初三數(shù)學(xué)第一次月考試卷
初三數(shù)學(xué)第一次月考試卷
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初三數(shù)學(xué)第一次月考試卷及答案解析
一、選擇題(每題2分，共12分)
1.一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情況為( )
A.有兩個相等的實數(shù)根
B.有兩個不 相等的實數(shù)根
C.只有一個實數(shù)根
D.沒有實數(shù)根
考點：根的判別式.
專題：計算題.
分析：先計算判別式得到△=(﹣2)2﹣4×(﹣1)=8>0，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.
解答： 解：根據(jù)題意△=(﹣2)2﹣4×(﹣1)=8>0，
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.
故選：B.
點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)△= 0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)△<0，方程沒有實數(shù)根.
2.AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠A=40°，則∠B的度數(shù)為( )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
考點：圓周角定理.
分析：由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可求得∠C=90°，又由直角三角形中兩銳角互余，即可求得答案.
解答： 解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90°﹣∠A=50°.
故選C.
點評：此題考查了圓周角定理與直角三角形的性質(zhì).此題比較簡單，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意直徑所對的圓周角是直角定理的應(yīng)用.
3.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時，原方程應(yīng)變形為( )
A.(x+1)2=6
B.(x+2)2=9
C.(x﹣1)2=6
D.(x﹣2)2=9
考點：解一元二次方程-配方法.
專題：方程思想.
分析：配方法的一般步驟：
(1)把常數(shù)項移到等號的右邊;
(2)把二次項的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.
解答： 解：由原方程移項，得
x2﹣2x=5，
方程的兩邊同時加上一 次項系數(shù)﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1=6
∴(x﹣1)2=6.
故選：C.
點評：此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用.選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).
4.下列說法：①直徑不是弦;②相等的弦所對的弧相等;③三角形的外心是三角形中三邊垂直平分線的交點;④三角形的外心到三角形各邊的距離相等.其中正確的個數(shù)有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
考點：三角形的外接圓與外心;圓的認(rèn)識;圓心角、弧、弦的關(guān)系.
分析：利用圓的有關(guān)性質(zhì)和三角形外接圓以及外心的性質(zhì)以及圓心角、弧、弦的關(guān)系分析判斷即可.
解答： 解：①直徑不是弦，錯誤，直徑是圓內(nèi)最長弦;
?、谙嗟鹊南宜鶎Φ幕∠嗟?，必須在同圓或等圓中，故此選項錯誤;
③三角形的外心是三角形中三邊垂直平分線的交點，正確;
?、苋切蔚耐庑牡饺切胃黜旤c的距離相等，故錯誤.
故其中正確的個數(shù)有1個.
故選：A.
點評：此題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)和三角形外接圓以及外心的性質(zhì)以及圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識，熟練掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.
5.某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強了對教育經(jīng)費的投入，2010年投入2000萬元，預(yù)計到2012年共投入8000萬元.設(shè)教育經(jīng)費的年平均增長率為x，下面所列方程正確的是( )
A.2000(1+x)2=8000
B.2000(1+x)+2000(1+x)2=8000
C.2000x2=8000
D.2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=8000
考點：由實際問題抽象出一元二次方程.
專題：增長率問題.
分析：增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率)，參照本題，如果教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)2010年投入2000萬元，預(yù)計2012年投入8000萬元即可得出方程.
解答： 解：設(shè)教育經(jīng)費的年平均增長率為x，
則2011的教育經(jīng)費為：2000×(1+x)萬元，
2012的教育經(jīng)費為：3200×(1+x)2萬元，
那么可得方程：2000×(1+x)2=8000.
故選A.
點評：本題考查了一元二次方程的運用，解此類題一般是根據(jù)題意分別列出不同時間按增長率所得教育經(jīng)費與預(yù)計投入的教育經(jīng)費相等的方程.
6.AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=10，AP：PB=5：1，⊙O的半徑是( )
A.6
B.
C.8
D.
考點：垂徑定理;勾股定理.
分析：連接OC，根據(jù)AP：PB=5：1可設(shè)PB=x，AP=5x，故OC=OB= =3x，故OP=2x，由垂徑定理可求出PC的長，根據(jù)勾股定理求出x的值，進而可得出結(jié)論.
解答： 解：連接OC，
∵AP：PB=5：1，
∴設(shè)PB=x，AP=5x，
∴OC=OB= =3x，
∴OP=2x.
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=10，
∴PC=5.
∵PC2+OP2=OC2，即52+(2x)2=(3x)2，解得x= ，
∴OC=3x=3 .
故選D.
點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
二.填空題(每題2分，共20分)
7.一元二次方程x2=3x的解是：x1=0，x2=3.
考點：解一元二次方程-因式分解法.
分析：利用因式分解法解方程.
解答： 解：(1)x2=3x，
x2﹣3 x=0，
x(x﹣3)=0，
解得：x1=0，x2=3.
故答案為：x1=0，x2=3.
點評：本題考查了解一元二次方程的方法.當(dāng)把方程通過移項把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用.當(dāng)化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程.
8.若實數(shù)a是方程x2﹣2x+1=0的一個根，則2a2﹣4a+5=3.
考點：一元二次方程的解.
分析：首先由已知可得a2﹣2a+1=0，即a2﹣2a=﹣1.然后化簡代數(shù)式，注意整體代入，從而求得代數(shù)式的值.
解答： 解：∵實數(shù)a是方程x2﹣2x+1=0的一個根，
∴a2﹣2a+1=0，即a2﹣2a=﹣1，
∴2a2﹣4a+5=2(a2﹣2a)+5=2×(﹣1)+5=3.
故答案為3.
點評：本題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.注意解題中的整體代入思想.
9.一元二次方程x2﹣3x+1=0的兩根為x1、x2，則x1+x2﹣x1•x2=2.
考點：根與系數(shù)的關(guān)系.
專題：方程思想.
分析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣\frac{a}，x1•x2=c求得x1+x2和x1•x2的值，然后將其代入所求的代數(shù)式求值即可.
解答： 解：∵一元二次方程x2﹣3x+1=0的二次項系數(shù)a=1，一次項系數(shù)b=﹣3，常數(shù)項c=1，
∴由韋達定理，得
x1+x2=3，x1•x2=1，
∴x1+x2﹣x1•x2=3﹣1=2.
故答案是：2.
點評：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.解題時，務(wù)必弄清楚根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣ ，x1•x2=c中的a、b、c所表示的意義.
10.小芳的衣服被一根鐵釘劃了一個呈直角三角形的洞，只知道該三角形有兩邊長分別為1cm和2cm，若用同色圓形布將此洞全部覆蓋，那么這個圓布的直徑最小應(yīng)等于 cm或2cm.
考點：三角形的外接圓與外心;勾股定理.
專題：應(yīng)用題.
分析：該圓應(yīng)是三角形的外接圓，則其直徑應(yīng)是直角三角形的斜邊.當(dāng)2是斜邊時，則直徑即是2;當(dāng)2是直角邊時，則斜邊是 ，即直徑是 .
解答： 解：當(dāng)2是斜邊時，則直徑即是2;
當(dāng)2是直角邊時，則斜邊是 ，即直徑是 .
所以這個圓布的直徑最小應(yīng)等于 cm或2cm.
點評：首先能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意由于沒有具體指明斜邊，應(yīng)分情況討論.
11.寫出一個以﹣3和7為根且二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2﹣4x﹣21=0.
考點：根與系數(shù)的關(guān)系.
專題：計算題.
分析：先計算﹣3與7的和與積，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求 出滿足條件的一元二次方程.
解答： 解：∵﹣3+7=4，﹣3×7=﹣21，
∴以﹣3和7為根且二次項系數(shù)為1的一元二次方程為x2﹣4x﹣21=0.
故答案為x2﹣4x﹣21=0.
點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2= ，x1x2= .
12.若關(guān)于x的一元二次方程kx 2﹣2x+1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≤1且k≠0.
考點：根的判別式.
專題：計算題.
分析：根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進而可以得到關(guān)于k的不等式，解得即可，同時還應(yīng)注意二次項系數(shù)不能為0.
解答： 解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有實數(shù)根，
∴△=b2﹣4ac≥0，
即：4﹣4k≥0，
解得：k≤1，
∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，
故答案為：k≤1且k≠0.
點評：本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是了解根的判別式如何決定一元二次方程根的情況.
13.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點，若∠BAD=105°，則∠DCE的大小是105°.
考點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
分析：先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠DCB的度數(shù)，再由兩角互補的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
解 答： 解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，
∵∠DCB+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAB=105°.
故答案為：105°
點評：本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補.
14.將半徑為2cm，圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面半徑為 cm.
考點：圓錐的計算.
分析：利用圓錐的側(cè)面展開中扇形的弧長等于圓錐底面的周長可得.
解答： 解：設(shè)此圓錐的底面半徑為r，由題意，得
2πr= ，
解得r= cm.
故答案為： .
點評：本題考查了圓錐的計算，圓錐的側(cè)面展開是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解.
15.點A，B是⊙O上兩點，AB=10，點P是⊙O上的動點(P與A，B不重合)，連接AP，PB，過點O分別作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，則EF=5.
考點：垂徑定理;三角形中位線定理.
專題：壓軸題;動點型.
分析：根據(jù)垂徑定理和三角形中位線定理求解.
解答： 解：點P是⊙O上的動點(P與A，B不重合)，但不管點P如何動，因為OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，根據(jù)垂徑定理，E為AP中點，F(xiàn)為PB中點，EF為△APB中位線.根據(jù)三角形中位線定理，EF= AB= ×10=5.
點評：此題是一道動點問題.解答此類問題的關(guān)鍵是找到題目中的不變量.
16.⊙O的半徑為3cm，B為⊙O外一點，OB交⊙O于點A，AB=OA，動點P從點A出發(fā)，以π cm/s的速度在⊙O上按逆時針方向運動一周回到點A立即停止.當(dāng)點P運動的時間為1或5s時，BP與⊙O相切.
考點：切線的判定;切線的性質(zhì);弧長的計算.
專題：壓軸題;動點型.
分析：根據(jù)切線的判定與性質(zhì)進行分析即可.若 B P與⊙O相切，則∠OPB=90°，又因為OB=2OP，可得∠B=30°，則∠BOP=60°;根據(jù)弧長公式求得 長，除以速度，即可求得時間.
解答： 解：連接OP;
∵當(dāng)OP⊥PB時，BP與⊙O相切，
∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°;
∴∠B=30°;
∴∠O=60°;
∵OA=3cm，
∴ = =π，圓的周長為：6π，
∴點P運動的距離為π或6π﹣π=5π;
∴當(dāng)t=1或5時，有BP與⊙O相切.
點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)及弧長公式的運用.
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