九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題
九年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要不斷的在練習(xí)中積累,下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題,希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題:
一、選擇題(本大題共8小題,每題只有一個(gè)正確選項(xiàng),每小題3分,共24分)
1.已知∠A為銳角且tanA= ,則∠A=( )
A.30° B.45° C.60° D.不能確定
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解.
【解答】解:∵∠A為銳角,tanA= ,
∴∠A=60°.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值.
2.一元二次方程x2=﹣2x的根是( )
A.x=2 B.x=﹣2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=﹣2
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】先把方程化為一般式,然后利用因式分解法解方程.
【解答】解:x2+2x=0,
x(x+2)=0,
x=0或x+2=0,
所以x1=0,x2=﹣2.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右邊化為0,再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式,那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解,這樣也就把原方程進(jìn)行了降次,把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).
3.下列各點(diǎn)中,在函數(shù)y= 的圖象上的點(diǎn)是( )
A.(1,0.5) B.(2,﹣1) C.(﹣1,﹣2) D.(﹣2,1)
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】需把所給點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相乘,結(jié)果是2的,就在此函數(shù)圖象上.
【解答】解:∵反比例函數(shù)y= 中,k=2,
∴只需把各點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相乘,結(jié)果為2的點(diǎn)在函數(shù)圖象上,
四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)符合.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù).
4.為估計(jì)某地區(qū)黃羊的只數(shù),先捕捉20只黃羊給它們分別作上標(biāo)志,然后放回,待有標(biāo)志的黃羊完全混合于黃羊群后,第二次捕捉60只黃羊,發(fā)現(xiàn)其中2只有標(biāo)志.由這些信息,我們可以估計(jì)該地區(qū)有黃羊( )
A.400只 B.600只 C.800只 D.1000只
【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體.
【專(zhuān)題】應(yīng)用題.
【分析】捕捉60只黃羊,發(fā)現(xiàn)其中2只有標(biāo)志.說(shuō)明有標(biāo)記的占到 ,而有標(biāo)記的共有20只,根據(jù)所占比例解得.
【解答】解:20 =600(只).
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】統(tǒng)計(jì)的思想就是用樣本的信息來(lái)估計(jì)總體的信息,本題體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)思想,考查了用樣本估計(jì)總體.
5.△ABC內(nèi)接于⊙O,CD是⊙O的直徑,∠A=35°,則∠BCD的度數(shù)是( )
A.55° B.65° C.70° D.75°
【考點(diǎn)】圓周角定理.
【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠DBC、∠D的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.
【解答】解:連接BD,
∵CD是⊙O的直徑,
∴∠DBC=90°,
∵∠A=35°,
∴∠D=∠A=35°,
則∠BCD=90°﹣∠A=55°.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理,掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵.
6.兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊分別是15cm和23cm,它們的周長(zhǎng)相差40cm,則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是( )
A.75cm,115cm B.60cm,100cm C.85cm,125cm D.45cm,85cm
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意兩個(gè)三角形的相似比是15:23,可得周長(zhǎng)比為15:23,計(jì)算出周長(zhǎng)相差8份及每份的長(zhǎng),可得兩三角形周長(zhǎng).
【解答】解:根據(jù)題意兩個(gè)三角形的相似比是15:23,周長(zhǎng)比就是15:23,
大小周長(zhǎng)相差8份,所以每份的周長(zhǎng)是40÷8=5cm,
所以兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為5×15=75cm,5×23=115cm.故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解:
(1)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;
(2)相似三角形面積的比等于相似比的平方;
(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
7.用配方法將函數(shù)y= x2﹣2x+1寫(xiě)成y=a(x﹣h)2+k的形式是( )
A.y= (x﹣2)2﹣1 B.y= (x﹣1)2﹣1 C.y= (x﹣2)2﹣3 D.y= (x﹣1)2﹣3
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的三種形式.
【專(zhuān)題】配方法.
【分析】利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù),在加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來(lái)湊完全平方式,把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式.
【解答】解:y= x2﹣2x+1= (x2﹣4x+4)﹣2+1= (x﹣2)2﹣1
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)的解析式有三種形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù));
(2)頂點(diǎn)式:y=a(x﹣h)2+k;
(3)交點(diǎn)式(與x軸):y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
8.根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值:
x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
x2+5x﹣3 ﹣3.00 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3.00
可得方程x2+5x﹣3=0一個(gè)解x的范圍是( )
A.0
【考點(diǎn)】估算一元二次方程的近似解.
【分析】由于x=0.50時(shí),x2+5x﹣3=﹣0.25;x=0.75時(shí),x2+5x﹣3=1.31,則在0.50和0.75之間有一個(gè)值能使x2+5x﹣3的值為0,于是可判斷方程x2+5x﹣3=0一個(gè)解x的范圍為0.50
【解答】解:∵x=0.50時(shí),x2+5x﹣3=﹣0.25;x=0.75時(shí),x2+5x﹣3=1.31,
∴方程x2+5x﹣3=0一個(gè)解x的范圍為0.50
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算一元二次方程的近似解:用列舉法估算一元二次方程的近似解,具體方法是:給出一些未知數(shù)的值,計(jì)算方程兩邊結(jié)果,當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時(shí),說(shuō)明未知數(shù)的值愈接近方程的根.
二、填空題(本大題共8小題,每小題3分,共24分)
9.△ABC中,D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),則△ADE與△ABC的面積比為 1:4 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);三角形中位線定理.
【分析】根據(jù)三角形的中位線得出DE= BC,DE∥BC,推出△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可.
【解答】解:∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),
∴DE= BC,DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ =( )2= ,
故答案為:1:4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的性質(zhì)和判定,三角形的中位線的應(yīng)用,注意:相似三角形的面積比等于相似比的平方.
10.某家用電器經(jīng)過(guò)兩次降價(jià),每臺(tái)零售價(jià)由1000元下降到810元.若兩次降價(jià)的百分率相同,則這個(gè)百分率為 10% .
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【專(zhuān)題】增長(zhǎng)率問(wèn)題.
【分析】設(shè)家用電器平均每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格=降價(jià)前的價(jià)格(1﹣降價(jià)的百分率),則第一次降價(jià)后的價(jià)格是1000(1﹣x),第二次后的價(jià)格是1000(1﹣x)2,據(jù)此即可列方程求解.
【解答】解:設(shè)這個(gè)百分率為x,根據(jù)題意得:
1000×(1﹣x)2=810,
解得:x1=0.1=10%或x2=﹣1.9(舍去),
則這個(gè)百分率為10%.
故答案為:10%.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找到關(guān)鍵描述語(yǔ),找出等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.注意判斷所求的解是否符合題意,舍去不合題意的解.
11.某水果店一次購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果200箱,已經(jīng)賣(mài)出6箱,質(zhì)量分別是(單位:kg)15.5,16,14.5,13.5,15,15.5.你估計(jì)該商店這次進(jìn)貨 3000 kg.
【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體.
【分析】首先求出6箱蘋(píng)果的平均質(zhì)量,然后利用樣本估計(jì)總體的思想就可以求出200箱蘋(píng)果的總質(zhì)量.
【解答】解:抽取6箱蘋(píng)果的平均質(zhì)量為 =15千克,
所以估計(jì)200箱蘋(píng)果的總質(zhì)量為200×15=3000千克.
故答案為3000.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了用樣本估計(jì)總體,首先利用平均數(shù)的計(jì)算公式求出抽取蘋(píng)果質(zhì)量的平均數(shù),然后利用樣本估計(jì)總體的思想求出所有蘋(píng)果的質(zhì)量.
12.已知拋物線y=x2﹣4x+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則c= 4 .
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】利用拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則b2﹣4ac=0進(jìn)而求出c的值即可.
【解答】解:∵函數(shù)y=x2﹣4x+c拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),
∴b2﹣4ac=16﹣4c=0,
解得:c=4,
故答案為4.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn),正確把握拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定方法是解題關(guān)鍵.
13.將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移1個(gè)單位,在向上平移2個(gè)單位后,所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是 y=(x﹣1)2+2 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】拋物線平移不改變a的值.
【解答】解:原拋物線的頂點(diǎn)為(0,0),向右平移1個(gè)單位,在向上平移2個(gè)單位后,那么新拋物線的頂點(diǎn)為(1,2).可設(shè)新拋物線的解析式為:y=(x﹣h)2+k,代入得:y=(x﹣1)2+2.故所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是:y=(x﹣1)2+2.
【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
14.已知梯形護(hù)坡壩AB的坡度為i=1:4,坡高BC=2m,則斜坡AB的長(zhǎng)為 2 m.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.
【專(zhuān)題】推理填空題.
【分析】根據(jù)梯形護(hù)坡壩AB的坡度為i=1:4,坡高BC=2m,可以得到AC的長(zhǎng),然后根據(jù)勾股定理可以得到AB的長(zhǎng),從而可以解答本題.
【解答】解:∵梯形護(hù)坡壩AB的坡度為i=1:4,坡高BC=2m,
∴ ,
∴AC=8m,
根據(jù)勾股定理,得
AB= m.
故答案為:2 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是明確什么是坡度,根據(jù)坡度可以計(jì)算所求邊的長(zhǎng).
15.一個(gè)圓錐的母線是15cm,側(cè)面積是75πcm2,這個(gè)圓錐底面半徑是 5 cm.
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】設(shè)這個(gè)圓錐底面半徑為rcm,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形面積公式得到 •2π•r•15=75π,然后解方程求出r即可.
【解答】解:設(shè)這個(gè)圓錐底面半徑為rcm,
根據(jù)題意得 •2π•r•15=75π,解得r=5,
即這個(gè)圓錐底面半徑是5cm.
故答案為5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算:圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).
16.在函數(shù)y= (k為常數(shù))的圖象上有三個(gè)點(diǎn)(﹣2,y1),(﹣1,y2),( ,y3),函數(shù)值y1,y2,y3的大小為 y3
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】先判斷出函數(shù)圖象所在的象限,再根據(jù)其坐標(biāo)特點(diǎn)解答即可.
【解答】解:∵﹣k2﹣2<0,∴函數(shù)應(yīng)在二四象限,若x1<0,x2>0,說(shuō)明橫坐標(biāo)為﹣2,﹣1的點(diǎn)在第二象限,橫坐標(biāo)為 的在第四象限,∵第二象限的y值總比第四象限的點(diǎn)的y值大,∴那么y3最小,在第二象限內(nèi),y隨x的增大而增大,∴y1
即y3
【點(diǎn)評(píng)】在反比函數(shù)中,已知各點(diǎn)的橫坐標(biāo),比較縱坐標(biāo)的大小,首先應(yīng)區(qū)分各點(diǎn)是否在同一象限內(nèi).在同一象限內(nèi),按同一象限內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)來(lái)比較,不在同一象限內(nèi),按坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)來(lái)比較.
三、解答題(本題共9小題,共72分,解答題要求寫(xiě)出證明步驟或解答過(guò)程)
17.解方程:(x+2)2﹣10(x+2)=0.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【專(zhuān)題】計(jì)算題;一次方程(組)及應(yīng)用.
【分析】方程變形后,利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:方程分解得:(x+2﹣10)(x+2)=0,
可得x﹣8=0或x+2=0,
解得:x1=﹣2,x2=8.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
18.已知:∠1=∠2,AB•AC=AD•AE.
求證:∠C=∠E.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【專(zhuān)題】證明題.
【分析】先根據(jù)AB•AC=AD•AE可得出 = ,再由∠1=∠2可得出△ABE∽△ADC,由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得出結(jié)論.
【解答】證明:在△ABE和△ADC中,
∵AB•AC=AD•AE,
∴ =
又∵∠1=∠2,
∴△ABE∽△ADC
∴∠C=∠E.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.
19.某校準(zhǔn)備選出甲、乙兩人中的一人參加縣里的射擊比賽,他們?cè)谙嗤瑮l件下各射靶5次,成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:
命中環(huán)數(shù)/環(huán) 7 8 9 10
甲命中的頻數(shù)/次 1 1 0 3
乙命中的頻數(shù)/次 0 1 3 1
(1)求甲、乙兩人射擊成績(jī)的方差分別是多少?
(2)已知該校選手前三年都取得了縣射擊比賽的第一名,請(qǐng)問(wèn)應(yīng)選擇誰(shuí)去參加比賽?
【考點(diǎn)】方差.
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】(1)先計(jì)算出甲乙兩人的平均成績(jī),然后根據(jù)方差公式計(jì)算他們的方差;
(2)根據(jù)方差的意義判斷選擇誰(shuí)去參加比賽.
【解答】解:(1)甲的平均數(shù)為 =9(環(huán)),乙的平均數(shù)為 =9(環(huán)),
所以甲的方差= [(7﹣9)2+(8﹣9)2+3(10﹣9)2]=1.6,
乙的方差= [(8﹣9)2+3(9﹣9)2+(10﹣9)2]=0.4;
(2)因?yàn)榧椎姆讲畋纫业姆讲畲螅?/p>
所以乙的成績(jī)比較穩(wěn)定,應(yīng)選擇乙去參加比賽.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差:一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù),叫做這組數(shù)據(jù)的方差,計(jì)算公式是:s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2];方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量.方差越大,則平均值的離散程度越大,穩(wěn)定性也越小;反之,則它與其平均值的離散程度越小,穩(wěn)定性越好.
20.⊙O是△ABC的外接圓,∠A=45°,BD是直徑,且BD=2,連接CD,求BC的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】圓周角定理;勾股定理;等腰直角三角形;銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】先根據(jù)圓周角定理可求出∠D=45°,∠BCD=90°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知△BCD是等腰直角三角形,由銳角三角函數(shù)的定義即可求出BC的長(zhǎng).
【解答】解:在⊙O中,∵∠A=45°,∠D=45°,
∵BD為⊙O的直徑,
∴∠BCD=90°,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴BC=BD•sin45°,
∵BD=2,
∴ .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是圓周角定理、等腰直角三角形的判定及銳角三角函數(shù)的定義,關(guān)鍵是求出△BCD是等腰直角三角形.
21.已知:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線AB分別與x,y軸交于點(diǎn)B、A,與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C、D,CE⊥x軸于點(diǎn)E,tan∠ABO= ,OB=8,OE=4.求該反比例函數(shù)的解析式.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【分析】根據(jù)已知條件求出c點(diǎn)坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出反比例的函數(shù)解析式.
【解答】解:∵OB=8,OE=4,
∴BE=4+8=12.
∵CE⊥x軸于點(diǎn)E.tan∠ABO= = .
∴CE=6.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(﹣4,6).
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ,(m≠0)
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入,得6= .
∴m=﹣24.
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.
22.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測(cè)量祁陽(yáng)縣文昌古塔BD的高度,他們先在A處測(cè)得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為45°,再沿著B(niǎo)A的方向后退12米至C處,測(cè)得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為30°.求該古塔BD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.
【分析】先根據(jù)題意得出∠BAD、∠BCD的度數(shù)及AC的長(zhǎng),再在Rt△ABD中可得出AB=BD,利用銳角三角函數(shù)的定義可得出BD的長(zhǎng).
【解答】解:根據(jù)題意可知:
∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=12m.
在Rt△ABD中,
∵∠BAD=∠BDA=45°,
∴AB=BD.
在Rt△BDC中,
∵tan∠BCD= ,
∴ = ,
則BC= BD,
又∵BC﹣AB=AC,
∴ BD﹣BD=12,
解得:BD=6 +6.
答:古塔BD的高度為(6 +6)米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題,涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.
23.已知AB為⊙O的直徑,PA與⊙O相切于點(diǎn)A,線段OP與弦AC垂直并相交于點(diǎn)D,OP與⊙O相交于點(diǎn)E,連接BC.
(1)求證:△PAD∽△ABC;
(2)若PA=10,AD=6,求AB和PE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)由PA為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到AP垂直于AB,可得出∠PAO為直角,得到∠PAD與∠DAO互余,再由AB為圓O的直徑,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角,可得出∠ACB為直角,得到∠DAO與∠B互余,根據(jù)同角的余角相等可得出∠PAC=∠B,再由一對(duì)直角相等,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形APD與三角形ABC相似;
(2)在直角三角形APD中,利用勾股定理求出PD的長(zhǎng),進(jìn)而確定出AC的長(zhǎng),由第一問(wèn)兩三角形相似得到的比例式,將各自的值代入求出AB的上,求出半徑AO的長(zhǎng),在直角三角形APO中,由AP及AO的長(zhǎng),利用勾股定理求出OP的長(zhǎng),用OP﹣OE即可求出PE的長(zhǎng).
【解答】(1)證明:∵PA是⊙O的切線,AB是直徑,
∴∠PAO=90°,∠C=90°,
∴∠PAC+∠BAC=90°,∠B+∠BAC=90°,
∴∠PAC=∠B,
又∵OP⊥AC,
∴∠ADP=∠C=90°,
∴△PAD∽△ABC;
(2)解:∵∠PAO=90°,PA=10,AD=6,
∴PD= =8,
∵OD⊥AC,
∴AD=DC=6,
∴AC=12,
∵△PAD∽△ABC,
∴ ,
∴ ,
∴AB=15,
∴OE= AB= ,
∵OP= = ,
∴PE=OP﹣OE= ﹣ =5.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,勾股定理,垂徑定理,熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.
24.如圖所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.
(1)當(dāng)x為何值時(shí),BP=CQ;
(2)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能否與以C、Q、B為頂點(diǎn)的三角形相似?若能,求出x的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】相似形綜合題.
【專(zhuān)題】綜合題;圖形的相似.
【分析】(1)根據(jù)題意表示出BP與CQ,由BP=CQ列出關(guān)于x的方程,求出方程的解即可得到x的值;
(2)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能與以C、Q、B為頂點(diǎn)的三角形相似,分兩種情況考慮:①當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí);②當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí),由相似得比例求出x的值即可.
【解答】解:(1)依題意可得:BP=20﹣4x,CQ=3x,
當(dāng)BP=CQ時(shí),20﹣4x=3x,
∴x= (秒),
答:當(dāng)x= 秒時(shí),BP=CQ;
(2)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能否與以C、Q、B為頂點(diǎn)的三角形相似,
?、佼?dāng)△APQ∽△CQB時(shí),有 = ,即 = ,
解得:x= (秒);
②當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí),有 = ,即 = ,
解得:x=5(秒)或x=﹣10(秒)(舍去),
答:當(dāng)x= 或x=5秒時(shí),△APQ與△CQB相似.
【點(diǎn)評(píng)】此題屬于相似形綜合題,涉及的知識(shí)有:相似三角形的性質(zhì),一元一次方程的解法,熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
25.拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),連接BC、BD.
(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)是 (1,4) ;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)若點(diǎn)P在x軸上且位于點(diǎn)B右側(cè),且點(diǎn)P是線段AQ的中點(diǎn),連接QD,且∠BDQ=45°,求點(diǎn)P坐標(biāo)(請(qǐng)利用備用圖解決問(wèn)題).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,可得PA=PB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,可得P在線段BC上,根據(jù)待定系數(shù)法,可得BC的解析式,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得答案;
(3)根據(jù)勾股定理,可得BD的長(zhǎng),根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得QN與BN的關(guān)系,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得DN與QN的關(guān)系,根據(jù)勾股定理,可得BQ的長(zhǎng),根據(jù)線段的和差,可得AQ的長(zhǎng),根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì),可得AP的長(zhǎng),根據(jù)線段的差,可得OP的長(zhǎng),可得P點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解:(1)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4);
(2)如圖1 ,
連結(jié)BC,交對(duì)稱軸于點(diǎn)M,此時(shí)M為所求點(diǎn),使得MA+MC達(dá)到最小值.
當(dāng)x=0時(shí),y=3.
∴C(0,3).
當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+3=0,
解得:x1=﹣1,x2=3,
∴B(3,0).
設(shè)BC所在直線的解析式為:y=kx+3,將B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
3k+3=0,
∴k=﹣1,
∴BC所在直線的解析式為:y=﹣x+3,
當(dāng)x=1時(shí),y=2;
∴M(1,2);
(3)如圖2 ,
連接QD,作QN⊥DB,交DB的延長(zhǎng)線于N,
設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)H.
∵點(diǎn)D坐標(biāo)是(1,4)
∴點(diǎn)H坐標(biāo)是(1,0)
∴DH=4,BH=2,
∴在Rt△BDH中,BD= =2
又∵∠QNB=∠DHB,∠QBN=∠DBH,
∴△QBN∽△DBH,
∴ = ,
∴ = = =2,
∴QN=2BN.
又∵∠BDQ=45°,
∴在Rt△DNQ中,∠DQN=45°,
∴DN=QN=2BN,
∴BN=BD=2 ,
∴QN=4 .
∴在Rt△QBN中,BQ= =10.
∵AB=4,
∴AQ=AB+BQ=14.
∴AP= AQ=7
OP=AP﹣AO=7﹣1=6,
∴P(6,0).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用配方法得出頂點(diǎn)坐標(biāo);利用線段垂直平分線的性質(zhì),線段的性質(zhì)得出P點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵;利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BQ與BQ的關(guān)系是解題關(guān)鍵,又利用了等腰直角三角形的性質(zhì)得出QN的長(zhǎng),利用勾股定理得出BQ的長(zhǎng).
看過(guò)九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題的還看了:
1.九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考試卷
2.九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考試題