2017九年級上學期數(shù)學期末試卷(2)
2017九年級上學期數(shù)學期末試卷
2017九年級上學期數(shù)學期末試卷參考答案
一、選擇題(本大題有12小題，在下面的每小題的四個選項中，有且只有一個符合題意，把符合題意的選項代號填在題后括號內，每小題3分，共36分.)
1.若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣1，則另一個根為( )
A.﹣2 B.2 C.4 D.﹣3
【考點】根與系數(shù)的關系.
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，利用兩根和，兩根積，即可求出a的值和另一根.
【解答】解：設一元二次方程的另一根為x1，
則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2.
故選A.
【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣ ，x1•x2= .
2.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可變形為( )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
【考點】解一元二次方程-配方法.
【專題】計算題.
【分析】方程利用配方法求出解即可.
【解答】解：方程變形得：x2﹣8x=1，
配方得：x2﹣8x+16=17，即(x﹣4)2=17，
故選C
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.
3.下列幾何圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是( )
A.等腰三角形 B.正三角形 C.平行四邊形 D.正方形
【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故錯誤;
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故錯誤;
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.故錯誤;
D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.故正確.
故選D.
【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.
4.已知⊙O的半徑為5，直線l是⊙O的切線，則點O到直線l的距離是( )
A.2.5 B.3 C.5 D.10
【考點】切線的性質.
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系可直接得到點O到直線l的距離是5.
【解答】解：∵直線l與半徑為r的⊙O相切，
∴點O到直線l的距離等于圓的半徑，
即點O到直線l的距離為5.
故選C.
【點評】本題考查了切線的性質以及直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交⇔d
5.如圖，△ABC內接于⊙O，∠OBC=42°，則∠A的度數(shù)為( )
A.84° B.96° C.116° D.132°
【考點】圓內接四邊形的性質;圓周角定理.
【分析】連接OC，在優(yōu)弧 上取點D，連接BD、CD，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠BOC，根據(jù)圓周角定理求出∠BDC，根據(jù)圓內接四邊形的性質計算即可.
【解答】解：連接OC，在優(yōu)弧 上取點D，連接BD、CD，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=42°，
∴∠BOC=96°，
∴∠BDC= ∠BOC=48°，
∴∠A=180°﹣∠BDC=132°，
故選：D.
【點評】本題考查的是圓周角定理、圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵.
6.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，則EC的長為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得 ，代入計算即可解答.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故選：B.
【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應成比例是解題的關鍵.
7.如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是( )
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C. = D. =
【考點】相似三角形的判定.
【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可.
【解答】解：A、當∠ABP=∠C時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤;
B、當∠APB=∠ABC時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤;
C、當 = 時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤;
D、無法得到△ABP∽△ACB，故此選項正確.
故選：D.
【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關鍵.
8.一只不透明的袋子中裝有4個黑球、2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出3個球，下列事件為必然事件的是( )
A.至少有1個球是黑球 B.至少有1個球是白球
C.至少有2個球是黑球 D.至少有2個球是白球
【考點】隨機事件.
【分析】由于只有2個白球，則從中任意摸出3個球中至少有1個球是黑球，于是根據(jù)必然事件的定義可判斷A選項正確.
【解答】解：一只不透明的袋子中裝有4個黑球、2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出3個球，至少有1個球是黑球是必然事件;至少有1個球是白球、至少有2個球是黑球和至少有2個球是白球都是隨機事件.
故選A.
【點評】本題考查了隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件.事件分為確定事件和不確定事件(隨機事件)，確定事件又分為必然事件和不可能事件，
9.若點A(3，﹣4)、B(﹣2，m)在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則m的值為( )
A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣12
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】反比例函數(shù)的解析式為y= ，把A(3，﹣4)代入求出k=﹣12，得出解析式，把B的坐標代入解析式即可.
【解答】解：設反比例函數(shù)的解析式為y= ，
把A(3，﹣4)代入得：k=﹣12，
即y=﹣ ，
把B(﹣2，m)代入得：m=﹣ =6，
故選A.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征的應用，解此題的關鍵是求出反比例函數(shù)的解析式，難度適中.
10.如圖，已知關于x的函數(shù)y=k(x﹣1)和y= (k≠0)，它們在同一坐標系內的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所經過的象限判斷出k的符號;然后由k的符號判定一次函數(shù)圖象所經過的象限，圖象一致的選項即為正確選項.
【解答】解：A、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經過第一、三象限，則k>0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經過第一、三象限，且與y軸交于負半軸.故本選項錯誤;
B、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經過第二、四象限，則k<0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經過第二、四象限，且與y軸交于正半軸.故本選項正確;
C、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經過第一、三象限，則k>0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經過第一、三象限，且與y軸交于負半軸.故本選項錯誤;
D、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經過第二、四象限，則k<0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經過第一、三象限，且與y軸交于正半軸.故本選項錯誤;
故選：B.
【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象特點：
①反比例函數(shù)y= 的圖象是雙曲線;
?、诋攌>0時，它的兩個分支分別位于第一、三象限;
?、郛攌<0時，它的兩個分支分別位于第二、四象限.
11.若拋物線y=(x﹣m)2+(m﹣1)的頂點在第四象限，則m的取值范圍( )
A.0
【考點】二次函數(shù)的性質.
【分析】根據(jù)頂點式得出點的坐標，再由第四象限點的符號得出m的取值范圍.
【解答】解：∵拋物線y=(x﹣m)2+(m﹣1)的頂點(m，m﹣1)在第四象限，
∴ ，
解得0
故選A.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，以及求拋物線的頂點坐標的方法，掌握每個象限內點的符號是解題的關鍵.
12.對于二次函數(shù)y=﹣x2+4x，有下列四個結論：①它的對稱軸是直線x=2;②設y1=﹣x12+4x1，y2=﹣x22+4x2，則當x2>x1時，有y2>y1;③它的圖象與x軸的兩個交點是(0，0)和(4，0);④當0
其中正確的結論的個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】二次函數(shù)的性質.
【分析】利用配方法求出二次函數(shù)對稱軸，再求出圖象與x軸交點坐標，進而結合二次函數(shù)性質得出答案.
【解答】解：y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4，故①它的對稱軸是直線x=2，正確;
②∵直線x=2兩旁部分增減性不一樣，∴設y1=﹣x12+4x1，y2=﹣x22+4x2，則當x2>x1時，有y2>y1或y2
?、郛攜=0，則x(﹣x+4)=0，解得：x1=0，x2=4，
故它的圖象與x軸的兩個交點是(0，0)和(4，0)，正確;
④∵a=﹣1<0，
∴拋物線開口向下，
∵它的圖象與x軸的兩個交點是(0，0)和(4，0)，
∴當0
故選：C.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質以及一元二次方程的解法，得出拋物線的對稱軸和其交點坐標是解題關鍵.
二、填空題(本題有6個小題，每小題3分，計15)
13.方程x2=5的解是 x=± .
【考點】解一元二次方程-直接開平方法.
【分析】利用直接開平方法求解即可.
【解答】解：x2=5，
直接開平方得，x=± ，
故答案為x=± .
【點評】本題考查了用直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a(a≥0)的形式，利用數(shù)的開方直接求解.
(1)用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a(a≥0);ax2=b(a，b同號且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a，c同號且a≠0).法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”.
(2)用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點.
14.二次函數(shù)y=﹣x2+2x+7的最大值為 8 .
【考點】二次函數(shù)的最值.
【專題】計算題.
【分析】先利用配方法把一般式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質求解.
【解答】解：原式=﹣x2+2x+7
=﹣(x﹣1)2+8，
因為拋物線開口向下，
所以當x=1時，y有最大值8.
故答案為8.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值：二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當a>0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少;在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x=﹣ 時，y= ;(2)當a<0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大;在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x=﹣ 時，y= .
15.某十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當你抬頭看信號燈時，是綠燈的概率為 .
【考點】概率公式.
【分析】隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)，據(jù)此用黃燈亮的時間除以三種燈亮的總時間，求出抬頭看信號燈時，是綠燈的概率為多少即可.
【解答】解：抬頭看信號燈時，是綠燈的概率為 .
故答案為： .
【點評】此題主要考查了概率公式的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：(1)隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結果數(shù).(2)P(必然事件)=1.(3)P(不可能事件)=0.
16.如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，半徑OA=2，∠COD=120°，則圖中陰影部分的面積等于 π .
【考點】扇形面積的計算.
【分析】圖中陰影部分的面積=半圓的面積﹣圓心角是120°的扇形的面積，根據(jù)扇形面積的計算公式計算即可求解.
【解答】解：圖中陰影部分的面積= π×22﹣
=2π﹣ π
= π.
答：圖中陰影部分的面積等于 π.
故答案為： π.
【點評】本題考查了扇形面積的計算，求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形的面積.
17.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設點P(1，t)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP.若反比例函數(shù)y= 的圖象經過點Q，則k= 2+2 或2﹣2 .
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征;勾股定理.
【專題】分類討論.
【分析】把P點代入y= 求得P的坐標，進而求得OP的長，即可求得Q的坐標，從而求得k的值.
【解答】解：∵點P(1，t)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴t= =2，
∴P(1.2)，
∴OP= = ，
∵過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP.
∴Q(1+ ，2)或(1﹣ ，2)
∵反比例函數(shù)y= 的圖象經過點Q，
∴2= 或2= ，解得k=2+2 或2﹣2
故答案為2+2 或2﹣2 .
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理的應用，求得Q點的坐標是解題的關鍵.
三、解答題：共69分.
18.已知：關于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0.
(1)不解方程：判斷方程根的情況;
(2)若方程有一個根為﹣3，求m的值.
【考點】根的判別式;一元二次方程的解.
【分析】(1)首先找出方程中a=1，b=﹣2m，c=m2﹣1，然后求△=b2﹣4ac的值即可;
(2)把x=﹣3代入方程中列出m的一元二次方程并求出m的值即可.
【解答】解：(1)∵關于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0，
∴a=1，b=﹣2m，c=m2﹣1，
∴△=b2﹣4ac=(﹣2m)2﹣4×1×(m2﹣1)=4>0，
∴方程x2﹣2mx+m2﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)∵方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的一根為﹣3，
∴9+6m+m2﹣1=0，即m2+6m+8=0，
∴m=﹣4或﹣2.
【點評】本題主要考查了根的判別式以及一元二次方程解的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握根的判別式的意義以及因式分解法解方程的知識.
19.某種植物的主干長出若干個數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是111，每個支干長出的小分支是多少?
【考點】一元二次方程的應用.
【分析】由題意設每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個，每個小分支又長出x個分支，則又長出x2個分支，則共有x2+x+1個分支，即可列方程求得x的值.
【解答】解：設主干長出x個支干，由題意得
1+x+x•x=111，
即x2+x﹣110=0，
解得：x1=10，x2=﹣11(舍去)
答：每個支干長出的小分支是10.
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，解題時，要根據(jù)題意分別表示主干、支干、小分支的數(shù)目，列方程求解，注意能夠熟練運用因式分解法解方程.
20.如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°.
(1)判斷△ABC的形狀： △ABC是等邊三角形 ;
(2)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.
【考點】圓周角定理;全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀;
(2)在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得.
【解答】證明：(1)△ABC是等邊三角形.
證明如下：在⊙O中，
∵∠BAC與∠CPB是 對的圓周角，∠ABC與∠APC是 所對的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形;
故答案為：△ABC是等邊三角形;
(2)在PC上截取PD=AP，如圖1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC(AAS)，
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP.
【點評】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的全等的判定與性質，正確作出輔助線，證明△APB≌△ADC是關鍵.
21.一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為 .
(1)布袋里紅球有多少個?
(2)先從布袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，請用列表或樹狀圖燈方法求出兩次摸到的球是1個紅球和1個白球的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【專題】計算題.
【分析】(1)設紅球的個數(shù)為x個，根據(jù)概率公式得到 = ，然后解方程即可;
(2)先畫樹狀圖展示所有12種等可能結果，再找出兩次摸到的球是1個紅球1個白球的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算.
【解答】解：(1)設紅球的個數(shù)為x個，
根據(jù)題意得 = ，
解得x=1(檢驗合適)，
所以布袋里紅球有1個;
(2)畫樹狀圖如下：
共有12種等可能結果，其中兩次摸到的球是1個紅球1個白球的結果數(shù)為4種，
所以兩次摸到的球都是白球的概率= = .
【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.
22.已知反比例函數(shù)y= 的圖象的一支位于第一象限.
(1)判斷該函數(shù)圖象的另一支所在的象限，并求m的取值范圍;
(2)如圖，O為坐標原點，點A在該反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，點B與點A關于x軸對稱，若△OAB的面積為10，求m的值.
【考點】反比例函數(shù)的性質;反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征;關于x軸、y軸對稱的點的坐標.
【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.當k>0時，則圖象在一、三象限，且雙曲線是關于原點對稱的;
(2)由對稱性得到△OAC的面積為5.設A(x、 )，則利用三角形的面積公式得到關于m的方程，借助于方程來求m的值.
【解答】解：(1)根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關于原點對稱知，該函數(shù)圖象的另一支在第三象限，且m﹣3>0，則m>3;
(2)∵點B與點A關于x軸對稱，若△OAB的面積為10，
∴△OAC的面積為5.
設A(x， )，
則 x• =5，
解得：m=13.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質、圖象，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點.根據(jù)題意得到△OAC的面積是解題的關鍵.
23.四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE=BF，連接AE、AF、EF.
(1)求證：△ADE≌△ABF;
(2)填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A 點，按順時針方向旋轉 90 度得到;
(3)若BC=8，DE=6，求△AEF的面積.
【考點】旋轉的性質;全等三角形的判定與性質;正方形的性質.
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF;
(2)由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，則∠BAF+∠BAE=90°，即∠FAE=90°，根據(jù)旋轉的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到;
(3)先利用勾股定理可計算出AE=10，再根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計算即可.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是CB的延長線上的點，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF(SAS);
(2)解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE，
而∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠BAF+∠EAB=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到;
故答案為A、90;
(3)解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE= =10，
∵△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面積= AE2= ×100=50(平方單位).
【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等;對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角.也考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理.
24.某服裝店銷售一種內衣，每件進價為40元.經過市場調查，一周的銷售量y件與銷售單價x元/件的關系如表：
銷售單價x(元/件) … 55 60 70 75 …
一周的銷售量y(件) … 450 400 300 250 …
(1)試求出y與x的之間的函數(shù)關系式;
(2)設一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數(shù)關系式，并確定當銷售單價的什么范圍內變化時，一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大?
(3)服裝店決定將一周的銷售內衣的利潤全部捐給福利院，在服裝店購進該內衣的貸款不超過8000元情況下，請求出該服裝店最大捐款數(shù)額是多少元?
【考點】二次函數(shù)的應用.
【分析】(1)設y=kx+b，把點的坐標代入解析式，求出k、b的值，即可得出函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)利潤=(售價﹣進價)×銷售量，列出函數(shù)關系式，繼而確定銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大的銷售單價的范圍;
(3)根據(jù)購進該商品的貸款不超過8000元，求出進貨量，然后求最大銷售額即可.
【解答】解：(1)設y=kx+b，
由題意得， ，
解得： ，
則函數(shù)關系式為：y=﹣10x+1000，(x≥50)
(2)由題意得，S=(x﹣40)y=(x﹣40)(﹣10x+1000)
=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10(x﹣70)2+9000，
∵﹣10<0，
∴函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線x=70，
∴當40
(3)∵購進該商品的貨款不超過8000元，
∴y的最大值為 =200(件).
由(1)知y隨x的增大而減小，
∴x的最小值為：x=80，
由(2)知 當x≥70時，S隨x的增大而減小，
∴當x=80時，銷售利潤最大，
此時S=8000，即該商家最大捐款數(shù)額是8000元.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，難度一般，解答本題的關鍵是將實際問題轉化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實際問題.
25.如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經過點M，交BC于點G，交 AB于點F.
(1)求證：AE為⊙O的切線.
(2)當BC=8，AC=12時，求⊙O的半徑.
(3)在(2)的條件下，求線段BG的長.
【考點】圓的綜合題.
【專題】證明題.
【分析】(1)連接OM.利用角平分線的性質和平行線的性質得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線;
(2)設⊙O的半徑為R，根據(jù)OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行線的性質得到 = ，即可解得R=3，從而求得⊙O的半徑為3;
(3)過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，根據(jù)∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結論BG=2BH=2.
【解答】(1)證明：連接OM.
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE= BC=4，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切線;
(2)設⊙O的半徑為R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴ = 即 = ，
解得R=3，
∴⊙O的半徑為3;
(3)過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，
∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，
∴四邊形OMEH是矩形，
∴HE=OM=3，
∴BH=1，
∴BG=2BH=2.
【點評】本題考查了圓的綜合知識，題目中還運用到了切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度較大.
26.在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線y=x+4經過A，C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在AC上方的拋物線上有一動點P.
①如圖1，當點P運動到某位置時，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點P的坐標;
?、谌鐖D2，過點O，P的直線y=kx交AC于點E，若PE：OE=3：8，求k的值.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)由直線的解析式y(tǒng)=x+4易求點A和點C的坐標，把A和C的坐標分別代入y=﹣ x2+bx+c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式;
(2)①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據(jù)拋物線的對稱軸可求出點P的橫坐標，由(1)中的拋物線解析式，進而可求出其縱坐標，問題得解;
?、谶^P點作PF∥OC交AC于點F，因為PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性質：對應邊的比值相等可求出PF的長，進而可設點點F(x，x+4)，利用 ，可求出x的值，解方程求出x的值可得點P的坐標，代入直線y=kx即可求出k的值.
【解答】解：(1)∵直線y=x+4經過A，C兩點，
∴A點坐標是(﹣4，0)，點C坐標是(0，4)，
又∵拋物線過A，C兩點，
∴ ，解得： ，
∴拋物線的解析式為 .
(2)①如圖1
∵ ，
∴拋物線的對稱軸是直線x=﹣1.
∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，
∴PQ∥AO，PQ=AO=4.
∵P，Q都在拋物線上，
∴P，Q關于直線x=﹣1對稱，
∴P點的橫坐標是﹣3，
∴當x=﹣3時， ，
∴P點的坐標是 ;
?、谶^P點作PF∥OC交AC于點F，
∵PF∥OC，
∴△PEF∽△OEC，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
設點F(x，x+4)，
∴ ，
化簡得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3.
當x=﹣1時， ;當x=﹣3時， ，
即P點坐標是 或 .
又∵點P在直線y=kx上，
∴ .
【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程，題目綜合性較強，難度不大，是一道很好的中考題.
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