高中數(shù)學(xué)幾何論文(2)
高中數(shù)學(xué)幾何論文
高中數(shù)學(xué)幾何論文篇三
摘 要：幾何概型是高中新課程人教A版《必修3》第三章概率部分的一個(gè)新增內(nèi)容，也是概率這一部分的一個(gè)難點(diǎn)，高考中選擇、填空題會(huì)有所涉及。本文就筆者在教學(xué)中遇到的一些問題和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了歸納和整理以期和大家一探討和幫助學(xué)生理解 并靈活應(yīng)用幾何概型去解決相關(guān)問題。
關(guān)鍵詞：點(diǎn)分布;找測度;幾何概型;轉(zhuǎn)化;平面區(qū)域
中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661(2014)09-172-03
幾何概型是高中新課程人教A版《必修3》第三章概率部分的一個(gè)新增內(nèi)容，也是概率這一部分的一個(gè)難點(diǎn)，高考中選擇、填空題會(huì)有所涉及。學(xué)生對(duì)明顯是點(diǎn)分布的幾何概型問題較容易理解，然而，有些幾何概型的問題，既不容易分辯出屬于幾何概率模型，也難發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件的構(gòu)成區(qū)域，但仔細(xì)研究此類問題后，我們可以發(fā)現(xiàn)一些解題的規(guī)律。本文就筆者在教學(xué)中遇到的一些問題和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了歸納和整理以期和大家一起探討和幫助學(xué)生理解并靈活應(yīng)用幾何概型去解決相關(guān)問題，主要還是得從以下幾個(gè)方面去把握。
一、教學(xué)的背景
“幾何概型”這一節(jié)內(nèi)容是安排在“古典概型”之后的第二類概率模型，是對(duì)古典概型內(nèi)容的進(jìn)一步拓展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸。此節(jié)內(nèi)容是為更廣泛地滿足隨機(jī)模擬的需要而在新課本中增加的，這是與以往教材安排上的最大的不同之處。這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密關(guān)系，來源生活，而又高于生活。同時(shí)也暗示了它在概率論中的重要作用，在高考中的題型的轉(zhuǎn)變。筆者根據(jù)所教學(xué)生的狀況及新課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)科指導(dǎo)意見的要求，對(duì)教材作了一些處理并盡可能選用與日常生活息息相關(guān)的例子。對(duì)于概念，主要讓學(xué)生學(xué)會(huì)幾何概型與古典概型的比較;立足基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，掌握好典型例題;注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何概型。具體有以下一些整理。
二、概念的理解
1、高中新課程人教A版《必修3》中P136對(duì)幾何概型是這樣定義的：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型，計(jì)算公式如下：
而在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，這一概念不如索性這樣去定義更為合適與明了：
一般地，在幾何區(qū)域 中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域 內(nèi)”為事件 ，則事件 發(fā)生的概率 .
說明：(1) 的測度不為 ;
(2)其中"測度"的意義依 確定，當(dāng) 分別是線段，平面圖形，立體圖形時(shí)，相應(yīng)的"測度"分別是長度，面積和體積;同時(shí)還有可能是角度，在后面的例題中筆者會(huì)進(jìn)一步舉例說明這一點(diǎn)。
(3)在區(qū)域 內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關(guān).
2、與古典概型相比較：
(1)不同點(diǎn)：在一次試驗(yàn)中，幾何概型中所有可能的結(jié)果有無限個(gè);
(2)相同點(diǎn)：每一種結(jié)果發(fā)生的可能性相等。
三、典題的分析
1、測度為長度的幾何概型
例1：某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，并且出發(fā)前在車站?？?分鐘(已知?？康?分鐘包含在15分鐘之內(nèi))。乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車站后能立即上車的概率?
解析：此題可把時(shí)間等價(jià)成刻度為[0，15]的線段上的點(diǎn)，則幾何區(qū)域 的測度為15， 乘客到達(dá)車站后能立即上車的區(qū)域?yàn)榫€段[12，15]上的點(diǎn)，則區(qū)域 的測度為3，故p=
變式1：求乘客到站候車時(shí)間大于10分鐘的概率.
解析：設(shè)上輛車于時(shí)刻A離開，而下一輛車于時(shí)刻B到達(dá)，時(shí)刻C出發(fā)。線段AC的長度為15即D的測度;設(shè)P是線段AB上的點(diǎn)，且BC=3，PB=10，如圖1所示， 記候車時(shí)間大于10分鐘為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻落在線段AP(AP=2即d的測度)上時(shí)，事件A發(fā)生，所
以 = A P B C
答：乘客到站候車時(shí)間大于10 分鐘的概率是2/15。
變式2：求乘客到站候車時(shí)間不超過10分鐘的概率.
解析：此題即為變式1的對(duì)立事件，故乘客到站候車時(shí)間不超過10分鐘的概率P=1-
例2：在等腰直角三角形 中，在斜邊 上任取一點(diǎn) ，求 小于 的概率.
解析：點(diǎn) 隨機(jī)地落在線段 上，故線段 為區(qū)域 .當(dāng)點(diǎn) 位于圖2中線段 內(nèi)時(shí)， ，故線段 即為區(qū)域 .
在 上截取 .于是
.
變式1：在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM 解析：本題把射線等價(jià)于圓弧AB(以C為圓心)上的點(diǎn)，符合幾何概型，因?yàn)檫@時(shí)射線CM可看作在 內(nèi)是等可能分布的。如圖3，在AB上截取 ，則 ，則區(qū)域D為弧AB，區(qū)域d為弧AD，則p=
變式2：
變式3：
(參考答案： 提示：變式2中區(qū)域D為線段BC;變式3中區(qū)域D為角度CAB)
評(píng)注：例1中的一個(gè)時(shí)刻是一元問題，相當(dāng)于坐標(biāo)中的一維，基本上都可等價(jià)到特定線段上的點(diǎn)，使問題轉(zhuǎn)化為幾何中的線段長度之比;例2中的一條射線，也是一元，但我們?yōu)槭裁床坏葍r(jià)到線段上的點(diǎn)，而是等價(jià)到了弧上的點(diǎn)，那是因?yàn)榈葍r(jià)到線段上的點(diǎn)破壞了等可能性(因?yàn)橥染€段長射線掃過的區(qū)域不同，但同等弧長射線掃過的區(qū)域相同)，而變式1和3中更是進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成了角度之比。故我們在等價(jià)的過程中不僅要注意要一一對(duì)應(yīng)，而且還需考慮符合幾何概型的等可能性，這樣就易理解易解決了。
2、測度為面積的幾何概型
例3：假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30―7：30之間把報(bào)紙送到你家，你父親 離開家去工作的時(shí)間在早上7：00―8：00之間，問你父親在離開家前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?
解析：以橫坐標(biāo)X表示報(bào)紙送到時(shí)間，以縱坐標(biāo)Y表示父親離家時(shí)間，建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)(D)任何一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意，只要點(diǎn)落到陰影部分(d)， 就表示父親在離開家前能得到報(bào)紙，即時(shí)間A發(fā)生，所以
變式1：甲、乙兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等另一人20分鐘，過時(shí)就可離去，試求這兩人能會(huì)面的概率.
解析：把兩人到達(dá)的時(shí)間等價(jià)于平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，符合幾何概型。以x，y表示兩人到達(dá)時(shí)刻，則會(huì)面的充要條件為 如圖3，區(qū)域D為正方形，區(qū)域d為陰影部分，則兩人能會(huì)面的概率
變式2：上例其他不變，但甲等乙20分鐘，乙等甲只等15分鐘，則概率如何?
解析：實(shí)質(zhì)是 改為
變式3：上例其他不變，但不巧甲那天的手表慢了15分鐘，則概率如何?
解析：實(shí)質(zhì)是 改為
例4：如圖6，假設(shè)你在這個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆，計(jì)算它落到陰影部分的概率.
P=陰影部分三角形的面積/圓的面積=
評(píng)注：在例3中涉及到兩個(gè)時(shí)間，一般情況下都可等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)內(nèi)的二維點(diǎn)集即轉(zhuǎn)化為相應(yīng)區(qū)域的面積之比;也就是線性規(guī)劃問題。題目的意思簡單明了，但如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型來求解卻比較困難. 需要我們先從實(shí)際問題中分析得到存在的兩個(gè)變量，如此題中兩人到達(dá)的時(shí)間都是隨機(jī)的，設(shè)為兩個(gè)變量. 然后把這兩個(gè)變量所滿足的條件寫成集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出. 把兩個(gè)集合用平面區(qū)域表示，特別注意不等式所表示區(qū)域. 我們發(fā)現(xiàn)，要表示二元一次不等式 的平面區(qū)域，按兩步解決：
(1)作出直線 ;(2)取一特殊點(diǎn)驗(yàn)證，直線的哪側(cè)符合不等式，則哪側(cè)就是所表示區(qū)域. 準(zhǔn)確得到隨機(jī)事件的構(gòu)成區(qū)域后，根據(jù)幾何概型的概率公式，易求得概率.
根據(jù)以上的解法和分析，我們把此類疑難問題的解決總結(jié)為以下四步：
(1)構(gòu)設(shè)變量. 從問題情景中，發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)量是隨機(jī)的，從而構(gòu)設(shè)為變量x、y.
(2)集合表示. 用 表示每次試驗(yàn)結(jié)果，則可用相應(yīng)的集合分別表示出試驗(yàn)全部結(jié)果Ω和事件A所包含試驗(yàn)結(jié)果. 一般來說，兩個(gè)集合都是幾個(gè)二元一次不等式的交集.
(3)作出區(qū)域. 把以上集合所表示的平面區(qū)域作出，先作不等式對(duì)應(yīng)的直線，然后取一特殊點(diǎn)驗(yàn)證哪側(cè)是符合條件的區(qū)域.
(4)計(jì)算求解. 根據(jù)幾何概型的公式，易從平面圖形中兩個(gè)面積的比求得.
在以上四步中，第二步和第三步是解答的關(guān)鍵，通過這兩步，可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng)的幾何圖形. 第三步的作圖需理解其原理.
而例4中將問題轉(zhuǎn)化為了平面圖形內(nèi)的點(diǎn)的分布問題，也就是陰影部分三角形的面積/圓的面積。
3.測度為體積的幾何概型
例5：在正方體 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)E，則點(diǎn)E落在四棱錐O-ABCD(O是正方體對(duì)角線的交點(diǎn))內(nèi)的概率是多少?
解析：P(E落在四棱錐O-ABCD內(nèi))=
例6：在單位長度為1的線段AB上任取三點(diǎn)C，D，E，求AC，AD，AE能構(gòu)成三角形的概率.
解析：本題可轉(zhuǎn)化為在[0，1]上分別取三個(gè)數(shù)，求使得任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)的概率。
而在[0，1]上分別取三個(gè)數(shù)等價(jià)于空間直角坐標(biāo)系的一點(diǎn)(x，y，z)， 使得任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)即 ，分析可得，如圖7，區(qū)域D為邊長為1的正方體AG，區(qū)域d為六面體DBEGF，故p=
評(píng)注：例6涉及三數(shù)，即三元(三維)問題，
可與空間坐標(biāo)一一對(duì)，一般情況下三元可
以向空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)化進(jìn)而轉(zhuǎn)化為體積之比問題。
4、幾何概型的拓展應(yīng)用
例7： 。
解析：這里D的測度即區(qū)間 的長度，d的測度即區(qū)間 的長度，所以P=1/2
例8：一枚半徑為1的硬幣隨機(jī)落在邊長為3的正方形所在的平面內(nèi)，且硬幣一定落在正方形內(nèi)或與正方形有交點(diǎn)，求硬幣與正方形沒有公共點(diǎn)的概率。
解析：如圖8，ABCD為已知正方形外且與已知正方形四邊距離均為1的正方形， 是在已知正方形內(nèi)部且與已知正方形四邊距離均為1的正方形。當(dāng)硬幣的圓心落在正方形ABCD內(nèi)(除A、B、C、D這四個(gè)頂點(diǎn))時(shí)，就能保證硬幣一定落在已知正方形四邊內(nèi)或與已知正方形有公共點(diǎn)
而當(dāng)硬幣的圓心落在正方形 內(nèi)時(shí)，
硬幣與已知正方形沒有公共點(diǎn)，所以：
d的測度= ，故所求的概率 。
變式：設(shè)有一個(gè)由許多個(gè)小正三角形構(gòu)成的正三角形網(wǎng)格，其中每個(gè)小正三角形的邊長都等于6cm，現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線有公共點(diǎn)的概率。
解析：此題即將正方形轉(zhuǎn)化成了正三角形，解法不變;參考答案：
例9：(2007寧夏高考)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程
(I) 若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)， b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率;
(Ⅱ)若a是從區(qū)間[0，3]上任取的一個(gè)數(shù)， b是從區(qū)間[0，2] 任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率;
解析：(1)是古典概率，故
(2)是幾何概型：見(圖9)設(shè)事件A：“方程 有實(shí)根”.當(dāng)a>0，b>0時(shí)，方程有實(shí)根的等價(jià)條件為 ;
試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>
構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?/p>
所以所求的概率為
評(píng)注：對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是要建立模型，找出隨機(jī)事件與所有基本事件相對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，把問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題，利用幾何概型的概率公式求解.
四、教學(xué)的反思
《浙江省普通高中新課程實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》中對(duì)于幾何概型是這樣要求的：1.通過實(shí)例，初步體會(huì)幾何概型的意義;2.了解隨機(jī)均勻數(shù)的產(chǎn)生過程;3.通過實(shí)例，初步體會(huì)運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率;4.結(jié)合實(shí)例和閱讀材料，了解人類認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過程，并且說明本節(jié)學(xué)習(xí)重在了解，不必補(bǔ)充復(fù)雜的問題，鑒于此說明筆者對(duì)教學(xué)中遇到的幾何概型問題做了如上這些整理，大致可以把高中數(shù)學(xué)中的幾何概率問題解法歸納為：
1、適當(dāng)選擇觀察角度，把問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解;2.把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域D;3.把隨機(jī)事件A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域d;4.利用幾何概型概率公式計(jì)算。其中最關(guān)鍵的就是適當(dāng)選擇觀察角度，長度，面積和體積有時(shí)甚至是角度，而抓住題中關(guān)鍵的語句就是找到正確角度的突破口。同時(shí)鑒于學(xué)科指導(dǎo)意見，我們在教學(xué)中也要注意不必補(bǔ)充復(fù)雜的問題，以免走入教學(xué)的誤區(qū)，增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，畢竟高中階段對(duì)于幾何概型的要求并不高。
在教學(xué)的過程中注重體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的理念，注意學(xué)生的邏輯思維要從經(jīng)驗(yàn)型向理論型轉(zhuǎn)化，進(jìn)而從感性認(rèn)識(shí)能動(dòng)地躍進(jìn)到理性認(rèn)識(shí)又要從理性認(rèn)識(shí)能動(dòng)地指導(dǎo)實(shí)踐，使得學(xué)生在更高的層次理解問題。在理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵和外延的同時(shí)，讓學(xué)生在知識(shí)技能，過程和方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。
參考文獻(xiàn)：
[1] 錢衛(wèi)娣.隱性幾何概型三招致勝.實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán).西南師范大學(xué)出版社.2008.11.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.
[2] 浙江省普通高中新課程實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見.
猜你感興趣的：