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九年級數學上學期期中試卷

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  中考考好了才能上一個好的高中哦,今天小編就給大家參考一下九年級數學,希望大家來學習一下哦

  關于九年級數學上學期期中模擬試卷

  一.選擇題(共10小題,滿分30分)

  1.(3分)將代數式x2﹣10x+5配方后,發(fā)現它的最小值為(  )

  A.﹣30 B.﹣20 C.﹣5 D.0

  2.(3分)下列圖形,既是軸對稱又是中心對稱圖形的是(  )

  A. B. C. D.

  3.(3分)一條排水管的截面如圖所示,已知排水管的半徑OB=10,水面寬AB=16,則截面圓心O到水面的距離OC是(  )

  A.4 B.5 C.6 D.6

  4.(3分)一個等腰三角形的 兩條邊長分別是方程x2﹣7x+10=0的兩根,則該等腰三角形的周長是(  )

  A.12 B.9 C.13 D.12或9

  5.(3分)下列關于二次函數y=﹣2(x﹣2)2+1圖象的敘述,其中錯誤的是(  )

  A.開口向下

  B.對稱軸是直線x=2

  C.此函數有最小值是1

  D.當x>2時,函數y隨x增大而減小

  6.(3分)賓館有50間房供游客居住,當毎間房每天定價為180元時,賓館會住滿;當毎間房每天的定價每增加10元時,就會空閑一間房.如果有游客居住,賓館需對居住的毎間房每天支出20元的費用.當房價定為多少元時,賓館當天的利潤為10890元? 設房價定為x元.則有(  )

  A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890

  B.(x﹣20)(50﹣ )=10890

  C.x(50﹣ )﹣50×20=10890

  D.(x+180)(50﹣ )﹣50×20=10890

  7.(3分)把一副三角板如圖(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜邊AB=4,CD=5.把三角板DCE繞著點C順時針旋轉15°得到△D1CE1(如圖2),此時AB與CD1交于點O,則線段AD1的長度為(  )

  A. B. C. D.4

  8.(3分)已知學校航模組設計制作的火箭的升空高度h(m)與飛行時間t(s)滿足函數表達式h=﹣t2+24t+1.則下列說法中正確的是(  )

  A.點火后9s和點火后13s的升空高度相同

  B.點火 后24s火箭落于地面

  C.點火后10s的升空高度為139m

  D.火箭升空的最大高度為145m

  9.(3分)拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過A(4,4),B(2,m)兩點,點B到拋物線對稱軸的距離記為 d,滿足0

  A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2

  10.(3分)已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,有下列5個結論:

 ?、賏bc<0;②3a+c>0;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤b2>4ac.

  其中正確的結論的有(  )

  A.2個 B.3個 C.4個 D .5個

  二.填空題(共5小題,滿分15分,每小題3分)

  11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個根,則6m2﹣9m+2015的值為   .

  12.(3分)方程x(x+1)=2(x+1)的解是   .

  13.(3分)如圖,已知⊙O是△ABD的外接圓,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,則∠BCD的度數是   .

  14.(3分)已知二次函數y=ax2+bx+c(a ≠0)中,函數值y與自變量x的部分對應值如下表:

  x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …

  y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …

  則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是   .

  15.(3分)如圖,線段AB=10,點P在線段AB上,在AB的同側分別以AP、BP為邊長作正方形APCD和BPEF,點M、N分別是EF、CD的中點,則MN的最小值是   .

  三.解答題(共7小題,滿分55分)

  16.(8分)解下列方程:

  (1)x(x+5)=14;

  (2)x2﹣2x﹣2=0

  17.(6分)如圖,AB是⊙O的直徑,C、D兩點在⊙O上,若∠C=45°,

  (1)求∠ABD的度數;

  (2)若∠CDB=30°,BC=3,求⊙O的半徑.

  18.(7分)如圖,△ABC三個頂點的坐標分別為A(2,4),B(1,1),C(4,3).

  (1)請畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1,并寫出點A1的坐標;

  (2)請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后的△A2BC2;

  (3)求出(2)中C點旋轉到C2點所經過的路徑長(結果保留根號和π);

  (4)求出(2)△A2BC2的面積是多少.

  19.(8分)今年深圳“讀書月”期間,某書店將每本成本為30元的一批圖書,以40元的單價出售時,每天的銷售量是300本.已知在每本漲價幅度不超過10元的情況下,若每本漲價1元,則每天就會少售出10本,設每本書上漲了x元.請解答以下問題:

  (1)填空:每天可售出書   本(用含x的代數式表示);

  (2)若書店想通過售出這批圖書每天獲得3750元的利潤,應漲價多少元?

  20.(8分)已知關于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣2)x+(m2﹣2m)=0.

  (1)求證:方程有兩個不相等的實數根.

  (2)如果方程的兩實數根為x1,x2,且x12+x2 2=10,求m的值.

  21.(9分)某企業(yè)信息部進行市場調研發(fā)現:

  信息一:如果單獨投資A種產品,所獲利潤yA(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在某種關系的部分對應值如下表:

  x(萬元) 1 2 2.5 3 5

  yA(萬元) 0.4 0.8 1 1.2 2

  信息二:如果單獨投資B種產品,則所獲利潤yB(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在二次函數關系:yB=ax2+bx,且投資2萬元時獲利潤2.4萬元,當投資4萬元時,可獲利潤3.2萬元.

  (1)求出yB與x的函數關系式;

  (2)從所學過的一次函數、二次函數、反比例函數中確定哪種函數能表示yA與x之間的關系,并求出yA與x的函數關系式;

  (3)如果企業(yè)同時對A、B兩種產品共投資15萬元,請設計一個能獲得最大利潤的投資方案,并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少?

  22.(9分)如圖,拋物線y=ax2+bx(a<0)過點E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊),點C,D在拋物線上.設A(t,0),當t=2時,AD=4.

  (1)求拋物線的函數表達式.

  (2)當t為何值時,矩形ABCD的周長有最大值? 最大值是多少?

  (3)保持t=2時的矩形ABCD不動,向右平移拋物線.當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H,且直線GH平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離.

  參考答案

  一.選擇題

  1.B.

  2.C.

  3.D.

  4.A.

  5.C.

  6.B.

  7.A.

  8.D.

  9.B.

  10.C.

  二.填空題

  11 .2018

  12.x1=2,x2=﹣1.

  13.32°.

  14.x1=﹣4,x2=0.

  15.5.

  三.解答題

  16.解:(1)x2+5x﹣14=0,

  (x+7)(x﹣2)=0,

  x+7=0或x﹣2=0,

  所以x1=﹣7,x2=2;

  (2)x2﹣2x=2,

  x2﹣2x+1=3,

  (x﹣1)2=3,

  x﹣1=± ,

  所以x1=1+ ,x2=1﹣ .

  17.解:(1)∵∠C=45°,

  ∴∠A=∠C=45°,

  ∵AB是⊙O的直徑,

  ∴∠ADB=90°,

  ∴∠ABD=45°;

  (2)連接AC,

  ∵AB是⊙O的直徑,

  ∴∠ACB=90°,

  ∵∠CAB=∠CDB=30°,BC=3,

  ∴AB=6,

  ∴⊙O的半徑為3.

  18.]解:(1)如圖,△A1B1C1為所作,點A1的坐標為(2,﹣4);

  (2)如圖,△A2BC2為所作;

  (3)BC= = ,

  所以C點旋轉到C2點所經過的路徑長= = π;

  (4)△A2BC2的面積=3×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×3= .

  19.

  【解答】解:(1)∵每本書上漲了x元,

  ∴每天可售出書(300﹣10x)本.

  故答案為:(300﹣10x).

  (2)設每本書上漲了x元(x≤10),

  根據題意得:(40﹣30+x)(300﹣10x)=3750,

  整理,得:x2﹣20x+75=0,

  解得:x1=5,x2=15(不合題意,舍去).

  答:若書店想每天獲得3750元的利潤,每本書應漲價5元.

  20.

  【解答】解:(1)由題意可知:△=(2m﹣2)2﹣4(m2﹣2m)

  =4>0,

  ∴方程有兩個不相等的實數根.

  (2)∵x1+x2=2m﹣2,x1x2=m2﹣2m,

  ∴ + =(x1+x2)2﹣2x1x2=10,

  ∴(2m﹣2)2﹣2(m2﹣2m)=10,

  ∴m2﹣2m﹣3=0,

  ∴m=﹣1或m=3

  21.

  【解答】解:(1)由題意得,將坐標(2,2.4)(4,3.2)代入函數關系式y(tǒng)B=ax2+bx,

  求解得:

  ∴yB與x的函數關系式:yB=﹣0.2x2+1.6x

  (2)根據表格中對應的關系可以確定為一次函數,

  故設函數關系式y(tǒng)A=kx+b,將(1,0.4)(2,0.8)代入得: ,]

  解得: ,

  則yA=0.4x;

  (3)設投資B產品x萬元,投資A產品(15﹣x)萬元,總利潤為W萬元,

  W=﹣0.2x2+1.6x+0.4(15﹣x)=﹣0.2(x﹣3)2+7.8

  即當投資B3萬元,A12萬元時所獲總利潤最大,為7.8萬元.

  22.

  【解答】解:(1)設拋物線解析式為y=ax(x﹣10),

  ∵當t=2時,AD=4,

  ∴點D的坐標為(2,4),

  ∴將點D坐標代入解析式得﹣16a=4,

  解得:a=﹣ ,

  拋物線的函數表達式為y=﹣ x2+ x;

  (2)由拋物線的對稱性得BE=OA=t,

  ∴AB=10﹣2t,

  當x=t時,AD=﹣ t2+ t,

  ∴矩形ABCD的周長=2(AB+AD)

  =2[(10﹣2t)+(﹣ t2+ t)]

  =﹣ t2+t+20

  =﹣ (t﹣1)2+ ,

  ∵﹣ <0,

  ∴當t=1時,矩形ABCD的周長有最大值,最大值為 ;

  (3)如圖,

  當t=2時,點A、B、C、D的坐標分別為(2,0)、(8,0)、(8,4)、(2,4),

  ∴矩形ABCD對角線的交點P的坐標為(5,2),

  當平移后的拋物線過點A時,點H的坐標為(4,4),此時GH不能將矩形面積平分;

  當平移后的拋物線過點C時,點G的坐標為(6,0),此時GH也不能將矩形面積平分;

  ∴當G、H中有一點落在線段AD或BC上時,直線GH不可能將矩形的面積平分,

  當點G、H分別落在線段AB、DC上時,直線GH過點P,必平分矩形ABCD的面積,

  ∵AB∥CD,

  ∴線段OD平移后得到的線段GH,

  ∴線段OD的中點Q平移后的對應點是P,

  在△OBD中,PQ是中位線,

  ∴PQ= OB=4,

  所以拋物線向右平移的距離是4個單位.

  九年級數學上學期期中試題閱讀

  一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)

  1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3時,原方程可化為(  )

  A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0

  2.隨機擲一枚均勻的硬幣兩次,兩次正面都朝上的概率是(  )

  A. B. C. D.1

  3.下列各組線段中是成比例線段的是(  )

  A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,2cm,4cm

  C.3cm,5cm,9cm,13cm D.1cm,2cm,2cm,3cm

  4.關于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根,則m的值是(  )

  A.0 B.8 C.4 D.0或8

  5.如圖,三角形ABC中,D、E、F分別是AB,AC,BC上的點,且DE∥BC,EF∥AB,AD:DB=1:2,BC=30cm,則FC的長為(  )

  A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm

  6.x=1是關于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一個根,則此方程的另一個根是(  )

  A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4

  7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩根,則x1+x2,x1x2的值分別為(  )

  A.﹣2,3 B.2,3 C.3,﹣2 D.﹣2,﹣3

  8.如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC上的點,且DE∥BC,如果AD=2cm,DB=1cm,AE=1.8cm,則EC=(  )

  A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm

  9.一件商品的原價是100元,經過兩次提價后的價格為121元,如果每次提價的百分率都是x,根據題意,下面列出的方程正確的是(  )

  A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121

  10.如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,過點D作DE∥AC,且DE= AC,連接CE、OE,連接AE,交OD于點F.若AB=2,∠ABC=60°,則AE的長為(  )

  A. B. C. D.

  二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)

  11.方程(x﹣2)2=9的解是  .

  12.邊長為5cm的菱形,一條對角線長是6cm,則菱形的面積是  cm2.

  13.如果線段a,b,c,d成比例,且a=5,b=6,c=3,則d=  .

  14.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AE⊥BD,垂足為E,ED=3BE,則∠AOB的度數為  .

  15.x2﹣2x+3=0是關于x的一元二次方程,則a所滿足的條件是  .

  16.如圖,已知正方形ABCD的對角線長為2 ,將正方形ABCD沿直線EF折疊,則圖中陰影部分的周長為  .

  三、解答題(一)(本大題共3小題,每小題6分,共18分)

  17.解方程x(x﹣1)=2.

  18.解方程:x2﹣2x=2x+1.

  19.如圖,在▱ABCD中,F是AD的中點,延長BC到點E,使CE= BC,連接DE,CF.求證:四邊形CEDF是平行四邊形.

  四、解答題(二)(本大題共3小題,每小題7分,共21分)

  20.(7分)已知:如圖,在菱形ABCD中,分別延長AB、AD到E、F,使得BE=DF,連接EC、FC.

  求證:EC=FC.

  21.(7分)某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當的減價措施,經調查發(fā)現,如果每件襯衫每降1元,商場平均每天可多售出5件.若商場平均每天要盈利1600元,每件襯衫應降價多少元?這時應進貨多少件?

  22.(7分)一只箱子里共3個球,其中2個白球,1個紅球,它們除顏色外均相同.

  (1)從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是多少?

  (2)從箱子中任意摸出一個球,不將它放回箱子,攪勻后再摸出一個球,求兩次摸出的球都是白球的概率,并畫出樹狀圖或列出表格.

  五、解答題(三)(本大題共3小題,每小題9分,共27分)

  23.(9分)如圖,在直角坐標系中放入一個矩形紙片ABCO,將紙片翻折后,點B恰好落在x軸上,記為B',折痕為CE.直線CE的關系式是y=﹣ x+8,與x軸相交于點F,且AE=3.

  (1)求OC長度;

  (2)求點B'的坐標;

  (3)求矩形ABCO的面積.

  24.(9分)如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點,F是AM的中點,EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長線于點E,交DC于點N.

  (1)求證:△ABM∽△EFA;

  (2)若AB=12,BM=5,求DE的長.

  25.(9分)如圖,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動(不與點A、B重合),一直到達點B為止;同時,點Q從點C出發(fā)沿CD向點D移動(不與點C、D重合).運動時間設為t秒.

  (1)若點P、Q均以3cm/s的速度移動,則:AP=  cm;QC=  cm.(用含t的代數式表示)

  (2)若點P為3cm/s的速度移動,點Q以2cm/s的速度移動,經過多長時間PD=PQ,使△DPQ為等腰三角形?

  (3)若點P、Q均以3cm/s的速度移動,經過多長時間,四邊形BPDQ為菱形?

  九年級(上)期中數學試卷

  參考答案與試題解析

  一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)

  1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3時,原方程可化為(  )

  A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0

  【考點】解一元二次方程-因式分解法.

  【分析】先移項,再分解因式,即可得出選項.

  【解答】解:x(x﹣3)=x﹣3,

  x(x﹣3)﹣(x﹣3)=0,

  (x﹣3(x﹣1)=0,

  故選A.

  【點評】本題考查了解一元二次方程的應用,能正確分解因式是解此題的關鍵.

  2.隨機擲一枚均勻的硬幣兩次,兩次正面都朝上的概率是(  )

  A. B. C. D.1

  【考點】列表法與樹狀圖法.

  【分析】首先利用列舉法,列得所有等可能的結果,然后根據概率公式即可求得答案.

  【解答】解:隨機擲一枚均勻的硬幣兩次,

  可能的結果有:正正,正反,反正,反反,

  ∴兩次正面都朝上的概率是 .

  故選A.

  【點評】此題考查了列舉法求概率的知識.解題的關鍵是注意不重不漏的列舉出所有等可能的結果,用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.

  3.下列各組線段中是成比例線段的是(  )

  A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,2cm,4cm

  C.3cm,5cm,9cm,13cm D.1cm,2cm,2cm,3cm

  【考點】比例線段.

  【分析】分別計算各組數中最大與最小數的積和另外兩數的積,然后根據比例線段的定義進行判斷即可得出結論.

  【解答】解:∵1×4≠2×3,

  ∴選項A不成比例;

  ∵1×4=2×2,

  ∴選項B成比例;

  ∵3×13≠5×9,

  ∴選項C不成比例;

  ∵3×1≠2×2,

  ∴選項D不成比例

  故選B.

  【點評】本題考查了比例線段:判定四條線段是否成比例,只要把四條線段按大小順序排列好,判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可,求線段之比時,要先統(tǒng)一線段的長度單位,最后的結果與所選取的單位無關系.

  4.關于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根,則m的值是(  )

  A.0 B.8 C.4 D.0或8

  【考點】根的判別式.

  【分析】根據方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根可得△=0,即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0,解方程即可得m的值.

  【解答】解:∵方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根,

  ∴△=0,即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0,

  解得:m=0或m=8,

  故選:D.

  【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識.此題比較簡單,注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關系:①當△>0時,方程有兩個不相等的兩個實數根;②當△=0時,方程有兩個相等的兩個實數根;③當△<0時,方程無實數根.

  5.如圖,三角形ABC中,D、E、F分別是AB,AC,BC上的點,且DE∥BC,EF∥AB,AD:DB=1:2,BC=30cm,則FC的長為(  )

  A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm

  【考點】平行線分線段成比例.

  【分析】先由DE∥BC,EF∥AB得出四邊形BDEF是平行四邊形,那么BF=DE.再由AD:DB=1:2,得出AD:AB=1:3.由DE∥BC,根據平行線分線段成比例定理得出DE:BC=AD:AB=1:3,將BC=30cm代入求出DE的長,即可得FC的長.

  【解答】解:∵DE∥BC,EF∥AB,

  ∴四邊形BDEF是平行四邊形,

  ∴BF=DE.

  ∵AD:DB=1:2,

  ∴AD:AB=1:3.

  ∵DE∥BC,

  ∴DE:BC=AD:AB=1:3,即DE:30=1:3,

  ∴DE=10,

  ∴BF=10.

  故FC的長為20cm.

  故選B

  【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理,平行四邊形的判定與性質,比例的性質,難度不大,得出BF=DE,從而利用轉化思想是解題的關鍵.

  6.x=1是關于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一個根,則此方程的另一個根是(  )

  A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4

  【考點】根與系數的關系.

  【分析】由于該方程的一次項系數是未知數,所以求方程的另一解可以根據根與系數的關系進行計算.

  【解答】解:設方程的另一根為x1,

  由根據根與系數的關系可得:x1•1=﹣5,

  ∴x1=﹣5.

  故選:B.

  【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系:若方程兩個為x1,x2,則x1+x2=﹣ ,x1•x2= .

  7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩根,則x1+x2,x1x2的值分別為(  )

  A.﹣2,3 B.2,3 C.3,﹣2 D.﹣2,﹣3

  【考點】根與系數的關系.

  【分析】直接根據根與系數的關系求解.

  【解答】解:根據題意得x1+x2= =﹣2; x1x2= ﹣3.

  故選D.

  【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系,關鍵是掌握x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2= ,x1x2= .

  8.如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC上的點,且DE∥BC,如果AD=2cm,DB=1cm,AE=1.8cm,則EC=(  )

  A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm

  【考點】平行線分線段成比例.

  【分析】根據平行線分線段成比例定理得到 = ,然后利用比例性質求EC的長.

  【解答】解:∵DE∥BC,

  ∴ = ,即 = ,

  ∴EC=0.9(cm).

  故選A.

  【點評】本題考查了平行線分線段成比例:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.

  9.一件商品的原價是100元,經過兩次提價后的價格為121元,如果每次提價的百分率都是x,根據題意,下面列出的方程正確的是(  )

  A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121

  【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

  【分析】設平均每次提價的百分率為x,根據原價為100元,表示出第一次提價后的價錢為100(1+x)元,然后再根據價錢為100(1+x)元,表示出第二次提價的價錢為100(1+x)2元,根據兩次提價后的價錢為121元,列出關于x的方程.

  【解答】解:設平均每次提價的百分率為x,

  根據題意得:100(1+x)2=121,

  故選C.

  【點評】此題考查了一元二次方程的應用,屬于平均增長率問題,一般情況下,假設基數為a,平均增長率為x,增長的次數為n(一般情況下為2),增長后的量為b,則有表達式a(1+x)n=b,類似的還有平均降低率問題,注意區(qū)分“增”與“減”.

  10.如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,過點D作DE∥AC,且DE= AC,連接CE、OE,連接AE,交OD于點F.若AB=2,∠ABC=60°,則AE的長為(  )

  A. B. C. D.

  【考點】菱形的性質.

  【分析】先求出四邊形OCED是平行四邊形,再根據菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°,證明四邊形OCED是矩形,再根據菱形的性質得出AC=AB,再根據勾股定理得出AE的長度即可.

  【解答】解:在菱形ABCD中,OC= AC,AC⊥BD,

  ∴DE=OC,

  ∵DE∥AC,

  ∴四邊形OCED是平行四邊形,

  ∵AC⊥BD,

  ∴平行四邊形OCED是矩形,

  ∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,

  ∴△ABC為等邊三角形,

  ∴AD=AB=AC=2,OA= AC=1,

  在矩形OCED中,由勾股定理得:CE=OD= = = ,

  在Rt△ACE中,由勾股定理得:AE= = = ;

  故選:C.

  【點評】本題考查了菱形的性質、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質;熟練掌握菱形的性質,證明四邊形是矩形是解決問題的關鍵.

  二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)

  11.方程(x﹣2)2=9的解是 5或﹣1 .

  【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

  【分析】觀察方程后發(fā)現,左邊是一個完全平方式,右邊是3的平方,即x﹣2=±3,解兩個一元一次方程即可.

  【解答】解:開方得x﹣2=±3即:

  當x﹣2=3時,x1=5;

  當x﹣2=﹣3時,x2=﹣1.

  故答案為:5或﹣1.

  【點評】本題關鍵是將方程右側看做一個非負已知數,根據法則:要把方程化為“左平方,右常數,先把系數化為1,再開平方取正負,分開求得方程解”來求解.

  12.邊長為5cm的菱形,一條對角線長是6cm,則菱形的面積是 24 cm2.

  【考點】菱形的性質.

  【分析】根據菱形對角線垂直且互相平分,即可得出菱形的另一條對角線的長,再利用菱形的面積公式求出即可.

  【解答】解:如圖所示:設BD=6cm,AD=5cm,

  ∴BO=DO=3cm,

  ∴AO=CO= =4(cm),

  ∴AC=8cm,

  ∴菱形的面積是: ×6×8=24(cm2).

  故答案為:24.

  【點評】此題主要考查了菱形的性質,熟練掌握菱形的面積公式以及對角線之間的關系是解題關鍵.

  13.如果線段a,b,c,d成比例,且a=5,b=6,c=3,則d= 3.6 .

  【考點】比例線段.

  【分析】根據比例線段的定義,即可列出方程求解.

  【解答】解:根據題意得: = ,即 = ,

  解得:d=3.6.

  故答案為3.6.

  【點評】本題考查了比例線段的定義,注意a、b、c、d是成比例線段即 = ,要理解各個字母的順序.

  14.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AE⊥BD,垂足為E,ED=3BE,則∠AOB的度數為 60° .

  【考點】矩形的性質.

  【分析】由矩形的性質和已知條件證得△OAB是等邊三角形,繼而求得∠AOB的度數.

  【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形,

  ∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,

  ∴OA=OB,

  ∵ED=3BE,

  ∴BE:OB=1:2,

  ∵AE⊥BD,

  ∴AB=OA,

  ∴OA=AB=OB,

  即△OAB是等邊三角形,

  ∴∠AOB=60°;

  故答案為:60°.

  【點評】此題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質.熟練掌握矩形的性質,證明△AOB是等邊三角形是解決問題的關鍵.

  15.(a+2)x2﹣2x+3=0是關于x的一元二次方程,則a所滿足的條件是 a≠﹣2 .

  【考點】一元二次方程的定義.

  【分析】根據一元二次方程的定義得出a+2≠0,求出即可.

  【解答】解:∵(a+2)x2﹣2x+3=0是關于x的一元二次方程,

  ∴a+2≠0,

  ∴a≠﹣2.

  故答案為:a≠﹣2.

  【點評】本題考查了一元二次方程的定義,注意:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a b c都是常數,且a≠0).

  16.如圖,已知正方形ABCD的對角線長為2 ,將正方形ABCD沿直線EF折疊,則圖中陰影部分的周長為 8 .

  【考點】翻折變換(折疊問題).

  【分析】先設正方形的邊長為a,再根據對角線長為2 求出a的值,由圖形翻折變換的性質可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG,由陰影部分的周長=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出結論.

  【解答】解:設正方形的邊長為a,則2a2=(2 )2,解得a=2,

  翻折變換的性質可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG,

  陰影部分的周長=A′B′+(A′H+BH)+BC+(CG+B′G)=AD+AB+BC+CD=2×4=8.

  故答案為:8.

  【點評】本題考查的是翻折變換的性質,即折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應邊和對應角相等.

  三、解答題(一)(本大題共3小題,每小題6分,共18分)

  17.解方程x(x﹣1)=2.

  【考點】解一元二次方程-因式分解法.

  【分析】首先將原方程變形化為一般式,然后利用因式分解法即可求得此方程的根.

  【解答】解:∵x(x﹣1)=2,

  ∴x2﹣x﹣2=0,

  ∴(x﹣2)(x+1)=0,

  即x﹣2=0或x+1=0,

  ∴x=2或x=﹣1,

  ∴原方程的根為:x1=2,x2=﹣1.

  【點評】此題考查了一元二次方程的解法.注意在利用因式分解法解一元二次方程時,需首先將原方程化為一般式再求解.

  18.解方程:x2﹣2x=2x+1.

  【考點】解一元二次方程-配方法.

  【分析】先移項,把2x移到等號的左邊,再合并同類項,最后配方,方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方,左邊就是完全平方式,右邊就是常數,然后利用平方根的定義即可求解.

  【解答】解:∵x2﹣2x=2x+1,

  ∴x2﹣4x=1,

  ∴x2﹣4x+4=1+4,

  (x﹣2)2=5,

  ∴x﹣2=± ,

  ∴x1=2+ ,x2=2﹣ .

  【點評】此題考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步驟:(1)把常數項移到等號的右邊;(2)把二次項的系數化為1;(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方;(4)選擇用配方法解一元二次方程時,最好使方程的二次項的系數為1,一次項的系數是2的倍數.

  19.如圖,在▱ABCD中,F是AD的中點,延長BC到點E,使CE= BC,連接DE,CF.求證:四邊形CEDF是平行四邊形.

  【考點】平行四邊形的判定與性質.

  【分析】由“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質推知AD∥BC,且AD=BC;然后根據中點的定義、結合已知條件推知四邊形CEDF的對邊平行且相等(DF=CE,且DF∥CE),即四邊形CEDF是平行四邊形.

  【解答】證明:如圖,在▱ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.

  ∵F是AD的中點,

  ∴DF= .

  又∵CE= BC,

  ∴DF=CE,且DF∥CE,

  ∴四邊形CEDF是平行四邊形.

  【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質.平行四邊形的判定方法共有五種,應用時要認真領會它們之間的聯系與區(qū)別,同時要根據條件合理、靈活地選擇方法.

  四、解答題(二)(本大題共3小題,每小題7分,共21分)

  20.已知:如圖,在菱形ABCD中,分別延長AB、AD到E、F,使得BE=DF,連接EC、FC.

  求證:EC=FC.

  【考點】菱形的性質;全等三角形的判定與性質.

  【分析】要證EC=FC,只要證明三角形BCE和DCF全等即可,兩三角形中已知的條件有BE=DF,CB=CD,那么只要證得兩組對應邊的夾角相等即可得出結論,根據四邊形ABCD是菱形我們可得出∠ABC=∠ADC,因此∠EBC=∠FDC.這樣就構成了三角形全等的條件.因此兩個三角形就全等了.

  【解答】證明:∵四邊形ABCD是菱形,

  ∴BC=DC,∠ABC=∠ADC,

  ∴∠EBC=∠FDC.

  在△EBC和△FDC中, ,

  ∴△EBC≌△FDC(SAS),

  ∴EC=FC.

  【點評】本題考查了菱形的性質和全等三角形的判定,求簡單的線段相等,可以通過全等三角形來證明,要注意利用此題中的圖形條件,如等角的補角相等.

  21.某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當的減價措施,經調查發(fā)現,如果每件襯衫每降1元,商場平均每天可多售出5件.若商場平均每天要盈利1600元,每件襯衫應降價多少元?這時應進貨多少件?

  【考點】一元二次方程的應用.

  【分析】利用襯衣平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售這種襯衣利潤列出方程解答即可.

  【解答】解:設每件襯衫應降價x元.

  根據題意,得 (44﹣x)(20+5x)=1600,

  解得x1=4,x2=36.

  ∵“擴大銷售量,減少庫存”,

  ∴x1=4應略去,

  ∴x=36.

  20+5x=200.

  答:每件襯衫應降價36元,進貨200件.

  【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用,利用基本數量關系:平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售的利潤是解題關鍵.

  22.一只箱子里共3個球,其中2個白球,1個紅球,它們除顏色外均相同.

  (1)從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是多少?

  (2)從箱子中任意摸出一個球,不將它放回箱子,攪勻后再摸出一個球,求兩次摸出的球都是白球的概率,并畫出樹狀圖或列出表格.

  【考點】列表法與樹狀圖法.

  【分析】(1)直接利用概率公式求解;

  (2)畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果數,再找出兩次摸出的球都是白球的結果數,然后根據概率公式求解.

  【解答】解:(1)因為箱子里共3個球,其中2個白球,所以從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是 ;

  (2)畫樹狀圖為:

  共有6種等可能的結果數,其中兩次摸出的球都是白球的結果數為2,

  所以兩次摸出的球都是白球的概率= = .

  【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n,再從中選出符合事件A或B的結果數目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

  五、解答題(三)(本大題共3小題,每小題9分,共27分)

  23.如圖,在直角坐標系中放入一個矩形紙片ABCO,將紙片翻折后,點B恰好落在x軸上,記為B',折痕為CE.直線CE的關系式是y=﹣ x+8,與x軸相交于點F,且AE=3.

  (1)求OC長度;

  (2)求點B'的坐標;

  (3)求矩形ABCO的面積.

  【考點】一次函數綜合題.

  【分析】(1)在直線y=﹣ x+8中令x=0可求得C點坐標,則可求得OC長度;

  (2)由折疊的性質可求得B′E,在Rt△AB′E中,可求得AB′,再由點E在直線CF上,可求得E點坐標,則可求得OA長,利用線段和差可求得OB′,則可求得點B′的坐標;

  (3)由(1)、(2)可求得OC和OA,可求得矩形ABCO的面積.

  【解答】解:

  (1)∵直線y=﹣ x+8與y軸交于點為C,

  ∴令x=0,則y=8,

  ∴點C坐標為(0,8),

  ∴OC=8;

  (2)在矩形OABC中,AB=OC=8,∠A=90°,

  ∵AE=3,

  ∴BE=AB﹣BE=8﹣3=5,

  ∵是△CBE沿CE翻折得到的,

  ∴EB′=BE=5,

  在Rt△AB′E中,AB′= = =4,

  由點E在直線y=﹣ x+8上,設E(a,3),

  則有3=﹣ a+8,解得a=10,

  ∴OA=10,

  ∴OB′=OA﹣AB′=10﹣4=6,

  ∴點B′的坐標為(0,6);

  (3)由(1),(2)知OC=8,OA=10,

  ∴矩形ABCO的面積為OC×OA=8×10=80.

  【點評】本題為一次函數的綜合應用,涉及直線與坐標軸的交點、軸對稱的性質、勾股定理、矩形的性質及方程思想等知識點.在(1)中注意求與坐標軸交點的方法,在(2)中求得E點坐標是解題的關鍵.本題涉及知識點不多,綜合性不強,難度不大,較容易得分.

  24.如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點,F是AM的中點,EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長線于點E,交DC于點N.

  (1)求證:△ABM∽△EFA;

  (2)若AB=12,BM=5,求DE的長.

  【考點】相似三角形的判定與性質;正方形的性質.

  【分析】(1)由正方形的性質得出AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE,即可得出結論;

  (2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DE的長.

  【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,

  ∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,

  ∴∠AMB=∠EAF,

  又∵EF⊥AM,

  ∴∠AFE=90°,

  ∴∠B=∠AFE,

  ∴△ABM∽△EFA;

  (2)解:∵∠B=90°,AB=12,BM=5,

  ∴AM= =13,AD=12,

  ∵F是AM的中點,

  ∴AF= AM=6.5,

  ∵△ABM∽△EFA,

  ∴ ,

  即 ,

  ∴AE=16.9,

  ∴DE=AE﹣AD=4.9.

  【點評】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理;熟練掌握正方形的性質,并能進行推理計算是解決問題的關鍵.

  25.如圖,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動(不與點A、B重合),一直到達點B為止;同時,點Q從點C出發(fā)沿CD向點D移動(不與點C、D重合).運動時間設為t秒.

  (1)若點P、Q均以3cm/s的速度移動,則:AP= 3t cm;QC= 3t cm.(用含t的代數式表示)

  (2)若點P為3cm/s的速度移動,點Q以2cm/s的速度移動,經過多長時間PD=PQ,使△DPQ為等腰三角形?

  (3)若點P、Q均以3cm/s的速度移動,經過多長時間,四邊形BPDQ為菱形?

  【考點】四邊形綜合題.

  【分析】(1)根據路程=速度×時間,即可解決問題.

  (2)過點P作PE⊥CD于點E,利用等腰三角形三線合一的性質,DE= DQ,列出方程即可解決問題.

  (3)當PD=PB時,四邊形BPDQ是菱形,列出方程即可解決問題.

  【解答】解:(1)∵AP=3t,CQ=3t.

  故答案為3t,3t;

  (2)過點P作PE⊥CD于點E,

  ∴∠PED=90°,

  ∵PD=PQ,

  ∴DE= DQ

  在矩形ABCD中,∠A=∠ADE=90°,CD=AB=16cm

  ∴四邊形PEDA是矩形,

  ∴DE=AP=3t,

  又∵CQ=2t,

  ∴DQ=16﹣2t

  ∴由DE= DQ,

  ∴3t= ×(16﹣2t),

  ∴t=2

  ∴當t=2時,PD=PQ,△DPQ為等腰三角形

  (3)在矩形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,AD=BC,依題知AP=CQ=3t

  ∴PB=DQ,

  ∴四邊形BPDQ是平行四邊形,

  當PD=PB時,四邊形BPDQ是菱形,

  ∴PB=AB﹣AP=16﹣3t

  在Rt△APD中,PD= = ,

  由PD=PB,

  ∴16﹣3t= ,

  ∴(16﹣3t)2=9t2+36,

  解得:

  ∴當 時,四邊形BPDQ是菱形.

  【點評】本題考查四邊形綜合題,路程、速度、時間之間的關系,菱形的判定和性質,矩形的判定和性質,勾股定理等知識,解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題,學會添加常用輔助線,構造特殊四邊形解決問題,屬于中考??碱}型.

  九年級數學上學期期中試卷

  一.選擇題(共10小題,滿分30分)

  1.(3分)下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(  )

  A. B. C. D.

  2.(3分)下列方程中是一元二次方程的是(  )

  A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0

  3.(3分)一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是(  )

  A.x1=1,x2=6 B.x1=2,x2=3 C.x1=1,x2 =﹣6 D.x1=﹣1,x2=6

  4.(3分)拋物線y=3(x﹣1)2+1的頂點坐標是(  )

  A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1)

  5.(3分)將拋物線y= x2﹣6x+21向左平移2個單位后,得到新拋 物線的解析式為(  )

  A.y= (x﹣8)2+5 B.y= (x﹣4)2+5

  C.y= (x﹣8)2+3 D.y= (x﹣4)2+3

  6.(3分)如圖,半 徑為5的⊙A中,弦BC,ED所對的圓心角分別是∠BAC,∠EAD,若DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,則弦BC的長等于(  )

  A.8 B.10 C.11 D.12

  7.(3分)賓館有50間房供游客居住,當毎間房每天定價為180元時,賓館會住滿;當毎間房每天的定價每增加10元時,就會空閑一間房.如果有游客居住,賓館需對居住的毎間房每天支出20元的費用.當房價定為多少元時,賓館當天的利潤為10890元?設房價定為x元.則有(  )

  A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890

  B.(x﹣20)(50﹣ )=10890

  C.x(50﹣ )﹣50×20=10890

  D.(x+1 80)(50﹣ )﹣50×20=10890

  8.(3分)把一副三角板如圖(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜邊AB=4,CD=5.把三角板DCE繞著點C順時針旋轉15°得到△D1CE1(如圖2),此時AB與CD1交于點O,則線段AD1的長度為(  )

  A. B. C. D.4

  9.(3分)如圖已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點P是BC的中點,兩邊PE、PF分別交AB和AC于點E、F,給出以下五個結論正確的個數有(  )

  ①AE=CF②∠APE=∠CPF ③△BEP≌△AFP④△EPF是等腰直角三角形⑤當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A、B重合),S四邊形AEPF= S△ABC.

  A.2 B.3 C.4 D.5

  10.(3分)二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象如圖所示,對稱軸是x=﹣1.下列結論:①ab>0;②b2>4ac;③a﹣b+2c<0;④8a+c<0.其中正確的是(  )

  A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④

  二.填空題(共6小題,滿分18分,每小題3分)

  11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個根,則6m2﹣9m+2015的值為   .

  12.(3分)將一元二次方程x2﹣6x+5=0化成(x﹣a)2=b的形式,則ab=   .

  13.(3分)點A(﹣3,y1),B(2,y2),C(3,y3)在拋物線y=2x2﹣4x+c上,則y1,y2,y3的大小關系是   .

  14.(3分)如圖,BD是⊙O的直徑,∠CBD=30°,則∠A的度數為   .

  15.(3分)如圖,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面內,將△ABC繞點A旋轉到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,則∠BAB′=   .

  16.(3分)二次函數y=x2﹣2x﹣5的最小值是   .

  三.解答題(共9小題,滿分72分)

  17.(7分)解方程

  (1)x(x﹣2)+x﹣2=0

  (2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2.

  18.(7分)已知,拋物線y=ax2+2ax+c與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點,點A在點B左側.點B的坐標為(1,0),OC=3OB.

  (1)求拋物線的解析式;

  (2)當a>0時,如圖所示,若點D是第三象限拋物線上方的動點,設點D的橫坐標為m,三角形ADC的面積為S,求出S與m的函數關系式,并直接寫出自變量m的取值范圍;請問當m為何值時,S有最大值?最大值是多少.

  19.(7分)如圖,在⊙O中,半徑OC⊥AB,垂足為點D,AB=12,OD=8,求⊙O半徑的長.

  20.(8分)已知a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根,求a2﹣a+b+3ab的值.

  21.(8分)如圖,在△ABC中,已知AB=AC,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°,得到△ADE,連接BD,CE交于點F.

  (1)求證:△ABD≌△ACE;

  (2)求∠ACE的度數.

  22.(8分)如圖,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點終點B運動,同時點Q從點B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點終點C運動,它們到達終點后停止運動.

  (1)幾秒后,點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍;

  (2)幾秒后,△DPQ的面積是24cm2.

  23.(8分)某大學生創(chuàng)業(yè)團隊抓住商機,購進一批干果分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售,每袋成本3元.試銷期間發(fā)現每天的銷售量y(袋)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數關系,部分數據如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天還需支付其他各項費用80元.

  銷售單價x(元) 3.5 5.5

  銷售量y(袋) 280 120

  (1)請直接寫出y與x之間的函數關系式;

  (2)如果每天獲得160元的利潤,銷售單價為多少元?

  (3)設每天的利潤為w元,當銷售單價定為多少元時,每天的利潤最大?最大利潤是多少元?

  24.(9分)我們定義:如圖1,在△ABC看,把AB點A順時針旋轉α(0°<α<180°)得到AB',把AC繞點A逆時 針旋轉β得到AC',連接B'C'.當α+β=180°時,我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補三角形”,△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”,點A叫做“旋補中心”.

  特例感知:

  (1)在圖2,圖3中,△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”,AD是△ABC的“旋補中線”.

  ①如圖2,當△ABC為等邊三角形時,AD與BC的數量關系為AD=   BC;

 ?、谌鐖D3,當∠BAC=90°,BC=8時,則AD長為   .

  猜想論證:

  (2)在圖1中,當△ABC為任意三角形時,猜想AD與BC的數量關系,并給予證明.

  25.(10分)如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A、B,與y軸交于點C,且OA=1,OB=3,頂點為D,對稱軸交x軸于點Q.

  (1)求拋物線對應的二次函數的表達式;

  (2)點P是拋物線的對稱軸上一點,以點P為圓心的圓經過A、B兩點,且與直線CD相切,求點P的坐標;

  (3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出點M的坐標;如果不存在,請說明理由.

  參考答案

  一.選擇題

  1 .C.

  2.C.

  3.D.

  4.A.

  5.D.

  6.A.

  7.B.

  8.A.

  9.D.

  10.C.

  二.填空題

  11.

  【解答】解:由題意可知:2m2﹣3m﹣1=0,

  ∴2m2﹣3m=1

  ∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018

  故答案為:2018

  12.

  【解答】解:x2﹣6x+5=0,

  x2﹣6x=﹣5,

  x2﹣6x+9=﹣5+9,

  (x﹣3)2=4,

  所以a=3,b=4,

  ab=12,

  故答案為:12.

  13.

  【解答】解:

  ∵y=2x2﹣4x+c,

  ∴當x=﹣3時,y1=2×(﹣3)2﹣4×(﹣3)+c=30+c,

  當x=2時,y2=2×22﹣4×2+c=c,

  當x=3 時,y3=2×32﹣4×3+c=6+c,

  ∵c<6+c<30+c,

  ∴y2

  故答案為:y2

  14.

  【解答】解:∵BD是⊙O的直徑,

  ∴∠BCD=90°(直徑所對的圓周角是直角),

  ∵∠CBD=30°,

  ∴∠D=60°(直角三角形的兩個銳角互余),

  ∴∠A=∠D=60°(同弧所對的圓周角相等);

  故答案是:60°.

  15.

  【解答】解:由題意得:

  AC=AC′,

  ∴∠ACC′=∠AC′C;

  ∵CC′∥AB,且∠BAC=75°,

  ∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°,

  ∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°;

  由題意知:∠BAB′=∠CAC′=30°,

  故答案為30°.

  16.

  【解答】解:∵原式可化為y=x2﹣2x+1﹣6=(x﹣1)2﹣6,

  ∴最小值為﹣6.

  故答案為:﹣6

  三.解答題(共9小題,滿分72分)

  17.

  【解答】解:(1)x(x﹣2)+x﹣2=0

  (x﹣2)(x+1)=0

  x﹣2=0或x+1=0

  x1=2,x2=﹣1;

  (2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2

  x2﹣7x+12=0

  (x﹣3)(x﹣4)=0

  x﹣3=0或x﹣4=0

  x1=3,x2=4.

  18.

  【解答】解:(1)∵點B的坐標為(1,0),OC=3OB,

  ∴點C的坐標為(0,3)或(0,﹣3),

  將點B(1,0)、C(0,3)或(0,﹣3)代入y=ax2+2ax+c,

  或 ,

  解得: 或 ,

  ∴拋 物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3.

  (2)過點D作DE⊥x軸,交AC于點E,如圖所示.

  ∵a>1,

  ∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3,

  ∴點C的坐標為(0,﹣3).

  當y=0時,有x2+2x﹣3=0,

  解得:x1=﹣3,x2=1,

  ∴點A的坐標為(﹣3,0),

  利用待定系數法可求出線段AC所在直線的解析式為y=﹣x﹣3.

  ∵點D的橫坐標為m,

  ∴點D的坐標為(m,m2+2m﹣3),點E的坐標為(m,﹣m﹣3),

  ∴DE=﹣m﹣3﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m,

  ∴S= DE×|﹣3﹣0|=﹣ (m2+m)(﹣3

  ∵﹣ <0,且S=﹣ (m2+ m)=﹣ (m+ )2+ ,

  ∴當m=﹣ 時,S取最大值,最大值為 .

  19.

  【解答】解:連接OA,如圖,

  ∵OC⊥AB,

  ∴AD=BD= AB= ×12=6,

  在Rt△AOD中,OA= = =10,

  即⊙O半徑的長為10.

  20.

  【解答】解:∵a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根,

  ∴a+b=2,ab=﹣1,a2﹣2a=1,

  a2﹣a+b+3ab=a2﹣2a+b+a+3ab=1+2﹣3=0.

  21.

  【解答】解:(1)由題意得:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,

  ∴∠BAD=∠CAE;

  在△ABD與△ACE中,

  ,

  ∴△ABD≌△ACE(SAS),

  (2)∵AC=AE,

  ∴∠ACE=∠AEC,而∠CAE=100°,

  ∴∠ACE= =40°.

  22.

  【解答】解:(1)設t秒后點P、D的距離是點P、Q距離的2倍,

  ∴PD=2PQ,

  ∵四邊形ABCD是矩形,

  ∴∠A=∠B=90°,

  ∴PD2=AP2+AD2,PQ2=BP2+BQ2,

  ∵PD2=4 PQ2,

  ∴82+(2t)2=4[(10﹣2t)2+t2],

  解得:t1=3,t2=7;

  ∵t=7時10﹣2t<0,

  ∴t=3,

  答:3秒后,點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍;

  (2)設x秒后△DPQ的面積是24cm2,

  則 ×8×2x+ (10﹣2x)•x+ (8﹣x)×10=80﹣24,

  整理得x2﹣8x+16=0

  解得x1=x2=4.

  23.

  【解答】解:(1)設y=kx+b,

  將x=3.5,y=280;x=5.5,y=120代入,

  得 ,解得 ,

  則y與x之間的函數關系式為y=﹣80x+560;

  (2)由題意,得(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80=160,

  整理,得x2﹣10x+24=0,

  解得x1=4,x2=6.

  ∵3.5≤x≤5.5,

  ∴x=4.

  答:如果每天獲得160元的利潤,銷售單價為4元;

  (3)由題意得:w=(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80

  =﹣80x2+800x﹣1760

  =﹣80(x﹣5)2+240,

  ∵3.5≤x ≤5.5,

  ∴當x=5時,w有最大值為240.

  故當銷售單價定為5元時,每天的利潤最大,最大利潤是240元.

  24.

  【解答】解:(1)①如圖2,當△ABC為等邊三角形時,AD與BC的數量關系為AD= BC;

  理由:∵△ABC是等邊三角形,

  ∴AB=BC=AC=AB′=AC′,

  ∵DB′=DC′,

  ∴AD⊥B′C′,

  ∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,

  ∴∠B′AC′=120°,

  ∴∠B′=∠C′=30°,

  ∴AD= AB′= BC,

  故答案為 .

  ②如圖3,當∠BAC=90°,BC=8時,則AD長為4.

  理由:∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,

  ∴∠B′AC′=∠BAC=90°,

  ∵AB=AB′,AC=AC′,

  ∴△BAC≌△B′AC′,

  ∴BC=B′C′,

  ∵B′D=DC′,

  ∴AD= B′C′= BC=4,

  故答案為4.

  (2)猜想 .

  證 明:如圖,延長AD至點Q,則△DQB'≌△DAC',

  ∴QB'=AC',QB'∥AC',

  ∴∠QB'A+∠B'AC'=180°,

  ∵∠BAC+∠B'AC'=180°,

  ∴∠QB'A=∠BAC,

  又由題意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB,

  ∴△AQB'≌△BCA,

  ∴AQ=BC=2AD,

  即 .

  25.

  【解答】解:(1)∵OA=1,OB=3,

  ∴A(﹣1,0),B(3,0).

  代入y=﹣x2+bx+c,得

  解得 b=2,c=3.

  ∴拋物線對應二次函數的表達式為:y=﹣x2+2x+3;

  (2)如圖,設直線CD切⊙P于點E.連結PE、PA,作CF⊥DQ于點F.

  ∴PE⊥CD,PE=PA.

  由y=﹣x2+2x+3,得

  對稱軸為直線x=1,C(0,3)、D(1,4).

  ∴DF=4﹣3=1,CF=1,

  ∴DF=CF,

  ∴△DCF為等腰直角三角形.

  ∴∠CDF=45°,

  ∴∠EDP=∠EPD=45°,

  ∴DE=EP,

  ∴△DEP為等腰三角形.

  設P(1,m),

  ∴EP2= (4﹣m)2.

  在△APQ中,∠PQA=90°,

  ∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2

  ∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.

  整理,得m2+8m﹣8=0

  解得,m=﹣4±2 .

  ∴ 點P的坐標為(1,﹣4+2 )或(1,﹣4﹣2 ).

  (3)存在點M,使得△DCM∽△BQC .

  如圖,連結CQ、CB、CM,

  ∵C(0,3),OB=3,∠COB=90°,

  ∴△COB為等腰直角三角形,

  ∴∠CBQ=45°,BC=3 .

  由(2)可知,∠CDM=45°,CD= ,

  ∴∠CBQ=∠CDM.

  ∴△DCM∽△BQC分兩種情況.

  當 = 時,

  ∴ = ,解得 DM= .

  ∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .

  ∴M1(1, ).

  當 時,

  ∴ = ,解得 DM=3.

  ∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.

  ∴M2(1,1).

  綜上,點M的坐標為(1, )或(1,1).


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