初三數(shù)學(xué)第一次月考試卷
初三數(shù)學(xué)第一次月考試卷
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初三數(shù)學(xué)第一次月考試卷及答案解析
一、選擇題(每題2分,共12分)
1.一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情況為( )
A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根
B.有兩個不 相等的實(shí)數(shù)根
C.只有一個實(shí)數(shù)根
D.沒有實(shí)數(shù)根
考點(diǎn):根的判別式.
專題:計算題.
分析:先計算判別式得到△=(﹣2)2﹣4×(﹣1)=8>0,然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.
解答: 解:根據(jù)題意△=(﹣2)2﹣4×(﹣1)=8>0,
所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
故選:B.
點(diǎn)評:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac:當(dāng)△>0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△= 0,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.
2.AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,若∠A=40°,則∠B的度數(shù)為( )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
考點(diǎn):圓周角定理.
分析:由AB是⊙O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,即可求得∠C=90°,又由直角三角形中兩銳角互余,即可求得答案.
解答: 解:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠C=90°,
∵∠A=40°,
∴∠B=90°﹣∠A=50°.
故選C.
點(diǎn)評:此題考查了圓周角定理與直角三角形的性質(zhì).此題比較簡單,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,注意直徑所對的圓周角是直角定理的應(yīng)用.
3.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時,原方程應(yīng)變形為( )
A.(x+1)2=6
B.(x+2)2=9
C.(x﹣1)2=6
D.(x﹣2)2=9
考點(diǎn):解一元二次方程-配方法.
專題:方程思想.
分析:配方法的一般步驟:
(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊;
(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.
解答: 解:由原方程移項(xiàng),得
x2﹣2x=5,
方程的兩邊同時加上一 次項(xiàng)系數(shù)﹣2的一半的平方1,得
x2﹣2x+1=6
∴(x﹣1)2=6.
故選:C.
點(diǎn)評:此題考查了配方法解一元二次方程,解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用.選擇用配方法解一元二次方程時,最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).
4.下列說法:①直徑不是弦;②相等的弦所對的弧相等;③三角形的外心是三角形中三邊垂直平分線的交點(diǎn);④三角形的外心到三角形各邊的距離相等.其中正確的個數(shù)有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
考點(diǎn):三角形的外接圓與外心;圓的認(rèn)識;圓心角、弧、弦的關(guān)系.
分析:利用圓的有關(guān)性質(zhì)和三角形外接圓以及外心的性質(zhì)以及圓心角、弧、弦的關(guān)系分析判斷即可.
解答: 解:①直徑不是弦,錯誤,直徑是圓內(nèi)最長弦;
?、谙嗟鹊南宜鶎Φ幕∠嗟?,必須在同圓或等圓中,故此選項(xiàng)錯誤;
?、廴切蔚耐庑氖侨切沃腥叴怪逼椒志€的交點(diǎn),正確;
?、苋切蔚耐庑牡饺切胃黜旤c(diǎn)的距離相等,故錯誤.
故其中正確的個數(shù)有1個.
故選:A.
點(diǎn)評:此題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)和三角形外接圓以及外心的性質(zhì)以及圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識,熟練掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.
5.某縣為發(fā)展教育事業(yè),加強(qiáng)了對教育經(jīng)費(fèi)的投入,2010年投入2000萬元,預(yù)計到2012年共投入8000萬元.設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x,下面所列方程正確的是( )
A.2000(1+x)2=8000
B.2000(1+x)+2000(1+x)2=8000
C.2000x2=8000
D.2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=8000
考點(diǎn):由實(shí)際問題抽象出一元二次方程.
專題:增長率問題.
分析:增長率問題,一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率),參照本題,如果教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x,根據(jù)2010年投入2000萬元,預(yù)計2012年投入8000萬元即可得出方程.
解答: 解:設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x,
則2011的教育經(jīng)費(fèi)為:2000×(1+x)萬元,
2012的教育經(jīng)費(fèi)為:3200×(1+x)2萬元,
那么可得方程:2000×(1+x)2=8000.
故選A.
點(diǎn)評:本題考查了一元二次方程的運(yùn)用,解此類題一般是根據(jù)題意分別列出不同時間按增長率所得教育經(jīng)費(fèi)與預(yù)計投入的教育經(jīng)費(fèi)相等的方程.
6.AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,CD=10,AP:PB=5:1,⊙O的半徑是( )
A.6
B.
C.8
D.
考點(diǎn):垂徑定理;勾股定理.
分析:連接OC,根據(jù)AP:PB=5:1可設(shè)PB=x,AP=5x,故OC=OB= =3x,故OP=2x,由垂徑定理可求出PC的長,根據(jù)勾股定理求出x的值,進(jìn)而可得出結(jié)論.
解答: 解:連接OC,
∵AP:PB=5:1,
∴設(shè)PB=x,AP=5x,
∴OC=OB= =3x,
∴OP=2x.
∵AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,CD=10,
∴PC=5.
∵PC2+OP2=OC2,即52+(2x)2=(3x)2,解得x= ,
∴OC=3x=3 .
故選D.
點(diǎn)評:本題考查的是垂徑定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
二.填空題(每題2分,共20分)
7.一元二次方程x2=3x的解是:x1=0,x2=3.
考點(diǎn):解一元二次方程-因式分解法.
分析:利用因式分解法解方程.
解答: 解:(1)x2=3x,
x2﹣3 x=0,
x(x﹣3)=0,
解得:x1=0,x2=3.
故答案為:x1=0,x2=3.
點(diǎn)評:本題考查了解一元二次方程的方法.當(dāng)把方程通過移項(xiàng)把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時,一般情況下是把左邊的式子因式分解,再利用積為0的特點(diǎn)解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法,要會靈活運(yùn)用.當(dāng)化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法,此法適用于任何一元二次方程.
8.若實(shí)數(shù)a是方程x2﹣2x+1=0的一個根,則2a2﹣4a+5=3.
考點(diǎn):一元二次方程的解.
分析:首先由已知可得a2﹣2a+1=0,即a2﹣2a=﹣1.然后化簡代數(shù)式,注意整體代入,從而求得代數(shù)式的值.
解答: 解:∵實(shí)數(shù)a是方程x2﹣2x+1=0的一個根,
∴a2﹣2a+1=0,即a2﹣2a=﹣1,
∴2a2﹣4a+5=2(a2﹣2a)+5=2×(﹣1)+5=3.
故答案為3.
點(diǎn)評:本題考查了一元二次方程的解的意義:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.注意解題中的整體代入思想.
9.一元二次方程x2﹣3x+1=0的兩根為x1、x2,則x1+x2﹣x1•x2=2.
考點(diǎn):根與系數(shù)的關(guān)系.
專題:方程思想.
分析:根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣\frac{a},x1•x2=c求得x1+x2和x1•x2的值,然后將其代入所求的代數(shù)式求值即可.
解答: 解:∵一元二次方程x2﹣3x+1=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=1,一次項(xiàng)系數(shù)b=﹣3,常數(shù)項(xiàng)c=1,
∴由韋達(dá)定理,得
x1+x2=3,x1•x2=1,
∴x1+x2﹣x1•x2=3﹣1=2.
故答案是:2.
點(diǎn)評:本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.解題時,務(wù)必弄清楚根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣ ,x1•x2=c中的a、b、c所表示的意義.
10.小芳的衣服被一根鐵釘劃了一個呈直角三角形的洞,只知道該三角形有兩邊長分別為1cm和2cm,若用同色圓形布將此洞全部覆蓋,那么這個圓布的直徑最小應(yīng)等于 cm或2cm.
考點(diǎn):三角形的外接圓與外心;勾股定理.
專題:應(yīng)用題.
分析:該圓應(yīng)是三角形的外接圓,則其直徑應(yīng)是直角三角形的斜邊.當(dāng)2是斜邊時,則直徑即是2;當(dāng)2是直角邊時,則斜邊是 ,即直徑是 .
解答: 解:當(dāng)2是斜邊時,則直徑即是2;
當(dāng)2是直角邊時,則斜邊是 ,即直徑是 .
所以這個圓布的直徑最小應(yīng)等于 cm或2cm.
點(diǎn)評:首先能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,注意由于沒有具體指明斜邊,應(yīng)分情況討論.
11.寫出一個以﹣3和7為根且二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2﹣4x﹣21=0.
考點(diǎn):根與系數(shù)的關(guān)系.
專題:計算題.
分析:先計算﹣3與7的和與積,然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求 出滿足條件的一元二次方程.
解答: 解:∵﹣3+7=4,﹣3×7=﹣21,
∴以﹣3和7為根且二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程為x2﹣4x﹣21=0.
故答案為x2﹣4x﹣21=0.
點(diǎn)評:本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2= ,x1x2= .
12.若關(guān)于x的一元二次方程kx 2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是k≤1且k≠0.
考點(diǎn):根的判別式.
專題:計算題.
分析:根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍,進(jìn)而可以得到關(guān)于k的不等式,解得即可,同時還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.
解答: 解:∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)根,
∴△=b2﹣4ac≥0,
即:4﹣4k≥0,
解得:k≤1,
∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0,
故答案為:k≤1且k≠0.
點(diǎn)評:本題考查了根的判別式,解題的關(guān)鍵是了解根的判別式如何決定一元二次方程根的情況.
13.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,E是BC延長線上一點(diǎn),若∠BAD=105°,則∠DCE的大小是105°.
考點(diǎn):圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
分析:先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠DCB的度數(shù),再由兩角互補(bǔ)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
解 答: 解:∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠DAB+∠DCB=180°,
∵∠BAD=105°,
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°,
∵∠DCB+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠DAB=105°.
故答案為:105°
點(diǎn)評:本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),即圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).
14.將半徑為2cm,圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面,這個圓錐的底面半徑為 cm.
考點(diǎn):圓錐的計算.
分析:利用圓錐的側(cè)面展開中扇形的弧長等于圓錐底面的周長可得.
解答: 解:設(shè)此圓錐的底面半徑為r,由題意,得
2πr= ,
解得r= cm.
故答案為: .
點(diǎn)評:本題考查了圓錐的計算,圓錐的側(cè)面展開是一個扇形,此扇形的弧長等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系,列方程求解.
15.點(diǎn)A,B是⊙O上兩點(diǎn),AB=10,點(diǎn)P是⊙O上的動點(diǎn)(P與A,B不重合),連接AP,PB,過點(diǎn)O分別作OE⊥AP于E,OF⊥PB于F,則EF=5.
考點(diǎn):垂徑定理;三角形中位線定理.
專題:壓軸題;動點(diǎn)型.
分析:根據(jù)垂徑定理和三角形中位線定理求解.
解答: 解:點(diǎn)P是⊙O上的動點(diǎn)(P與A,B不重合),但不管點(diǎn)P如何動,因?yàn)镺E⊥AP于E,OF⊥PB于F,根據(jù)垂徑定理,E為AP中點(diǎn),F(xiàn)為PB中點(diǎn),EF為△APB中位線.根據(jù)三角形中位線定理,EF= AB= ×10=5.
點(diǎn)評:此題是一道動點(diǎn)問題.解答此類問題的關(guān)鍵是找到題目中的不變量.
16.⊙O的半徑為3cm,B為⊙O外一點(diǎn),OB交⊙O于點(diǎn)A,AB=OA,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以π cm/s的速度在⊙O上按逆時針方向運(yùn)動一周回到點(diǎn)A立即停止.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為1或5s時,BP與⊙O相切.
考點(diǎn):切線的判定;切線的性質(zhì);弧長的計算.
專題:壓軸題;動點(diǎn)型.
分析:根據(jù)切線的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析即可.若 B P與⊙O相切,則∠OPB=90°,又因?yàn)镺B=2OP,可得∠B=30°,則∠BOP=60°;根據(jù)弧長公式求得 長,除以速度,即可求得時間.
解答: 解:連接OP;
∵當(dāng)OP⊥PB時,BP與⊙O相切,
∵AB=OA,OA=OP,
∴OB=2OP,∠OPB=90°;
∴∠B=30°;
∴∠O=60°;
∵OA=3cm,
∴ = =π,圓的周長為:6π,
∴點(diǎn)P運(yùn)動的距離為π或6π﹣π=5π;
∴當(dāng)t=1或5時,有BP與⊙O相切.
點(diǎn)評:本題考查了切線的判定與性質(zhì)及弧長公式的運(yùn)用.
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