上學期九年級數(shù)學期中試題
在初三的時候我們要做準備好我們的數(shù)學去考試哦，今天小編就給大家參考一下九年級數(shù)學，希望大家來收藏閱讀哦
九年級數(shù)學上冊期中試題參考
一、選擇題(共10小題，每小題3分，本大題滿分30分. 每一道小題有A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項最符合題目要求，把最符合題目要求的選項的代號直接填涂在答題卡內相應題號下的方框中，不涂、涂錯或一個方框內涂寫的代號超過一個，一律得0分.)
1.二次函數(shù)y=x2-2x+2的頂點坐標是
A.(1，1) B.(2，2) C.(1，2) D.(1，3)
2.平面直角坐標系內與點P(-2，3)關于原點對稱的點的坐標是
A.(3，-2) B.(2，3) C.(2，-3) D.(-3，-3)
3.已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c，則下列說法中錯誤的是
A.a確定拋物線的開口方向與大小
B.若將拋物線C沿y軸平移，則a，b的值不變
C.若將拋物線C沿x軸平移，則a的值不變
D.若將拋物線C沿直線l：y=x+2平移，則a、b、c的值全變
4.如圖，B，C是⊙O上兩點，且∠α=96°，A是⊙O上一個動點(不與B，C重合)，則∠A為
A.48° B.132° C.48°或132° D.96°
5.如圖，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以點C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
6.如圖，將半徑為6cm的圓折疊后，圓弧恰好經過圓心，則折痕的長為
A. B. C. 2 D. 3
4題圖 5題圖 6題圖
7.若二次函數(shù)y=mx2-4x+m有最大值-3，則m等于
A.m=4 B.m=-4 C.m=1 D.m=-1
8.在平面直角坐標系中，將點P(-3，2)繞點A(0，1)順時針旋轉90°，所得到的對應點P′的坐標為
A.(-1，-2) B.(3，-2) C.(1，4) D.(1，3)
9.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ，將△ACB繞點A逆時針旋轉60°得到△AC′B′，則CB′的長為
A. B. C.3 D.
9題圖 10題圖
10.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點(0，3)，(x1，0)，其中，2
A.②③④ B.①②③ C.②④ D.②③
二、填空題(共6小題，每小題3分，共18分)
11.已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+c的圖象與x軸的一個交點為(-1，0)，則它與x軸的另一個交點
的坐標是 .
12.拋物線的部分圖象如圖所示，則當y>0時，x的取值范圍是_________________.
13.如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°，得到△A′B'C，連接AA'，若∠1= 20°，則∠B的度數(shù)為 .
14.如圖，C是⊙O的弦BA延長線上一點，已知∠COB=130°，∠C=20°，OB=2，則AB的長為________.
第12題圖 第13題圖 第14題圖 第15題圖 第16題圖
15.如圖，正方形ABCD的邊長為4 cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內作半圓，再過點A作半圓的切線，與半圓切于點F，與CD交于點E，則S梯形ABCE= cm2.
16.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，E，F(xiàn)分別在邊AC，BC，若以EF為直徑作圓經過AB上某點D，則EF長的取值范圍為 .
三、解答題(共8小題，共72分)
17.(5分)已知拋物線的頂點坐標是(-1，-4)，與y軸的交點是(0，-3)，求這個二次函數(shù)的解析式.
18.(8分)如圖所示，△ABC與點O在10×10
的網格中的位置如圖所示.
(1) 畫出△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的圖形.
(2) 若⊙M能蓋住△ABC，則⊙M的半徑最小值為________.
19. (7分)河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋(如圖1)，
水面寬6m時，水面離橋孔頂部3m，因降暴雨水面上升1m.
(1)建立如下的坐標系，求暴雨后水面的寬;
(2)一艘裝滿物資的小船，露出水面部分高為0.5m、寬4m(橫斷面如圖2所示)，暴雨后
這艘船能從這座拱橋下通過嗎?(注：結果保留根號.)
圖1 圖2
20.(7分)已知y關于x二次函數(shù)y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)與x軸有交點.
(1)求k的取值范圍;
(2)若x1，x2是關于x的方程x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=39，
求k的值.
21.(7分)如圖，臺風中心位于點A，并沿東北方向AC移動，已知臺風移動的速度為50
千米/時，受影響區(qū)域的半徑為130千米，B市位于點A的
北偏東75°方向上，距離A點240千米處.
(1)說明本次臺風會影響B(tài)市;
(2)求這次臺風影響B(tài)市的時間.
22.(8分)某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間定價120元時，房間會全部住滿，當每
個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，如果游客居住房間，賓館需對每
個房間每天支出20元的各種費用，設每個房間定價為x元(x為整數(shù)).
(1)直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)解析式.
(2)設賓館每天的利潤為W元，當每間房價定價為多少元時，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是多少?
23.(8分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，D是⊙O上一點，且 ，CE⊥DA交DA的延長線于點E.
(1)求證：∠CAB=∠CAE;
(2)求證：CE是⊙O的切線;
(3)若AE=1，BD=4，求⊙O的半徑長.
24.(10分)如圖1，已知△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點D，E分別在CB，CA上，且CD=CE，連AD，BE，F(xiàn)為AD的中點，連CF.
(1)求證：CF= BE，且CF⊥BE;
(2)將△CDE繞點C順時針旋轉一個銳角(如圖2)，其它條件不變，此時(1)中的結論
是否仍成立?并證明你的結論.
圖1 圖2
25.(12分)如圖1，拋物線y=ax2+bx+c 的圖象與x軸交于A(-3，0)、B(1，0)兩點，與y軸交于點C，且OC=OA.
(1)求拋物線解析式;
(2)過直線AC上方的拋物線上一點M作y軸的平行線，與直線AC交于點N.已知M點
的橫坐標為m，試用含m的式子表示MN的長及△ACM的面積S，并求當MN的
長最大時S的值;
(3)如圖2，D(0，-2)，連接BD，將△OBD繞平面內的某點(記為P)逆時針旋轉
180°得到△O′B′D′，O、B、D的對應點分別為O′、B′、D′.若點B′、D′兩點恰好落
在拋物線上，求旋轉中心點P的坐標.
圖1 圖2
答案：
1-10 A C D C B A B C B D
11、(-3，0);12、-1
17、y=(x+1)2-4
18、(1)略;(2) (以AC為直徑)
19、因為當水面寬AB=6m時,水面離橋孔頂部3m,所以點A的坐標是(3,-3).
把x=3，y=-3代入y=ax2得-3=a×32，解得 a= .
把y=-2代入y= x2,得， .
解得， .
所以，點C、D的坐標分別為( ,-2)、(- ,-2),
CD=2 .
答:水位上升1m時,水面寬約為2 m.
(2)當x=2時，y= ，
因為船上貨物最高點距拱頂1.5米，且| |<1.5，所以這艘船能從橋下通過.
20、解：(1)∵y關于x二次函數(shù)y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)與x軸有交點，
∴△≥0，即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+5k+9)≥0，
解得k≤ ;
(2)根據(jù)題意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，
∵x12+x22=39，
∴(x1+x2)2-2x1x2=39，
∴(2k+1)2-2(k2+5k+9)=39，解得k=7或k=-4，
∵k≤ ，
∴k=-4.
21、解：(1)作BD⊥AC于點D.
在Rt△ABD中，由條件知，AB=240，∠BAC=75°﹣45°=30°，
∴BD=240× =120<130，
∴本次臺風會影響B(tài)市.
(2)如圖，以點B為圓心，以130為半徑作圓交AC于E，F(xiàn)，
若臺風中心移動到E時，臺風開始影響B(tài)市，臺風中心移動到F時，臺風影響結束.
由(1)得BD=240，由條件得BE=BF=130，
∴EF=2 =100，
∴臺風影響的時間t= =2(小時).
故B市受臺風影響的時間為2小時.
22、解：(1)y=50- =-0.1x+62;
(2)w=(x-20)(-0.1x+62)
=-0.1x2+64x-1240
=-0.1(x-320)2+9000，
∴當x=320時，w取得最大值，最大值為9000，
答：當每間房價定價為320元時，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是9000元.
23、證明：(1)∵ ，∴∠CDB=∠CBD，
∵∠CAE=∠CBD，∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠CAE;
(2)連接OC
∵AB為直徑，∴∠ACB=90°=∠AEC，
又∵∠CAB=∠CAE，∴∠ABC=∠ACE，
∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCO=∠ACE，∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，
∴EC⊥OC，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線.
(3)過點C作CF⊥AB于點F，
∵∠CAB=∠CAE，CE⊥DA，
∴AE=AF，
在△CED和△CFB中，
，
∴△CED≌△CFB，
∴ED=FB，
設AB=x，則AD=x-2，
在△ABD中，由勾股定理得，x2=(x-2)2+42，
解得，x=5，
∴⊙O的半徑的長為2.5.
24、解：(1)在△ACD和△BCE中，
∵ ，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE、∠CAD=∠CBE，
∵F為AD中點，∠ACD=90°，
∴FC=AF= AD，
∴CF= BE，∠CAD=∠ACF，
∴∠CBE=∠ACF，
∴∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠BCE=90°，
∴CF⊥BE;
(2)此時仍有CF= BE、CF⊥BE，
延長CF至G，使FG=CF，連接GA，
在△CDF和△GAF中，
∵ ，
∴△DFC≌△AFG(SAS)，
∴GA=CD，∠FDC=∠FAG，
∴AG∥DC，AG=CE，
∴∠GAC+∠DCA=180°，
又∵∠BCE+∠DCA=∠BCA+∠ACD+∠ECA=∠BCA+∠ECD=180°，
∴∠GAC=∠BCE，
在△BCE和△CAG中，
∵ ，
∴△BCE≌△CAG(SAS)，
∴CG=BE，∠CBE=∠ACG，
∴CF= BE，∠CBE+∠BCF=∠BCA=90°，
∴CF⊥BE.
解：(1)設拋物線解析式為y=a(x+3)(x-1)，
將C(0，3)代入解析式得，-3a=3,解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3.
(2)如圖1中，
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
∴直線AC解析式為y=x+3，OA=OC=3，
設M(m，-m2-2m+3)，則N(m，m+3)，
則MN=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m(-3
，
MN=-m2-3m=-(m+ )2+ ，
∵a=-1<0， -3
∴m=- 時，MN最大，此時S= ;
(3)如圖2中，旋轉180°后，對應線段互相平行且相等，則BD與B′D′互相平行且相等.
設B′(t，-t2-2t+3)，則D′(t+1，-t2-2t+3+2)
∵B′在拋物線上，則-(t+1)2-2(t+1)+3=-t2-2t+3+2，
解得，t= ，則B′的坐標為( ， )，
P是點B和點B′的對稱中心，
∴P( ， ).
初三九年級數(shù)學上學期期中試卷
一、選擇題(每題4分，共40分).
1.下列根式是最簡二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列計算，正確的是( )
A. B. C. D.
3.若 是方程 的一個根，則 的值為( )
A. B. C. D.
4.用配方法解方程 時，配方結果正確的是( )
A. B. C. D.
5.已知 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
6.下列各組線段的長度成比例的是( )
A.2cm，3cm，4cm，5cm B.1cm， cm，2cm， cm
C.1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cm D.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm
7.如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為 ，寬為 的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為 .若設道路的寬為 ，則下面所列方程正確的是( )
A. B.
C. D.
8.我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形 的邊 在 軸上， 的中點是坐標原點 固定點 ， ，把正方形沿箭頭方向推，使點 落在 軸正半軸上點 處，則點 的對應點 的坐標為( )
A. B. C. D.
9.如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是( )
A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C. D.
10.如圖，已知△ABC的周長為1，連結△ABC三邊的中點構成第二個三角形，再連結第二個三角形三邊的中點構成第三個三角形，依此類推，則第2016個三角形的周長為( )
A. B. C. D.
二、填空題(每題4分，共24分).
11.使 有意義的 的取值范圍是 .
12.方程 的根是
13.小明的身高為1.6米，他的影長是2米，同一時刻某古塔的影長是5米，則古塔的高度是 米.
14.已知2
15.如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，點G為△ABC的重心，AG=2，則DG= .
16.如圖，點B、C是線段AD上的點，△ABE、△BCF、△CDG都是等邊三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE與△CDG的相似比為2：5.則①CD= ; ②圖中陰影部分面積為 .
三、解答題(共86分).
17.計算：(8分)
(1)(212-418+348)×52; (2)18-22-82+(5-1)0.
18.解方程： (8分)
19.先化簡，再求值： ，其中 (8分)
20.已知：關于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.(8分)
21.求證:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。(請根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知， 求證并證明) (8分)
22. (8分)受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素，我市某汽車零部件生產企業(yè)的利潤逐年提高，據(jù)統(tǒng)計，2014年利潤為2億元，2016年利潤為2.88億元.
(1)求該企業(yè)從2014年到2016年利潤的年平均增長率;
(2)若2017年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2017年的利潤能否超過3.4億元?
23.(8分)如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A(1，﹣1)，B(3，1)，將線段AB繞點O逆時針旋轉90°到對應線段CD(點A與點C對應，點B與D對應).
(1)請在圖中畫出線段CD;
(2)請直接寫出點A、B的對應點坐標C(______，______)，D(______，______);
(3)在x軸上求作一點P，使△PCD的周長最小，并直接寫出點P的坐標(___，___).
24.(8分)如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F.
(1)求證：△ABF∽△EAD;
(2)當AD= ， 時，求AF的長.
25. (10分) 某地大力發(fā)展經濟作物，其中果樹種植已初具規(guī)模，今年受氣候、雨水等因素的影響，櫻桃較去年有小幅度的減產，而枇杷有所增產.
(1)該地某果農今年收獲櫻桃和枇杷共400千克，其中枇杷的產量不超過櫻桃產量的7倍，求該果農今年收獲櫻桃至少多少千克?
(2)該果農把今年收獲的櫻桃、枇杷兩種水果的一部分運往市場銷售，該果農去年櫻桃的市場銷售量為100千克，銷售均價為30元/千克，今年櫻桃的市場銷售量比去年減少了 %，銷售均價與去年相同，該果農去年枇杷的市場銷售量為200千克，銷售均價為20元/千克，今年枇杷的市場銷售量比去年增加了 %，但銷售均價比去年減少了 %，該果農今年運往市場銷售的這部分櫻桃和枇杷的銷售總金額與他去年櫻桃和枇杷的市場銷售總金額相同，求 的值.
26. (12分) 閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足為E，求證：BC=2AE.小明經探究發(fā)現(xiàn)，過點A作AF⊥BC，垂足為F，得到∠AFB=∠BEA，從而可證△ABF≌△BAE(如圖2)，使問題得到解決.
(1)根據(jù)閱讀材料回答：△ABF與△BAE全等的條件是 (填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個)參考小明思考問題的方法，解答下列問題：
(2)如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，E為DC的中點，點F在AC的延長線上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的長;
(3)如圖4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD= DB(其中0< < )，∠AED=∠BCD，求 的值(用含k的式子表示).
秋九年級期中考試數(shù)學科試卷參考答案
一、選擇題(每題4分，共40分).
1.下列根式是最簡二次根式的是(C)
A. B. C. D.
2.下列計算，正確的是(D)
A. B. C. D.
3.若 是方程 的一個根，則 的值為(D)
A. B. C. D.
4.用配方法解方程 時，配方結果正確的是( B )
A. B. C. D.
5.已知 ，則 的值為( D )
A. B. C. D.
6.下列各組線段的長度成比例的是( B )
A.2cm，3cm，4cm，5cm B.1cm， cm，2cm， cm
C.1.5cm，2.5cm，4.5cm， 6.5cm D.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm
7.如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為 ，寬為 的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為 .若設道路的寬為 ，則下面所列方程正確的是( A )
A. B.
C. D.
8.我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形 的邊 在 軸上， 的中點是坐標原點 固定點 ， ，把正方形沿箭頭方向推，使點 落在 軸正半軸上點 處，則點 的對應點 的坐標為( D )
A. B. C. D.
9.如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是(D)
A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C. D.
10.如圖，已知△ABC的周長為1，連結△ABC三邊的中點構成第二個三角形，再連結第二個三角形三邊的中點構成第三個三角形，依此類推，則第2016個三角形的周長為(C)
A. B. C. D.
二、填空題(每題4分，共24分).
11.使 有意義的 的取值范圍是 x≥6 .
12.方程 的根是 ,
13.小明的身高為1.6米，他的影長是2米，同一時刻某古塔的影長是5米，則古塔的高度是 4 米.
14.已知2
15.如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，點G為△ABC的重心，AG=2，則DG= 1 .
16.如圖，點B、C是線段AD上的點，△ABE、△BCF、△CDG都是等邊三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE與△CDG的相似比為2：5.則①CD= 10 ; ②圖中陰影部分面積為 .
三、解答題(共86分).
17.計算：
(1)(212-418+348)×52; (2)18-22-82+(5-1)0.
(1)原式=806-10;
(2)原式=2+1.
18.解方程：
解：(x-3)(x-1)=3
x2-4x+3=3，
x2-4x=0，
x(x-4)=0,
x1=0,x2=4.
19.先化簡，再求值： ，其中
解：原式=x2﹣2+x﹣x2=x﹣2，
當x= +2時，
原式= +2﹣2= .
20.已知：關于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.
證明：∵△=[﹣(2m+1)]2﹣4(m2+m﹣2)
=4m2+4m+1﹣4m2﹣4m+8=9>0，
∴不論m取何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根.
21.求證:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。(請根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知， 求證并證明)
22.受益于國家支持新能 源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重 利好因素，我市某汽車零部件生產企業(yè)的利潤逐年提高，據(jù)統(tǒng)計，2014年利潤為2億元，2016年利潤為2.88億元.
(1)求該企業(yè)從2014年到2016年利潤的年平均增長率;
(2)若2017年保持前兩年利潤的年平 均增長率不變，該企業(yè)2017年的利潤能否超過3.4億元?
解：(1)設這兩年該企業(yè)年利潤平均增長率為x.根據(jù)題意得
2(1+x)2=2.88，
解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 (不合題意，舍去).
答：這兩年該企業(yè)年利潤平均增長率為20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增長率，那么2017年該企業(yè)年利潤為：2.88(1+20%)=3.456，3.456>3.4
答：該企業(yè)2017年的利潤能超過3.4億元.
23.如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A(1，﹣1)，B(3，1)，將線段AB繞點O逆時針旋轉90°到對應線段CD(點A與點C對應，點B與D對應).
(1)請在圖中畫出線段CD;
(2)請直接寫出點A、B的對應點坐標C(______，______)，D(______，______);
(3)在x軸上求作一點P，使△PCD的周長最小，并直接寫出點P的坐標(___，___).
解：(1)如圖，CD為所作;
(2)C(1，1)，D(﹣1，4);
(3)P(0.5，0).
故答案為1，1;﹣1，4;0.5，0.
24.如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F.
(1)求證：△ABF∽△EAD;
(2)當AD= ， 時，求AF的長.
【解答】(1)證明：∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠D=90°，
∴△ABF∽△EAD.
(2)解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=2
∵ = ，
∴DE= CD= ，
在Rt△ADE中，AE= = = ，
∵△ABF∽△EAD，
∴ = ，
∴ = ，
∴AF=2.
25. 某地大力發(fā)展經濟作物，其中果樹種植已初具規(guī)模，今年受氣候、雨水等因素的影響，櫻桃較去年有小幅度的減產，而枇杷有所增產.
(1)該地某果農今年收獲櫻桃和枇杷共400千克，其中枇杷的產量不超過櫻桃產量的7倍，求該果農今年收獲櫻桃至少多少千克?
(2)該果農把今年收獲的櫻桃、枇杷兩種水果的一部分運往市場銷售，該果農去年櫻桃的市場銷售量為100千克，銷售均價為30元/千克，今年櫻桃的市場銷售量比去年減少了 %，銷售均價與去年相同，該果農去年枇杷的市場銷售量為200千克，銷售均價為20元/千克，今年枇杷的市場銷售量比去年增加了 %，但銷售均價比去年減少了 %，該果農今年運往市場銷售的這部分櫻桃和枇杷的銷售總金額與他去年櫻桃和枇杷的市場銷售總金額相同，求 的值.
解：(1)設該果農今年收獲櫻桃x千克，
根據(jù)題意得：400﹣x≤7x，
解得：x≥50，
答：該果農今年收獲櫻桃至少50千克;
(2)由題意可得：
100(1﹣m%)×30+200×(1+2m%)×20(1﹣m%)=100×30+200×20，
令m%=y，原方程可化為：3000(1﹣y)+4000(1+2y)(1﹣y)=7000，
整理可得：8y2﹣y=0
解得：y1=0，y2=0.125
∴m1=0(舍去)，m2=12.5
∴m2=12.5，
答：m的值為12.5.
26. 閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足為E，求證：BC=2AE.小明經探究發(fā)現(xiàn)，過點A作AF⊥BC，垂足為F，得到∠AFB=∠BEA，從而可證△ABF≌△BAE(如圖2)，使問題得到解決.
(1)根據(jù)閱讀材料回答：△ABF與△BAE全等的條件是 AAS (填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個)參考小明思考問題的方法，解答下列問題：
(2)如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，E為DC的中點，點F在AC的延長線上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的長;
(3)如圖4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD= DB(其中0< < )，∠AED=∠BCD，求 的值(用含k的式子表示).
解答證明：(1)如圖2，
作AF⊥BC，
∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，
在△ABF和△BAE中，
，
∴△ABF≌△BAE(AAS)，
∴BF=AE
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF= BC，
∴BC=2AE，
故答案為AAS
(2)如圖3，
連接AD，作CG⊥AF，
在Rt△ABC中，AB=AC，點D是BC中點，
∴AD=CD，
∵點E是DC中點，
∴DE= CD= AD，
∴tan∠DAE= = = ，
∵AB=AC，∠BAC=90°，點D為BC中點，
∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴∠F+∠EAC=45°，
∵∠DAE+∠EAC=45°，
∴∠F=∠DAE，
∴tan∠F=tan∠DAE= ，
∴ ，
∴CG= ×2=1，
∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，
∴∠DCG=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴△DCG∽△ACE，
∴ ，
∵CD= AC，CE= CD= AC，
∴ ，
∴AC=4;
∴AB=4;
(3)如圖4，
過點D作DG⊥BC，設DG=a，
在Rt△BGD中，∠B=30°，
∴BD=2a，BG= a，
∵AD=kDB，
∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a(k+1)，
過點A作AH⊥BC，
在Rt△ABH中，∠B=30°.
∴BH= a(k+1)，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=2 a(k+1)，
∴CG=BC﹣BG= a(2k+1)，
過D作DN⊥AC交CA延長線與N，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAN=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=ka，DN= ka，
∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，
∴△NDE∽△GDC.
∴ ，
∴ ，
∴NE=3ak(2k+1)，
∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a(k+1)﹣2ak(3k+1)=2a(1﹣3k2)，
∴ = .
秋季學期九年級上數(shù)學期中試題
一、單選題(共 10 題，每題 4 分，共 40 分)
1.下列說法正確的是( )
A.同圓或等圓中弧相等，則它們所對的圓心角也相等
B.0°的圓心角所對的弦是直徑
C.平分弦的直徑垂直于這條弦
D.三點確定一個圓
2.向上發(fā)射一枚炮彈，經 x 秒后的高度為 y 公尺，且時間與高度關系為 y ax2 bx .若
此炮彈在第 7 秒與第 14 秒時的高度相等，則在下列哪一個時間的高度是最高的?( )
A.第 8 秒 B.第 10 秒 C.第 12 秒 D.第 15 秒
3.若將函數(shù) y 2x2 的圖象向上平移 5 個單位，再向右平行移動 1 個單位，得到的拋物線是
( )
A. y 2 x 52 1
C. y 2 x 12 5
B. y 2 x 52 1
D. y 2 x 12 5
4.一個布袋里裝有 4 個只有顏色不同的球，其中 3 個紅球，1 個白球.從布袋里摸出 1 個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出 1 個球，則兩次摸到的球都是紅球的概率是( )
5.已知二次函數(shù) y ax2 bx c 的圖象如圖所示，有以下結論：
?、賏+b+c<0; ②a-b+c>1; ③abc>0;
④4a-2b+c<0; ⑤c-a>1. 其中正確的結論的個數(shù)是( )
A.2 個 B.3 個
C.4 個 D.5 個
6.如圖，AB 是半圓 O 的直徑，點 C 在半圓 O 上，把半圓沿弦 AC 折疊， AC 恰好經過點
O，則 BC 與 AC 的關系是( )
A.BC 1 AC
2
B.
BC 1 AC
3
C.
BC AC
D.不能確定
7.如圖，Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB=2，以 AB 的中點 D 為圓心 DC 為半徑，作圓心角為 90°的扇形 DEF，則圖中陰影部分的面積為( )
A. 2 2
B. 1 2
C.π-2 D.π-1
8.已知二次函數(shù) y=﹣x2+x+6 及一次函數(shù) y=﹣x+m，將該二次函數(shù)在 x 軸上方的圖象沿 x 軸翻折到 x 軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數(shù)(如圖所示)，當直線
y=﹣x+m 與新圖象有 4 個交點時，m 的取值范圍是( )
A. 25 m 3 4
B. 25 m 2 4
C.﹣2
9.已知如圖，拋物線 y x2 2x 3 交 x 軸于 A、B 兩點，頂點為 C，CH⊥AB 交 x 軸于
H，在 CH 右側的拋物線上有一點 P，已知 PQ⊥AC，垂足為 Q，當∠ACH=∠CPQ 時， 此時 CP 的長為( )
10.二維碼已經給我們的生活帶來了很大方便，它是由大小相同的黑白兩色的小正方形(如圖 1 中 C)按某種規(guī)律組成的一個大正方形，現(xiàn)有 25×25 格式的正方形如圖 1，角上是三個 7×7 的 A 型大黑白相間正方形，中間右下一個 5×5 的 B 型黑白相間正方形，除這
4 個正方形外，若其他的小正方形白色塊數(shù) y 與黑色塊數(shù) x 正好滿足如圖 2 所示的函數(shù)圖象，則該 25×25 格式的二維碼共有多少塊黑色的 C 型小正方形( )
A.153 B.218 C.100 D.216
二、填空題(共 6 題，每題 5 分，共 30 分)
11.. 如圖， 四個函數(shù)的圖像中， 分別對應的是： ① y ax2 ; ② y bx2 ; ③ y cx2 ;
?、?y dx2 .則 a、b、c、d 的大小關系為 .
第 11 題圖 第 13 題圖
12.三名運動員參加定點投籃比賽，原定出場順序是：甲第一個出場，乙第二個出場，丙第三個出場，由于某種原因，要求這三名運動員用抽簽方式重新確定出場順序，則抽簽后每個運動員的出場順序都發(fā)生變化的概率為 .
13.如圖，C 為半圓內一點，O 為圓心，直徑 AB 長為 2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，將
△BOC 繞圓心 O 逆時針旋轉至△B′OC ′，點 C ′ 在 OA 上，則邊 BC 掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為 cm2.(結果保留 π)
14.平行于 x 軸的直線 l 分別與一次函數(shù) y=﹣x+3 和二次函數(shù) y=x2﹣2x﹣3 的圖象交于
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點，且 x1
15.在平面直角坐標系，對于點 P(x，y)和 Q(x，y′ )，給出如下定義：若 y y x 0 ，
則稱點 Q 為點 P 的“可控變點”.例如：點(1，2)的“可控變點”為點(1，2)，點
( ﹣ 1 ， 3) 的“ 可控變點” 為點( ﹣ 1 ，﹣ 3) .點( ﹣ 5 ，﹣ 2) 的“ 可控變點” 坐標為 ;若點 P 在函數(shù) y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的圖象上，其“可控變點”Q 的縱坐標 y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，實數(shù) a 的取值范圍為 .
16.某電商銷售一款夏季時裝，進價 40 元/件，售價 110 元/件，每天銷售 20 件，每銷售一
件需繳納電商平臺推廣費用 a 元(a>0).未來 30 天，這款時裝將開展“每天降價 1
元”的夏令促銷活動，即從第 1 天起每天的單價均比前一天降 1 元.通過市場調研發(fā)
現(xiàn)，該時裝單價每降 1 元，每天銷量增加 4 件.在這 30 天內，要使每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數(shù) t ( t 為正整數(shù)) 的增大而增大， a 的取值范圍應為 .
三、解答題(共 8 題，共 80 分)
17.(8 分)某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管破裂，維修人員為更新管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)請你補全這個輸水管道的圓形截面(要求：保留作圖痕跡，標出圓心 O);
(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬 AB=16cm，水面最深地方的高度為 4cm，求這個圓形截面的半徑.
18.(8 分)已知拋物線 y ax2 bx c 與 x 軸交于點 A(1，0)，B(3，0)，且過點C(0，-3)
(1)求拋物線的表達式和頂點坐標;
(2)請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線 y=-x 上，并寫出平移后拋物線的表達式.
19.(8 分)如圖，已知 AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦 AB 上任意一點(不與點
A、B 重合)，連接 CO 并延長 CO 交⊙O 于點 D，連接 AD.
(1)弦長 AB 等于 (結果保留根號);
(2)當∠D=20°時，求∠BOD 的度數(shù).
20.(10 分)隨著通訊技術迅猛發(fā)展，人與人之間的溝通方式更加多樣、便捷.李老師組織數(shù)學興趣小組的同學們開展了“你最喜歡的溝通方式”問卷調查活動，并在全校范圍內隨機調查了部分學生(每人必選且只選一種)，將統(tǒng)計結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中所給的信息解答下列問題：
(1)在扇形統(tǒng)計圖中，表示“微信”的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)寒假中的某一天，張明和李響都想從“電話”、“微信”、“QQ”三種溝通方式選一種方式與李老師聯(lián)系，請用列表或畫樹狀圖的方法求出張明和李響兩名同學恰好選中同一種溝通方式的概率.
21.(10 分)已知在△ABC 中，AB=AC，以 AB 為直徑的⊙O 分別交 AC 于 D，BC 于 E，連接 ED.
(1)求證：ED=EC;
(2)若 CD=3， EC 2
，求 AB 的長.
22.(10 分)若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為“奇妙四邊形”.如圖 1，四邊形 ABCD 中，若 AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形 ABCD 為奇妙四邊形.根據(jù)“奇妙四邊形”對角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個重要性質：
“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半.根據(jù)以上信息回答：
(1)矩形 “奇妙四邊形”(填“是”或“不是”);
(2)如圖 2，已知⊙O 的內接四邊形 ABCD 是“奇妙四邊形”，若⊙O 的半徑為 6，
∠BCD=60°.“奇妙四邊形”ABCD 的面積為 ;
(3)如圖 3，已知⊙O 的內接四邊形 ABCD 是“奇妙四邊形”作 OM⊥BC 于 M.請猜測
OM 與 AD 的數(shù)量關系，并證明你的結論.
23.(12 分)某商家銷售一款商品，進價每件 80 元，售價每件 145 元，每天銷售 40 件，每
銷售一件需支付給商場管理費 5 元，未來一個月(按 30 天計算)，這款商品將開展
“每天降價 1 元”的促銷活動，即從第一天開始每天的單價均比前一天降低 1 元，通過市場調查發(fā)現(xiàn)，該商品單價每降 1 元，每天銷售量增加 2 件，設第 x 天(1≤x≤30 且 x 為整數(shù))的銷售量為 y 件.
(1)直接寫出 y 與 x 的函數(shù)關系式;
(2)設第 x 天的利潤為 w 元，試求出 w 與 x 之間的函數(shù)關系式，并求出哪一天的利潤最大?最大利潤是多少元?
24.(14 分)如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，已知 A，B 兩點的坐標分別為(-4，0)，
(4，0)，C(m，0)是線段 AB 上一點(與 A，B 點不重合)，拋物線 L1： y ax2 b x c
(a<0)經過點 A，C，頂點為 D，拋物線 L2： y ax2 b x c (a<0)經過點 C，B，
頂點為 E，AD，BE 的延長線相交于點 F.
(1)若 a 1 ，m=-1，求拋物線 L ，L 的解析式;
2 1 2
(2)若 a=-1，AF⊥BF，求 m 的值;
(3)是否存在這樣的實數(shù) a(a<0)，無論 m 取何值， 直線 AF 與 BF 都不可能互相垂直?若存在，請直接寫出 a 的兩個不同的值;若不存在，請說明理由.
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