數(shù)學勾股定理論文
勾股定理是數(shù)學史上一個偉大的定理,同時也是一個歷史悠久的定理.下面學習啦小編給你分享數(shù)學勾股定理論文，歡迎閱讀。
數(shù)學勾股定理論文篇一
數(shù)學思想是數(shù)學知識的精髓，又是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.靈活運用數(shù)學思想，能夠有效地提高分析問題和解決問題的能力，增強應用數(shù)學知識的意識.在《勾股定理》這一章中，蘊含著許多重要的數(shù)學思想，現(xiàn)舉例介紹如下.
一、方程思想
在含有直角三角形的圖形中，求線段的長往往要使用勾股定理，如果無法直接用勾股定理來計算，則需要列方程解決.
二、化歸思想
化歸思想就是通過一定的方法或途徑，把需要解決的問題變換形式，變化成另一類已經(jīng)解決或易于解決的問題，從而使原來的問題得到解決.
例3如圖3，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm.點B與點C的距離為5cm，一只蝸牛如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需爬行的最短路程是多少?
分析：由于蝸牛是沿著長方體的表面爬行的，故需把長方體展開成平面圖形.根據(jù)兩點之間線段最短，蝸牛爬行的較短路程有兩種可能，如圖4、圖5所示.利用勾股定理容易求出兩種圖中AB的長度，比較后即可求得蝸牛爬行的最短路程是25cm.
說明：這里通過長方體的展開圖，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，把求蝸牛爬行的最短路程問題化歸成利用勾股定理求兩點間的距離問題.
例4如圖6，是一塊四邊形的草地ABCD，其中∠A = 60O，∠B =∠D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD、BC的長(精確到0.1m，≈1.732).
(2004年天津市中考題)
分析：圖中無直角三角形，怎么辦?聯(lián)想到含30O角的直角三角形，因而延長AD、BC交于點E，則∠E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m，BE == m，所以AD = 40≈22.7m，BC = 20≈14.6m.
說明：本題充分利用已知圖形的特點，通過構(gòu)造新圖形，將四邊形問題巧妙地轉(zhuǎn)化成了直角三角形問題.
三、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合，就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到迅速解題的目的.
例5在一棵樹的10m高處有兩只猴子，其中一只爬下樹直奔離樹20m的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高?(2005年福建省龍巖市中考題)
分析：依題意畫出示意圖7，D為樹頂，AB = 10m，C為池塘，AC = 20m. 設BD = (m)，則樹高AD = ( +10)m.因為AC + AB = BD + DC，所以DC = (30)m. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得方程202 + ( + 10)2 = (30)2，解得 = 5，所以 +10 = 15，即樹高15m.
說明：勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的一個典范，它把直角三角形有一個直角的“形”的特點，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關系.利用勾股定理解決實際問題，關鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想將實際問題轉(zhuǎn)換成直角三角形模型，再利用方程來解決.
四、分類討論思想
在解題過程中，當條件或結(jié)論不確定或不惟一時，往往會產(chǎn)生幾種可能的情況，這就需要依據(jù)一定的標準對問題進行分類，再針對各種不同的情況分別予以解決.最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的結(jié)論.分類討論實質(zhì)上是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學方法.
例6 一直角三角形的兩邊長分別為3cm、4cm，則第三邊的長為______.
分析：此題中已知一個直角三角形的兩邊長，并沒有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類討論，答案是5cm或cm.
例7“曙光中學”有一塊三角形形狀的花圃ABC，現(xiàn)可直接測量到∠A = 30O，AC = 40米，BC = 25米，請你求出這塊花圃的面積. (2003年黑龍江省中考題)
分析：由于題目中沒有明確告訴我們△ABC的形狀，故需分兩種情況討論.
在圖8中，S△ABC=10 (20 + 15)米2;
在圖9中，S△ABC= 10(2015)米2.
說明：此類問題由于題目中沒有圖形，常需分類討論，解答時極易因考慮不周而導致漏解，希望同學們用心體會.
五、整體思想
對于某些數(shù)學問題，如果拘泥常規(guī)，從局部著手，則難以求解;如果把問題的某個部分或幾個部分看成一個整體進行思考，就能開闊思路，較快解答題目.
例8已知一個直角三角形的周長為30cm， 斜邊長為13cm，那么這個三角形的面積為______.
分析：設這個直角三角形的兩條直角邊長為 ，斜邊為 ，則 = 3013 = 17，于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289，由勾股定理知2 + 2 = 289，即132+ 2 = 289，所以 = 60，故所求三角形面積S == 30cm2.
說明：我們要求的是面積，即，不一定要分別求出和的值，只要從整體上求出即可.
例9 如圖10所示，在直線上依次擺放著七個正方形.已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1 + S2 + S3 + S4 = ______.(2005年浙江省溫州市中考題)
分析：根據(jù)已知條件可知AC = EC，∠ABC = ∠CDE = 90O，由角的互余關系易證∠ACB =∠CED，這樣可得 △ABC ≌ △CDE，所以BC = ED，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有S1 + S2 = 1，同理可得S3 + S4 = 3，所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4.
說明：本題不是直接求出S1，S2，S3，S4，而是借助勾股定理求得S1 + S2，S3 +S4，體現(xiàn)了整體思想在解決問題中的靈活應用.
數(shù)學勾股定理論文篇二
數(shù)學思想方法是以具體數(shù)學內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學內(nèi)容的一種指導思想和普遍適用的方法.它能使人領悟到數(shù)學的真諦，并對人們學習和應用數(shù)學知識解決問題的思維活動起著指導和調(diào)控的作用.日本數(shù)學教育家米山國藏認為，學生在進入社會以后，如果沒有什么機會應用數(shù)學，那么作為知識的數(shù)學，通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用.靈活運用數(shù)學思想方法解決問題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，事半功倍.下面以勾股定理中滲透的數(shù)學思想為例說明.
一、分類思想
例1.(2013年貴州黔西南州)一直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為( )
點評：本題的易錯點是受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長為4的邊當作直角邊，從而誤選A，犯了考慮問題不全面的錯誤.
二、方程思想
例2.(2013年山東濟南)如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度(滑輪上方的部分忽略不計)為()
A.12mB.13mC.16mD.17m
分析：觀察圖形，當繩子末端拉到距離旗桿8m處，可過繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個直角三角形，然后設旗桿的高度為未知數(shù)，進而運用勾股定理列方程求解.
解：如圖2，設旗桿的高度為x，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得(x-2)2+82=x2.
解得x=17m，即旗桿的高度為17m，答案選D.
三、整體思想
例3.(2013年江蘇揚州)矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為____________.
分析：設矩形的兩鄰邊長分別為a、b(a>b)，則依據(jù)題意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面積等于ab，關鍵要設法將兩個等式轉(zhuǎn)化為含有ab的式子.
解：設矩形的兩鄰邊長分別為a、b (a>b)，則a-b=2.
五、數(shù)形結(jié)合思想
例5.(2013年湖南張家界)如圖4，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為(10，0)、(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC上運動.當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為________.
分析：易知OD=5，要使△ODP為腰長為5的等腰三角形，可以點O為圓心，OD為半徑作圓;也可以點D為圓心，OD為半徑作圓.
解：由C(10，0)可知OD=5.
(1)以點O為圓心，OD為半徑作圓交邊
六、構(gòu)造思想例6.同例3
分析：根據(jù)已知條件，聯(lián)想到證明勾股定理的弦圖，本例便有如下巧妙解法.
數(shù)學勾股定理論文篇三
正確的數(shù)學思想是成功解題的關鍵所在.在運用勾股定理解題時，若能正確把握數(shù)學思想，則可使思路開闊，方法簡便快捷.下面列舉在應用勾股定理時經(jīng)常用到的數(shù)學思想，供同學們參考.
一、 方程思想
◆例1如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且點C落到E點，則CD等于( ).
A.2cm B.3cmC.4cmD.5cm
分析：由題意可知，ΔACD 和ΔAED關于直線AD對稱，因而有ΔACD ≌ΔAED .進一步則有AE=AC=6cm，CD=ED，DE⊥AB.設CD=ED=xcm，則在ΔDEB中，由勾股定理可得DE2+BE2=BD2.又因在ΔABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10.所以有x2+(10- 6) 2=(8- x)2,解得x=3.故選B.
二、轉(zhuǎn)化思想
◆例2如圖2，長方體的高為3cm，底面是正方形，邊長為2cm.現(xiàn)有一小蟲從A出發(fā)，沿長方體表面爬行，到達C處，問小蟲走的路程最短為多少厘米?
分析：求幾何體表面最短距離問題，通?？蓪缀误w表面展開，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形.對于此題，可將該長方體的右表面翻折至前表面，使A、C兩點共面，連結(jié)AC，線段AC的長度即為最短路程(如圖3).由勾股定理可知AC2=32+42=52，即小蟲所走的最短路程為5cm.
三、分類討論思想
◆例3在ΔABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，試求BC的長.
分析：三角形中某邊上的高既可在三角形內(nèi)部，也可在三角形的外部，故此題應分兩種情況來考慮.當BC邊上的高AD在ΔABC的內(nèi)部時，如圖4，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，得BD=9;CD2=AC2-AD2， 得CD=16，則BC=BD+CD=9+16=25;當BC上的高AD在ΔABC的外部時，如圖5，同樣由勾股定理可求得CD=16，BD=9，這時，BC=CD-BD=16- 9=7，故BC的長為25或7.
四、數(shù)形結(jié)合思想
勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的定理，它的驗證和應用，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.這里不再舉例，請同學們在平時的練習中仔細體會.
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