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九年級數(shù)學上期末復習試卷(2)

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九年級數(shù)學上期末復習試卷

  九年級數(shù)學上期末復習試卷參考答案

  一、選擇題(本大題共10個小題,每小題3分,共30分.在你四個選項中只有一項是正確的.)

  1.下列圖形,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是(  )

  A. B. C. D.

  【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.

  【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

  【解答】解:A、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形.故錯誤;

  B、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.故正確;

  C、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形.故錯誤;

  D、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形.故錯誤.

  故選B.

  【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念:軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉180度后與原圖重合.

  2.已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一個根為2,則另一根為(  )

  A.2 B.3 C.4 D.8

  【考點】根與系數(shù)的關系.

  【專題】計算題.

  【分析】利用根與系數(shù)的關系來求方程的另一根.

  【解答】解:設方程的另一根為α,則α+2=6,

  解得α=4.

  故選C.

  【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系.若二次項系數(shù)為1,常用以下關系:x1,x2是方程x2+px+q=0的兩根時,x1+x2=﹣p,x1x2=q,反過來可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系數(shù)確定根的相關問題,后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù).

  3.如圖,CD是⊙O的弦,直徑AB⊥CD于點P,下列結論不正確的是(  )

  A. = B.∠CDB= ∠COB C.∠CDB=∠BAD D.∠OCD=∠OBD

  【考點】垂徑定理;圓周角定理.

  【分析】根據(jù)垂徑定理對各選項進行逐一分析即可.

  【解答】解:∵CD是⊙O的弦,直徑AB⊥CD于點P,

  ∴ ,∠CDB= COB,

  ∴∠CDB=∠BAD,

  故A,B,C選項正確.

  故選D.

  【點評】本題考查的是垂徑定理,圓周角定理,熟知平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵.

  4.若反比例函數(shù)y= 的圖象位于第二、四象限,則k的取值范圍可能是(  )

  A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.1

  【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在象限可得k+2<0,解出不等式的解集,再確定k的值.

  【解答】解:由題意得:k+2<0,

  解得:k<﹣2,

  故選:A.

  【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì),關鍵是掌握反比例函數(shù) (k≠0),(1)k>0,反比例函數(shù)圖象在一、三象限;(2)k<0,反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi).

  5.將拋物線y=x2﹣2x+3向下平移2個單位長度,再向右平移3個單位長度后,得到的拋物線的解析式為(  )

  A.y=(x+2)2 B.y=(x﹣4)2 C.y=(x+2)2+4 D.y=(x﹣2)2+4

  【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

  【專題】幾何變換.

  【分析】先把y=x2﹣2x+3配成頂點式得到拋物線的頂點坐標為(1,2),再根據(jù)點平移的規(guī)律,點(1,2)經(jīng)過平移后所得對應點的坐標為(4,0),然后利用頂點式寫出平移后的拋物線的解析式.

  【解答】解:y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,此拋物線的頂點坐標為(1,2),把點(1,2)向下平移2個單位長度,再向右平移3個單位長度后所得對應點的坐標為(4,0),所以平移后得到的拋物線的解析式為y=(x﹣4)2.

  故選B.

  【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換:由于拋物線平移后的形狀不變,故a不變,所以求平移后的拋物線解析式通??衫脙煞N方法:一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標,利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點坐標,即可求出解析式.

  6.如圖,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的高,AC=4,BC=3,如果圓C是以C為圓心,2.5長為半徑的圓,那么下列說法正確的是(  )

  A.點D在圓C上

  B.點D在圓C內(nèi),點A、B均在圓C外

  C.點A、B、D均在圓C外

  D.點B、D均在圓C內(nèi),點A在圓C外

  【考點】點與圓的位置關系.

  【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長,再由三角形的面積公式求出CD的長,根據(jù)點與圓的位置關系即可得出結論.

  【解答】解:∵在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的高,AC=4,BC=3,

  ∴AB= = =5,

  ∴CD= = = =2.4.

  A、∵2.4<2.5,∴點D在圓內(nèi),故本選項錯誤;

  B、∵2.4<2.5<3<4,∴點D在圓C內(nèi),點A、B均在圓C外,故本選項正確;

  C、∵2.4<2.5,∴點D在圓內(nèi),故本選項錯誤;

  D、∵2.4<2.5<3<4,∴點D在圓C內(nèi),點A、B均在圓C外,故本選項錯誤.

  故選B.

  【點評】本題考查的是點與圓的位置關系,根據(jù)三角形的面積公式求出CD的長是解答此題的關鍵.

  7.從數(shù)2,3,4,6中任意選兩個數(shù),記作m和n,那么點(m,n)在函數(shù)y= 圖象上的概率是(  )

  A. B. C. D.

  【考點】列表法與樹狀圖法;反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

  【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與點(m,n)在函數(shù)圖象上的情況,再利用概率公式即可求得答案.

  【解答】解:畫樹狀圖得:

  ∵共有12種等可能的結果,點(m,m)在函數(shù)y= 圖象上的有(2,6),(4,3),(3,4),(6,2),

  ∴點(m,n)在函數(shù)y= 圖象上的概率是: = .

  故選B.

  【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

  8.現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用,催生了快速行業(yè)的高速發(fā)展.據(jù)調(diào)查,我省2013年的快速的業(yè)務量為1.4億件,2015年快遞業(yè)務量達到4.5億件,設2014年與2015年這兩年的年平均增長率為x,則下列方程正確的是(  )

  A.1.4(1+x)=4.5 B.1.4(1+2x)=4.5

  C.1.4(1+x)2=4.5 D.1.4+1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5

  【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

  【分析】設2014年與2015年這兩年的年平均增長率為x,根據(jù)題意可得,2013年的快速的業(yè)務量×(1+平均增長率)2=2015年快遞業(yè)務量,據(jù)此列方程.

  【解答】解:設2014年與2015年這兩年的年平均增長率為x,

  由題意得,1.4×(1+x)2=4.5.

  故選C.

  【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,解答本題的關鍵是讀懂題意,設出未知數(shù),找出合適的等量關系,列方程.

  9.小明利用二次函數(shù)的圖象估計方程x2﹣2x﹣2=0的近似解,如表是小明探究過程中的一些計算數(shù)據(jù).根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知,方程x2﹣2x﹣2=0必有一個實數(shù)根在(  )

  x 1.5 2 2.5 3 3.5

  x2﹣2x﹣2 ﹣2.75 ﹣2 ﹣0.75 1 3.25

  A.1.5和2之間 B.2和2.5之間 C.2.5和3之間 D.3和3.5之間

  【考點】圖象法求一元二次方程的近似根.

  【分析】看0在相對應的哪兩個y的值之間,那么近似根就在這兩個y對應的x的值之間.

  【解答】解:根據(jù)表格得,當2.5

  則方程x2﹣2x﹣2=0必有一個實數(shù)根在2.5和3之間.

  故選C.

  【點評】此題考查了學生的綜合應用能力,解題關鍵是根據(jù)相對應的y值判斷出函數(shù)值接近于0的x的值.

  10.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點A(﹣3,0),對稱軸為直線x=﹣1.給出四個結論:

 ?、賏bc>0;

  ②2a+b=0;

 ?、坳P于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x=﹣3;

  ④若點B(﹣2.5,y1),(﹣0.5,y2)為函數(shù)圖象上的兩點,則y1

  其中正確的是(  )

  A.②④ B.①④ C.①③ D.②④

  【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

  【分析】①由拋物線的開口向下知a<0,與y軸的交點在y軸的正半軸上得到c>0,由對稱軸為x=﹣ =﹣1,得到b<0,可以①進行分析判斷;

  ②由對稱軸為x=﹣ =﹣1,得到2a=b,4a+b=4a<0,可以②進行分析判斷;

 ?、蹖ΨQ軸為x=﹣1,圖象過點A(﹣3,0),得到圖象與x軸另一個交點(1,0),可對③進行分析判斷;

 ?、軐ΨQ軸為x=﹣1,開口向下,點A(﹣2.5,y1)比點B(﹣0.5,y2)離對稱軸遠,即可對④進行判斷.

  【解答】解:①∵拋物線的開口向下,

  ∴a<0,

  ∵與y軸的交點在y軸的正半軸上,

  ∴c>0,

  ∵對稱軸為x=﹣ <0

  ∴b<0,

  ∴abc>0,故①正確;

 ?、凇邔ΨQ軸為x=﹣ =﹣1,∴2a=b,

  ∴2a+b=4a,a≠0,故②錯誤;

 ?、邸邔ΨQ軸為x=﹣1,圖象過點A(﹣3,0),

  ∴圖象與x軸另一個交點(1,0),

  ∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x=﹣3或x=1,故③錯誤;

  ④∵對稱軸為x=﹣1,開口向下,

  ∴點A(﹣2.5,y1)比點B(﹣0.5,y2)離對稱軸遠,

  ∴y1

  故選B.

  【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系,解答此類問題的關鍵是掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定,解題時要注意數(shù)形結合思想的運用.

  二、填空題:每小題3分,共18分.

  11.在平面直角坐標系中,點P(﹣10,a)與點Q(b,13)關于原點對稱,則a+b的值為 ﹣3 .

  【考點】關于原點對稱的點的坐標.

  【分析】根據(jù)兩個點關于原點對稱時,它們的坐標符號相反可得b=10,a=﹣13,進而可得a+b的值.

  【解答】解:∵點P(﹣10,a)與點Q(b,13)關于原點對稱,

  ∴b=10,a=﹣13,

  ∴a+b=﹣13+10=﹣3,

  故答案為:﹣3.

  【點評】此題主要考查了兩個點關于原點對稱,關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律.

  12.某籃球運動員在同一條件下載罰球線上進行投籃訓練,下表是該球員的投籃結果頻率(結果保留到了小數(shù)點后兩位)統(tǒng)計表

  投籃次數(shù)n 50 100 150 200 250 300 500

  投中次數(shù)m 28 60 78 104 123 152 251

  投中頻率m/n 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50

  根據(jù)上表估計,這名球員投籃一次,投中的概率約是 0.5 (結果保留到小數(shù)點后的一位)

  【考點】利用頻率估計概率.

  【分析】計算出所有投籃的次數(shù),再計算出總的命中數(shù),繼而可估計出這名球員投籃一次,投中的概率

  【解答】解:

  由題意得,這名球員投籃的次數(shù)為1550次,投中的次數(shù)為796,

  故這名球員投籃一次,投中的概率約為: ≈0.5.

  故答案為:0.5.

  【點評】此題考查了利用頻率估計概率的知識,注意這種概率的得出是在大量實驗的基礎上得出的,不能單純的依靠幾次決定.

  13.若關于x的一元二次方程9x2﹣6x+c=0有兩個不相等的實數(shù)根,則c的取值范圍是 c<1 .

  【考點】根的判別式.

  【分析】因為關于x的一元二次方程9x2﹣6x+c=0有兩個不相等的實數(shù)根,所以△=b2﹣4ac>0,建立關于c的不等式,求出不等式的解集即可.

  【解答】解:∵關于x的一元二次方程9x2﹣6x+c=0有兩個不相等的實數(shù)根,

  ∴△=(﹣6)2﹣4×9×c>0,

  解得:c<1,

  故答案為:c<1;

  【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件.

  總結:一元二次方程根的情況與判別式△的關系:

  (1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;

  (2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;

  (3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.

  14.已知蓄電池的電壓為定值,使用蓄電池時,電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)是反比例函數(shù)關系,它的圖象如圖所示.如果以此蓄電池為電源的用電器的限制不能超過12A,那么用電器的可變電阻應控制的范圍是 R≥3W .

  【考點】反比例函數(shù)的應用.

  【分析】根據(jù)題意首先求出反比例函數(shù)解析式,進而利用電器的限制不能超過12A,求出電器的可變電阻應控制的范圍.

  【解答】解:由題意可得:I= ,將(9,4)代入得:

  U=IR=36,

  ∵以此蓄電池為電源的用電器的限制不能超過12A,

  ∴ ≤12,

  解得:R≥3.

  故答案為:R≥3W.

  【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應用,正確得出反比例函數(shù)解析式是解題關鍵.

  15.如圖,正六邊形ABCDEF的半徑為R,連接對角線AC,CE,AE構成正三角形,這個正三角形的邊長為  R .

  【考點】正多邊形和圓.

  【分析】作BG⊥AC,垂足為G.由垂徑定理得出AC=2AG,在直角三角形ABG中,求出AG的長,即可得出結果.

  【解答】解:作BG⊥AC,垂足為G.如圖所示:

  則AC=2AG,

  ∵AB=BC,

  ∴AG=CG,

  ∵六邊形ABCDEF是正六邊形,

  ∴∠ABC=120°,AB=BC=R,

  ∴∠BAC=30°,

  ∴AG=AB•cos30°=R× = R,

  ∴AC=2× R= R.

  故答案為 R.

  【點評】本題考查了正多邊形和圓,熟悉正六邊形的性質(zhì)是解題的關鍵.

  16.如圖,點O是半徑為2的圓形紙片的圓心,將這個圓形紙片按下列順序折疊,使和弧BC都經(jīng)過圓心O,則陰影部分的面積是   .

  【考點】翻折變換(折疊問題);扇形面積的計算.

  【分析】作OD⊥AB于點D,連接AO,BO,CO,求出∠OAD=30°,得到∠AOB=2∠AOD=120°,進而求得∠AOC=120°,再利用陰影部分的面積=S扇形AOC得出陰影部分的面積是⊙O面積的 ,即可得出結果.

  【解答】解:作OD⊥AB于點D,連接AO,BO,CO,如圖所示:

  ∵OD= AO

  ∴∠OAD=30°,

  ∴∠AOB=2∠AOD=120°,

  同理∠BOC=120°,

  ∴∠AOC=120°,

  ∴陰影部分的面積=S扇形BOC= ×⊙O面積= ×π×22= ;

  故答案為: .

  【點評】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、扇形面積以及圓的面積公式等知識;解題的關鍵是確定∠AOC=120°.

  三、解答題:共72分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

  17.解方程:3x(x﹣1)=2x﹣2.

  【考點】解一元二次方程-因式分解法;因式分解-提公因式法.

  【專題】因式分解.

  【分析】把右邊的項移到左邊,用提公因式法進行因式分解求出方程的根.

  【解答】解:3x(x﹣1)﹣2(x﹣1)=0

  (x﹣1)(3x﹣2)=0

  ∴x1=1,x2= .

  【點評】本題考查的是用因式分解法解方程,根據(jù)題目的結構特點,用提公因式法因式分解求出方程的根.

  18.在如圖所示平面直角坐標系中,每個小正方形的邊長均為1,△ABC的三個頂點均在格點上.

  (1)以O為旋轉中心,將△ABC逆時針旋轉90°,畫出旋轉后的△A1B1C1;

  (2)畫出△A1B1C1關于原點對稱的△A2B2C2;

  (3)若△ABC內(nèi)有一點P(a,b),結果上面兩次變換后點P在△A2B2C2中的對應點為P′,則點P′的坐標為 (b,﹣a) .

  【考點】作圖-旋轉變換.

  【專題】作圖題.

  【分析】(1)利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質(zhì)畫出點A、B、C的對應點A1、B1、C1即可得到△A1B1C1;

  (2)利用關于原點中心對稱的點的坐標特征寫出點A2、B2、C2的坐標,然后描點即可得到△A2B2C2;

  (3)點P(a,b)以O為旋轉中心,逆時針旋轉90°所得對應點的坐標為(﹣b,a),而點(﹣b,a)關于原點的對稱點為(b,﹣a),從而得到點P′的坐標.

  【解答】解:(1)如圖,△A1B1C1為所作;

  (2)如圖,△A2B2C2為所作;

  (3)點P′的坐標為(b,﹣a).

  故答案為(b,﹣a).

  【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換:根據(jù)旋轉的性質(zhì)可知,對應角都相等都等于旋轉角,對應線段也相等,由此可以通過作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對應點,順次連接得出旋轉后的圖形.

  19.如圖,AD⊥BC,垂足為D,BE⊥AC,垂足為E,AD與BE相交于點F,連接ED.

  (1)求證:△BFD∽△ACD;

  (2)再寫出圖中的兩對相似三角形(不添加其它線段,不要求證明).

  【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

  【分析】(1)根據(jù)垂直得出∠BEC=90°,∠BDF=∠AEF=90°,∠ADC=90°,求出∠CBE=∠DAC,根據(jù)相似三角形的判定定理得出即可;

  (2)根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可.

  【解答】(1)證明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,

  ∴∠BEC=90°,∠BDF=∠AEF=90°,∠ADC=90°,

  ∴∠CBE+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,

  ∴∠CBE=∠DAC,

  又∵∠BDF=∠ADC=90°,

  ∴△BFD∽△ACD;

  (2)解:△BFD∽△ACD,△ACD∽△BCE.

  【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應用,能熟練地運用定理進行推理是解此題的關鍵.

  20.元旦期間,某數(shù)學小組的同學們調(diào)研了某超市中某品牌文具袋的銷售情況,請你根據(jù)下列提供的信息,解答小華和小睿提出的問題.

  【考點】二次函數(shù)的應用.

  【專題】銷售問題.

  【分析】根據(jù)對話可以分別求出小華和小睿提出的問題,注意對話中涉及到的是漲價,所以根據(jù)題意只要探討漲價即可解答本題.

  【解答】解:設該超市應該將售價定為x元/個,

  (x﹣8)[200﹣20(x﹣10)]=700,

  化簡,得

  x2﹣28x+195=0

  解得:x1=13,x2=15,

  即該超市每天要獲得700元的銷售利潤,應該將售價定為13元/個或15元/個.

  700元的銷售利潤不是最大.

  設當銷售價為x元/個時,每天的銷售利潤為y元,

  則y=(x﹣8)[200﹣20(x﹣10)]

  =﹣20x2+560x﹣3200

  =﹣20(x﹣14)2+720

  ∵﹣20<0

  ∴當x=14時,y的值最大,最大值為720,

  即當銷售單價定為14元/個時,才能使得每天的銷售利潤最大.

  【點評】本題考查二次函數(shù)的應用,解題的關鍵是明確題意,列出相應的關系式,會將函數(shù)的解析式化為頂點式.

  21.我市“夢幻海”游樂場開業(yè)期間,小明和弟弟小軍得到了一張門票,可是他倆都想去,決定采用摸球的辦法來確定.他們在一個不透明的文具袋中,裝了僅顏色不同的5個小球,其中3個紅球,2個黑球.

  (1)如果從文具袋中摸出m(m≥1)個小球,將“摸出的小球中有黑球”記為事件A,若A為必然事件,則m的值為 4或5 .

  (2)兩人約定,先后從該文具袋中摸出1球(不放回).若兩人所摸出的球顏色相同,自然小明去,否則小軍去.請通過計算說明本規(guī)則是否公平?若不公平,你認為對誰有利?

  【考點】游戲公平性.

  【分析】(1)由在一個不透明的文具袋中,裝了僅顏色不同的5個小球,其中3個紅球,2個黑球;即可求得答案;

  (2)首先將3個紅球分別記作:R1,R2,R3;2個黑球分別記作B1,B2,然后根據(jù)題意列出表格,再利用表格求得所有等可能的結果與小明去、小軍去的情況,再利用概率公式即可求得概率,比較概率的大小,即可得出結論.

  【解答】解:(1)∵在一個不透明的文具袋中,裝了僅顏色不同的5個小球,其中3個紅球,2個黑球;

  ∴將“摸出的小球中有黑球”記為事件A,若A為必然事件,則m的值為:4或5.

  故答案為:4或5;

  (2)將3個紅球分別記作:R1,R2,R3;2個黑球分別記作B1,B2,列表得:

  R1 R2 R3 B1 B2

  R1 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ R1 R2 R1 R3 R1 B1 R1 B2

  R2 R2R1 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ R2 R3 R2 B1 R2 B2

  R3 R3R1 R3R2 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ R3 B1 R3 B2

  B1 B1R1 B1R2 B1R3 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ B1 B2

  B2 B2R1 B2R2 B2R3 B2B1 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

  ∵由表中可知,所有等可能結果有20種,其中“摸出的球的顏色相同”的結果有8種,“摸出的球的顏色不同”的結果有12種,

  ∴小明獲勝的概率為 = ,小軍獲勝的概率為 = .

  ∵ < ,

  ∴本規(guī)則不公平,該規(guī)則對小軍有利.

  【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率,概率相等就公平,否則就不公平.

  22.如圖:△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,CD平分∠ACB交⊙O于點D,交AB于點P.連接AD、BD,AC=5,AB=10.

  (1)求 的長度;

  (2)過點D作AB的平行線,交CB的延長線于點F,試判斷DF與⊙O的位置關系,并說明理由.

  【考點】切線的判定.

  【專題】計算題.

  【分析】(1)連接OC,如圖,由圓周角定理得到∠ACB=90°,則OC=OA=OB= AB=5,易得△AOC是等邊三角形,所以∠CAB=60°,接著利用圓周角定理得到∠COB=2∠CAB=120°,然后根據(jù)弧長公式計算弧BC的長度;

  (2)連接OD,如圖,由于CD平分∠ACB,則∠ACD=∠DCB=45°,利用圓周角定理得到∠DOB= ∠DCB=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)易得∠ODF=90°,即OD⊥DF,然后根據(jù)切線的判定定理可得DF是⊙O的切線.

  【解答】解:(1)連接OC,如圖,

  ∵AB是直徑,

  ∴∠ACB=90°,OA=OB,

  ∴OC=OA=OB= AB=5,

  ∵AC=5,

  ∴△AOC是等邊三角形,

  ∴∠CAB=60°,

  ∴∠COB=2∠CAB=120°,

  ∴弧BC的長度為 = π;

  (2)DF是⊙O的切線.理由如下:

  連接OD,如圖,

  ∵CD平分∠ACB,∠ACB=90°

  ∴∠ACD=∠DCB=45°,

  ∴∠DOB= ∠DCB=90°,

  ∵AB∥DF,

  ∴∠DOB+∠ODF=180°,

  ∴∠ODF=90°,

  ∴OD⊥DF

  又∵OD為半徑,

  ∴DF是⊙O的切線.

  【點評】本題考查了切線的判定:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.解決(1)小題的關鍵是確定∠BOC的度數(shù).

  23.數(shù)學活動

  如圖1所示,A(0,6),C(0,3)兩點在y軸的正半軸上,B、D兩點在x軸的正半軸上.△AOB、△COD的面積均為6.

  動手操作:

  (1)在上述平面直角坐標系中,以O為頂點,再畫出面積為6的4個直角三角形,使得該三角形的其余兩個頂點分別在x軸的正半軸、y軸的正半軸上.

  (2)取出上述6個直角三角形斜邊的中點,并把這6個點用平滑曲線順次連接起來.

  感悟發(fā)現(xiàn):

  (1)觀察圖1中所畫曲線,它是我們學過的 反比例 函數(shù)圖象,其函數(shù)的解析式是 y= (x>0) .

  (2)如圖2,△EOF的面積為S(S為常數(shù)),保持△EOF的面積不變,使點E和F分別在y軸、x軸上滑動(點E、F不與O點重合),在E和F滑動的過程中,EF的中點P所構成的函數(shù)圖象的解析式是 y= (x>0)或y=﹣ (x<0) .

  【考點】一次函數(shù)綜合題.

  【分析】動手操作:(1)根據(jù)直角三角形的面積公式,可得答案;

  (2)根據(jù)描點、連線,可得函數(shù)解析式;

  感悟發(fā)現(xiàn):(1)根據(jù)函數(shù)圖象,可得函數(shù),根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;

  【解答】解:動手操作:(1)如圖1:

  ,

  (2)如圖2:

  ,

  感悟發(fā)現(xiàn):(1)反比例,設反比例函數(shù)的解析式為y= ,將(1,3)點代入,得

  k=3,

  反比例函數(shù)解析式為y= (x>0);

  (2)設EF的中點為坐標為(x,y),

  由線段中點的性質(zhì),得

  E(0,2y),F(xiàn)(2x,0).

  由△EOF的面積為S,得

  |2x|•|2y|=S,

  化簡,得

  y= (x>0)或y=﹣ (x<0).

  【點評】本題考查了一次函數(shù)綜合題,利用三角形的面積得出直角三角形,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,要分類討論,以防遺漏.

  24.綜合與探究

  如圖1,在平面直角坐標系xOy中,拋物線W的函數(shù)表達式為y=﹣x2+3x+4.拋物線W于x后交于A、B兩點(點B在點A的右側),與y軸交于點C.它的對稱軸與x軸交于點D.

  (1)求A、B、C三點坐標及拋物線W的對稱軸;

  (2)如圖2,將拋物線W沿x軸向右平移m個單位得到拋物線W′,設拋物線W′的對稱軸與x軸交于點E,與線段BC交于點F,過點F作x軸的平行線,交拋物線W的對稱軸于點P.

 ?、偾螽攎為何值時,四邊形EDPF的面積最大?最大面積為多少?

  ②以點E為中心,將四邊形EDPF繞點E順時針旋轉90°,得到四邊形EGHB.點D的對應點為G(如圖3),求當m的值為多少時,點G恰好落在拋物線W上.

  【考點】二次函數(shù)綜合題.

  【分析】(1)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系,可得A、B、C點坐標,根據(jù)配方法,可得對稱軸;

  (2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得EF的長,根據(jù)矩形的面積,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案;

  (3)根據(jù)旋轉性質(zhì),可得G點坐標,根據(jù)點的坐標滿足函數(shù)解析式,可得關于m的方程,根據(jù)解方程,可得答案.

  【解答】解:(1)如圖1 ,

  把y=0代入y=﹣x2+3x+4,得

  ﹣x2+3x+4=0,

  解得:x1=﹣1,x2=4.

  ∴A,B兩點坐標分別為(﹣1,0),(4,0);

  把x=0代入y=﹣x2+3x+4,得y=4,

  ∴C點坐標為(0,4).

  ∵y=﹣x2+3x+4=﹣(x﹣ )2+ ,

  ∴拋物線W的對稱軸為直線x= ;

  (2)① ,

  ∵B,C兩點坐標分別為(4,0),(0,4),

  ∴OC=OB,∠OCB=∠OBC=45°,

  又∵FE∥OC,

  ∴∠EFB=∠OCB=∠OBC=45°,

  ∴EF=BE.

  ∵四邊形DEFP為矩形,

  ∴DE=PF=m.

  ∴EF=BE=4﹣ ﹣m= ﹣m,

  設四邊形DEFP的面積為S,

  則S=DE•EF=m( ﹣m)=﹣m2+ m=﹣(m﹣ )2+

  ∴當m= 時,四邊形DEFP的面積最大,最大面積為 ;

 ?、谌鐖D3 ,

  ∵四邊形EDPF為矩形,

  ∴DE=PF=m.

  ∴點E橫坐標為 +m,

  又∵四邊形EGHB是由四邊形EDPF旋轉得到的,

  ∴EG=DE=m,

  ∴點G坐標為( +m,m).

  把x= +m,y=m代入拋物線W的解析式,得

  ﹣( +m)2+3( +m)+4=m.

  解得:m1= ,m2= (不合題意,舍去),

  ∴當m的值為 時,點G恰好在拋物線W上.

  【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用自變量與函數(shù)值的對應關系求對應點;利用矩形的面積得出二次函數(shù)是解題關鍵;利用旋轉的性質(zhì)得出G點坐標是解題關鍵

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