關于數(shù)學危機論文

　　數(shù)學危機是數(shù)學在發(fā)展中種種矛盾，你知道哪些關于數(shù)學危機的論文?接下來學習啦小編為你推薦關于數(shù)學危機論文，一起看看吧!

　　關于數(shù)學危機論文篇一：數(shù)學課堂教學中教學危機公關探微

　　摘 要：在數(shù)學課堂教學中，教師對教學危機的處理會直接影響課堂效果，影響著學生的學習方式和效果，甚至對學生的后續(xù)學習產(chǎn)生巨大的影響力，因此，加強對教學危機公關和數(shù)學課堂教學的有效整合的探微就尤為重要.

　　關鍵詞：教學危機;危機公關;教學細節(jié)

　　危機公關一詞在百度全科里面原意是指“當事情遇到嚴重危機的時候，為了避免或者減輕危機所帶來的嚴重損害和威脅，從而有組織、有計劃地學習、指定和實施一系列管理措施和應對策略，包括危機的規(guī)避、控制、解決以及危機解決后的復興等不斷學習和適應的動態(tài)過程”. 危機公關沒有固定的模式和解決套路，但卻是能否控制事態(tài)、減少損失，讓相關事件朝著良好軌道持續(xù)發(fā)展，并最終成功脫困，獲得成功的關鍵所在.

　　在數(shù)學教學中，不可避免也會存在著很多容易被忽視的教學細節(jié)或者教學突發(fā)事件，假如教師和學生在學習的過程中并沒有引起足夠的注意，那么這些細小的事件往往就會引發(fā)嚴重的教學后果，也就是出現(xiàn)了教學危機，而教學危機公關由于它本身造成損失的不可預判性，在近來的數(shù)學課堂教學過程中越來越得到教師的重視. 在出現(xiàn)教學危機的時候，一個教師如果能夠積極反應、快速疏通，成功地利用危機公關的策略將教學危機化險為夷，也許對整個教學過程的積極發(fā)展會有更為廣闊的意義.

　　案例1：某教師在講授平方根一節(jié)課的時候，先對平方的概念進行了復習：32，(-4)2，02的結果分別是多少?學生回答得很整齊，教師一看效果不錯，馬上接著提問：平方等于9的數(shù)是幾?學生異口同聲的回答：3. 教師這個時候并沒有意識到問題出在哪里，于是提高了聲音再問是幾?學生都以為教師是嫌回答的聲音不夠響亮，于是乎也提高了聲音回答：3. 教師這個時候感覺到有問題，但又不知道問題出在哪里，只得再次加大聲音提問：到底是不是3?學生也順著教師的口吻繼續(xù)響亮回答：是3!到這個時候，教師也沒有弄清楚為什么學生會這樣回答，只得作罷，說：其實大家都答錯了，平方等于9的數(shù)有兩個，是±3.

　　這樣一個教學活動，最終的結果可能是學生也能記住最后的結果，但是與新課程的探索型課堂的理念是格格不入的，教師在教學的過程中缺少對教學細節(jié)的預判、課堂教學的掌控、課堂語言的婉轉，因此就造成了被動的局面. 其實這個問題很有特征，在開始引入的時候，雖然教師注意到了要設計正負數(shù)的平方問題提問，但是沒有充分考慮學生的認知特點，初一學生的正向性思維占據(jù)了整個思維體系的大部分，而逆向思維在學生的思考體系中仍很不成熟. 正因為學生的認知特點決定教學的設計與過程，在教學中，教師就可以指導學生分析：一個正數(shù)的平方是一個正數(shù)，一個負數(shù)的平方還是一個正數(shù)，那么如果一個數(shù)的平方是一個正數(shù)，這個數(shù)可能有幾種情況?這樣講解之后，學生的概念理解自然而然就清晰了. 又或者在提問的時候，教師可以修改例題為：32、(-3)2、02的結果分別是多少?讓學生在形成已有認識的基礎上再去解題，可能教學的效果會大不相同. 再或者當學生已經(jīng)回答出一個答案是3的時候，教師可以因勢利導繼續(xù)提問，“大家認為除了3，有沒有其他的結果了”，既肯定了3的正確性，又提示了學生還有其他的結果，為學生進一步的思考就提供了舞臺.

　　教學細節(jié)往往反映了教師的教學水平，折射了教師的教學思想，反映了教師掌控教學的能力. 數(shù)學課堂中的教學細節(jié)很多，容易忽略的問題也很多，同樣教學危機也很多，教師在教學中，一定要多考慮教學危機，多思考教學危機公關，來達到豐富和完善課堂教學的效果，抓住細節(jié)去突破，就能在課堂上得心應手，游刃有余，創(chuàng)造精彩的課堂.

　　案例2：某公開課上，內容是《去括號》，上課教師自信滿滿，躊躇滿志. 上課開始，第一個教師設計的環(huán)節(jié)是一個情景導入：

　　我是魔術師，將手中的撲克牌平均分成左、中、右三堆，再按下列要求操作：

　　1. 從中間的一堆中移3張到左堆;

　　2. 從右堆中移1張到中堆;

　　3. 請你數(shù)一數(shù)此時中間的一堆有多少張?再從左堆中移走與中堆相同的張數(shù)到右堆，你知道現(xiàn)在左堆中還有幾張?

　　這個導入游戲教師準備了很久，在幾次試上課的時候都沒有發(fā)生任何的問題，因此，教師在課堂上為了避嫌，當請了一名學生上臺操作之后，自己就走到了教室的一角，遠離了操作的學生.當學生操作結束，為了制造氣氛，教師先讓學生起來回答，結果學生的答案是五花八門，這個時候，教師故作神秘地伸出了手說：“我在游戲之前就有預感，已經(jīng)把答案寫在了我的手心”，學生注意到教師的手中寫的數(shù)字是5，但是這個時候操作的學生卻說了：“老師，我這里只有4張牌!”學生們都開始疑惑起來，教師也被這一變化愣住了，本來心里面設計好的諸多言語此時都不能派上用場，整個課堂的氣氛就此凝固了起來，過了好一會兒，教師才轉過神來，對著學生尷尬地說：可能在操作的過程中，這位同學出現(xiàn)了錯誤，因此出現(xiàn)了兩個數(shù)據(jù)不一致，好了，我們重新來看今天我們所要學習的內容. 準備的很多導入語由于突發(fā)事件的關系，都失去了用武之地，整堂課就在一個亂哄哄的氛圍下繼續(xù)下去，很多學生一直在思考為什么教師的結果和實際操作的結果不一致，而對這堂課的教學內容就失去了應有的關注.

　　其實這種事件在數(shù)學教學過程中并不少見，往往教師準備的沒有發(fā)生，而意想不到地卻發(fā)生了，說到底還是教師對整個教學過程的掌控不到位，沒有充分地考慮各種外在或者內在的因素，譬如：進行游戲操作的學生的能力水平、學生操作過程中會不會失誤、教師準備的教具有沒有在無意中被破壞等等. 整個教學過程中，教師能想到的可能只有其中的一部分，有很多的教學細節(jié)和突發(fā)事件是沒有辦法想象得到的.

　　在上準備課的時候，教師往往是自己熟悉的班級、熟悉的學生，進行操作的往往屬于自己信得過的學生，這部分學生分析能力、思維能力以及動手實踐能力都比較強，往往很容易達到教學效果，而在公開課上，由于是借班上課，教師對學生的能力并不會很了解，進行操作的學生也是隨機產(chǎn)生，能否配合教師完成相應任務就變成了一個疑問!在這個問題的危機公關上，可以這樣來解決：教師在找學生的時候，可以再給操作員配備一個助手，這個助手一定要能力出色，能預判問題，教師可以有意識地在課前在班中了解一下情況，哪些是班長、學習委員、數(shù)學課代表等等數(shù)學基礎較好的學生，做到心中有數(shù)、有的放矢，面對不同難度的問題去提問不同程度的學生. 多重保護之下，風險就會大大減少，教學輔助活動成功的概率就會大大增加!

　　又或者當問題已經(jīng)產(chǎn)生的時候，這個時候大可不必驚慌失措，有的時候，教學事故是防不住的，當出現(xiàn)兩個不同的數(shù)據(jù)之后，教師可以故作神秘的說：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種結果，到底是老師的結果正確呢?還是這個同學的結果正確?當我們學習了今天的去括號的相關知識之后，答案就會自然分曉. 下面，就讓我們帶著疑問走進今天的知識世界!同樣的意思，不一樣的表達，最終的結果可能完全是不一樣的. 學生對問題的困惑之心會一直影響著他，讓他產(chǎn)生去接受并掌握本節(jié)課內容，從而可以更快地解開心中疑問的想法. 當各種不同教學危機產(chǎn)生時，教師應當多思考的是如何有效地把“危機”轉化為“機會”，正確因勢利導. 成功的教學危機公關，反而可以促進學生積極思維的產(chǎn)生，學習興趣更加投入，并形成對課堂知識學習的深入探究.

　　數(shù)學課堂教學本來就是多姿多彩的，它雖然不能預判下一步即將發(fā)生什么而充滿了未知性與神秘性，但是只要教師有豐富的教學能力，在課堂教學的前奏曲上下工夫、做文章;在教學危機處理與公關上多探討、研究，多預設可能發(fā)生的情景;多預想學生可能出現(xiàn)的問題，多思考教學過程中的細節(jié);在教學閑暇之時多充實自己的教學理論與業(yè)務素養(yǎng)，適時對自己的教學語言、教學經(jīng)驗、教學手段進行再豐富，數(shù)學課堂教學的過程就會更加的出色!

　　滴滴小水珠，顆顆小沙粒，都會形成浩瀚的海洋與宜人的土地. 數(shù)學課堂中的每一個教學細節(jié)，正如這一滴滴小水珠或是一粒粒小沙粒一樣，每一個細節(jié)都關乎整個階段學生數(shù)學教育的成功與否，每一次的教學危機都有可能會影響著后續(xù)的教學過程與學生的學習興趣. 我們教師要做的就是捕捉每一個教學的細節(jié)，預判每一個可能出現(xiàn)的教學危機，成功地運用危機公關的理念去轉化危機，讓數(shù)學課堂教學成為發(fā)現(xiàn)學生靈感、展示學生風采、肯定學生行為的一塊主陣地，讓學生在學習的每一分鐘都過得充實，充滿探索欲望與無窮動力，那么，我們的數(shù)學課堂也就煥發(fā)了新的活力，我們的教育也會眼前一亮，充滿光明.

　　關于數(shù)學危機論文篇二：數(shù)學危機不危機

　　【摘要】 本文以歷史上的三次數(shù)學危機為基礎，通過解決三次數(shù)學危機為何發(fā)生在西方、三次數(shù)學危機在不同數(shù)學分支中的推動作用、三次數(shù)學危機對我們的研究和教學的啟示這三個的問題，以此證實數(shù)學危機，其實不危機，它對數(shù)學的發(fā)展有很大的影響.

　　【關鍵詞】 數(shù)學危機;西方;數(shù)學分支;啟示

　　一、三次數(shù)學危機簡介

　　(一)第一次數(shù)學危機

　　公元前580～568年之間的古希臘，數(shù)學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派.這個學派所有發(fā)明創(chuàng)造都歸于學派領袖.當時人們對有理數(shù)的認識還很有限，對于無理數(shù)的概念更是一無所知.該學派的成員希伯索斯根據(jù)勾股定理(西方稱為畢達哥拉斯定理)通過邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示.希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認為是“荒謬”和違反常識的事.它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人的傳統(tǒng)見解.這就是第一次數(shù)學危機.最后，這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決.只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制，所謂的數(shù)學危機也就不復存在了.

　　(二)第二次數(shù)學危機

　　十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數(shù)學界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學危機.微積分的主要創(chuàng)始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零;第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學推導過程卻在邏輯上自相矛盾.直到19世紀，柯西詳細而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論.柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發(fā)生矛盾.無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，第二次數(shù)學危機基本解決.

　　(三)第三次數(shù)學危機

　　1902年，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個數(shù)學界，號稱天衣無縫、絕對正確的數(shù)學出現(xiàn)了自相矛盾.羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合.因為既要R有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的.因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則，否則就是不合法的集合.數(shù)學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論.德國數(shù)學家策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，又經(jīng)過德國的另一位數(shù)學家弗芝克爾的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，這場數(shù)學危機到此緩和下來.

　　二、三次數(shù)學危機為何在西方

　　(一)西方人更注重邏輯思維

　　西方有一句話叫做“富人創(chuàng)造世界”，從這三次數(shù)學危機，我們知道西方人善于發(fā)現(xiàn)問題，主張去探究“這個東西是什么”，從邏輯和本質出發(fā)思考問題，不斷地將問題呈現(xiàn)出來，不斷思考和挖掘，朝著困難進發(fā)，不斷地思考事物的根源，而不是將理論推倒去重新建立，在此基礎上，通過人們逐漸地去深入，或者是變換一種思考問題的方式，都能使新的問題得到解決.西方人長期是以這種邏輯思維來做事情、搞研究的，那么此時西方的數(shù)學才會出現(xiàn)危機.

　　(二)西方人更注重體系的完善

　　第一次數(shù)學危機是由于實數(shù)系不完整，第二次數(shù)學危機是由于極限理論不完整，第三次數(shù)學危機是由于公理化體系不完整.當西方人發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)有的理論基礎之上，解決這些問題的理論不能夠得到落實，不能支撐起問題的解決，那么西方人會在此基礎上去完善數(shù)學理論，不斷地充實體系，使理論體系更加完善，以此來解決數(shù)學危機.因此說，西方是先有理論，由理論來指導實踐，并且對于西方來說，建立起來的理論要達成一個完整的鏈條，使得它們完成整個數(shù)學界的連貫性和體系性.反之，東方人則不在意理論的完善，他們認為只要將理論建立起來就可以了，即使一些理論是零敲碎打，只要不影響使用就可以.因此，我們可以發(fā)現(xiàn)歷史上的三次數(shù)學危機發(fā)生在西方不是偶然的，而是必然的.

　　三、三次數(shù)學危機在不同數(shù)學分支中的推動作用

　　(一)三次數(shù)學危機的共同之處

　　通過對三次數(shù)學危機的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些危機都是在理論有缺陷的情況下發(fā)生的，數(shù)學家們研究不下去這些問題了，所以才將理論不斷地充實下去，使得解決問題的依據(jù)更加充足.學者們都擁有永無止境的研究欲望，勇于探索的精神，才能解決一次又一次的數(shù)學危機，從而引起深遠的影響.

　　(二)對實數(shù)系的推動作用

　　從第一次數(shù)學危機中，我們可以發(fā)現(xiàn)，導致其發(fā)生的原因是由于當時的人們只知道有理數(shù)，有理數(shù)就是整個實數(shù)系，而當一個數(shù)不能用整數(shù)表示時，人們就發(fā)現(xiàn)了存在于有理數(shù)之外的數(shù)，即無理數(shù).所以說，無理數(shù)必須建立在有理數(shù)之上，有理數(shù)又是整數(shù)的擴展，整數(shù)則是由自然擴充而來，那么才能建立嚴格的實數(shù)理論.這樣而來，無理數(shù)的出現(xiàn)促進了最根本的實數(shù)系的完善，并且為極限理論做下鋪墊.

　　(三)對分析學分支的推動作用

　　分析學是三大基礎數(shù)學的一大分支，其中數(shù)學分析則是以極限為工具來研究函數(shù)的學科.從第二次數(shù)學危機，我們可以看出極限的思想就蘊含在其中，無窮小量的出現(xiàn)引起了人們對極限的認識.極限思想是人們從有限認識無限、從近似認識精確、從已知認識未知、從量變認識質變，推動了數(shù)學哲學的形成和發(fā)展.如數(shù)理統(tǒng)計、圖論、模糊數(shù)學等等，都是由第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生而人們在充實理論中引出的新概念，這為現(xiàn)代數(shù)學奠定了基礎.

　　(四)對理論數(shù)學之外的分支的推動作用

　　第三次數(shù)學危機的發(fā)生引出公理化體系，那么公理化體系的出現(xiàn)就將游離在數(shù)學之外的一些分支視為數(shù)學范圍.如概率論， 概率論研究的是隨機 現(xiàn)象，而在第三次危機

　　之前，我們將數(shù)學的特點定義為嚴密和精確，因此我們沒有將概率論收入為數(shù)學的范疇，但是當公理化體系出現(xiàn)后，承認并證實了隨機現(xiàn)象，這時人們才認可概率論.像應用數(shù)學中的運籌學，泛函分數(shù)等等，都是公理化體系最直接的受益者.　　四、三次危機的啟示

　　(一)堅持與信仰

　　人們在面對數(shù)學危機時，并沒有因為害怕難題而逃脫，而是克服困難，及時補充理論并改正錯誤.能夠用更大的麻煩來解決麻煩，危機促進了數(shù)學的發(fā)展，每一次數(shù)學危機都是一次傳統(tǒng)和新銳的斗爭.先覺者不斷挑戰(zhàn)這舊日的權威，頑固派不斷想要扼殺新生的火焰，但星星之火早已有了燎原之勢，燒盡腐朽落后的東西，隨大江的海浪一波一波滾滾向前.所以，我們應該培養(yǎng)開拓創(chuàng)新、鉆研探究、不畏權威、追求真理的精神，在自己從事的領域上開創(chuàng)一片新的天地.給數(shù)學史帶來了深遠影響.

　　(二)理論與實踐

　　通過這三次數(shù)學危機，我們發(fā)現(xiàn)在指導實踐的過程中，理論的空缺是很致命的，因此完整理論是很重要的，要在理論和實踐相結合的同時，逐漸完善理論.比如說，我們在小學教學中，應該多讓學生去親自體驗和感知所學習的知識，踏實下來計算一下，也許會有更好地教學效果.

　　(三)數(shù)與形的結合

　　從三次危機中，我們發(fā)現(xiàn)了數(shù)形結合的重要性，“數(shù)”是抽象的，“形”是具體的，結合起來才能有更大的成就，這是重要的數(shù)學方法和思想.像第一次數(shù)學危機，本質就是數(shù)形結合，通過刻畫長短來形成對長度的感性認識，深刻理解概念和性質.具體到小學教學中就是在講平均數(shù)的時候，“數(shù)”代表的就是計算平均數(shù)的公式，“形”的思想就是移多補少、齊平.

　　五、小 結

　　從公元前580的第一次數(shù)學危機開始，西方人不斷思索，善于發(fā)現(xiàn)的品質使得他們發(fā)現(xiàn)了前人的不足，敢于推翻過去，同時也努力追求真相.這就意味著數(shù)學在一次次危機中不斷完善，理論更加嚴密更加有據(jù)可循.所以西方的實數(shù)、分析學、數(shù)學之外的知識體系更加完整，成為了經(jīng)典的理論讓后人學習.中國早期的數(shù)學發(fā)展的很好，但是卻滿足現(xiàn)狀，所以才讓西方反超.同時我們也發(fā)現(xiàn)，只有不斷的發(fā)現(xiàn)問題，才能想辦法去解決問題.這也成為了我們數(shù)學學習的思路.當我們發(fā)現(xiàn)一個問題，然后想辦法用之前學習的數(shù)學知識去解決的時候，這時候我們便具備了數(shù)學思想，并可以再此基礎上獲得更上一層的數(shù)學理論.所以我們經(jīng)過這次研究也得到了巨大的收獲.在面對問題時，逃避是不能解決問題的，要敢于思考，不要被過去所束縛，才能有新的發(fā)現(xiàn).同時理論是建立在實踐的基礎上的，我們在教學中也可以去應用這一點讓孩子們動手操作，化抽象數(shù)學知識為具體的數(shù)學模型，從而在腦海中建立數(shù)學知識的概念，這樣更有助于學生的接受，是課堂教學的一個好方法.

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　　關于數(shù)學危機論文篇三：你知道第一次數(shù)學危機嗎?

　　一、 畢達哥拉斯學派——畢達哥拉斯定理

　　畢達哥拉斯是一位與孔子、釋迦牟尼幾乎同時代的古希臘著名的數(shù)學家和哲學家. 出身于貴族家庭的他，年輕時曾到過埃及和巴比倫學習數(shù)學，之后到意大利的南部傳授數(shù)學及宣傳他的哲學思想，后來和他的信徒們組成了一個叫“畢達哥拉斯學派”的集政治、學術、宗教三位于一體的組織. 在中學的平面幾何中，有一個定理叫“畢達哥拉斯定理”(即“勾股定理”)，就是以他的名字命名的.

　　畢達哥拉斯學派提出一著名的觀點：“一切都是數(shù)”. 就是說不論什么事物，大到天體，小到塵埃，都有一定的長短、高低、大小、輕重等數(shù)量，沒有數(shù)量的事物是不存在的. 那么，數(shù)是如何構成世界上的事物呢?畢達哥拉斯學派解釋說：“數(shù)”是一種單位，它占有一定的空間，是有形的. 數(shù)的開端是“1”，“1”就是一個小點(·)，“2”這個數(shù)是兩點的排列，即成為一條線(—)，同樣，“3”這個數(shù)是面(△)，而“4”這個數(shù)就是體(■). 數(shù)的排列到了“4”，就出現(xiàn)了有形的事物. 由這四個數(shù)就構成了土(立方體)、火(四面體)、氣(八面體)、水(二十四面體)四大基本要素，這四種要素的不同排列組合就構成了世界上形形色色的具體事物. 可見，一切事物都由數(shù)構成.

　　畢達哥拉斯學派認為宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結為整數(shù)或整數(shù)之比. 因此，畢達哥拉斯學派非常重視數(shù)學的研究，他們基本建立了所有直線形的理論，包括三角形全等的定理、平行線理論、相似理論、三角形的內角和定理等. 他們還發(fā)現(xiàn)了有名的“畢達哥拉斯三數(shù)”，即可以組成直角三角形三條邊的整數(shù)組，他們除了給出具體的特例外，還給出了一般法則：如果m為一直角邊，則m，■，■就是這樣的整數(shù)組. 他們證明了關于直角三角形斜邊與兩直角邊關系的定理，即著名的“畢達哥拉斯定理”(即“勾股定理”)：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊平方之和. 在當時，中國人、巴比倫人、埃及人和印度人早已了解到此定理的部分情況，但都沒有給出一般的證明. 因此，畢達哥拉斯和他的門徒在給出這條定理的證明后欣喜若狂，后來主張簡樸節(jié)儉的師徒們也破例舉行隆重、熱烈的慶賀. 據(jù)說，他們宰了100頭牛舉辦了盛大的“百牛宴”，以致有人議論說，人們喜悅，牛卻遭了殃. 因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理”.

　　二、 無理數(shù)的出現(xiàn)猶如晴天霹靂

　　正當興致未盡之時，他們的狂熱卻被一個人狠狠地潑了一盆冷水，這就是入會不久的希帕索斯. 希帕索斯是個勤奮好學的青年，他善于獨立思考，不盲目附和. 他學了勾股定理以后，在研究邊長為整數(shù)的正方形的對角線時發(fā)現(xiàn)，這條對角線(亦即等腰直角三角形的斜邊)既不能用整數(shù)表示，也不能用整數(shù)之比(分數(shù))表示. 證明如下：

　　證明：設等腰直角三角形的兩直角邊為a，斜邊的長度為約去公因數(shù)的兩整數(shù)m、n之比■.

　　∵m、n約去了公因數(shù)，∴二者中至少有一奇數(shù)(都是偶數(shù)則有公因數(shù)2).

　　∵畢達哥拉斯定理，a2+a2=■2，即2a2=■. ∴m2=2a2n2.

　　∵2a2n2為偶數(shù)，則m2為偶數(shù)，

　　∴m必為偶數(shù).

　　又∵m、n中至少有一奇數(shù)，

　　∴n必是奇數(shù).

　　∵m是偶數(shù)，

　　∴設m=2p，∴m2=4p2=2a2n2，∴n2=■.

　　∵■是偶數(shù)，

　　∴n2為偶數(shù)，∴n也必是偶數(shù).

　　綜上可知，假如他們的信念是正確的，那么，同一數(shù)n既是奇數(shù)又是偶數(shù)，而我們知道一個數(shù)不可能既是奇數(shù)又是偶數(shù)，因此，以上的循環(huán)必然是矛盾的，人們把這種循環(huán)稱為“希帕索斯悖論”.

　　在這一推導中得出明顯矛盾的結論，無非有兩種情況：一種是前提錯誤，一種是推導過程不正確. 顯然，推導過程毫無差錯，那么，問題只能出在前提上. 在推導過程中使用了兩個前提：一個是畢達哥拉斯派“一切現(xiàn)象可歸結為整數(shù)或整數(shù)之比”的信念，另一個就是畢達哥拉斯定理. 而畢達哥拉斯定理是已證明為正確的定理，所以，只能是他們的信念是不成立的. 因此，希帕索斯悖論的發(fā)現(xiàn)就如同一聲晴天霹靂，動搖了畢達哥拉斯學派整個信念大廈的基礎，引起其他畢氏門徒的極大恐慌. 他們決定立即封鎖消息. 可是如何能封鎖得住?一傳十，十傳百早就傳開了，這使得他們非常惱火，決定捉拿希帕索斯. 希帕索斯并不屈服，于是逃離了這個學會. 一些激進的門徒緊追不舍，結果在地中海的一條船上抓住了希帕索斯，并把他扔到了海里. 新發(fā)現(xiàn)的數(shù)由于和之前的所謂“合理存在的數(shù)”(即有理數(shù))在學派內部形成了對立，所以被稱作為無理數(shù).

　　“青山遮不住，畢竟東流去. ”希帕索斯可以拋到大海里淹死，但希帕索斯悖論是淹不死的. 作為直角三角形特殊情形的等腰直角三角形必然會成為研究者的課題，即使沒有希帕索斯，也會有另外一個人看到這一悖論，只不過是時間早晚而已. 人們很快發(fā)現(xiàn)，不能用整數(shù)或整數(shù)之比表示的數(shù)并非罕見的現(xiàn)象，如■、π、■等，隨著時間的推移，無理數(shù)的存在逐漸成為路人皆知的事實，這些事實像潮水一樣猛烈地沖擊著傳統(tǒng)觀念，促使人們重新審視“一切數(shù)都是整數(shù)或整數(shù)比”的有理數(shù)理論，這就是歷史上的第一次數(shù)學危機.

　　大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論，暫時消除危機. 一直到18世紀，當數(shù)學家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時，擁護無理數(shù)存在的人才多起來. 到19世紀下半葉，現(xiàn)代意義上的實數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學園地中才真正扎下了根. 無理數(shù)在數(shù)學中合法地位的確立，一方面使人類對數(shù)的認識從有理數(shù)拓展到實數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學危機.