高中數(shù)學(xué)數(shù)列論文
高中數(shù)學(xué)數(shù)列論文
數(shù)列是高中階段的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,同時(shí)數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。下面學(xué)習(xí)啦小編給你分享高中數(shù)學(xué)數(shù)列論文,歡迎閱讀。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列論文篇一:淺談關(guān)于高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的幾點(diǎn)思考
數(shù)列是高中階段的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,同時(shí)數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,在我們的日常生活中,數(shù)學(xué)模型可以幫助我們解決如存款利息、購(gòu)房貸款、資產(chǎn)折舊等實(shí)際問題,學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)對(duì)進(jìn)一步理解函數(shù)的概念和體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值也具有重要的意義。
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,它的基礎(chǔ)性和發(fā)展性是不言而喻的,其地位和作用體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:
數(shù)列是一種特殊的函數(shù),它既與函數(shù)等知識(shí)有密切的聯(lián)系,又豐富了函數(shù)的內(nèi)容。
數(shù)列的教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,自始至終貫穿觀察、分析、歸納、類比、運(yùn)算、概括、應(yīng)用等能力。
數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式、解析幾何、立體幾何等有廣泛的聯(lián)系,有很強(qiáng)的綜合性,是高中代數(shù)中培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的好素材。
正因?yàn)閿?shù)列的重要性和綜合性,在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn):、
多結(jié)合實(shí)例。通過實(shí)例去理解數(shù)列的有關(guān)概念,能在具體問題情境中,運(yùn)用等差、等比數(shù)列模型解決相關(guān)問題。
善于對(duì)比學(xué)習(xí)。數(shù)列與函數(shù)有密切關(guān)系,體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù),等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,多角度比較兩者之間的異同,能夠同時(shí)加深對(duì)兩方面知識(shí)的理解。另外,有關(guān)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識(shí)也可以通過對(duì)比記憶。
重視數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)作用。本章蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)給予充分重視,解題時(shí)多考慮與之相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法,從而提高觀察、分析、歸納、猜想的能力。
三、數(shù)列這一章蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想及方法,如函數(shù)思想、方程思想,而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法,掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對(duì)數(shù)列概念、公式的理解,而且運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的過程,往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移,使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會(huì)貫通的解決多數(shù)列問題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學(xué)方法:
(1)函數(shù)的思想方法數(shù)列本身就是一個(gè)特殊的函數(shù),而且是離散的函數(shù),因此在解題過程中,尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時(shí),可以將它們看成一個(gè)函數(shù),進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來解決問題。
(2)方程的思想方法數(shù)列這一章涉及了多個(gè)關(guān)于首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、公比、第n項(xiàng)和前n項(xiàng)和這些量的數(shù)學(xué)公式,而公式本身就是一個(gè)等式,因此,在求這些數(shù)學(xué)量的過程中,可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù),通過公式建立關(guān)于求未知量的方程,可以使解題變得清晰、明了,而且簡(jiǎn)化了解題過程。
(3)不完全歸納法不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀,而且可以幫助學(xué)生有效的解決問題,在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的過程就用到了不完全歸納法。
(4)倒敘相加法等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中,就根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn),很好的應(yīng)用了倒敘相加法,而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。
(5)錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是另一類數(shù)列求和的方法,它主要應(yīng)用于求和的項(xiàng)之間通過一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化,并且是多個(gè)數(shù)求和的問題。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)就用到了這種思想方法。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列論文篇二:淺談高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)
摘要:由于新課改教學(xué)理念在全國(guó)大范圍的不斷深入,使高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著前所未有的要求和考驗(yàn),本文主要以高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)為例,對(duì)新課改教學(xué)理念中的高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)概括,同時(shí)對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行詳細(xì)的探究.
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)列教學(xué);教學(xué)內(nèi)容
在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)列教學(xué)是其中較為典型的離散函數(shù)代表知識(shí)之一,并且在高中數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)重要的地位,同時(shí)數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中也具有較大的應(yīng)用價(jià)值.高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的數(shù)列教學(xué)是有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、分析能力以及歸納能力的一種重要的途徑之一,同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)問題的分析能力與解決能力的重要知識(shí).因此應(yīng)對(duì)數(shù)列教學(xué)加以重視,結(jié)合新課改的教學(xué)理念,對(duì)數(shù)列教學(xué)進(jìn)行深入研究.
1.1 新課改教學(xué)觀念下的教學(xué)設(shè)計(jì)。按照傳統(tǒng)的教學(xué)理念來說,教學(xué)設(shè)計(jì)主要是指有效地運(yùn)用相應(yīng)的教學(xué)系統(tǒng),有效地將教學(xué)與學(xué)習(xí)理論逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橛行У貙?duì)教學(xué)參考資料和教學(xué)活動(dòng)具體規(guī)劃實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)化的整個(gè)過程,其中教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)效果問題在教學(xué)設(shè)計(jì)當(dāng)中得到有效的解決.也可以說,所謂的教學(xué)設(shè)計(jì)就是將教學(xué)具體活動(dòng)步驟制定成合理的教學(xué)方案,同時(shí)在教學(xué)結(jié)束后對(duì)教學(xué)過程進(jìn)行相應(yīng)的評(píng)估與總結(jié),從而使教學(xué)效果得到提升,并實(shí)現(xiàn)對(duì)教學(xué)環(huán)境的優(yōu)化工作.
1.2 數(shù)列主要包括一般的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)列的應(yīng)用四部分。重點(diǎn)是等差數(shù)列以及等比數(shù)列這兩部分。數(shù)列這一部分主要是數(shù)列的概念、特點(diǎn)、分類以及數(shù)列的通項(xiàng)公式;等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩部分內(nèi)容主要介紹了兩類特殊數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式;數(shù)列的應(yīng)用除了滲透在等差與等比數(shù)列內(nèi)賓的堆放物品總數(shù)的計(jì)算以及產(chǎn)品規(guī)格設(shè)計(jì)的某些問題外,重點(diǎn)是新理念下研究性學(xué)習(xí)專題,即數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用以及儲(chǔ)蓄問題。
數(shù)列這一章蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想及方法,如函數(shù)思想、方程思想,而且在基本概念、公式的教學(xué)本身中也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法,掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對(duì)數(shù)列概念、公式的理解,而且運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的過程,往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移,使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會(huì)貫通的解決多數(shù)列問題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學(xué)方法:
①不完全歸納法不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀,而且可以幫助學(xué)生有效的解決問題,在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的過程就用到了不完全歸納法。
?、诘箶⑾嗉臃ǖ炔顢?shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中,就根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn),很好的應(yīng)用了倒敘相加法,而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。
?、坼e(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是另一類數(shù)列求和的方法,它主要應(yīng)用于求和的項(xiàng)之間通過一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化,并且是多個(gè)數(shù)求和的問題。等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)就用到了這種思想方法。
④函數(shù)的思想方法數(shù)列本身就是一個(gè)特殊的函數(shù),而且是離散的函數(shù),因此在解題過程中,尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時(shí),可以將它們看成一個(gè)函數(shù),進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來解決問題。
?、莘匠痰乃枷敕椒〝?shù)列這一章涉及了多個(gè)關(guān)于首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、公比、第 n 項(xiàng)和前 n 項(xiàng)和這些量的數(shù)學(xué)公式,而公式本身就是一個(gè)等式,因此,在求這些數(shù)學(xué)量的過程中,可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù),通過公式建立關(guān)于求未知量的方程,可以使解題變得清晰、明了,而且簡(jiǎn)化了解題過程。
3.精心探究教學(xué)策略
在課堂教學(xué)中,教師若想提高教學(xué)效率,則需了解學(xué)生學(xué)情,然后在此基礎(chǔ)上,緊扣教學(xué)內(nèi)容,采用多種教學(xué)方法,以調(diào)動(dòng)學(xué)生參與性,使其積極思考,把握科學(xué)學(xué)習(xí)方法,從而提高學(xué)習(xí)效率。
3.1 分析學(xué)生學(xué)習(xí)情況。進(jìn)入高中后,多數(shù)同學(xué)有了較為豐富的經(jīng)驗(yàn)與知識(shí),也具有了一定的抽象思維、分析概括、演繹推理能力,可通過觀察而抽象出一定的數(shù)學(xué)知識(shí)。同時(shí),學(xué)生思維也由邏輯思維發(fā)展為抽象思維,但需依靠一些感知材料。當(dāng)然,也有部分同學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不牢固,對(duì)數(shù)學(xué)缺少學(xué)習(xí)興趣。因此,在高中數(shù)列教學(xué)中,教師需要根據(jù)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu),考慮學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn),以貼近學(xué)生生活實(shí)際的實(shí)例為出發(fā)點(diǎn),注意適時(shí)引導(dǎo)與啟發(fā),加強(qiáng)學(xué)生思維能力訓(xùn)練,以適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)心理發(fā)展特征。如教師可創(chuàng)設(shè)生活化的教學(xué)情境,引導(dǎo)學(xué)生由生活實(shí)際問題來學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí),構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。
3.2 分析教法與學(xué)法。當(dāng)了解學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)后,教師則需要靈活運(yùn)用不同教學(xué)方法,以誘導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與課堂活動(dòng),展開積極思索。在課堂教學(xué)中,問題教學(xué)法是較為常用的,其主導(dǎo)思想為探究式教學(xué)。即教師精設(shè)系列問題,讓學(xué)生在老師指導(dǎo)與啟發(fā)下,自主分析與探究,從中獲得結(jié)論,增強(qiáng)體驗(yàn),得到知識(shí),提高能力。如學(xué)習(xí)《等比數(shù)列前項(xiàng)和》時(shí),教師可提出問題:某廠去年產(chǎn)值記作1,該廠計(jì)劃于今后五年內(nèi)每年產(chǎn)值比上一年增加10%,那么自今年起至第5年,該廠總產(chǎn)值是多少?該廠五年內(nèi)的逐年產(chǎn)值有何特點(diǎn)?通過什么公式可求出總產(chǎn)值?這樣,通過問題將學(xué)生帶入等比數(shù)列前項(xiàng)和的探究學(xué)習(xí)中。其次,誘導(dǎo)思維法。通過這一方法,可凸顯重點(diǎn),幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。同時(shí),可發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性,使其主動(dòng)構(gòu)建知識(shí),培養(yǎng)創(chuàng)造精神。再次,分組討論法。利用這一方法,可加強(qiáng)了師生、生生間的交流互動(dòng),碰撞思維,啟迪智慧,使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)與解決問題。另外,還有講練結(jié)合法。對(duì)于一些重難點(diǎn)知識(shí),還需要教師詳細(xì)見解,并借助典型例題,讓學(xué)生鞏固知識(shí),掌握解題方法。此外,教師還需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)。如引導(dǎo)學(xué)生由實(shí)際問題對(duì)數(shù)組特征加以抽象,從而得到數(shù)列、等比與等差數(shù)列概念;如根據(jù)等比數(shù)列概念特征對(duì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式加以推導(dǎo)等。在教學(xué)過程中,教師還可讓能力較強(qiáng)的學(xué)生拓展思維方法,運(yùn)用不同方法來推導(dǎo)等差或等比數(shù)列通項(xiàng)公式。同時(shí),教師還需為學(xué)生留出充足的思考空間與時(shí)間,讓學(xué)生大膽質(zhì)疑、自主聯(lián)想與探究。
總而言之,數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中十分重要的一部分,因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)以新課改教學(xué)理念為基本依據(jù),在教學(xué)過程中不斷對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行探索和研究,并充分利用自身有力的教學(xué)特點(diǎn)根據(jù)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況來對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行創(chuàng)新,從而使教學(xué)效果得到有效提高。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列論文篇三:淺談?dòng)蓴?shù)列遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式
摘 要:近年來,數(shù)列問題在高考卷中占有重要的地位,其中由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式往往出現(xiàn)在綜合題和探索問題中,本文將就如何由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的一般類型和常見解法作一個(gè)簡(jiǎn)單探討和歸納.
關(guān)鍵詞:數(shù)列;遞推關(guān)系式;通項(xiàng)公式;類型;思想方法
近年來,全國(guó)高考卷及各省市高考卷中,數(shù)列在試卷中的比重大概占10%左右,其中主觀題年年有,有的甚至放在倒數(shù)第二題或者壓軸題的位置,比如2004年江蘇卷的第15、20題,2005年江蘇卷的第2、23題,2006年江蘇卷的第15、21題,2007年江蘇卷的第20題,2008江蘇卷的第19題,2010年的高考大綱中對(duì)《數(shù)列》這一章的要求中也有提到“能在具體的問題情境中,識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題”. 無論是綜合題還是應(yīng)用題、探索題,往往首先都要求由數(shù)列的遞推關(guān)系式求出通項(xiàng)公式,再去解決其他問題,所以求通項(xiàng)公式就變成了解決問題的先決條件和關(guān)鍵步驟.
本文將就由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的幾種常見類型作一個(gè)簡(jiǎn)單的探討和歸納.
類型一:形如a1=a,an+1=pan+q(p,q為常數(shù),pq(p-1)≠0)的遞推數(shù)列
例1 已知數(shù)列{an}中,a1=,an+1=an+1,
(1)求證:數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:(1)因?yàn)閍n+1=an+1,所以an+1-2=(an-2).
若an-2=0,則an=2為常函數(shù),與a1=矛盾,所以an-2≠0,于是=.
所以,數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列,且首項(xiàng)a1-2=-,公比q=.
(2)由(1)知,an-2=-•n-1,所以an=2-3n.
引申:若本題沒有第1問的鋪墊,則如何求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式?
方法一:待定系數(shù)法
由遞推關(guān)系式an+1=an+1,可以設(shè)an+1+k=(an+k),即an+1=an-k,所以-k=1?圯k=-2,所以an+1-2=(an-2),即=.
所以數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列,且首項(xiàng)a1-2=-,公比q=.
可以求得an=2-3n.
推廣:對(duì)于形如a1=a,an+1=pan+q(p,q為常數(shù),pq(p-1)≠0)的遞推數(shù)列,必有{an+k}為等比數(shù)列,再由an+k的通項(xiàng)公式求出an的通項(xiàng)公式. 對(duì)于常數(shù)k,可以用待定系數(shù)法來確定. 設(shè)an+1+k=p(an+k)=pan+pk,則an+1=pan+k(p-1)?圯k(p-1)=q,所以k=,即數(shù)列an+為等比數(shù)列.
由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法較多、較靈活,常??梢杂蛇f推關(guān)系式將其轉(zhuǎn)化為熟知的等差或等比數(shù)列來求解,這里的待定系數(shù)法正是將an+1=pan+q轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列來解題的,這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法――化歸思想.
方法二:累加法
因?yàn)閍n+1=an+1,所以
an-an-1=1(n≥2),
an-1-an-2=1×,
an-2-an-3=1×,
……
a3-a2=1×,
a2-a1=1×,
將以上n-1個(gè)式子相加,得
an-a1=1+++…+,
所以an=1+++…++=+=2-2×n-1+=2-3n.?搖
當(dāng)n=1時(shí),a1=符合上式,所以an=2-3n(n∈N*).?搖
本題的累加法在運(yùn)用的時(shí)候難度相對(duì)比較大,為了能夠和下面的項(xiàng)消除,每個(gè)等式左右兩邊都要乘以相應(yīng)的項(xiàng),這樣特別要注意系數(shù)的冪指數(shù),以免發(fā)生錯(cuò)誤.
方法三:迭代法
an=an-1+1
=an-2+1+1=an-2++1
=an-3+1++1=an-3+++1
=…
=a1+++…+++1
=+=2-2×n-1+=2-3n.
累加法和迭代法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的兩種基本方法,特別適用于二階等差(等比)數(shù)列,即an+1-an=f(n),其中f(n)為等差(等比)數(shù)列. 這種由不完全歸納找出前幾項(xiàng)的規(guī)律,再求出數(shù)列通項(xiàng)公式的方法,能夠培養(yǎng)學(xué)生的歸納和猜想能力.
類型二:形如a1=a,an+1=pan+q(n)(p為常數(shù))的遞推數(shù)列
例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2an+n+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
分析:本題中累加法和迭代法顯然是適用的,但是待定系數(shù)法是否還適用呢?在這里{an+k}顯然不可能再是等比數(shù)列了,因?yàn)槔?中的常數(shù)“1”已經(jīng)變換成本題中的“n+1”. 進(jìn)一步思考{an+kn+b}是否可能是等比數(shù)列,用待定系數(shù)法嘗試.
方法一:待定系數(shù)法
由原遞推式an+1=2an+n+1,可設(shè)an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b),即an+1=2an+kn+b-k.
比較系數(shù)可得k=1,b-k=1,于是解得k=1,b=2,即an+1+(n+1)+2=2(an+n+2),所以{an+n+2}是等比數(shù)列,且首項(xiàng)a1+1+2=5,公比q=2,所以an+n+2=5×2n-1,所以an=5×2n-1-n-2(n∈N*).
方法二:累加法
因?yàn)閍n+1=2an+n+1,所以
an-2an-1=n(n≥2),
2an+1-22an-2=2(n-1),
22an-2-23an-3=22(n-2),
……
2n-3a3-2n-2a2=2n-3×3,
2n-2a2-2n-1a1=2n-2×2,
將以上n-1個(gè)式子相加,得
an-2n-1a1=n+2(n-1)+22(n-2)+…+2n-3×3+2n-2×2=3×2n-1-n-2,
所以an=5×2n-1-n-2(n≥2).
當(dāng)n=1時(shí),a1=2符合上式,
an=5×2n-1-n-2(n∈N*).
方法三:迭代法
an=2an-1+n
=2(2an-2+n-1)+n=22an-2+2(n-1)+n
=22(2an-3+n-2)+2(n-1)+n=23an-3+22(n-2)+2(n-1)+n
=…
=2n-1a1+2n-2×2+2n-3×3+…+22(n-2)+2(n-1)+n
=5×2n-1-n-2(n∈N*).
本題在累加法和迭代法中遇到S=n+2(n-1)+22(n-2)+…+2n-3×3+2n-2×2這個(gè)式子的求和問題,可以用錯(cuò)位相減法求得.
推廣:對(duì)于形如a1=a,an+1=pan+q(n)(p為常數(shù))的遞推數(shù)列的一般情況可以做如下的歸納:
1. 若q(n)為等差數(shù)列,可以用三種方法求通項(xiàng)公式.
方法一:待定系數(shù)法
設(shè)an+1+k(n+1)+b=p(an+kn+b),則an+1=pan+k(p-1)n+(p-1)b,再由比較系數(shù)求出x,y,從而可得{an+kn+b}為等比數(shù)列,通過求an+kn+b的通項(xiàng),進(jìn)而求出an的通項(xiàng).
方法二:累加法與方法三:迭代法,也都可以解決這類問題.
2. 若q(n)為等比數(shù)列,不妨設(shè)q(n)=qn(q>0,q≠1),即an+1=pan+qn.
(1)當(dāng)p=1時(shí),即an+1=an+qn,累加或者迭代即可以解決.
(2)當(dāng)p≠1時(shí),即an+1=p•an+qn,可以有三種方法求通項(xiàng).
方法一:兩邊同除以pn+1,即==+•,令bn=,則bn+1-bn=•,這樣就轉(zhuǎn)化為上面第1種類型,可以用累加法求通項(xiàng).
方法二:兩邊同除以qn+1,即=•+,令bn=,則可化為bn+1=•bn+,這樣就轉(zhuǎn)化為類型(一)來解決.
方法三:待定系數(shù)法
設(shè)an+1+λ•qn+1=p(an+λ•qn),通過與已知的遞推關(guān)系式比較系數(shù),求出λ,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).
類型三:形如a1=a,an+1=p(n)an+q(q為常數(shù))的遞推數(shù)列
例3 已知數(shù)列{an}滿足a1=,Sn=n2•an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
分析:本題給出的是數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an之間的關(guān)系,所以首先要轉(zhuǎn)化為相鄰項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式,然后根據(jù)遞推關(guān)系式的特點(diǎn)選擇合適的方法求解通項(xiàng)公式.
解:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2•an-(n-1)2•an-1,
所以(n2-1)an=(n-1)2•an-1,即=.
下面可以用累乘法或迭代法求通項(xiàng),••…•=••…•
化簡(jiǎn)可得,==,所以an=(n∈N*).
可化為一階遞推關(guān)系式的其他類型
例4 已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:由an+1=,取倒數(shù)可得=•+1.
令bn=,則上式可化為bn+1=bn+1,且b1==,這樣就轉(zhuǎn)化為類型(一)中的例題1,從而可知bn=2-3n.
于是,an===.
遇到遞推數(shù)列an+1=(c≠0,d≠0,e≠0),取倒數(shù)變成=+的形式,即倒數(shù)變換法,從而轉(zhuǎn)換成類型(一)來解決. 倒數(shù)變換法有兩個(gè)要點(diǎn)需要注意:一是取倒數(shù)的過程,二是要注意新數(shù)列的首項(xiàng)、公差或公比變化了.
例5 已知數(shù)列{an}滿足a1=,a=100an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
分析:本題的遞推關(guān)系式是二次的,可以通過兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)來達(dá)到降次的目的.
解:由a=100an,兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù),得
2lgan+1=2+lgan,即lgan+1=1+lgan.
設(shè)bn=lgan,則bn+1=1+bn,且b1=lga1=lg=,從而又轉(zhuǎn)化為類型(一)中的例1,易得bn=2-3n.
于是,an=10bn=102-3n.
總之,展望高考數(shù)學(xué)命題趨勢(shì),由數(shù)列遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式仍是熱點(diǎn)之一,這類題型解題方法靈活多樣,技巧性較強(qiáng). 在數(shù)學(xué)思想方法上考查了待定系數(shù)法、不完全歸納法、遞推思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等;在數(shù)學(xué)能力上考查了邏輯思維能力以及運(yùn)算能力等. 學(xué)生只有掌握基本技能和基本方法,通過適當(dāng)?shù)淖冃?,轉(zhuǎn)化為熟知的等差數(shù)列或等比數(shù)列,才能解決問題.