2017屆九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷
2017屆九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷
信心是成功的一半。做任何事情都要相信自己,面對(duì)九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷題,你有信心完成嗎?以下是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的2017屆九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試題,希望對(duì)大家有幫助!
2017屆九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試題
一、選擇題
1.sin30° 的值為( )
A. B. C. D.
2.下列各組圖形一定相似的是( )
A.兩個(gè)矩形
B.兩個(gè)等邊三角形
C.各有一角是80°的兩個(gè)等腰三角形
D.任意兩個(gè)菱形
3.麗華根據(jù)演講比賽中九位評(píng)委所給的分?jǐn)?shù)作了如下表格:
平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分,則表中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是( )
A.平均數(shù) B.眾數(shù) C.方差 D.中位數(shù)
4.如果關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,那么m的取值范圍是( )
A.m>2 B.m<2 C.m>2且m≠1 D.m<2且m≠1
5.如圖,將寬為1cm的長(zhǎng)方形紙條沿BC折疊,使∠CAB=45°,則折疊后重疊部分的面積為( )
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
6.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與直線y=1交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),(3,1),則不等式ax2+bx+c﹣1>0的解集為( )
A.x>1 B.13 D.x>3
二、填空題:
7.拋物線y=2x2﹣4x+1的對(duì)稱軸為直線 .
8.100件某種產(chǎn)品中有五件次品,從中任意取一件,恰好抽到次品的概率是 .
9.將拋物線y=﹣2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為 .
10.如圖,在△ABC中,DE∥BC,DE與邊AB相交于點(diǎn)D,與邊AC相交于點(diǎn)E,如果AD=3,BD=4,AE=2,那么AC= .
11.已知圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為15π,則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為 .
12.某人沿著坡度i=1: 的山坡走了50米,則他離地面的高度上升了 米.
13.從地面垂直向上拋出一小球,小球的高度h(米)與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是h=10t﹣5t2,則小球運(yùn)動(dòng)到的最大高度為 米.
14.△ABC中,AB=AC=4,BC=5,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn),點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),∠DPE=∠C,則BP= .
15.如圖,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,若四邊形ABCO為平行四邊形,則∠ADB= .
16.已知二次函數(shù)y=ax2+2 x(a<0)的圖象與x軸交于A(6,0),頂點(diǎn)為B,C為線段AB上一點(diǎn),BC=2,D為x軸上一動(dòng)點(diǎn).若BD=OC,則D的坐標(biāo)為 .
三、解答題:(共102分)
17.(10分)(1)計(jì)算:2﹣1+| ﹣2|+tan60°
(2)解方程:(x+1)(x﹣3)=﹣1.
18.(8分)某班召開主題班會(huì),準(zhǔn)備從由2名男生和2名女生組成的班委會(huì)中選擇2人擔(dān)任主持人.
(1)用樹狀圖或表格列出所有等可能結(jié)果;
(2)求所選主持人恰好為1名男生和1名女生的概率.
19.(8分)甲進(jìn)行了10次射擊訓(xùn)練,平均成績(jī)?yōu)?環(huán),且前9次的成績(jī)(單位:環(huán))依次為:8,10,9,10,7,9,10,8,10.
(1)求甲第10次的射擊成績(jī);
(2)求甲這10次射擊成績(jī)的方差;
(3)乙在相同情況下也進(jìn)行了10次射擊訓(xùn)練,平均成績(jī)?yōu)?環(huán),方差為1.6環(huán)2,請(qǐng)問(wèn)甲和乙哪個(gè)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定?
20.(10分)如圖,△ABC中,∠C=90°,tanB= ,AC=2,D為AB中點(diǎn),DE垂直AB交BC于E.
(1)求AB的長(zhǎng)度;
(2)求BE的長(zhǎng)度.
21.(10分)如圖,AB、CD為兩個(gè)建筑物,建筑物AB的高度為60米,從建筑物AB的頂點(diǎn)A點(diǎn)測(cè)得建筑物CD的頂點(diǎn)C點(diǎn)的俯角∠EAC為30°,測(cè)得建筑物CD的底部D點(diǎn)的俯角∠EAD為45°.
(1)求兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度;
(2)求建筑物CD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
22.(10分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),交y軸于C點(diǎn),其中B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),且圖象對(duì)稱軸為直線x=1.
(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)P為二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x軸下方的圖象上一點(diǎn),且S△ABP=S△ABC,求P點(diǎn)的坐標(biāo).
23.(10分)如圖,四邊形OABC為平行四邊形,B、C在⊙O上,A在⊙O外,sin∠OCB= .
(1)求證:AB與⊙O相切;
(2)若BC=10cm,求⊙O的半徑長(zhǎng)及圖中陰影部分的面積.
24.(10分)如圖,在菱形ABCD中,AB=4,對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn),E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DE=2,直線OE分別交AB、CD于G、F.
(1)求證:DF=BG;
(2)求DF的長(zhǎng);
(3)若∠ABC=60°,求tan∠AEO.
25.(12分)如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,D重合 ),過(guò)A、E、C三點(diǎn)的⊙O交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CE、CF.
(1)求證:△DEC∽△BFC;
(2)設(shè)DE的長(zhǎng)為x,△AEF的面積為y.
?、偾髖關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)x為何值時(shí),y有最大值;
?、谶B接AC,若△ACF為等腰三角形,求x的值.
26.(14分)已知二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2(n>0,m≠0)的圖象經(jīng)過(guò)A(2,0).
(1)用含n的代數(shù)式表示m;
(2)求證:二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2的圖象與x軸始終有2個(gè)交點(diǎn);
(3)設(shè)二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B(t,0).
①當(dāng)n取n1,n2時(shí),t 分別為t1,t2,若n1
?、谌魌為整數(shù),求整數(shù)n的值.
2017屆九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷答案
一、選擇題
1.sin30° 的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值,可得答案.
【解答】解:sin30°= ,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角三角函數(shù)值,熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.
2.下列各組圖形一定相似的是( )
A.兩個(gè)矩形
B.兩個(gè)等邊三角形
C.各有一角是80°的兩個(gè)等腰三角形
D.任意兩個(gè)菱形
【考點(diǎn)】相似圖形.
【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可.
【解答】解:兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等,故不一定相似;
兩個(gè)等邊三角形相似對(duì)應(yīng)邊的比相等,對(duì)應(yīng)角相等,一定相似;
各有一角是80°的兩個(gè)等腰三角形對(duì)應(yīng)角不一定相等,故不一定相似;
任意兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)角不一定相等,故不一定相似;
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似圖形的概念,掌握對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形,叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵.
3.麗華根據(jù)演講比賽中九位評(píng)委所給的分?jǐn)?shù)作了如下表格:
平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分,則表中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是( )
A.平均數(shù) B.眾數(shù) C.方差 D.中位數(shù)
【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇.
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義:位于中間位置或中間兩數(shù)的平均數(shù)可以得到去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分不影響中位數(shù).
【解答】解:去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響,
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了統(tǒng)計(jì)量的選擇,解題的關(guān)鍵是了解中位數(shù)的定義,難度不大.
4.如果關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,那么m的取值范圍是( )
A.m>2 B.m<2 C.m>2且m≠1 D.m<2且m≠1
【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到m﹣1≠0且△=22﹣4(m﹣1)>0,然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可.
【解答】解:根據(jù)題意得m﹣1≠0且△=22﹣4(m﹣1)>0,
解得m<2且m≠1.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac:當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.
5.如圖,將寬為1cm的長(zhǎng)方形紙條沿BC折疊,使∠CAB=45°,則折疊后重疊部分的面積為( )
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);矩形的性質(zhì).
【分析】如圖,作CH⊥AB于H.首先證明AC﹣=AB,△ACH是等腰直角三角形,求出AB、CH即可解決問(wèn)題.
【解答】解:如圖,作CH⊥AB于H.
∵∠1=∠2,∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AC=AB,
∵∠CAB=45°,∠AHC=90°,
∴∠CAH=∠HCA=45°,
∴AH=CH=1,AC=AB= ,
∴S△ABC= •AB•CH= ,
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、矩形性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí),熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵,本題的突破點(diǎn)是證明AC=AB= ,屬于中考??碱}型.
6.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與直線y=1交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),(3,1),則不等式ax2+bx+c﹣1>0的解集為( )
A.x>1 B.13 D.x>3
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式(組).
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與直線y=1交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到不等式ax2+bx+c﹣1>0的解集.
【解答】解:根據(jù)圖象得二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與直線y=1交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),(3,1),
而ax2+bx+c﹣1>0,即y>1,
故x<1或x>3.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次不等式之間的聯(lián)系:根據(jù)當(dāng)y>1時(shí),利用圖象得出不等式解集是解題關(guān)鍵.
二、填空題:
7.拋物線y=2x2﹣4x+1的對(duì)稱軸為直線 x=1 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可求得答案.
【解答】解:
∵y=2x2﹣4x+1=2(x﹣1)2﹣1,
∴對(duì)稱軸為直線x=1,
故答案為:x=1.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵,即在y=a(x﹣h)2+k中,對(duì)稱軸為x=h,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k).
8.100件某種產(chǎn)品中有五件次品,從中任意取一件,恰好抽到次品的概率是 .
【考點(diǎn)】概率公式.
【分析】根據(jù)概率的求法,找準(zhǔn)兩點(diǎn):
?、偃壳闆r的總數(shù);
?、诜蠗l件的情況數(shù)目;二者的比值就是其發(fā)生的概率.
【解答】解:100件某種產(chǎn)品中有五件次品,從中任意取一件,恰好抽到次品的概率是 = .
故答案為 .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率的求法:如果一個(gè)事件有n種可能,而且這些事件的可能性相同,其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果,那么事件A的概率P(A)= .
9.將拋物線y=﹣2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為 y=﹣2(x﹣1)2+2 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】直接根據(jù)平移規(guī)律作答即可.
【解答】解:將拋物線y=﹣2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后所得拋物線解析式為y=﹣2(x﹣1)2+2.
故答案為:y=﹣2(x﹣1)2+2.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了函數(shù)圖象的平移,要求熟練掌握平移的規(guī)律:左加右減,上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.
10.如圖,在△ABC中,DE∥BC,DE與邊AB相交于點(diǎn)D,與邊AC相交于點(diǎn)E,如果AD=3,BD=4,AE=2,那么AC= .
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】由平行可得到 = ,代入可求得EC,再利用線段的和可求得AC.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴ = ,即 = ,
解得EC= ,
∴AC=AE+EC=2+ = ,
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例,掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.
11.已知圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為15π,則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為 5 .
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【分析】這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形面積公式得到 •2π•3•l=15π,然后解方程即可.
【解答】解:這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,
根據(jù)題意得 •2π•3•l=15π,解得l=5.
故答案為5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算:圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).
12.某人沿著坡度i=1: 的山坡走了50米,則他離地面的高度上升了 25 米.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.
【分析】根據(jù)題意可以設(shè)出某人沿著坡度i=1: 的山坡走了50米時(shí)的豎直高度,然后根據(jù)勾股定理即可解答本題.
【解答】解:設(shè)某人沿著坡度i=1: 的山坡走了50米時(shí)的豎直高度為x米,
則此時(shí)走的水平距離為 米,
由勾股定理可得, ,
解得,x1=﹣25(舍去),x2=25,
故答案為:25.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題、勾股定理,明確坡度的含義是解答此類題目的關(guān)鍵.
13.從地面垂直向上拋出一小球,小球的高度h(米)與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是h=10t﹣5t2,則小球運(yùn)動(dòng)到的最大高度為 5 米.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式,即可解答.
【解答】解:∵h(yuǎn)=10t﹣5t2=﹣5(t﹣1)2+5,
又∵﹣5<0,
∴t=1時(shí),h有最大值,最大值為5,
故答案為5.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是正確的建立二次函數(shù)模型.
14.△ABC中,AB=AC=4,BC=5,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn),點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),∠DPE=∠C,則BP= 1或4 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=2,CE=2,∠B=∠C,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】解:∵AB=AC=4,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn),
∴BD=2,CE=2,∠B=∠C,
∵∠DPE=∠C,
∴∠BPD=180°﹣∠B﹣∠DPE,∠CEP=180°﹣∠EPC﹣∠C,
∴∠DPB=∠PEC,
∴△BPD∽△CPE,
∴ ,即 ,
∴PB=1或4,
故答案為:1或4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
15.如圖,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,若四邊形ABCO為平行四邊形,則∠ADB= 30° .
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到∠ADC+∠ABC=180°,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)的∠AOC=∠ABC,根據(jù)圓周角定理得到∠ADC= ∠AOC,計(jì)算即可.
【解答】解:∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∵四邊形ABCO為平行四邊形,
∴∠AOC=∠ABC,
由圓周角定理得,∠ADC= ∠AOC,
∴∠ADC+2∠ADC=180°,
∴∠ADC=60°,
∵OA=OC,
∴平行四邊形ABCO為菱形,
∴BA=BC,
∴ = ,
∴∠ADB= ∠ADB=30°,
故答案為:30°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定,掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.
16.已知二次函數(shù)y=ax2+2 x(a<0)的圖象與x軸交于A(6,0),頂點(diǎn)為B,C為線段AB上一點(diǎn),BC=2,D為x軸上一動(dòng)點(diǎn).若BD=OC,則D的坐標(biāo)為 D(2,0)或(4,0) .
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】把A(6,0)代入y=ax2+2 x得0=62a+2 ×6,得到y(tǒng)=﹣ x2+2 x,根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到B(3,3 ),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到AB= =6,過(guò)B作BE⊥OA于E,CF⊥OA與F,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AF=2,CF=2 ,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到OC= =2 ,根據(jù)BD=OC,列方程即可得到結(jié)論.
【解答】解:把A(6,0)代入y=ax2+2 x得0=62a+2 ×6,
∴a=﹣ ,
∴y=﹣ x2+2 x,
∵頂點(diǎn)為B,
∴B(3,3 ),
∴AB= =6,
∵BC=2,
∴AC=4,
過(guò)B作BE⊥OA于E,CF⊥OA與F,
∴CF∥BE,
∴△ACF∽△ABE,
∴ = = ,
∴AF=2,CF=2 ,
∴OF=4,
∴OC= =2 ,
∵BD=OC,
∴BD=2 ,
設(shè)D(x,0),
∴BD= =2 ,
∴x1=2,x2=4,
∴D(2,0)或(4,0).
故答案為:D(2,0)或(4,0).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn),相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
三、解答題:(共102分)
17.(10分)(2016秋•泰州期末)(1)計(jì)算:2﹣1+| ﹣2|+tan60°
(2)解方程:(x+1)(x﹣3)=﹣1.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;解一元二次方程-配方法;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)原式利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則,絕對(duì)值的代數(shù)意義,以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果;
(2)方程整理后,利用配方法求出解即可.
【解答】解:(1)原式= +2﹣ + = ;
(2)整理得:x2﹣2x=2,
配方得:x2﹣2x+1=3,即(x﹣1)2=3,
解得:x1=1+ ,x2=1﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,以及解一元二次方程﹣配方法,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
18.某班召開主題班會(huì),準(zhǔn)備從由2名男生和2名女生組成的班委會(huì)中選擇2人擔(dān)任主持人.
(1)用樹狀圖或表格列出所有等可能結(jié)果;
(2)求所選主持人恰好為1名男生和1名女生的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)根據(jù)題意可直接先畫出列表或樹狀圖;
(2)根據(jù)圖可判斷12種結(jié)果中有8種結(jié)果可以使該事件發(fā)生,即可得概率.
【解答】解:(1)畫樹狀圖如下:
(2)由(1)知P(恰好為1名男生和1名女生)= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法,用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
19.甲進(jìn)行了10次射擊訓(xùn)練,平均成績(jī)?yōu)?環(huán),且前9次的成績(jī)(單位:環(huán))依次為:8,10,9,10,7,9,10,8,10.
(1)求甲第10次的射擊成績(jī);
(2)求甲這10次射擊成績(jī)的方差;
(3)乙在相同情況下也進(jìn)行了10次射擊訓(xùn)練,平均成績(jī)?yōu)?環(huán),方差為1.6環(huán)2,請(qǐng)問(wèn)甲和乙哪個(gè)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定?
【考點(diǎn)】方差.
【分析】(1)用甲射擊的總環(huán)數(shù)減去前9次射擊的總環(huán)數(shù)可得;
(2)根據(jù)方差的計(jì)算公式可得;
(3)根據(jù)方差的意義可得答案.
【解答】解:(1)根據(jù)題意,甲第10次的射擊成績(jī)?yōu)?×10﹣(8+10+9+10+7+9+10+8+10)=9;
(2)甲這10次射擊成績(jī)的方差為 ×[4×(10﹣9)2+3×(9﹣9)2+2×(8﹣9)2+(7﹣9)2]=1;
(3)∵平均成績(jī)相等,而甲的方差小于乙的方差,
∴乙的射擊成績(jī)更穩(wěn)定.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方差,熟練掌握方差的計(jì)算公式和方差的意義是解題的關(guān)鍵.
20.(10分)(2016秋•泰州期末)如圖,△ABC中,∠C=90°,tanB= ,AC=2,D為AB中點(diǎn),DE垂直AB交BC于E.
(1)求AB的長(zhǎng)度;
(2)求BE的長(zhǎng)度.
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【分析】(1)首先利用正切函數(shù)的定義求得另一直角邊BC的長(zhǎng),然后利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng);
(2)首先求得BD的長(zhǎng),然后求得DE的長(zhǎng),利用勾股定理即可求得BE的長(zhǎng).
【解答】解:(1)∵∠C=90°,tanB= ,AC=2,
∴BC=2AC=4,
∴AB= = =2 ;
(2)∵D為AB中點(diǎn),
∴BD= AB= ,
∵DE垂直AB交BC于E,tanB= ,
∴DE= BD= ,
∴BE= = = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形及勾股定理的知識(shí),解題的關(guān)鍵是從題目中整理出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系求得相關(guān)線段的長(zhǎng),難度不大,屬于中等題目.
21.(10分)(2014•哈爾濱)如圖,AB、CD為兩個(gè)建筑物,建筑物AB的高度為60米,從建筑物AB的頂點(diǎn)A點(diǎn)測(cè)得建筑物CD的頂點(diǎn)C點(diǎn)的俯角∠EAC為30°,測(cè)得建筑物CD的底部D點(diǎn)的俯角∠EAD為45°.
(1)求兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度;
(2)求建筑物CD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.
【分析】(1)根據(jù)題意得:BD∥AE,從而得到∠BAD=∠ADB=45°,利用BD=AB=60,求得兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度為60米;
(2)延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F,根據(jù)題意得四邊形ABDF為正方形,根據(jù)AF=BD=DF=60,在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF,然后即可求得CD的長(zhǎng).
【解答】解:(1)根據(jù)題意得:BD∥AE,
∴∠ADB=∠EAD=45°,
∵∠ABD=90°,
∴∠BAD=∠ADB=45°,
∴BD=AB=60,
∴兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度為60米;
(2)延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F,根據(jù)題意得四邊形ABDF為正方形,
∴AF=BD=DF=60,
在Rt△AFC中,∠FAC=30°,
∴CF=AF•tan∠FAC=60× =20 ,
又∵FD=60,
∴CD=60﹣20 ,
∴建筑物CD的高度為(60﹣20 )米.
【點(diǎn)評(píng)】考查解直角三角形的應(yīng)用;得到以AF為公共邊的2個(gè)直角三角形是解決本題的突破點(diǎn).
22.(10分)(2016秋•泰州期末)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),交y軸于C點(diǎn),其中B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),且圖象對(duì)稱軸為直線x=1.
(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)P為二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x軸下方的圖象上一點(diǎn),且S△ABP=S△ABC,求P點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【分析】(1)將B、C的坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程代入拋物線的解析式中,即可求得待定系數(shù)的值,可得此二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)根據(jù)等底等高的三角形的面積相等,可得P的縱坐標(biāo)與C的縱坐標(biāo)互為相反數(shù),根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得答案.
【解答】解:(1)根據(jù)題意,得
,
解得 .
故二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3.
(2)由S△ABP=S△ABC,得
yP+yC=0,得yP=﹣3,
當(dāng)y=﹣3時(shí),﹣x2+2x+3=﹣3,
解得x1=1﹣ ,x2=1+ .
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1﹣ ,﹣3)或(1+ ,﹣3).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題,(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;(2)利用等底等高的三角形的面積相等得出P的縱坐標(biāo)與C的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵.
23.(10分)(2016秋•泰州期末)如圖,四邊形OABC為平行四邊形,B、C在⊙O上,A在⊙O外,sin∠OCB= .
(1)求證:AB與⊙O相切;
(2)若BC=10cm,求⊙O的半徑長(zhǎng)及圖中陰影部分的面積.
【考點(diǎn)】切線的判定;平行四邊形的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算;解直角三角形.
【分析】(1)由特殊三角函數(shù)值sin∠OCB= ,求得∠OCB=45°,根據(jù)同圓的半徑相等得:OB=OC,利用等邊對(duì)等角得:∠OCB=∠OBC=45°,所以∠BOC=90°,最后由平行四邊形的對(duì)邊平行和平行線性質(zhì)得:
∠BOC=∠ABO=90°,AB與⊙O相切;
(2)根據(jù)勾股定理求⊙O的半徑長(zhǎng),再利用差求陰影部分的面積.
【解答】(1)證明:連接OB,
∵sin∠OCB= ,
∴∠OCB=45°,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
∴∠BOC=90°,
∵四邊形OABC是平行四邊形,
∴AB∥OC,
∴∠BOC=∠ABO=90°,
∵B在⊙O上,
∴AB與⊙O相切;
解:(2)設(shè)⊙O的半徑為r,則OB=OC=r,
在Rt△OBC中,r2+r2=102,
∴r=5 ,
∴S陰影部分=S扇形OBC﹣S△OBC= ﹣ × = π﹣25,
答:⊙O的半徑長(zhǎng)5 ,陰影部分的面積為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)值、扇形的面積;明確兩種證明切線的方法:①無(wú)交點(diǎn),作垂線段,證半徑;②有交點(diǎn),作半徑,證垂線;熟記扇形的面積公式,并掌握特殊的三角函數(shù)值.
24.(10分)(2016秋•泰州期末)如圖,在菱形ABCD中,AB=4,對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn),E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DE=2,直線OE分別交AB、CD于G、F.
(1)求證:DF=BG;
(2)求DF的長(zhǎng);
(3)若∠ABC=60°,求tan∠AEO.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OD=OB,再由平行線的性質(zhì)得出∠OBG=∠ODF,故可得出△BGO≌△DFO,進(jìn)而可得出結(jié)論;
(2)過(guò)點(diǎn)O作OK∥AD,由三角形中位線定理得出OK的長(zhǎng),再判定出△DEF∽△KOF,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論;
(3)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ADO=30°,∠OAH=60°,設(shè)OH=x,則DH= x,AH= x,再由AD=4可得出x的值,進(jìn)而得出結(jié)論.
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴OB=OD,AB∥CD,
∴∠OBG=∠ODF.
在△BGO與△DFO中,
∵ ,
∴△BGO≌△DFO(ASA),
∴DF=BG;
(2)解:過(guò)點(diǎn)O作OK∥AD,
∵點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn),
∴點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn),
∴OK是△ACD的中線,
∴OK= AD=2,DK= CD=2.
∵AD∥OK,
∴△DEF∽△KOF,
∴ = ,即 = ,解得DF=1.
(3)解:過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H,
∵∠ABC=60°,
∴∠ADO=30°,∠OAH=60°,
設(shè)OH=x,則DH= x,AH= x.
∵AD=4,
∴ x+ x=4,解得x= ,
∴HD=3,OH= ,
∴HE=HD+DE=3+2=5,
∴tan∠AEO= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí),涉及面較廣,難度較大.
25.(12分)(2016秋•泰州期末)如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,D重合 ),過(guò)A、E、C三點(diǎn)的⊙O交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CE、CF.
(1)求證:△DEC∽△BFC;
(2)設(shè)DE的長(zhǎng)為x,△AEF的面積為y.
?、偾髖關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)x為何值時(shí),y有最大值;
②連接AC,若△ACF為等腰三角形,求x的值.
【考點(diǎn)】圓的綜合題.
【分析】(1)如圖1中,連接EF.首先證明EF是⊙O直徑,推出∠ECF=90°,由∠DCB=∠ECF,推出∠DCE=∠BCF,由∠D=∠CBF,即可證明△DEC∽△BFC.
(2)①由△DEC∽△BFC,得 = ,求出BF,構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.
②分三種情形討論即可解決問(wèn)題.a、當(dāng)AC=AF= 時(shí).b、當(dāng)CA=CF時(shí),易知AB=BF=1,c、當(dāng)FC=FA時(shí),則有(2x)2+22=(1+2x)2.
【解答】(1)證明:如圖1中,連接EF.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=1,AD=BC=2,∠A=∠D=∠DCB=∠ABC=∠CBF=90°,
∴EF是⊙O直徑,
∴∠ECF=90°,
∴∠DCB=∠ECF,
∴∠DCE=∠BCF,∵∠D=∠CBF,
∴△DEC∽△BFC.
(2)①∵△DEC∽△BFC,
∴ = ,
∴ = ,
∴BF=2x,AF=1+2x,
∴y= •AE•AF= (2﹣x)(1+2x)=﹣x2+ x+1=﹣(x﹣ )2+ ,
∵﹣1<0,
∴當(dāng)x= 時(shí),y有最大值.
?、谌鐖D2中,a、當(dāng)AC=AF= 時(shí),
∵BF=2x= ﹣1,
∴x= .
b、當(dāng)CA=CF時(shí),易知AB=BF=1,
∴2x=1,
∴x= .
c、當(dāng)FC=FA時(shí),則有(2x)2+22=(1+2x)2,
解得x= ,
綜上所述,△ACF為等腰三角形,x的值為 或 或 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí),學(xué)會(huì)添加常用輔助線,學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.
26.(14分)(2016秋•泰州期末)已知二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2(n>0,m≠0)的圖象經(jīng)過(guò)A(2,0).
(1)用含n的代數(shù)式表示m;
(2)求證:二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2的圖象與x軸始終有2個(gè)交點(diǎn);
(3)設(shè)二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B(t,0).
?、佼?dāng)n取n1,n2時(shí),t 分別為t1,t2,若n1
?、谌魌為整數(shù),求整數(shù)n的值.
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);二次函數(shù)的圖象.
【分析】(1)把A(2,0)代入y=mx2﹣nx+n﹣2,即可用含n的代數(shù)式表示m;
(2)只需證明△=(﹣n)2﹣4m(n﹣2)>0即可;
(3)①根據(jù)題意用含n的代數(shù)式表示t,可得t1﹣t2= ﹣ = ,依此可得t1﹣t2<0,從而求解;
?、趖= =2﹣ ,因?yàn)閠為整數(shù)且n>0,可得n+2>2,得到n+2=4或n+2=8,解方程即可求解.
【解答】解:(1)把A(2,0)代入y=mx2﹣nx+n﹣2,得4m﹣2n+n﹣2=0,m= ;
(2)∵△=(﹣n)2﹣4m(n﹣2)=n2﹣4× ×(n﹣2)=n2﹣n2+4=4>0,
∴二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2的圖象與x軸始終有2個(gè)交點(diǎn);
(3)①依題意可知t= ;
所以t1﹣t2= ﹣ = ,
因?yàn)閚1
又因?yàn)閚>0,
所以n1+2>0,n2+2>0,
所以t1﹣t2<0,
所以t1
?、趖= =2﹣ ,
因?yàn)閠為整數(shù)且n>0,
所以n+2>2,
所以n+2=4或n+2=8
所以n=2或n=6.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn).解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式△>0證明拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).