AE=FE，又EM⊥AB，∴AM=FM=x，∴AF=2x，由四邊形AMND為矩形知，DN=AM=x，在Rt△DEN中，∠EDN=45°，∴DE= DN= x，∴DO=2DE=2 x，∴BD=2DO=4 x.在Rt△ABD中，∠ADB=45°，∴AB=BD•sin45°=4 x• =4x，又AF=2x，∴AF= AB，∴點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).
(2)△EFC是等腰直角三角形.過點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M，延長ME交CD于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G.則△AEM≌△CEG(HL)，∴∠AEM=∠CEG，設(shè)AM=x，則DN=AM=x，DE = x，DO=3DE=3 x，BD=2DO=6 x.∴AB=6x，又 ，∴AF=2x，又AM=x，∴AM=MF=x，∴△AME≌△FME(SAS)，∴AE=FE，∠AEM=∠FEM，又AE=CE，∠AEM=∠CEG，∴FE=CE，∠FEM=∠CEG，又∠MEG=90°，∴∠MEF+∠FEG=90°，∴∠CEG+∠FEG=90°，即∠CEF=90°，又FE=CE，∴△EFC是等腰直角三角形.
(3) 過點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M，延長ME交CD于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G.則△AEM≌△CEG(HL)，∴∠AEM=∠CEG. ∵EF⊥CE，∴∠FEC =90°，∴∠CEG+∠FEG=90°.又∠MEG =90°，∴∠MEF+∠FEG=90°，∴∠CEG=∠MEF，∵∠CEG =∠AEF，∴∠AEF=∠MEF，∴△AEM≌△FEM (ASA)，∴AM=FM.設(shè)AM=x，則AF=2x，DN =x，DE= x，∴BD= x. ∴AB= x.∴ =2x: x= .
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