黃山市九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷
黃山市九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷
期末考試是測(cè)試學(xué)生在學(xué)習(xí)中是否學(xué)到真正重要和有用的知識(shí)的必要途徑，在即將到來(lái)的九年級(jí)的數(shù)學(xué)期末考試，教師們要如何準(zhǔn)備好的期末試卷呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于，希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
黃山市九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷：
一、選擇題：每題分，共30分.
1.觀察下列案，既是軸對(duì)稱形又是中心對(duì)稱形的是( )
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱形;軸對(duì)稱形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱形與中心對(duì)稱形的概念求解.
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱形，是中心對(duì)稱形.故錯(cuò)誤;
B、是軸對(duì)稱形，不是中心對(duì)稱形.故錯(cuò)誤;
C、是軸對(duì)稱形，也是中心對(duì)稱形.故正確;
D、不是軸對(duì)稱形，也不是中心對(duì)稱形.故錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱形與軸對(duì)稱形的概念：軸對(duì)稱形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合;中心對(duì)稱形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原重合.
2.若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(b﹣2)x+b﹣3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b的值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】根的判別式.
【分析】根據(jù)題意知道△=0，即(b﹣2)2﹣4(b﹣3)=0，然后化簡(jiǎn)解得這個(gè)一元二次方程的根就可得出答案.
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(b﹣2)x+b﹣3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=(b﹣2)2﹣4(b﹣3)=b2﹣8b+16=(b﹣4)2=0，
∴b=4.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
3.拋物線y=﹣ (x﹣3)2﹣5的對(duì)稱軸是直線( )
A.x=﹣3 B.x=3 C.x=5 D.x=﹣5
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】本題函數(shù)式是拋物線的頂點(diǎn)式，可直接求頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸.
【解答】解：∵拋物線y=﹣ (x﹣3)2﹣5是拋物線的頂點(diǎn)式，
根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸是x=3.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】考查頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x﹣h)2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)，對(duì)稱軸是x=h，要掌握頂點(diǎn)式的性質(zhì).
4.點(diǎn)A、B、P為⊙上的點(diǎn)，若∠APB=40°，則∠AOB等于( )
A.20° B.40° C.80° D.100°
【考點(diǎn)】圓周角定理.
【分析】根據(jù)圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，即可求出∠AOB的度數(shù).
【解答】解：∵點(diǎn)A、B、P是⊙O上的三點(diǎn)，∠APB=40°，
∴∠AOB=2∠APB=2×40°=80°.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理;熟記在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
5.在一個(gè)不透明的布袋中裝有50個(gè)黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則布袋中白球可能有( )
A.15個(gè) B.20個(gè) C.30個(gè) D.35個(gè)
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率.
【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)出未知數(shù)列出方程求解.
【解答】解：設(shè)袋中有黃球x個(gè)，由題意得 =0.3，
解得x=15，則白球可能有50﹣15=35個(gè).
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率.關(guān)鍵是利用黃球的概率公式列方程求解得到黃球的個(gè)數(shù).
6.下列函數(shù)中，象經(jīng)過(guò)點(diǎn)( ，﹣4)的反比例函數(shù)是( )
A.y= B.y= C.y= D.y=
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】將( ，﹣4)代入y= 即可求出k的值，則反比例函數(shù)的解析式即可求出.
【解答】解：比例系數(shù)為：﹣4× =﹣2，∴反比例函數(shù)解析式是y=﹣ .
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù).
7.已知x=3是一元二次方程2x2+mx+15=0的一個(gè)解，則方程的另一個(gè)解是( )
A. B.﹣ C.5 D.
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】設(shè)方程另一根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到3t=﹣ ，然后解一次方程即可.
【解答】解：設(shè)方程另一根為t，
根據(jù)題意得3t=﹣ ，
解得t=﹣ .
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣ ，x1x2= .
8.在二次函數(shù)y=﹣x2+2x+1的象中，若y隨x的增大而增大，則x的取值范圍是( )
A.x<1 B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】拋物線y=﹣x2+2x+1中的對(duì)稱軸是直線x=1，開(kāi)口向下，x<1時(shí)，y隨x的增大而增大.
【解答】解：∵a=﹣1<0，
∴二次函數(shù)象開(kāi)口向下，
又對(duì)稱軸是直線x=1，
∴當(dāng)x<1時(shí)，函數(shù)象在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大增大.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì)：當(dāng)a<0，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=﹣ ，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而增大.
9.小剛每天從家騎自行車上學(xué)都經(jīng)過(guò)三個(gè)路口，且每個(gè)路口都安裝有紅燈、綠燈，假如每個(gè)路口紅燈和綠燈亮的時(shí)間相同，那么小剛從家出發(fā)去學(xué)校，他遇到兩次紅燈的概率是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀法.
【分析】列舉出所有情況，看遇到兩次紅燈的情況占總情況的多少即可.
【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀得：
由樹(shù)狀可知共有8種情況，遇到兩次紅燈的有3種情況，所以遇到兩次紅燈的概率是 ，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀法求概率.注意樹(shù)狀法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件;樹(shù)狀法適合兩步或兩步以上完成的事件;注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
10.已知a、h、k為三數(shù)，且二次函數(shù)y=a(x﹣h)2+k在坐標(biāo)平面上的形通過(guò)(0，5)、(10，8)兩點(diǎn).若a<0，0
A.1 B.3 C.5 D.7
【考點(diǎn)】二次函數(shù)象與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】數(shù)形結(jié)合.
【分析】先畫(huà)出拋物線的大致象，根據(jù)頂點(diǎn)式得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=h，由于拋物線過(guò)(0，5)、(10，8)兩點(diǎn).若a<0，010﹣h，然后解不等式后進(jìn)行判斷.
【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=h，
而(0，5)、(10，8)兩點(diǎn)在拋物線上，
∴h﹣0>10﹣h，解得h>5.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口;一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右;常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn). 拋物線與y軸交于(0，c);拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定，△=b2﹣4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).
二、填空題：每小題3分，共24分.
11.已知點(diǎn)M(3，﹣4)與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)N的坐標(biāo)為 (﹣3，4) .
【考點(diǎn)】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)而得出答案.
【解答】解：∵3的相反數(shù)是﹣3，﹣4的相反數(shù)是4，
∴點(diǎn)M(3，﹣4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 (﹣3，4)，
故答案為：(﹣3，4).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)的特點(diǎn)：兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：a的相反數(shù)為﹣a.
12.在半徑為12的⊙O中，60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是 4π .
【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算.
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可.
【解答】解：在半徑為12的⊙O中，60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是：
=4π，
故答案為4π.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式：l= (弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R).注意：①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位. ②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng).
13.已知⊙O的半徑為5cm，弦CD=6cm，則圓心O到弦CD的距離是 4 cm.
【考點(diǎn)】垂徑定理;勾股定理.
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出形，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，連接OC，先根據(jù)垂徑定理求出CE的長(zhǎng)，再由勾股定理求出OE的長(zhǎng)即可.
【解答】解：所示，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，連接OC，
∵弦CD=6cm，OC=5cm，
∴CE= CD=3cm，
∴OE= = =4cm.
故答案為：4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
14.某市為響應(yīng)國(guó)家“厲行節(jié)約，反對(duì)浪費(fèi)”號(hào)召，減少了對(duì)辦公經(jīng)費(fèi)的投入.2014年投入3000萬(wàn)元預(yù)計(jì)2016年投入2430萬(wàn)元，則該市辦公經(jīng)費(fèi)的年平均下降率為 10% .
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】增長(zhǎng)率問(wèn)題.
【分析】等量關(guān)系為：2014年的投入資金×(1﹣增長(zhǎng)率)2=2016年的投入資金，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算求得合適解即可.
【解答】解：設(shè)該市辦公經(jīng)費(fèi)的年平均下降率為x，依題意有
3000×(1﹣x)2=2430，
解得(1﹣x)2=0.81，
∵1﹣x>0，
∴1﹣x=0.9，
∴x=10%.
答：該市辦公經(jīng)費(fèi)的年平均下降率為10%.
故答案為：10%.
【點(diǎn)評(píng)】考查一元二次方程的應(yīng)用;求平均變化率的方法為：若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b.
15.二次函數(shù)y=x2﹣4x+3的象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，△ABC的面積為 3 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題;二次函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】由二次函數(shù)y=x2﹣4x+3求出A、B兩點(diǎn)的x軸坐標(biāo)，再求出C點(diǎn)的y軸坐標(biāo)，根據(jù)面積公式就解決了.
【解答】解：由表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣4x+3=(x﹣1)×(x﹣3)，
則與x軸坐標(biāo)為：A(1，0)，B(3，0)，
令x=0，得y=3，即C(0，3)
∴△ABC的面積為： .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次函數(shù)和三角形的基本性質(zhì)，求出三點(diǎn)坐標(biāo)后問(wèn)題就解決了.
16.在同一平面上⊙O外一點(diǎn)P到⊙O的距離最長(zhǎng)為7cm，最短為2cm，則⊙O的半徑為 2.5 cm.
【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.
【分析】畫(huà)出形，根據(jù)形和題意得出PA的長(zhǎng)是P到⊙O的最長(zhǎng)距離，PB的長(zhǎng)是P到⊙O的最短距離，求出圓的直徑，即可求出圓的半徑.
【解答】解：PA的長(zhǎng)是P到⊙O的最長(zhǎng)距離，PB的長(zhǎng)是P到⊙O的最短距離，
∵圓外一點(diǎn)P到⊙O的最長(zhǎng)距離為7cm，最短距離為2cm，
∴圓的直徑是7﹣2=5(cm)，
∴圓的半徑是2.5cm.
故答案為：2.5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，注意：作直線PO(O為圓心)，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，則得出P到⊙O的最長(zhǎng)距離是PA長(zhǎng)，最短距離是PB的長(zhǎng).
17.點(diǎn)A在雙曲線 上，點(diǎn)B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為 2 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)雙曲線的象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關(guān)系S=|k|即可判斷.
【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AE⊥y軸，垂足為E，
∵點(diǎn)A在雙曲線 上，
∴四邊形AEOD的面積為1，
∵點(diǎn)B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，
∴四邊形BEOC的面積為3，
∴四邊形ABCD為矩形，則它的面積為3﹣1=2.
故答案為：2.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù) 中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn);這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義.
18.等腰直角三角形ABC頂點(diǎn)A在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=2 ，反比例函數(shù)y= (x>0)的象分別與AB，BC交于點(diǎn)D，E.連結(jié)DE，當(dāng)△BDE∽△BCA時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ( ， ) .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】首先設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(m， )，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(n， )，應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式是多少;然后根據(jù)△BDE∽△BCA，可得∠BDE=∠BCA=90°，推得直線y=x與直線DE垂直，再根據(jù)點(diǎn)D、E關(guān)于直線y=x對(duì)稱，推得mn=3;最后根據(jù)點(diǎn)D在直線AB上，求出點(diǎn)n的值是多少，即可判斷出點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少.
【解答】解：1，
∵點(diǎn)D、E是反比例函數(shù)y= (x>0)的象上的點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(m， )，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(n， )，
又∵∠BCA=90°，AC=BC=2 ，
∴C(n，0)，B(n，2 )，A(n﹣2 ，0)，
設(shè)直線AB的解析式是：y=ax+b，
則
解得
∴直線AB的解析式是：y=x+2 ﹣n.
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直線y=x與直線DE垂直，
∴點(diǎn)D、E關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴ = ，
∴mn=3，或m+n=0(舍去)，
又∵點(diǎn)D在直線AB上，
∴ =m+2 ﹣n，mn=3，
整理，可得
2n2﹣2 n﹣3=0，
解得n= 或n=﹣ (舍去)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是( ， ).
故答案為：( ， ).
【點(diǎn)評(píng)】(1)此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似;②兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;③兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.
(2)此題還考查了反比例函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①象上的點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k;②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;③在象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.
三、解答題：共66分.
19.解方程：
(1)x2+6x﹣16=0
(2)x2+1=2 x.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【分析】(1)先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)移項(xiàng)后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可.
【解答】解：(1)x2+6x﹣16=0，
(x﹣2)(x+8)=0
x﹣2=0，x+8=0，
x1=2，x2=﹣8;
(2)x2+1=2 x，
x2﹣2 x+1=0
b2﹣4ac=(﹣2 )2﹣4×1×1=16，
x= ，
x1= +2，x2= ﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵.
20.某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園ABCD(圍墻MN最長(zhǎng)可利用25m)現(xiàn)在已備足可以砌50m的墻的材料，使矩形花園的面積為300m2，試求BC的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】幾何形問(wèn)題.
【分析】根據(jù)可以砌50m長(zhǎng)的墻的材料，即總長(zhǎng)度是50米，AB=x米，則BC=(50﹣2x)米，再根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可.
【解答】解：設(shè)BC的長(zhǎng)為xm，根據(jù)題意，得
(50﹣x)x=300，
解方程，得x=20，x=30(不合題意，舍去).
所以，BC的長(zhǎng)為20m.
答：BC的長(zhǎng)為20m.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系求解，注意圍墻MN最長(zhǎng)可利用25m，舍掉不符合題意的數(shù)據(jù).
21.⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，作∠CAD=∠B，且點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上.
(1)求證：AD是⊙O的切線;
(2)若AB=3，∠B=30°，求∠D的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的判定.
【專題】證明題.
【分析】(1)連接OA，由0A=OB得到∠2=∠B，根據(jù)圓周角定理，由BC是⊙O的直徑得到∠1+∠2=90°，加上∠CAD=∠B，則∠2=∠CAD，所以∠CAD+∠1=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到AD是⊙O的切線;
(2)在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AC= AB= ，然后證明△ACD為等腰三角形即可得到CD的長(zhǎng).
【解答】(1)證明：連接OA，
∵0A=OB，
∴∠2=∠B，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90，即∠1+∠2=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠2=∠CAD，
∴∠CAD+∠1=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切線;
(2)解：在Rt△ABC中，∵∠B=30，
∴AC= AB= ×3= ，
∵∠ACB=90°﹣∠B=60°，∠CAD=∠B=30°，
∴∠D=30°，
∴CD=CA= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定：切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.
22.在一個(gè)口袋中裝有四個(gè)完全相同的小球，它們分別寫(xiě)有“美”“麗”、“黃”、“石”的文字.
(1)先從袋摸出1個(gè)球后放回，混合均勻后再摸出1個(gè)球，求兩次摸出的球上是寫(xiě)有“美麗”二字的概率;
(2)先從袋中摸出1個(gè)球后不放回，再摸出1個(gè)球.求兩次摸出的球上寫(xiě)有“黃石”二字的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀法.
【分析】(1)畫(huà)樹(shù)狀展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸出的球上是寫(xiě)有“美麗”二字的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解;
(2)畫(huà)樹(shù)狀展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸出的球上寫(xiě)有“黃石”二字的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解：
用1、2、3、4別表示美、麗、黃、石，
(1)畫(huà)樹(shù)形如下，
由樹(shù)形可知，所有等可能的情況有16種，其中“1，2”出現(xiàn)的情況有2種，
∴P(美麗)= = ;
(2)畫(huà)樹(shù)狀如下，
由樹(shù)狀可知，所有等可能的情況有12種，其中出現(xiàn)“3，4”的情況有2種，
∴P(黃石)= = .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件;樹(shù)狀法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
23.已知拋物線C1：y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，3)，B(3，3)
(1)求拋物線C1的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若拋物線C2：y=ax2(a≠0)與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)直接把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線C1的解析式，再把解析式配成頂點(diǎn)式可的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由于AB∥x軸，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的a的值，然后根據(jù)拋物線C2：y=ax2(a≠0)與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)可確定a的范圍.
【解答】解：(1)將A(﹣1，3)、B(3，3)代入y=x+bx+c得 ，解得b=﹣2，c=0，
所以拋物線C1的解析式為y=x2﹣2x;
∵y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1
∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，﹣1);
(2)當(dāng)拋物線C2恰好經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，將A(﹣1，3)代入y=ax2得a=3，
當(dāng)拋物線C2恰好過(guò)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，將B(3，3)代入y=ax2得9a=3，解得a= ，
所以a的取值范圍為 ≤a<3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解;當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解;當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).
24.九(1)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價(jià)與銷量的相關(guān)信息如下表：
時(shí)間x(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售價(jià)(元/件) x+40 90
每天銷量(件) 200﹣2x
已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤(rùn)為y元.
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問(wèn)銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少?
(3)該商品在銷售過(guò)程中，共有多少天每天銷售利潤(rùn)不低于4800元?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【專題】銷售問(wèn)題.
【分析】(1)根據(jù)單價(jià)乘以數(shù)量，可得利潤(rùn)，可得答案;
(2)根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案;
(3)根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800，一次函數(shù)值大于或等于48000，可得不等式，根據(jù)解不等式組，可得答案.
【解答】解：(1)當(dāng)1≤x<50時(shí)，y=(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000，
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，
y=(90﹣30)=﹣120x+12000，
綜上所述：y= ;
(2)當(dāng)1≤x<50時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=45，
當(dāng)x=45時(shí)，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=50時(shí)，y最大=6000，
綜上所述，該商品第45天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6050元;
(3)當(dāng)1≤x<50時(shí)，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利潤(rùn)不低于4800元的天數(shù)是20≤x<50，共30天;
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，
因此利潤(rùn)不低于4800元的天數(shù)是50≤x≤60，共11天，
所以該商品在銷售過(guò)程中，共41天每天銷售利潤(rùn)不低于4800元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用單價(jià)乘以數(shù)量求函數(shù)解析式，利用了函數(shù)的性質(zhì)求最值.
25.已知∠ACD=90°，MN是過(guò)A點(diǎn)的直線，AC=DC，DB⊥MN于點(diǎn)B，連接BC.
(1)1，將△BCD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ECA.
?、偾笞C：點(diǎn)E在直線MN上;
?、诓孪刖€段AB、BD、CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.
(2)當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到2的位置時(shí)，猜想線段AB、BD、CB又滿足怎樣的數(shù)列關(guān)系，并證明你的猜想.
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】(1)①由四邊形內(nèi)角和定理得出∠CAB+∠CDB=180°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ECA≌△BCD，得出∠EAC=∠BDC，因此∠CAB+∠EAC=180°，即可得出結(jié)論;
?、谧C出△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理得出BE= BC，再由BE=AE+AB，AE=BD，即可得出結(jié)論;
(2)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB與MN交于點(diǎn)E，則∠ECB=90°，∠ACE=∠DCB，證出∠CAE=∠CDB，由ASA證明△ACE≌△DCB，得出AE=DB，EC=BC，證出△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理得出EB= BC，即可得出結(jié)論.
【解答】(1)①證明：∵DB⊥MN，
∴∠ABD=90°，在四邊形ACDB中，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠CAB+∠CDB=180°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ECA≌△BCD，
∴∠EAC=∠BDC，
∴∠CAB+∠EAC=180°，
∴點(diǎn)E在直線MN上;
②解：AB+BD= BC，理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
由①知∠ECA=∠BCD，EC=BC，
∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=90°，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= BC，
∵BE=AE+AB，
由①知AE=BD，
∴AB+BD= BC;
(2)解：AB﹣BD= BC，理由如下：
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB與MN交于點(diǎn)E，2所示：
則∠ECB=90°，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
∵DB⊥AB，
∴∠CAE=∠CDB，
在△ACE和△DCB中， ，
∴△ACE≌△DCB(ASA)，
∴AE=DB，EC=BC，
∴EB=AB﹣AE=AB﹣DB，△ECB為等腰直角三角形，
∴EB= BC，
∴AB﹣BD= BC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識(shí);本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是(2)中，需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)果.
26.在直角坐標(biāo)系中矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y= (k>0)的象與AB、BC分別交于點(diǎn)E、F(E、F不與B點(diǎn)重合)，連接OE，OF.
(1)若B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，2)，且E為AB的中點(diǎn).
?、偾笏倪呅蜝EOF的面積.
②求證：F為BC的中點(diǎn).
(2)猜想 與 的大小關(guān)系，并證明你的猜想.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題.
【專題】綜合題;反比例函數(shù)及其應(yīng)用.
【分析】(1)①由B的坐標(biāo)得到AB與BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出矩形OCBA的面積，由B坐標(biāo)，根據(jù)E為AB中點(diǎn)，求出E坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出三角形AEO與三角形OCF的面積，由矩形ABCO面積﹣三角形AOE面積﹣三角形OCF面積=四邊形BEOF面積，求出即可;②連接OB，由矩形面積求出三角形OBC面積，由三角形OCF面積得到三角形OBC面積為三角形OCF面積的2倍，而兩三角形高相同，故底BC=2CF，即F為中點(diǎn)，得知;
(2) = ，理由為：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)(a>0，b>0)，表示出A，C，E，F(xiàn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出AE，BE，CF，BF，分別求出 與 的值，驗(yàn)證即可.
【解答】解：(1)①∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，2)，
∴S矩形OCBA=4×2=8，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2)，
∵點(diǎn)E、F在雙曲線上，
∴k=4，
∴S△AEO=S△FCO= k=2，
∴S四邊形BE0F=S矩形ABCO﹣S△AEO﹣S△OFC=8﹣2﹣2=4;
?、谶B接OB，
易知S△OBC= S矩形ABCO=4，
∵S△OFC=2，
∴S△OBC=2S△OFC，
∵S△OCF= S△OBC，
∴BC=2FC，
∴F為BC的中點(diǎn);
(2) = ，理由為：
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)(a>0，b>0)，
則點(diǎn)A(0，b)，C(a，0)，E( ，b)，F(xiàn)(a， )，
∴AE=| |，BE=|a﹣ |=| |，CF=| |，BF=|b﹣ |=| |，
∴ = =| |， = =| |，
則 = .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：反比例函數(shù)k的幾何意義，坐標(biāo)與形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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