人教版九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷
為即將到來的九年級數(shù)學(xué)期末考試,教師們要準(zhǔn)備哪些期末試卷供學(xué)生們練習(xí)從而提升成績呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于人教版九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷,希望會給大家?guī)韼椭?/p>
人教版九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷:
一、選擇題(本大題共6小題,每小題2分,共12分.在每小題所給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的,請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上).
1.一元二次方程x2﹣2x=0的根是( )
A.x1=0,x2=﹣2 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=0,x2=2
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先分解因式,即可得出兩個一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:x2﹣2x=0,
x(x﹣2)=0,
x=0,x﹣2=0,
x1=0,x2=2,
故選D.
【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程,難度適中.
2.將拋物線y=2x2向右平移2個單位,再向上平移3個單位,所得拋物線的表達式為( )
A.y=2(x+2)2+3 B.y=(2x﹣2)2+3 C.y=(2x+2)2﹣3 D.y=2(x﹣2)2+3
【考點】二次函數(shù)象與幾何變換.
【分析】先確定拋物線y=2x2的頂點坐標(biāo)為(0,0),把點(0,0)向右平移2個單位,再向上平移3個單位得到的點的坐標(biāo)為(2,3),然后根據(jù)頂點式寫出平移后拋物線的解析式.
【解答】解:拋物線y=2x2的頂點坐標(biāo)為(0,0),把點(0,0)向右平移2個單位,再向上平移3個單位得到的點的坐標(biāo)為(2,3),
所以平移后拋物線的解析式為y=2(x﹣2)2+3.
故選D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)象與幾何變換:由于拋物線平移后的形狀不變,故a不變,所以求平移后的拋物線解析式通??衫脙煞N方法:一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo),即可求出解析式.
3.在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其它均相同的3個紅球和2個白球,從中任意摸出一個球,則摸出白球的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】概率公式.
【分析】由在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其它均相同的3個紅球和2個白球,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其它均相同的3個紅球和2個白球,
∴從中任意摸出一個球,則摸出白球的概率是: = .
故選B.
【點評】此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
4.在△ABC中,D、E分別是AB、AC上的點,且DE∥BC,若S△ADE:S△ABC=4:9,則AD:BD=( )
A.2:1 B.1:2 C.2:3 D.4:9
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)DE∥BC,得到△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 =( )2= ,求得 = ,即可得到結(jié)論.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ =( )2= ,
∴ = ,
∴AD:BD=2:1,
故選A.
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的象所示,下列說法正確的個數(shù)是( )
?、賏>0;②b>0;③c<0;④b2﹣4ac>0;⑤a+b+c=0.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】二次函數(shù)象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)拋物線開口方向?qū)Β龠M行判斷;根據(jù)拋物線的對稱軸位置對②進行判斷;根據(jù)拋物線與y軸的交點位置對③進行判斷;根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)對④進行判斷;當(dāng)x=1時,y>0,則a+b+c>0對⑤進行判斷.
【解答】解:∵拋物線開口向下,
∴a<0,所以①錯誤;
∵拋物線的對稱軸在y軸右側(cè),
∴﹣ >0,
∴b>0,所以②正確;
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方,
∴c>0,所以③錯誤;
∵拋物線與x軸有2個交點,
∴△=b2﹣4ac>0,所以④正確;
∵x=1時,y>0,
∴a+b+c>0,所以⑤錯誤.
故選B.
【點評】本題考查了二次函數(shù)象與系數(shù)的關(guān)系:對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小,當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口;一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置:當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右.(簡稱:左同右異);常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點:拋物線與y軸交于(0,c).拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定:△=b2﹣4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.
6.半徑為2的⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE、CD相切于點A、C,則劣弧 長度為( )
A. π B. π C. π D. π
【考點】弧長的計算;正多邊形和圓.
【分析】連接OA、OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAE=90°,∠OCD=90°,根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù),求出∠AOC的度數(shù),利用弧長公式計算即可.
【解答】解:連接OA、OC,
∵AE、CD切⊙O于點A、C,
∴∠OAE=90°,∠OCD=90°,
正五邊形ABCDE的每個內(nèi)角的度數(shù)為 =108°,
∴∠AOC=540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°=144°,
∴ 長度= = ,
故選:C.
【點評】本題考查的是弧長的計算和正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用,掌握弧長的計算公式:l= 是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(本大題共10小題,每題2分,共20分.不需寫出解答過程,請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)
7.樣本﹣1、0、1、2、3的極差是 4 .
【考點】極差.
【分析】根據(jù)極差的公式:極差=最大值﹣最小值計算.
【解答】解:極差=3﹣(﹣1)=4.
故答案為:4.
【點評】此題主要考查了極差的定義,注意極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小,求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.
8.果 = ≠0,那么 = .
【考點】比例的性質(zhì).
【分析】直接利用已知將比例式變形得出答案.
【解答】解:∵ = ≠0,
∴ = .
故答案為: .
【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì),正確將比例式變形是解題關(guān)鍵.
9.要制作一個高為8cm,底面圓直徑是12cm的圓錐形小漏斗,若不計接縫,不計損耗,則她所需紙板的面積是 60π cm2.
【考點】圓錐的計算.
【分析】易得圓錐的底面半徑是6,那么利用勾股定理可得圓錐的母線長為10,那么圓錐的側(cè)面積=π×底面半徑×母線長,把相關(guān)數(shù)值代入即可求解.
【解答】解:圓錐的半徑為12÷2=6cm,高為8cm,
∴圓錐的母線長為10cm.
∴所需紙板的面積為π×6×10=60πcm2.
【點評】考查圓錐的側(cè)面展開公式;用到的知識點為:圓錐的底面半徑,母線長,高組成直角三角形,可利用勾股定理求解.
10.已知方程x2+mx+3=0的一個根是1,則它的另一個根是 3 .
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,兩個根的積是3,即可求解.
【解答】解:設(shè)方程的另一個解是a,則1×a=3,
解得:a=3.
故答案是:3.
【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,正確理解根與系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵.
11.是某拱形大橋的示意,橋拱與橋面的交點為O,B,以點O為原點,水平直線OB為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,橋的拱形可以近似看成拋物線y=﹣ (x﹣80)2+16,橋拱與橋墩AC的交點C恰好在水面,有AC⊥x軸.若OA=10米,則橋面離水面的高度AC為 米.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】先確定C點的橫坐標(biāo),然后根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)特征求出C點的縱坐標(biāo),從而可得到AC的長.
【解答】解:∵AC⊥x軸,OA=10米,
∴點C的橫坐標(biāo)為﹣10,
當(dāng)x=﹣10時,y=﹣ (x﹣80)2+16=﹣ (﹣10﹣80)2+16=﹣ ,
∴C(﹣10,﹣ ),
∴橋面離水面的高度AC為 m.
故答案為: .
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用:利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時,要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上,從而確定拋物線的解析式,通過解析式可解決一些測量問題或其他問題.
12.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中,其函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值下表:
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 2 ﹣1 ﹣2 m 2 …
則m的值為 ﹣1 .
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】先把x=﹣1,y=2和x=0,y=﹣1代入二次函數(shù)解析式求出b、c,確定二次函數(shù)解析式,然后計算出自變量為2的函數(shù)值即可.
【解答】解:把x=﹣1,y=2和x=0,y=﹣1代入y=x2+bx+c ,解得 ,
所以二次函數(shù)為y=x2﹣2x﹣1,
當(dāng)x=2時,y=4﹣4﹣1=﹣1,
所以m=﹣1.
故答案為﹣1.
【點評】本題考查了二次函數(shù)象上點的坐標(biāo)特征:二次函數(shù)象上點的坐標(biāo)滿足其解析式.
13.直線l1∥l2∥l3,直線AC分別交l1,l2,l3于點A,B,C;直線DF分別交l1,l2,l3于點D,E,F(xiàn).AC與DF相交于點H,且AH=2,HB=1,BC=5,則 的值為 .
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】求出AB=3,由平行線分線段成比例定理得出比例式,即可得出結(jié)果.
【解答】解:∵AH=2,HB=1,
∴AB=AH+BH=3,
∵l1∥l2∥l3,
∴ = ;
故答案為: .
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理;熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵.
14.若m是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一個根,則2015﹣m2+3m= 2016 .
【考點】一元二次方程的解.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2﹣3m+1=0,即m2﹣3m=﹣1,再變形得到2015﹣m2+3m=2015﹣(m2﹣3m),然后利用整體代入的方法計算.
【解答】解:∵m是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一個根,
∴m2﹣3m+1=0,即m2﹣3m=﹣1,
∴2015﹣m2+3m=2015﹣(m2﹣3m)=2015﹣(﹣1)=2016.
故答案為2016.
【點評】本題考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.
15.在平面直角坐標(biāo)系中,⊙P經(jīng)過點A(0, )、O(0,0)、B(1,0),點C在第一象限的 上,則∠BCO的度數(shù)為 30° .
【考點】圓周角定理;垂徑定理;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】連接AB,根據(jù)A(0, )、B(1,0)可得出OA及OB的長,再由銳角三角函數(shù)的定義求出∠OAB的度數(shù),根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.
【解答】解:連接AB,
∵A(0, )、B(1,0),
∴OA= ,OB=1,
∴tan∠AOB= = = ,
∴∠OAB=30°,
∴∠BCO=∠OAB=30°.
故答案為:30°.
【點評】本題考查的是圓周角定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出圓周角是解答此題的關(guān)鍵.
16.在直角形坐標(biāo)系中有兩點A(6,0)、B(0,8),點C為AB的中點,點D在x軸上,當(dāng)點D的坐標(biāo)為 (3,0)或(﹣ ,0) 時,由點A、C、D組成的三角形與△AOB相似.
【考點】相似三角形的判定;坐標(biāo)與形性質(zhì).
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長,進而可得出AC的長,再根據(jù)△AOB∽△ADC與△AOB∽△ACD兩種情況進行討論.
【解答】解:∵在直角形坐標(biāo)系中有兩點A(6,0)、B(0,8),
∴OA=6,OB=8,
∴AB= =10.
∵點C為AB的中點,
∴AC=5.
當(dāng)△AOB∽△ADC時,
= ,即 = ,解得AD=3,
∴OD=OA﹣AD=6﹣3=3,
∴D(3,0);
當(dāng)△AOB∽△ACD時,
= ,即 = ,解得AD= ,
∵AD﹣OA= ﹣6= ,
∴D(﹣ ,0).
綜上所述,D點坐標(biāo)為(3,0)或(﹣ ,0).
【點評】本題考查的是相似三角形的判定定理,在解答此題時要進行分類討論,不要漏解.
三、解答題(本大題共11題,計88分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.解方程:2x2+3x﹣1=0.
【考點】解一元二次方程-公式法.
【專題】計算題.
【分析】找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解.
【解答】解:這里a=2,b=3,c=﹣1,
∵△=9+8=17,
∴x= .
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法,熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵.
18.某校學(xué)生會正籌備一個“迎新年”文藝匯演活動,現(xiàn)準(zhǔn)備從4名(其中兩男兩女)節(jié)目主持候選人中,隨機選取兩人擔(dān)任節(jié)目主持人,請列舉出所有等可能的不同的選取搭配方法,并求選出的兩名主持人“恰好為一男一女”的概率.
【考點】列表法與樹狀法.
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀,然后由樹狀求得所有等可能的結(jié)果與選出的兩名主持人“恰好為一男一女”的情況,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:畫樹狀得:
∵共有12種等可能的結(jié)果,其中“恰好為一男一女”的有8種;
∴選出的兩名主持人“恰好為一男一女”的概率為: = .
【點評】此題考查了列表法或樹狀法求概率.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
19.一次安全知識測驗中,學(xué)生得分均為整數(shù),滿分10分,這次測驗中甲、乙兩組學(xué)生人數(shù)都為6人,成績下:
甲:7,9,10,8,5,9;
乙:9,6,8,10,7,8
(1)請補充完整下面的成績統(tǒng)計分析表:
平均分 方差 眾數(shù) 中位數(shù)
甲組 8
9 8.5
乙組 8
8 8
(2)甲組學(xué)生說他們的眾數(shù)高于乙組,所以他們的成績好于乙組,但乙組學(xué)生不同意甲組學(xué)生的說法,認為他們組的成績要好于甲組,請你給出一條支持乙組學(xué)生觀點的理由. 兩隊平均分相同,但乙的方差小于甲的方差,所以乙的成績更穩(wěn)定 .
【考點】方差;加權(quán)平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù).
【分析】(1)利用平均數(shù)、方差的計算公式即可求得乙組平均數(shù)與甲組方差,然后根據(jù)中位數(shù)的定義,求出甲組中位數(shù)即可求出答案;
(2)根據(jù)已知條件以及(1)中表格所求數(shù)據(jù),可知兩組平均分相同,但乙組的方差小于甲組的方差,所以乙的成績更穩(wěn)定,乙組的成績要好于甲組.
【解答】解:(1)乙組平均數(shù)為:(9+6+8+10+7+8)÷6=8;
甲組方差為: [(7﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2+(8﹣8)2+(5﹣8)2+(9﹣8)2]= ,
甲組成績按從小到大的順序排列為5,7,8,9,9,10,第三個與第四個數(shù)據(jù)分別是8,9,所以中位數(shù)是:(8+9)÷2=8.5.
填表下:
平均分 方差 眾數(shù) 中位數(shù)
甲組 8
9 8.5
乙組 8
8 8
(2)兩隊平均分相同,但乙的方差小于甲的方差,所以乙的成績更穩(wěn)定.
故答案為 ,8.5,8;兩隊平均分相同,但乙的方差小于甲的方差,所以乙的成績更穩(wěn)定.
【點評】本題考查方差的定義與意義:一般地設(shè)n個數(shù)據(jù),x1,x2,…xn的平均數(shù)為 ,則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小,方差越大,波動性越大,反之也成立.也考查了平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù).
20.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有兩個實數(shù)根.
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若方程的兩個實數(shù)根為x1、x2,且x1•x2=2m2﹣1,求實數(shù)m的值.
【考點】根的判別式;根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】(1)若一元二次方程有兩實數(shù)根,則根的判別式△=b2﹣4ac≥0,建立關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍;
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x1•x2=﹣m=2m2﹣1,據(jù)此即可求得m的值.
【解答】解:(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有兩個實數(shù)根,
∴b2﹣4ac=4+4m≥0,
解得m≥﹣1;
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可知:x1•x2=﹣m,
∵x1•x2=2m2﹣1,
∴﹣m=2m2﹣1,
整理得:2m2+m﹣1=0,
解得:m= 或m=﹣1.
∵ ,﹣1都在(1)所求m的取值范圍內(nèi),
∴所求m的值為 或﹣1.
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有下關(guān)系:
①當(dāng)△>0時,方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根;
?、诋?dāng)△=0時,方程有兩個相等的兩個實數(shù)根;
③當(dāng)△<0時,方程無實數(shù)根.
也考查了根與系數(shù)的關(guān)系.
21.在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,對角線BD⊥DC.
(1)求證:△ABD∽△DCB;
(2)果AD=4,BC=9,求BD的長.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【專題】幾何綜合題;壓軸題.
【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得∠ADB=∠DBC,已知∠BAD=∠BDC=90°,從而可得到△ABD∽△DCB.
(2)根據(jù)相似三角形的相似比即可求得BD的長.
【解答】解:(1)△ABD與△DCB相似,理由下:
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵BD⊥DC,
∴∠BDC=90°.
∵∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠BDC.
∴△ABD∽△DCB.
(2)∵△ABD∽△DCB,
∴ = .
∴BD2=AD•CB.
∵AD=4,BC=9,
∴BD=6.
【點評】此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定及性質(zhì)的理解及運用能力.
22.以40m/s的速度將小球沿與地面成某一角度的方向擊出時,小球的飛行路線將是一條拋物線.果不考慮空氣阻力,小球的飛行高度h(單位:m)與飛行時間(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系h=20t﹣5t2.請解答以下問題:
(1)小球的飛行高度能否達到15m?果能,需要多少飛行時間?
(2)小球的飛行高度能否達到20.5m?為什么?
(3)小球從飛出到落地要用多少時間?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)當(dāng)h=15米時,15=20t﹣5t2,解方程即可解答;
(2)當(dāng)h=20.5,得方程20.5=20t﹣5t2,解方程即可解答;
(3)當(dāng)h=0時,0=20t﹣5t2,解方程即可解答.
【解答】解:(1)令h=15,得方程15=20t﹣5t2,
解這個方程得:t1=1,t2=3,
當(dāng)小球的飛行1s和3s時,高度達到15 m;
(2)令h=20.5,得方程20.5=20t﹣5t2,
整理得:t2﹣4 t+4.1=0,
因為(﹣4)2﹣4×4.1<0,
所以方程無實數(shù)根,
所以小球的飛行高度不能達到20.5 m;
(3)小球飛出和落地時的高度都為0,令h=0,
得方程 0=20t﹣5t2,
解這個方程得:t1=0,t2=4,
所以小球從飛出到落地要用4s.
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,根據(jù)題意建立方程是解決問題的關(guān)鍵.
23.把長為40cm,寬30cm的長方形硬紙板,剪掉2個小正方形和2個小長方形(陰影部分即剪掉的部分),將剩余的部分拆成一個有蓋的長方體盒子,設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm(紙板的厚度忽略不計)
(1)長方體盒子的長、寬、高分別為多少?(單位:cm)
(2)若折成的一個長方體盒于表面積是950cm2,求此時長方體盒子的體積.
【考點】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】幾何形問題.
【分析】(1)根據(jù)所給出的形可直接得出長方體盒子的長、寬、高;
(2)根據(jù)示,可得2(x2+20x)=30×40﹣950,求出x的值,再根據(jù)長方體的體積公式列出算式,即可求出答案.
【解答】解:(1)長方體盒子的長是:(30﹣2x)cm;
長方體盒子的寬是(40﹣2x)÷2=20﹣x(cm)
長方體盒子的高是xcm;
(2)根據(jù)示,可得2(x2+20x)=30×40﹣950,
解得x1=5,x2=﹣25(不合題意,舍去),
長方體盒子的體積V=(30﹣2×5)×5×=20×5×15=1500(cm3).
答:此時長方體盒子的體積為1500cm3.
【點評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,用到的知識點是長方體的表面積和體積公式,關(guān)鍵是根據(jù)形找出等量關(guān)系列出方程,要注意把不合題意的解舍去.
24.在ABC中,∠A=∠B=30°,過點C作CD⊥AC,交AB于點D.
(1)作△ACD外接圓⊙O(尺規(guī)作,保留作痕跡,不寫作法);
(2)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【考點】作—復(fù)雜作;切線的判定.
【專題】作題.
【分析】(1)先作線段AD的垂直平分線交AD于O點,然后以O(shè)為圓心,OA為半徑畫圓即可;
(2)連接CO,利用三角形外角性質(zhì)得到∠COB=2∠A=60°,則∠COB+∠B=90°,所以∠OCB=90°,然后根據(jù)切線的判定定理可判斷BC與⊙O相切.
【解答】解:(1)⊙O為所作;
(2)BC與⊙O相切.
證明下:連接CO,
∵∠A=∠B=30°,
∴∠COB=2∠A=60°,
∴∠COB+∠B=30°+60°=90°,
∴∠OCB=90°,
∴OC⊥BC,
又BC經(jīng)過半徑OC的外端點C,
∴BC與⊙O相切.
【點評】本題考查了作﹣復(fù)雜作:復(fù)雜作是在五種基本作的基礎(chǔ)上進行作,一般是結(jié)合了幾何形的性質(zhì)和基本作方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何形的性質(zhì),結(jié)合幾何形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作拆解成基本作,逐步操作.也考查了切線的判定定理.
25.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的象過點A(﹣1,0)和點C(0,3),對稱軸為直線x=1.
(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式和頂點坐標(biāo);
(2)結(jié)合象,解答下列問題:
?、佼?dāng)﹣1
②當(dāng)y<3時,求x的取值范圍.
【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的性質(zhì).
【專題】計算題.
【分析】(1)把A點和C點坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c得到兩個方程,再加上對稱軸方程即可得到三元方程組,然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式,再把解析式配成頂點式即可得到頂點坐標(biāo);
(2)①先分別計算出x為﹣1和2時的函數(shù)值,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出對應(yīng)的函數(shù)值的范圍;
?、谙扔嬎愠龊瘮?shù)值為3所對應(yīng)的自變量的值,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出y<3時,x的取值范圍.
【解答】解:(1)根據(jù)題意得 ,解得 ,
所以二次函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+2x+3,
因為y=﹣(x﹣1)2+4,
所以拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,4);
(2)①當(dāng)x=﹣1時,y=0;x=2時,y=3;
而拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,4),且開口向下,
所以當(dāng)﹣1
②當(dāng)y=3時,﹣x2+2x+3=3,解得x=0或2,
所以當(dāng)y<3時,x<0或x>2.
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式:在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時,要根據(jù)題目給定的條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值求解.一般地,當(dāng)已知拋物線上三點時,常選擇一般式,用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時,常設(shè)其解析式為頂點式來求解;當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時,可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).
26.已知:在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑的⊙O交AB于點M,交BC于點N,連接AN,過點C的切線交AB的延長線于點P.
(1)求證:∠BCP=∠BAN
(2)求證: = .
【考點】切線的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)由AC為⊙O直徑,得到∠NAC+∠ACN=90°,由AB=AC,得到∠BAN=∠CAN,根據(jù)PC是⊙O的切線,得到∠ACN+∠PCB=90°,于是得到結(jié)論.
(2)由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠PBC=∠AMN,證出△BPC∽△MNA,即可得到結(jié)論.
【解答】(1)證明:∵AC為⊙O直徑,
∴∠ANC=90°,
∴∠NAC+∠ACN=90°,
∵AB=AC,
∴∠BAN=∠CAN,
∵PC是⊙O的切線,
∴∠ACP=90°,
∴∠ACN+∠PCB=90°,
∴∠BCP=∠CAN,
∴∠BCP=∠BAN;
(2)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°,
∴∠PBC=∠AMN,
由(1)知∠BCP=∠BAN,
∴△BPC∽△MNA,
∴ .
【點評】本題考查了切線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),圓周角定理,相似三角形的判定和性質(zhì),圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),解此題的關(guān)鍵是熟練掌握定理.
27.某批發(fā)商以40元/千克的價格購入了某種水果500千克.據(jù)市場預(yù)測,該種水果的售價y(元/千克)與保存時間x(天)的函數(shù)關(guān)系為y=60+2x,但保存這批水果平均每天將損耗10千克,且最多能保存8天.另外,批發(fā)商保存該批水果每天還需40元的費用.
(1)若批發(fā)商保存1天后將該批水果一次性賣出,則賣出時水果的售價為 62 (元/千克),獲得的總利潤為 10340 (元);
(2)設(shè)批發(fā)商將這批水果保存x天后一次性賣出,試求批發(fā)商所獲得的總利潤w(元)與保存時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)求批發(fā)商經(jīng)營這批水果所能獲得的最大利潤.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)將x=1代入水果的售價y(元/千克)與保存時間x(天)的函數(shù)關(guān)系為y=60+2x即可求得該種水果的售價,然后乘以水果質(zhì)量求得利潤即可;
(2)根據(jù)利潤=售價×銷售量﹣成本列出函數(shù)關(guān)系式即可;
(2)利用配方法即可求出利潤最大值.
【解答】解:(1)當(dāng)x=1時,y=60+2x=62(元),
利潤為:62×(500﹣10)﹣500×40﹣40=10340(元);
(2)由題意得:w=(60+2x)(500﹣10x)﹣40x﹣500×40
=﹣20x2+360x+10000;
(3)w=﹣20x2+360x+10000=﹣20(x﹣9)2+11620
∵0≤x≤8,x為整數(shù),當(dāng)x≤9時,w隨x的增大而增大,
∴x=8時,w取最大值,w最大=11600.
答:批發(fā)商所獲利潤w的最大值為11600元.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是仔細審題,將實際問題用函數(shù)表示出來,注意掌握配方法求二次函數(shù)最值得應(yīng)用.
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