九年級數學上學期期中試卷
中考考好了才能上一個好的高中哦,今天小編就給大家參考一下九年級數學,希望大家來學習一下哦
關于九年級數學上學期期中模擬試卷
一.選擇題(共10小題,滿分30分)
1.(3分)將代數式x2﹣10x+5配方后,發(fā)現它的最小值為( )
A.﹣30 B.﹣20 C.﹣5 D.0
2.(3分)下列圖形,既是軸對稱又是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.(3分)一條排水管的截面如圖所示,已知排水管的半徑OB=10,水面寬AB=16,則截面圓心O到水面的距離OC是( )
A.4 B.5 C.6 D.6
4.(3分)一個等腰三角形的 兩條邊長分別是方程x2﹣7x+10=0的兩根,則該等腰三角形的周長是( )
A.12 B.9 C.13 D.12或9
5.(3分)下列關于二次函數y=﹣2(x﹣2)2+1圖象的敘述,其中錯誤的是( )
A.開口向下
B.對稱軸是直線x=2
C.此函數有最小值是1
D.當x>2時,函數y隨x增大而減小
6.(3分)賓館有50間房供游客居住,當毎間房每天定價為180元時,賓館會住滿;當毎間房每天的定價每增加10元時,就會空閑一間房.如果有游客居住,賓館需對居住的毎間房每天支出20元的費用.當房價定為多少元時,賓館當天的利潤為10890元? 設房價定為x元.則有( )
A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890
B.(x﹣20)(50﹣ )=10890
C.x(50﹣ )﹣50×20=10890
D.(x+180)(50﹣ )﹣50×20=10890
7.(3分)把一副三角板如圖(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜邊AB=4,CD=5.把三角板DCE繞著點C順時針旋轉15°得到△D1CE1(如圖2),此時AB與CD1交于點O,則線段AD1的長度為( )
A. B. C. D.4
8.(3分)已知學校航模組設計制作的火箭的升空高度h(m)與飛行時間t(s)滿足函數表達式h=﹣t2+24t+1.則下列說法中正確的是( )
A.點火后9s和點火后13s的升空高度相同
B.點火 后24s火箭落于地面
C.點火后10s的升空高度為139m
D.火箭升空的最大高度為145m
9.(3分)拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過A(4,4),B(2,m)兩點,點B到拋物線對稱軸的距離記為 d,滿足0
A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2
10.(3分)已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,有下列5個結論:
?、賏bc<0;②3a+c>0;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤b2>4ac.
其中正確的結論的有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D .5個
二.填空題(共5小題,滿分15分,每小題3分)
11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個根,則6m2﹣9m+2015的值為 .
12.(3分)方程x(x+1)=2(x+1)的解是 .
13.(3分)如圖,已知⊙O是△ABD的外接圓,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,則∠BCD的度數是 .
14.(3分)已知二次函數y=ax2+bx+c(a ≠0)中,函數值y與自變量x的部分對應值如下表:
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是 .
15.(3分)如圖,線段AB=10,點P在線段AB上,在AB的同側分別以AP、BP為邊長作正方形APCD和BPEF,點M、N分別是EF、CD的中點,則MN的最小值是 .
三.解答題(共7小題,滿分55分)
16.(8分)解下列方程:
(1)x(x+5)=14;
(2)x2﹣2x﹣2=0
17.(6分)如圖,AB是⊙O的直徑,C、D兩點在⊙O上,若∠C=45°,
(1)求∠ABD的度數;
(2)若∠CDB=30°,BC=3,求⊙O的半徑.
18.(7分)如圖,△ABC三個頂點的坐標分別為A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)請畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1,并寫出點A1的坐標;
(2)請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后的△A2BC2;
(3)求出(2)中C點旋轉到C2點所經過的路徑長(結果保留根號和π);
(4)求出(2)△A2BC2的面積是多少.
19.(8分)今年深圳“讀書月”期間,某書店將每本成本為30元的一批圖書,以40元的單價出售時,每天的銷售量是300本.已知在每本漲價幅度不超過10元的情況下,若每本漲價1元,則每天就會少售出10本,設每本書上漲了x元.請解答以下問題:
(1)填空:每天可售出書 本(用含x的代數式表示);
(2)若書店想通過售出這批圖書每天獲得3750元的利潤,應漲價多少元?
20.(8分)已知關于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣2)x+(m2﹣2m)=0.
(1)求證:方程有兩個不相等的實數根.
(2)如果方程的兩實數根為x1,x2,且x12+x2 2=10,求m的值.
21.(9分)某企業(yè)信息部進行市場調研發(fā)現:
信息一:如果單獨投資A種產品,所獲利潤yA(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在某種關系的部分對應值如下表:
x(萬元) 1 2 2.5 3 5
yA(萬元) 0.4 0.8 1 1.2 2
信息二:如果單獨投資B種產品,則所獲利潤yB(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在二次函數關系:yB=ax2+bx,且投資2萬元時獲利潤2.4萬元,當投資4萬元時,可獲利潤3.2萬元.
(1)求出yB與x的函數關系式;
(2)從所學過的一次函數、二次函數、反比例函數中確定哪種函數能表示yA與x之間的關系,并求出yA與x的函數關系式;
(3)如果企業(yè)同時對A、B兩種產品共投資15萬元,請設計一個能獲得最大利潤的投資方案,并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少?
22.(9分)如圖,拋物線y=ax2+bx(a<0)過點E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊),點C,D在拋物線上.設A(t,0),當t=2時,AD=4.
(1)求拋物線的函數表達式.
(2)當t為何值時,矩形ABCD的周長有最大值? 最大值是多少?
(3)保持t=2時的矩形ABCD不動,向右平移拋物線.當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H,且直線GH平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離.
參考答案
一.選擇題
1.B.
2.C.
3.D.
4.A.
5.C.
6.B.
7.A.
8.D.
9.B.
10.C.
二.填空題
11 .2018
12.x1=2,x2=﹣1.
13.32°.
14.x1=﹣4,x2=0.
15.5.
三.解答題
16.解:(1)x2+5x﹣14=0,
(x+7)(x﹣2)=0,
x+7=0或x﹣2=0,
所以x1=﹣7,x2=2;
(2)x2﹣2x=2,
x2﹣2x+1=3,
(x﹣1)2=3,
x﹣1=± ,
所以x1=1+ ,x2=1﹣ .
17.解:(1)∵∠C=45°,
∴∠A=∠C=45°,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=45°;
(2)連接AC,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠CAB=∠CDB=30°,BC=3,
∴AB=6,
∴⊙O的半徑為3.
18.]解:(1)如圖,△A1B1C1為所作,點A1的坐標為(2,﹣4);
(2)如圖,△A2BC2為所作;
(3)BC= = ,
所以C點旋轉到C2點所經過的路徑長= = π;
(4)△A2BC2的面積=3×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×3= .
19.
【解答】解:(1)∵每本書上漲了x元,
∴每天可售出書(300﹣10x)本.
故答案為:(300﹣10x).
(2)設每本書上漲了x元(x≤10),
根據題意得:(40﹣30+x)(300﹣10x)=3750,
整理,得:x2﹣20x+75=0,
解得:x1=5,x2=15(不合題意,舍去).
答:若書店想每天獲得3750元的利潤,每本書應漲價5元.
20.
【解答】解:(1)由題意可知:△=(2m﹣2)2﹣4(m2﹣2m)
=4>0,
∴方程有兩個不相等的實數根.
(2)∵x1+x2=2m﹣2,x1x2=m2﹣2m,
∴ + =(x1+x2)2﹣2x1x2=10,
∴(2m﹣2)2﹣2(m2﹣2m)=10,
∴m2﹣2m﹣3=0,
∴m=﹣1或m=3
21.
【解答】解:(1)由題意得,將坐標(2,2.4)(4,3.2)代入函數關系式y(tǒng)B=ax2+bx,
求解得:
∴yB與x的函數關系式:yB=﹣0.2x2+1.6x
(2)根據表格中對應的關系可以確定為一次函數,
故設函數關系式y(tǒng)A=kx+b,將(1,0.4)(2,0.8)代入得: ,]
解得: ,
則yA=0.4x;
(3)設投資B產品x萬元,投資A產品(15﹣x)萬元,總利潤為W萬元,
W=﹣0.2x2+1.6x+0.4(15﹣x)=﹣0.2(x﹣3)2+7.8
即當投資B3萬元,A12萬元時所獲總利潤最大,為7.8萬元.
22.
【解答】解:(1)設拋物線解析式為y=ax(x﹣10),
∵當t=2時,AD=4,
∴點D的坐標為(2,4),
∴將點D坐標代入解析式得﹣16a=4,
解得:a=﹣ ,
拋物線的函數表達式為y=﹣ x2+ x;
(2)由拋物線的對稱性得BE=OA=t,
∴AB=10﹣2t,
當x=t時,AD=﹣ t2+ t,
∴矩形ABCD的周長=2(AB+AD)
=2[(10﹣2t)+(﹣ t2+ t)]
=﹣ t2+t+20
=﹣ (t﹣1)2+ ,
∵﹣ <0,
∴當t=1時,矩形ABCD的周長有最大值,最大值為 ;
(3)如圖,
當t=2時,點A、B、C、D的坐標分別為(2,0)、(8,0)、(8,4)、(2,4),
∴矩形ABCD對角線的交點P的坐標為(5,2),
當平移后的拋物線過點A時,點H的坐標為(4,4),此時GH不能將矩形面積平分;
當平移后的拋物線過點C時,點G的坐標為(6,0),此時GH也不能將矩形面積平分;
∴當G、H中有一點落在線段AD或BC上時,直線GH不可能將矩形的面積平分,
當點G、H分別落在線段AB、DC上時,直線GH過點P,必平分矩形ABCD的面積,
∵AB∥CD,
∴線段OD平移后得到的線段GH,
∴線段OD的中點Q平移后的對應點是P,
在△OBD中,PQ是中位線,
∴PQ= OB=4,
所以拋物線向右平移的距離是4個單位.
九年級數學上學期期中試題閱讀
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)
1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3時,原方程可化為( )
A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0
2.隨機擲一枚均勻的硬幣兩次,兩次正面都朝上的概率是( )
A. B. C. D.1
3.下列各組線段中是成比例線段的是( )
A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,2cm,4cm
C.3cm,5cm,9cm,13cm D.1cm,2cm,2cm,3cm
4.關于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根,則m的值是( )
A.0 B.8 C.4 D.0或8
5.如圖,三角形ABC中,D、E、F分別是AB,AC,BC上的點,且DE∥BC,EF∥AB,AD:DB=1:2,BC=30cm,則FC的長為( )
A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm
6.x=1是關于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一個根,則此方程的另一個根是( )
A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4
7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩根,則x1+x2,x1x2的值分別為( )
A.﹣2,3 B.2,3 C.3,﹣2 D.﹣2,﹣3
8.如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC上的點,且DE∥BC,如果AD=2cm,DB=1cm,AE=1.8cm,則EC=( )
A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm
9.一件商品的原價是100元,經過兩次提價后的價格為121元,如果每次提價的百分率都是x,根據題意,下面列出的方程正確的是( )
A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121
10.如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,過點D作DE∥AC,且DE= AC,連接CE、OE,連接AE,交OD于點F.若AB=2,∠ABC=60°,則AE的長為( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)
11.方程(x﹣2)2=9的解是 .
12.邊長為5cm的菱形,一條對角線長是6cm,則菱形的面積是 cm2.
13.如果線段a,b,c,d成比例,且a=5,b=6,c=3,則d= .
14.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AE⊥BD,垂足為E,ED=3BE,則∠AOB的度數為 .
15.x2﹣2x+3=0是關于x的一元二次方程,則a所滿足的條件是 .
16.如圖,已知正方形ABCD的對角線長為2 ,將正方形ABCD沿直線EF折疊,則圖中陰影部分的周長為 .
三、解答題(一)(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
17.解方程x(x﹣1)=2.
18.解方程:x2﹣2x=2x+1.
19.如圖,在▱ABCD中,F是AD的中點,延長BC到點E,使CE= BC,連接DE,CF.求證:四邊形CEDF是平行四邊形.
四、解答題(二)(本大題共3小題,每小題7分,共21分)
20.(7分)已知:如圖,在菱形ABCD中,分別延長AB、AD到E、F,使得BE=DF,連接EC、FC.
求證:EC=FC.
21.(7分)某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當的減價措施,經調查發(fā)現,如果每件襯衫每降1元,商場平均每天可多售出5件.若商場平均每天要盈利1600元,每件襯衫應降價多少元?這時應進貨多少件?
22.(7分)一只箱子里共3個球,其中2個白球,1個紅球,它們除顏色外均相同.
(1)從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是多少?
(2)從箱子中任意摸出一個球,不將它放回箱子,攪勻后再摸出一個球,求兩次摸出的球都是白球的概率,并畫出樹狀圖或列出表格.
五、解答題(三)(本大題共3小題,每小題9分,共27分)
23.(9分)如圖,在直角坐標系中放入一個矩形紙片ABCO,將紙片翻折后,點B恰好落在x軸上,記為B',折痕為CE.直線CE的關系式是y=﹣ x+8,與x軸相交于點F,且AE=3.
(1)求OC長度;
(2)求點B'的坐標;
(3)求矩形ABCO的面積.
24.(9分)如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點,F是AM的中點,EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長線于點E,交DC于點N.
(1)求證:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的長.
25.(9分)如圖,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動(不與點A、B重合),一直到達點B為止;同時,點Q從點C出發(fā)沿CD向點D移動(不與點C、D重合).運動時間設為t秒.
(1)若點P、Q均以3cm/s的速度移動,則:AP= cm;QC= cm.(用含t的代數式表示)
(2)若點P為3cm/s的速度移動,點Q以2cm/s的速度移動,經過多長時間PD=PQ,使△DPQ為等腰三角形?
(3)若點P、Q均以3cm/s的速度移動,經過多長時間,四邊形BPDQ為菱形?
九年級(上)期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)
1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3時,原方程可化為( )
A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先移項,再分解因式,即可得出選項.
【解答】解:x(x﹣3)=x﹣3,
x(x﹣3)﹣(x﹣3)=0,
(x﹣3(x﹣1)=0,
故選A.
【點評】本題考查了解一元二次方程的應用,能正確分解因式是解此題的關鍵.
2.隨機擲一枚均勻的硬幣兩次,兩次正面都朝上的概率是( )
A. B. C. D.1
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】首先利用列舉法,列得所有等可能的結果,然后根據概率公式即可求得答案.
【解答】解:隨機擲一枚均勻的硬幣兩次,
可能的結果有:正正,正反,反正,反反,
∴兩次正面都朝上的概率是 .
故選A.
【點評】此題考查了列舉法求概率的知識.解題的關鍵是注意不重不漏的列舉出所有等可能的結果,用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.
3.下列各組線段中是成比例線段的是( )
A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,2cm,4cm
C.3cm,5cm,9cm,13cm D.1cm,2cm,2cm,3cm
【考點】比例線段.
【分析】分別計算各組數中最大與最小數的積和另外兩數的積,然后根據比例線段的定義進行判斷即可得出結論.
【解答】解:∵1×4≠2×3,
∴選項A不成比例;
∵1×4=2×2,
∴選項B成比例;
∵3×13≠5×9,
∴選項C不成比例;
∵3×1≠2×2,
∴選項D不成比例
故選B.
【點評】本題考查了比例線段:判定四條線段是否成比例,只要把四條線段按大小順序排列好,判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可,求線段之比時,要先統(tǒng)一線段的長度單位,最后的結果與所選取的單位無關系.
4.關于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根,則m的值是( )
A.0 B.8 C.4 D.0或8
【考點】根的判別式.
【分析】根據方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根可得△=0,即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0,解方程即可得m的值.
【解答】解:∵方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根,
∴△=0,即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0,
解得:m=0或m=8,
故選:D.
【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識.此題比較簡單,注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關系:①當△>0時,方程有兩個不相等的兩個實數根;②當△=0時,方程有兩個相等的兩個實數根;③當△<0時,方程無實數根.
5.如圖,三角形ABC中,D、E、F分別是AB,AC,BC上的點,且DE∥BC,EF∥AB,AD:DB=1:2,BC=30cm,則FC的長為( )
A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】先由DE∥BC,EF∥AB得出四邊形BDEF是平行四邊形,那么BF=DE.再由AD:DB=1:2,得出AD:AB=1:3.由DE∥BC,根據平行線分線段成比例定理得出DE:BC=AD:AB=1:3,將BC=30cm代入求出DE的長,即可得FC的長.
【解答】解:∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四邊形BDEF是平行四邊形,
∴BF=DE.
∵AD:DB=1:2,
∴AD:AB=1:3.
∵DE∥BC,
∴DE:BC=AD:AB=1:3,即DE:30=1:3,
∴DE=10,
∴BF=10.
故FC的長為20cm.
故選B
【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理,平行四邊形的判定與性質,比例的性質,難度不大,得出BF=DE,從而利用轉化思想是解題的關鍵.
6.x=1是關于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一個根,則此方程的另一個根是( )
A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4
【考點】根與系數的關系.
【分析】由于該方程的一次項系數是未知數,所以求方程的另一解可以根據根與系數的關系進行計算.
【解答】解:設方程的另一根為x1,
由根據根與系數的關系可得:x1•1=﹣5,
∴x1=﹣5.
故選:B.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系:若方程兩個為x1,x2,則x1+x2=﹣ ,x1•x2= .
7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩根,則x1+x2,x1x2的值分別為( )
A.﹣2,3 B.2,3 C.3,﹣2 D.﹣2,﹣3
【考點】根與系數的關系.
【分析】直接根據根與系數的關系求解.
【解答】解:根據題意得x1+x2= =﹣2; x1x2= ﹣3.
故選D.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系,關鍵是掌握x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2= ,x1x2= .
8.如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC上的點,且DE∥BC,如果AD=2cm,DB=1cm,AE=1.8cm,則EC=( )
A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據平行線分線段成比例定理得到 = ,然后利用比例性質求EC的長.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴ = ,即 = ,
∴EC=0.9(cm).
故選A.
【點評】本題考查了平行線分線段成比例:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.
9.一件商品的原價是100元,經過兩次提價后的價格為121元,如果每次提價的百分率都是x,根據題意,下面列出的方程正確的是( )
A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【分析】設平均每次提價的百分率為x,根據原價為100元,表示出第一次提價后的價錢為100(1+x)元,然后再根據價錢為100(1+x)元,表示出第二次提價的價錢為100(1+x)2元,根據兩次提價后的價錢為121元,列出關于x的方程.
【解答】解:設平均每次提價的百分率為x,
根據題意得:100(1+x)2=121,
故選C.
【點評】此題考查了一元二次方程的應用,屬于平均增長率問題,一般情況下,假設基數為a,平均增長率為x,增長的次數為n(一般情況下為2),增長后的量為b,則有表達式a(1+x)n=b,類似的還有平均降低率問題,注意區(qū)分“增”與“減”.
10.如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,過點D作DE∥AC,且DE= AC,連接CE、OE,連接AE,交OD于點F.若AB=2,∠ABC=60°,則AE的長為( )
A. B. C. D.
【考點】菱形的性質.
【分析】先求出四邊形OCED是平行四邊形,再根據菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°,證明四邊形OCED是矩形,再根據菱形的性質得出AC=AB,再根據勾股定理得出AE的長度即可.
【解答】解:在菱形ABCD中,OC= AC,AC⊥BD,
∴DE=OC,
∵DE∥AC,
∴四邊形OCED是平行四邊形,
∵AC⊥BD,
∴平行四邊形OCED是矩形,
∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,
∴△ABC為等邊三角形,
∴AD=AB=AC=2,OA= AC=1,
在矩形OCED中,由勾股定理得:CE=OD= = = ,
在Rt△ACE中,由勾股定理得:AE= = = ;
故選:C.
【點評】本題考查了菱形的性質、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質;熟練掌握菱形的性質,證明四邊形是矩形是解決問題的關鍵.
二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)
11.方程(x﹣2)2=9的解是 5或﹣1 .
【考點】解一元二次方程-直接開平方法.
【分析】觀察方程后發(fā)現,左邊是一個完全平方式,右邊是3的平方,即x﹣2=±3,解兩個一元一次方程即可.
【解答】解:開方得x﹣2=±3即:
當x﹣2=3時,x1=5;
當x﹣2=﹣3時,x2=﹣1.
故答案為:5或﹣1.
【點評】本題關鍵是將方程右側看做一個非負已知數,根據法則:要把方程化為“左平方,右常數,先把系數化為1,再開平方取正負,分開求得方程解”來求解.
12.邊長為5cm的菱形,一條對角線長是6cm,則菱形的面積是 24 cm2.
【考點】菱形的性質.
【分析】根據菱形對角線垂直且互相平分,即可得出菱形的另一條對角線的長,再利用菱形的面積公式求出即可.
【解答】解:如圖所示:設BD=6cm,AD=5cm,
∴BO=DO=3cm,
∴AO=CO= =4(cm),
∴AC=8cm,
∴菱形的面積是: ×6×8=24(cm2).
故答案為:24.
【點評】此題主要考查了菱形的性質,熟練掌握菱形的面積公式以及對角線之間的關系是解題關鍵.
13.如果線段a,b,c,d成比例,且a=5,b=6,c=3,則d= 3.6 .
【考點】比例線段.
【分析】根據比例線段的定義,即可列出方程求解.
【解答】解:根據題意得: = ,即 = ,
解得:d=3.6.
故答案為3.6.
【點評】本題考查了比例線段的定義,注意a、b、c、d是成比例線段即 = ,要理解各個字母的順序.
14.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AE⊥BD,垂足為E,ED=3BE,則∠AOB的度數為 60° .
【考點】矩形的性質.
【分析】由矩形的性質和已知條件證得△OAB是等邊三角形,繼而求得∠AOB的度數.
【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,
∴OA=OB,
∵ED=3BE,
∴BE:OB=1:2,
∵AE⊥BD,
∴AB=OA,
∴OA=AB=OB,
即△OAB是等邊三角形,
∴∠AOB=60°;
故答案為:60°.
【點評】此題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質.熟練掌握矩形的性質,證明△AOB是等邊三角形是解決問題的關鍵.
15.(a+2)x2﹣2x+3=0是關于x的一元二次方程,則a所滿足的條件是 a≠﹣2 .
【考點】一元二次方程的定義.
【分析】根據一元二次方程的定義得出a+2≠0,求出即可.
【解答】解:∵(a+2)x2﹣2x+3=0是關于x的一元二次方程,
∴a+2≠0,
∴a≠﹣2.
故答案為:a≠﹣2.
【點評】本題考查了一元二次方程的定義,注意:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a b c都是常數,且a≠0).
16.如圖,已知正方形ABCD的對角線長為2 ,將正方形ABCD沿直線EF折疊,則圖中陰影部分的周長為 8 .
【考點】翻折變換(折疊問題).
【分析】先設正方形的邊長為a,再根據對角線長為2 求出a的值,由圖形翻折變換的性質可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG,由陰影部分的周長=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出結論.
【解答】解:設正方形的邊長為a,則2a2=(2 )2,解得a=2,
翻折變換的性質可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG,
陰影部分的周長=A′B′+(A′H+BH)+BC+(CG+B′G)=AD+AB+BC+CD=2×4=8.
故答案為:8.
【點評】本題考查的是翻折變換的性質,即折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應邊和對應角相等.
三、解答題(一)(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
17.解方程x(x﹣1)=2.
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】首先將原方程變形化為一般式,然后利用因式分解法即可求得此方程的根.
【解答】解:∵x(x﹣1)=2,
∴x2﹣x﹣2=0,
∴(x﹣2)(x+1)=0,
即x﹣2=0或x+1=0,
∴x=2或x=﹣1,
∴原方程的根為:x1=2,x2=﹣1.
【點評】此題考查了一元二次方程的解法.注意在利用因式分解法解一元二次方程時,需首先將原方程化為一般式再求解.
18.解方程:x2﹣2x=2x+1.
【考點】解一元二次方程-配方法.
【分析】先移項,把2x移到等號的左邊,再合并同類項,最后配方,方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方,左邊就是完全平方式,右邊就是常數,然后利用平方根的定義即可求解.
【解答】解:∵x2﹣2x=2x+1,
∴x2﹣4x=1,
∴x2﹣4x+4=1+4,
(x﹣2)2=5,
∴x﹣2=± ,
∴x1=2+ ,x2=2﹣ .
【點評】此題考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步驟:(1)把常數項移到等號的右邊;(2)把二次項的系數化為1;(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方;(4)選擇用配方法解一元二次方程時,最好使方程的二次項的系數為1,一次項的系數是2的倍數.
19.如圖,在▱ABCD中,F是AD的中點,延長BC到點E,使CE= BC,連接DE,CF.求證:四邊形CEDF是平行四邊形.
【考點】平行四邊形的判定與性質.
【分析】由“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質推知AD∥BC,且AD=BC;然后根據中點的定義、結合已知條件推知四邊形CEDF的對邊平行且相等(DF=CE,且DF∥CE),即四邊形CEDF是平行四邊形.
【解答】證明:如圖,在▱ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.
∵F是AD的中點,
∴DF= .
又∵CE= BC,
∴DF=CE,且DF∥CE,
∴四邊形CEDF是平行四邊形.
【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質.平行四邊形的判定方法共有五種,應用時要認真領會它們之間的聯系與區(qū)別,同時要根據條件合理、靈活地選擇方法.
四、解答題(二)(本大題共3小題,每小題7分,共21分)
20.已知:如圖,在菱形ABCD中,分別延長AB、AD到E、F,使得BE=DF,連接EC、FC.
求證:EC=FC.
【考點】菱形的性質;全等三角形的判定與性質.
【分析】要證EC=FC,只要證明三角形BCE和DCF全等即可,兩三角形中已知的條件有BE=DF,CB=CD,那么只要證得兩組對應邊的夾角相等即可得出結論,根據四邊形ABCD是菱形我們可得出∠ABC=∠ADC,因此∠EBC=∠FDC.這樣就構成了三角形全等的條件.因此兩個三角形就全等了.
【解答】證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴BC=DC,∠ABC=∠ADC,
∴∠EBC=∠FDC.
在△EBC和△FDC中, ,
∴△EBC≌△FDC(SAS),
∴EC=FC.
【點評】本題考查了菱形的性質和全等三角形的判定,求簡單的線段相等,可以通過全等三角形來證明,要注意利用此題中的圖形條件,如等角的補角相等.
21.某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當的減價措施,經調查發(fā)現,如果每件襯衫每降1元,商場平均每天可多售出5件.若商場平均每天要盈利1600元,每件襯衫應降價多少元?這時應進貨多少件?
【考點】一元二次方程的應用.
【分析】利用襯衣平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售這種襯衣利潤列出方程解答即可.
【解答】解:設每件襯衫應降價x元.
根據題意,得 (44﹣x)(20+5x)=1600,
解得x1=4,x2=36.
∵“擴大銷售量,減少庫存”,
∴x1=4應略去,
∴x=36.
20+5x=200.
答:每件襯衫應降價36元,進貨200件.
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用,利用基本數量關系:平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售的利潤是解題關鍵.
22.一只箱子里共3個球,其中2個白球,1個紅球,它們除顏色外均相同.
(1)從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是多少?
(2)從箱子中任意摸出一個球,不將它放回箱子,攪勻后再摸出一個球,求兩次摸出的球都是白球的概率,并畫出樹狀圖或列出表格.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)直接利用概率公式求解;
(2)畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果數,再找出兩次摸出的球都是白球的結果數,然后根據概率公式求解.
【解答】解:(1)因為箱子里共3個球,其中2個白球,所以從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是 ;
(2)畫樹狀圖為:
共有6種等可能的結果數,其中兩次摸出的球都是白球的結果數為2,
所以兩次摸出的球都是白球的概率= = .
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n,再從中選出符合事件A或B的結果數目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.
五、解答題(三)(本大題共3小題,每小題9分,共27分)
23.如圖,在直角坐標系中放入一個矩形紙片ABCO,將紙片翻折后,點B恰好落在x軸上,記為B',折痕為CE.直線CE的關系式是y=﹣ x+8,與x軸相交于點F,且AE=3.
(1)求OC長度;
(2)求點B'的坐標;
(3)求矩形ABCO的面積.
【考點】一次函數綜合題.
【分析】(1)在直線y=﹣ x+8中令x=0可求得C點坐標,則可求得OC長度;
(2)由折疊的性質可求得B′E,在Rt△AB′E中,可求得AB′,再由點E在直線CF上,可求得E點坐標,則可求得OA長,利用線段和差可求得OB′,則可求得點B′的坐標;
(3)由(1)、(2)可求得OC和OA,可求得矩形ABCO的面積.
【解答】解:
(1)∵直線y=﹣ x+8與y軸交于點為C,
∴令x=0,則y=8,
∴點C坐標為(0,8),
∴OC=8;
(2)在矩形OABC中,AB=OC=8,∠A=90°,
∵AE=3,
∴BE=AB﹣BE=8﹣3=5,
∵是△CBE沿CE翻折得到的,
∴EB′=BE=5,
在Rt△AB′E中,AB′= = =4,
由點E在直線y=﹣ x+8上,設E(a,3),
則有3=﹣ a+8,解得a=10,
∴OA=10,
∴OB′=OA﹣AB′=10﹣4=6,
∴點B′的坐標為(0,6);
(3)由(1),(2)知OC=8,OA=10,
∴矩形ABCO的面積為OC×OA=8×10=80.
【點評】本題為一次函數的綜合應用,涉及直線與坐標軸的交點、軸對稱的性質、勾股定理、矩形的性質及方程思想等知識點.在(1)中注意求與坐標軸交點的方法,在(2)中求得E點坐標是解題的關鍵.本題涉及知識點不多,綜合性不強,難度不大,較容易得分.
24.如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點,F是AM的中點,EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長線于點E,交DC于點N.
(1)求證:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的長.
【考點】相似三角形的判定與性質;正方形的性質.
【分析】(1)由正方形的性質得出AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE,即可得出結論;
(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DE的長.
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,
∴∠AMB=∠EAF,
又∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°,
∴∠B=∠AFE,
∴△ABM∽△EFA;
(2)解:∵∠B=90°,AB=12,BM=5,
∴AM= =13,AD=12,
∵F是AM的中點,
∴AF= AM=6.5,
∵△ABM∽△EFA,
∴ ,
即 ,
∴AE=16.9,
∴DE=AE﹣AD=4.9.
【點評】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理;熟練掌握正方形的性質,并能進行推理計算是解決問題的關鍵.
25.如圖,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動(不與點A、B重合),一直到達點B為止;同時,點Q從點C出發(fā)沿CD向點D移動(不與點C、D重合).運動時間設為t秒.
(1)若點P、Q均以3cm/s的速度移動,則:AP= 3t cm;QC= 3t cm.(用含t的代數式表示)
(2)若點P為3cm/s的速度移動,點Q以2cm/s的速度移動,經過多長時間PD=PQ,使△DPQ為等腰三角形?
(3)若點P、Q均以3cm/s的速度移動,經過多長時間,四邊形BPDQ為菱形?
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)根據路程=速度×時間,即可解決問題.
(2)過點P作PE⊥CD于點E,利用等腰三角形三線合一的性質,DE= DQ,列出方程即可解決問題.
(3)當PD=PB時,四邊形BPDQ是菱形,列出方程即可解決問題.
【解答】解:(1)∵AP=3t,CQ=3t.
故答案為3t,3t;
(2)過點P作PE⊥CD于點E,
∴∠PED=90°,
∵PD=PQ,
∴DE= DQ
在矩形ABCD中,∠A=∠ADE=90°,CD=AB=16cm
∴四邊形PEDA是矩形,
∴DE=AP=3t,
又∵CQ=2t,
∴DQ=16﹣2t
∴由DE= DQ,
∴3t= ×(16﹣2t),
∴t=2
∴當t=2時,PD=PQ,△DPQ為等腰三角形
(3)在矩形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,AD=BC,依題知AP=CQ=3t
∴PB=DQ,
∴四邊形BPDQ是平行四邊形,
當PD=PB時,四邊形BPDQ是菱形,
∴PB=AB﹣AP=16﹣3t
在Rt△APD中,PD= = ,
由PD=PB,
∴16﹣3t= ,
∴(16﹣3t)2=9t2+36,
解得:
∴當 時,四邊形BPDQ是菱形.
【點評】本題考查四邊形綜合題,路程、速度、時間之間的關系,菱形的判定和性質,矩形的判定和性質,勾股定理等知識,解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題,學會添加常用輔助線,構造特殊四邊形解決問題,屬于中考??碱}型.
九年級數學上學期期中試卷
一.選擇題(共10小題,滿分30分)
1.(3分)下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)下列方程中是一元二次方程的是( )
A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0
3.(3分)一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是( )
A.x1=1,x2=6 B.x1=2,x2=3 C.x1=1,x2 =﹣6 D.x1=﹣1,x2=6
4.(3分)拋物線y=3(x﹣1)2+1的頂點坐標是( )
A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1)
5.(3分)將拋物線y= x2﹣6x+21向左平移2個單位后,得到新拋 物線的解析式為( )
A.y= (x﹣8)2+5 B.y= (x﹣4)2+5
C.y= (x﹣8)2+3 D.y= (x﹣4)2+3
6.(3分)如圖,半 徑為5的⊙A中,弦BC,ED所對的圓心角分別是∠BAC,∠EAD,若DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,則弦BC的長等于( )
A.8 B.10 C.11 D.12
7.(3分)賓館有50間房供游客居住,當毎間房每天定價為180元時,賓館會住滿;當毎間房每天的定價每增加10元時,就會空閑一間房.如果有游客居住,賓館需對居住的毎間房每天支出20元的費用.當房價定為多少元時,賓館當天的利潤為10890元?設房價定為x元.則有( )
A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890
B.(x﹣20)(50﹣ )=10890
C.x(50﹣ )﹣50×20=10890
D.(x+1 80)(50﹣ )﹣50×20=10890
8.(3分)把一副三角板如圖(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜邊AB=4,CD=5.把三角板DCE繞著點C順時針旋轉15°得到△D1CE1(如圖2),此時AB與CD1交于點O,則線段AD1的長度為( )
A. B. C. D.4
9.(3分)如圖已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點P是BC的中點,兩邊PE、PF分別交AB和AC于點E、F,給出以下五個結論正確的個數有( )
①AE=CF②∠APE=∠CPF ③△BEP≌△AFP④△EPF是等腰直角三角形⑤當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A、B重合),S四邊形AEPF= S△ABC.
A.2 B.3 C.4 D.5
10.(3分)二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象如圖所示,對稱軸是x=﹣1.下列結論:①ab>0;②b2>4ac;③a﹣b+2c<0;④8a+c<0.其中正確的是( )
A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
二.填空題(共6小題,滿分18分,每小題3分)
11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個根,則6m2﹣9m+2015的值為 .
12.(3分)將一元二次方程x2﹣6x+5=0化成(x﹣a)2=b的形式,則ab= .
13.(3分)點A(﹣3,y1),B(2,y2),C(3,y3)在拋物線y=2x2﹣4x+c上,則y1,y2,y3的大小關系是 .
14.(3分)如圖,BD是⊙O的直徑,∠CBD=30°,則∠A的度數為 .
15.(3分)如圖,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面內,將△ABC繞點A旋轉到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,則∠BAB′= .
16.(3分)二次函數y=x2﹣2x﹣5的最小值是 .
三.解答題(共9小題,滿分72分)
17.(7分)解方程
(1)x(x﹣2)+x﹣2=0
(2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2.
18.(7分)已知,拋物線y=ax2+2ax+c與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點,點A在點B左側.點B的坐標為(1,0),OC=3OB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當a>0時,如圖所示,若點D是第三象限拋物線上方的動點,設點D的橫坐標為m,三角形ADC的面積為S,求出S與m的函數關系式,并直接寫出自變量m的取值范圍;請問當m為何值時,S有最大值?最大值是多少.
19.(7分)如圖,在⊙O中,半徑OC⊥AB,垂足為點D,AB=12,OD=8,求⊙O半徑的長.
20.(8分)已知a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根,求a2﹣a+b+3ab的值.
21.(8分)如圖,在△ABC中,已知AB=AC,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°,得到△ADE,連接BD,CE交于點F.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)求∠ACE的度數.
22.(8分)如圖,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點終點B運動,同時點Q從點B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點終點C運動,它們到達終點后停止運動.
(1)幾秒后,點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍;
(2)幾秒后,△DPQ的面積是24cm2.
23.(8分)某大學生創(chuàng)業(yè)團隊抓住商機,購進一批干果分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售,每袋成本3元.試銷期間發(fā)現每天的銷售量y(袋)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數關系,部分數據如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天還需支付其他各項費用80元.
銷售單價x(元) 3.5 5.5
銷售量y(袋) 280 120
(1)請直接寫出y與x之間的函數關系式;
(2)如果每天獲得160元的利潤,銷售單價為多少元?
(3)設每天的利潤為w元,當銷售單價定為多少元時,每天的利潤最大?最大利潤是多少元?
24.(9分)我們定義:如圖1,在△ABC看,把AB點A順時針旋轉α(0°<α<180°)得到AB',把AC繞點A逆時 針旋轉β得到AC',連接B'C'.當α+β=180°時,我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補三角形”,△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”,點A叫做“旋補中心”.
特例感知:
(1)在圖2,圖3中,△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”,AD是△ABC的“旋補中線”.
①如圖2,當△ABC為等邊三角形時,AD與BC的數量關系為AD= BC;
?、谌鐖D3,當∠BAC=90°,BC=8時,則AD長為 .
猜想論證:
(2)在圖1中,當△ABC為任意三角形時,猜想AD與BC的數量關系,并給予證明.
25.(10分)如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A、B,與y軸交于點C,且OA=1,OB=3,頂點為D,對稱軸交x軸于點Q.
(1)求拋物線對應的二次函數的表達式;
(2)點P是拋物線的對稱軸上一點,以點P為圓心的圓經過A、B兩點,且與直線CD相切,求點P的坐標;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出點M的坐標;如果不存在,請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1 .C.
2.C.
3.D.
4.A.
5.D.
6.A.
7.B.
8.A.
9.D.
10.C.
二.填空題
11.
【解答】解:由題意可知:2m2﹣3m﹣1=0,
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018
故答案為:2018
12.
【解答】解:x2﹣6x+5=0,
x2﹣6x=﹣5,
x2﹣6x+9=﹣5+9,
(x﹣3)2=4,
所以a=3,b=4,
ab=12,
故答案為:12.
13.
【解答】解:
∵y=2x2﹣4x+c,
∴當x=﹣3時,y1=2×(﹣3)2﹣4×(﹣3)+c=30+c,
當x=2時,y2=2×22﹣4×2+c=c,
當x=3 時,y3=2×32﹣4×3+c=6+c,
∵c<6+c<30+c,
∴y2
故答案為:y2
14.
【解答】解:∵BD是⊙O的直徑,
∴∠BCD=90°(直徑所對的圓周角是直角),
∵∠CBD=30°,
∴∠D=60°(直角三角形的兩個銳角互余),
∴∠A=∠D=60°(同弧所對的圓周角相等);
故答案是:60°.
15.
【解答】解:由題意得:
AC=AC′,
∴∠ACC′=∠AC′C;
∵CC′∥AB,且∠BAC=75°,
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°,
∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°;
由題意知:∠BAB′=∠CAC′=30°,
故答案為30°.
16.
【解答】解:∵原式可化為y=x2﹣2x+1﹣6=(x﹣1)2﹣6,
∴最小值為﹣6.
故答案為:﹣6
三.解答題(共9小題,滿分72分)
17.
【解答】解:(1)x(x﹣2)+x﹣2=0
(x﹣2)(x+1)=0
x﹣2=0或x+1=0
x1=2,x2=﹣1;
(2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2
x2﹣7x+12=0
(x﹣3)(x﹣4)=0
x﹣3=0或x﹣4=0
x1=3,x2=4.
18.
【解答】解:(1)∵點B的坐標為(1,0),OC=3OB,
∴點C的坐標為(0,3)或(0,﹣3),
將點B(1,0)、C(0,3)或(0,﹣3)代入y=ax2+2ax+c,
或 ,
解得: 或 ,
∴拋 物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3.
(2)過點D作DE⊥x軸,交AC于點E,如圖所示.
∵a>1,
∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3,
∴點C的坐標為(0,﹣3).
當y=0時,有x2+2x﹣3=0,
解得:x1=﹣3,x2=1,
∴點A的坐標為(﹣3,0),
利用待定系數法可求出線段AC所在直線的解析式為y=﹣x﹣3.
∵點D的橫坐標為m,
∴點D的坐標為(m,m2+2m﹣3),點E的坐標為(m,﹣m﹣3),
∴DE=﹣m﹣3﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m,
∴S= DE×|﹣3﹣0|=﹣ (m2+m)(﹣3
∵﹣ <0,且S=﹣ (m2+ m)=﹣ (m+ )2+ ,
∴當m=﹣ 時,S取最大值,最大值為 .
19.
【解答】解:連接OA,如圖,
∵OC⊥AB,
∴AD=BD= AB= ×12=6,
在Rt△AOD中,OA= = =10,
即⊙O半徑的長為10.
20.
【解答】解:∵a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根,
∴a+b=2,ab=﹣1,a2﹣2a=1,
a2﹣a+b+3ab=a2﹣2a+b+a+3ab=1+2﹣3=0.
21.
【解答】解:(1)由題意得:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE;
在△ABD與△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
(2)∵AC=AE,
∴∠ACE=∠AEC,而∠CAE=100°,
∴∠ACE= =40°.
22.
【解答】解:(1)設t秒后點P、D的距離是點P、Q距離的2倍,
∴PD=2PQ,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴PD2=AP2+AD2,PQ2=BP2+BQ2,
∵PD2=4 PQ2,
∴82+(2t)2=4[(10﹣2t)2+t2],
解得:t1=3,t2=7;
∵t=7時10﹣2t<0,
∴t=3,
答:3秒后,點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍;
(2)設x秒后△DPQ的面積是24cm2,
則 ×8×2x+ (10﹣2x)•x+ (8﹣x)×10=80﹣24,
整理得x2﹣8x+16=0
解得x1=x2=4.
23.
【解答】解:(1)設y=kx+b,
將x=3.5,y=280;x=5.5,y=120代入,
得 ,解得 ,
則y與x之間的函數關系式為y=﹣80x+560;
(2)由題意,得(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80=160,
整理,得x2﹣10x+24=0,
解得x1=4,x2=6.
∵3.5≤x≤5.5,
∴x=4.
答:如果每天獲得160元的利潤,銷售單價為4元;
(3)由題意得:w=(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80
=﹣80x2+800x﹣1760
=﹣80(x﹣5)2+240,
∵3.5≤x ≤5.5,
∴當x=5時,w有最大值為240.
故當銷售單價定為5元時,每天的利潤最大,最大利潤是240元.
24.
【解答】解:(1)①如圖2,當△ABC為等邊三角形時,AD與BC的數量關系為AD= BC;
理由:∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC=AB′=AC′,
∵DB′=DC′,
∴AD⊥B′C′,
∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠B′AC′=120°,
∴∠B′=∠C′=30°,
∴AD= AB′= BC,
故答案為 .
②如圖3,當∠BAC=90°,BC=8時,則AD長為4.
理由:∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠B′AC′=∠BAC=90°,
∵AB=AB′,AC=AC′,
∴△BAC≌△B′AC′,
∴BC=B′C′,
∵B′D=DC′,
∴AD= B′C′= BC=4,
故答案為4.
(2)猜想 .
證 明:如圖,延長AD至點Q,則△DQB'≌△DAC',
∴QB'=AC',QB'∥AC',
∴∠QB'A+∠B'AC'=180°,
∵∠BAC+∠B'AC'=180°,
∴∠QB'A=∠BAC,
又由題意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB,
∴△AQB'≌△BCA,
∴AQ=BC=2AD,
即 .
25.
【解答】解:(1)∵OA=1,OB=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0).
代入y=﹣x2+bx+c,得
解得 b=2,c=3.
∴拋物線對應二次函數的表達式為:y=﹣x2+2x+3;
(2)如圖,設直線CD切⊙P于點E.連結PE、PA,作CF⊥DQ于點F.
∴PE⊥CD,PE=PA.
由y=﹣x2+2x+3,得
對稱軸為直線x=1,C(0,3)、D(1,4).
∴DF=4﹣3=1,CF=1,
∴DF=CF,
∴△DCF為等腰直角三角形.
∴∠CDF=45°,
∴∠EDP=∠EPD=45°,
∴DE=EP,
∴△DEP為等腰三角形.
設P(1,m),
∴EP2= (4﹣m)2.
在△APQ中,∠PQA=90°,
∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2
∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.
整理,得m2+8m﹣8=0
解得,m=﹣4±2 .
∴ 點P的坐標為(1,﹣4+2 )或(1,﹣4﹣2 ).
(3)存在點M,使得△DCM∽△BQC .
如圖,連結CQ、CB、CM,
∵C(0,3),OB=3,∠COB=90°,
∴△COB為等腰直角三角形,
∴∠CBQ=45°,BC=3 .
由(2)可知,∠CDM=45°,CD= ,
∴∠CBQ=∠CDM.
∴△DCM∽△BQC分兩種情況.
當 = 時,
∴ = ,解得 DM= .
∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .
∴M1(1, ).
當 時,
∴ = ,解得 DM=3.
∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.
∴M2(1,1).
綜上,點M的坐標為(1, )或(1,1).
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