高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)記憶的口訣詳解(2)
高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)記憶的口訣詳解
高三的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)
第一部分 集合
(1)含n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2^n,真子集數(shù)為2^n-1;非空真子集的數(shù)為2^n-2;
(2) 注意：討論的時(shí)候不要遺忘了 的情況。
(3)
第二部分 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
1.映射：注意 ①第一個(gè)集合中的元素必須有象;②一對(duì)一，或多對(duì)一。
2.函數(shù)值域的求法：①分析法 ;②配方法 ;③判別式法 ;④利用函數(shù)單調(diào)性 ;
?、輷Q元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、距離、絕對(duì)值的意義等);⑧利用函數(shù)有界性( 、 、 等);⑨導(dǎo)數(shù)法
3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題
(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：
?、?若f(x)的定義域?yàn)椤瞐，b〕,則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求 f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)，求g(x)的值域。
(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：
?、偈紫葘⒃瘮?shù) 分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù) 與外函數(shù) ;
②分別研究?jī)?nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性;
③根據(jù)“同性則增，異性則減”來(lái)判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。
注意：外函數(shù) 的定義域是內(nèi)函數(shù) 的值域。
4.分段函數(shù)：值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問(wèn)題，先分段解決，再下結(jié)論。
5.函數(shù)的奇偶性
?、藕瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件;
?、?是奇函數(shù) ;
?、?是偶函數(shù) ;
⑷奇函數(shù) 在原點(diǎn)有定義，則 ;
?、稍陉P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性;
(6)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價(jià)變形，再判斷其奇偶性;
6.函數(shù)的單調(diào)性
?、艈握{(diào)性的定義：
① 在區(qū)間 上是增函數(shù) 當(dāng) 時(shí)有 ;
?、?在區(qū)間 上是減函數(shù) 當(dāng) 時(shí)有 ;
⑵單調(diào)性的判定
1 定義法：
注意：一般要將式子 化為幾個(gè)因式作積或作商的形式，以利于判斷符號(hào);
②導(dǎo)數(shù)法(見(jiàn)導(dǎo)數(shù)部分);
?、蹚?fù)合函數(shù)法(見(jiàn)2 (2));
?、軋D像法。
注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。
7.函數(shù)的周期性
(1)周期性的定義：
對(duì)定義域內(nèi)的任意 ，若有 (其中 為非零常數(shù))，則稱(chēng)函數(shù) 為周期函數(shù)， 為它的一個(gè)周期。
所有正周期中最小的稱(chēng)為函數(shù)的最小正周期。如沒(méi)有特別說(shuō)明，遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函數(shù)的周期
?、?;② ;③ ;
?、?;⑤ ;
?、呛瘮?shù)周期的判定
?、俣x法(試值) ②圖像法 ③公式法(利用(2)中結(jié)論)
?、扰c周期有關(guān)的結(jié)論
?、?或 的周期為 ;
② 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱(chēng) 周期為2 ;
?、?的圖象關(guān)于直線 軸對(duì)稱(chēng) 周期為2 ;
?、?的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱(chēng)，直線 軸對(duì)稱(chēng) 周期為4 ;
8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)
⑴冪函數(shù)： ( ;⑵指數(shù)函數(shù)： ;
?、菍?duì)數(shù)函數(shù): ;⑷正弦函數(shù): ;
⑸余弦函數(shù)： ;(6)正切函數(shù)： ;⑺一元二次函數(shù)： ;
?、唐渌Ｓ煤瘮?shù)：
1 正比例函數(shù)： ;②反比例函數(shù)： ;特別的
2 函數(shù) ;
9.二次函數(shù)：
⑴解析式：
?、僖话闶剑?;②頂點(diǎn)式： ， 為頂點(diǎn);
?、哿泓c(diǎn)式： 。
?、贫魏瘮?shù)問(wèn)題解決需考慮的因素：
①開(kāi)口方向;②對(duì)稱(chēng)軸;③端點(diǎn)值;④與坐標(biāo)軸交點(diǎn);⑤判別式;⑥兩根符號(hào)。
?、嵌魏瘮?shù)問(wèn)題解決方法：①數(shù)形結(jié)合;②分類(lèi)討論。
10.函數(shù)圖象：
?、艌D象作法 ：①描點(diǎn)法 (特別注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法
?、茍D象變換：
1 平移變換：ⅰ ，2 ———“正左負(fù)右”
?、?———“正上負(fù)下”;
3 伸縮變換：
?、?， ( ———縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 倍;
?、?， ( ———橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 倍;
4 對(duì)稱(chēng)變換：ⅰ ;ⅱ ;
ⅲ ; ⅳ ;
5 翻轉(zhuǎn)變換：
?、?———右不動(dòng)，右向左翻( 在 左側(cè)圖象去掉);
?、?———上不動(dòng)，下向上翻(| |在 下面無(wú)圖象);
11.函數(shù)圖象(曲線)對(duì)稱(chēng)性的證明
(1)證明函數(shù) 圖像的對(duì)稱(chēng)性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上;
(2)證明函數(shù) 與 圖象的對(duì)稱(chēng)性，即證明 圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在 的圖象上，反之亦然;
注：
?、偾€C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱(chēng)曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
?、谇€C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對(duì)稱(chēng)曲線C2方程為：f(2a-x, y)=0;
?、矍€C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=-x+a)的對(duì)稱(chēng)曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng);
特別地：f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng);
?、莺瘮?shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng);
12.函數(shù)零點(diǎn)的求法：
⑴直接法(求 的根);⑵圖象法;⑶二分法.
13.導(dǎo)數(shù)
?、艑?dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作 ;
?、瞥Ｒ?jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ① ;② ;③ ;
?、?;⑤ ;⑥ ;⑦ ;
?、?。
?、菍?dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：
⑷(理科)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
?、蓪?dǎo)數(shù)的應(yīng)用：
?、倮脤?dǎo)數(shù)求切線：注意：ⅰ所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎?ⅱ所求的是“在”還是“過(guò)”該點(diǎn)的切線?
?、诶脤?dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：
?、?是增函數(shù);ⅱ 為減函數(shù);
?、?為常數(shù);
?、劾脤?dǎo)數(shù)求極值：ⅰ求導(dǎo)數(shù) ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得極值。
?、芾脤?dǎo)數(shù)最大值與最小值：ⅰ求的極值;ⅱ求區(qū)間端點(diǎn)值(如果有);ⅲ得最值。
14.(理科)定積分
?、哦ǚe分的定義：
?、贫ǚe分的性質(zhì)：① ( 常數(shù));
?、?;
?、?(其中 。
?、俏⒎e分基本定理(牛頓—萊布尼茲公式)：
?、榷ǚe分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積： ;
3 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程： ;③求變力做功： 。
第三部分 三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形
1.⑴角度制與弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧長(zhǎng)公式： ;扇形面積公式： 。
2.三角函數(shù)定義：角 中邊上任意一點(diǎn) 為 ，設(shè) 則：
3.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦;
4.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“函數(shù)名不(改)變，符號(hào)看象限”;
5.⑴ 對(duì)稱(chēng)軸： ;對(duì)稱(chēng)中心： ;
⑵ 對(duì)稱(chēng)軸： ;對(duì)稱(chēng)中心： ;
6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系： ;
7.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①
?、?③ 。
8.二倍角公式：① ;
② ;③ 。
9.正、余弦定理：
?、耪叶ɡ恚?( 是 外接圓直徑 )
注：① ;② ;③ 。
?、朴嘞叶ɡ恚?等三個(gè);注： 等三個(gè)。
10。幾個(gè)公式:
?、湃切蚊娣e公式： ;
?、苾?nèi)切圓半徑r= ;外接圓直徑2R=
11.已知 時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)的判定：
第四部分 立體幾何
1.三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為 。
2.表(側(cè))面積與體積公式：
?、胖w：①表面積：S=S側(cè)+2S底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V=S底h
?、棋F體：①表面積：S=S側(cè)+S底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V= S底h：
?、桥_(tái)體：①表面積：S=S側(cè)+S上底S下底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V= (S+ )h;
?、惹蝮w：①表面積：S= ;②體積：V= 。
3.位置關(guān)系的證明(主要方法)：
⑴直線與直線平行：①公理4;②線面平行的性質(zhì)定理;③面面平行的性質(zhì)定理。
?、浦本€與平面平行：①線面平行的判定定理;②面面平行 線面平行。
?、瞧矫媾c平面平行：①面面平行的判定定理及推論;②垂直于同一直線的兩平面平行。
?、戎本€與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質(zhì)定理。
⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。
注：理科還可用向量法。
4.求角：(步驟-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)
⑴異面直線所成角的求法：
1 平移法：平移直線，2 構(gòu)造三角形;
3 ②補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，4 發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。
注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角。
⑵直線與平面所成的角：
?、僦苯臃?利用線面角定義);②先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h，與斜線段長(zhǎng)度作比，得sin 。
注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。
⑶二面角的求法：
?、俣x法：在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，作出平面角，再求解;
?、谌咕€法：由一個(gè)半面內(nèi)一點(diǎn)作(或找)到另一個(gè)半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解;
?、凵溆胺ǎ豪妹娣e射影公式： ,其中 為平面角的大小;
注：對(duì)于沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先作出棱，然后再選用上述方法;
理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)班平面法向量的夾角。
5.求距離：(步驟-------Ⅰ。找或作垂線段;Ⅱ。求距離)
?、艃僧惷嬷本€間的距離：一般先作出公垂線段，再進(jìn)行計(jì)算;
?、泣c(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解;
?、屈c(diǎn)到平面的距離：
?、俅姑娣ǎ航柚婷娲怪钡男再|(zhì)作垂線段(確定已知面的垂面是關(guān)鍵)，再求解;
5 等體積法;
理科還可用向量法： 。
?、惹蛎婢嚯x：(步驟)
(Ⅰ)求線段AB的長(zhǎng);(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度數(shù);(Ⅲ)求劣弧AB的長(zhǎng)。
6.結(jié)論：
?、艔囊稽c(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上;
⑵立平斜公式(最小角定理公式)：
?、钦忮F的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為 ，則S側(cè)cos =S底;
⑷長(zhǎng)方體的性質(zhì)
?、匍L(zhǎng)方體體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為 則：cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。
?、陂L(zhǎng)方體體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為 則有cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。
?、烧拿骟w的性質(zhì)：設(shè)棱長(zhǎng)為 ，則正四面體的：
1 高： ;②對(duì)棱間距離： ;③相鄰兩面所成角余弦值： ;④內(nèi)切2 球半徑： ;外接球半徑： ;
第五部分 直線與圓
1.直線方程
⑴點(diǎn)斜式： ;⑵斜截式： ;⑶截距式： ;
?、葍牲c(diǎn)式： ;⑸一般式： ，(A，B不全為0)。
(直線的方向向量：( ，法向量(
2.求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是：
(1)列約束條件;(2)作可行域，寫(xiě)目標(biāo)函數(shù);(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。
3.兩條直線的位置關(guān)系：
4.直線系
5.幾個(gè)公式
?、旁O(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，⊿ABC的重心G：( );
⑵點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離： ;
?、莾蓷l平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是 ;
6.圓的方程：
?、艠?biāo)準(zhǔn)方程：① ;② 。
?、埔话惴匠蹋?(
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓 A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
7.圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法;⑵幾何法;⑶圓系法。
8.圓系：
?、?;
注：當(dāng) 時(shí)表示兩圓交線。
?、?。
9.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：(主要掌握幾何法)
?、劈c(diǎn)與圓的位置關(guān)系：( 表示點(diǎn)到圓心的距離)
?、?點(diǎn)在圓上;② 點(diǎn)在圓內(nèi);③ 點(diǎn)在圓外。
?、浦本€與圓的位置關(guān)系：( 表示圓心到直線的距離)
① 相切;② 相交;③ 相離。
⑶圓與圓的位置關(guān)系：( 表示圓心距， 表示兩圓半徑，且 )
?、?相離;② 外切;③ 相交;
?、?內(nèi)切;⑤ 內(nèi)含。
10.與圓有關(guān)的結(jié)論：
?、胚^(guò)圓x2+y2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2;
過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
?、埔訟(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
第六部分 圓錐曲線
1.定義：⑴橢圓： ;
⑵雙曲線： ;⑶拋物線：略
2.結(jié)論
?、沤拱霃剑孩贆E圓： (e為離心率); (左“+”右“-”);
②拋物線：
?、葡议L(zhǎng)公式：
;
注：(Ⅰ)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：①橢圓： ;②拋物線： =x1+x2+p= ;(Ⅱ)通徑(最短弦)：①橢圓、雙曲線： ;②拋物線：2p。
?、沁^(guò)兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為： ( 同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓， 時(shí)表示雙曲線);
⑷橢圓中的結(jié)論：
?、賰?nèi)接矩形最大面積 ：2ab;
?、赑，Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，且OP 0Q，則 ;
?、蹤E圓焦點(diǎn)三角形：<Ⅰ>. ，( );<Ⅱ>.點(diǎn) 是 內(nèi)心， 交 于點(diǎn) ，則 ;
?、墚?dāng)點(diǎn) 與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí) 最大;
?、呻p曲線中的結(jié)論：
?、匐p曲線 (a>0,b>0)的漸近線： ;
?、诠矟u進(jìn)線 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 為參數(shù)， ≠0);
?、垭p曲線焦點(diǎn)三角形：<Ⅰ>. ，( );<Ⅱ>.P是雙曲線 - =1(a>0，b>0)的左(右)支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為 ;
?、茈p曲線為等軸雙曲線 漸近線為 漸近線互相垂直;
(6)拋物線中的結(jié)論：
?、賿佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì)：<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2;
<Ⅱ>. ;<Ⅲ>.以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)為直徑的圓與 軸相切;<Ⅴ>. 。
?、趻佄锞€y2=2px(p>0)內(nèi)結(jié)直角三角形OAB的性質(zhì)：
<Ⅰ>. ; <Ⅱ>. 恒過(guò)定點(diǎn) ;
<Ⅲ>. 中點(diǎn)軌跡方程： ;<Ⅳ>. ，則 軌跡方程為： ;<Ⅴ>. 。
?、蹝佄锞€y2=2px(p>0)，對(duì)稱(chēng)軸上一定點(diǎn) ，則：
<Ⅰ>.當(dāng) 時(shí)，頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為 ;<Ⅱ>.當(dāng) 時(shí)，拋物線上有關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為 。
3.直線與圓錐曲線問(wèn)題解法：
?、胖苯臃?通法)：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。
注意以下問(wèn)題：
?、俾?lián)立的關(guān)于“ ”還是關(guān)于“ ”的一元二次方程?
?、谥本€斜率不存在時(shí)考慮了嗎?
③判別式驗(yàn)證了嗎?
?、圃O(shè)而不求(代點(diǎn)相減法)：--------處理弦中點(diǎn)問(wèn)題
步驟如下：①設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2,y2);②作差得 ;③解決問(wèn)題。
4.求軌跡的常用方法：(1)定義法：利用圓錐曲線的定義; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法);⑷待定系數(shù)法;(5)參數(shù)法;(6)交軌法。
第七部分 平面向量
⑴設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則： ① a‖b(b≠0) a= b ( x1y2-x2y1=0;
?、?a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 .
?、芶•b=|a||b|cos=x2+y1y2;
注：①|(zhì)a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;
6 a•b的幾何意義：a•b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積。
?、莄os= ;
⑷三點(diǎn)共線的充要條件：P，A，B三點(diǎn)共線 ;
附：(理科)P，A，B，C四點(diǎn)共面 。
第八部分 數(shù)列
1.定義：
?、诺炔顢?shù)列 ;
?、频缺葦?shù)列
;
2.等差、等比數(shù)列性質(zhì)
等差數(shù)列 等比數(shù)列
通項(xiàng)公式
前n項(xiàng)和
性質(zhì) ①an=am+ (n-m)d, ①an=amqn-m;
?、趍+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq ②m+n=p+q時(shí)aman=apaq
?、?成AP ③ 成GP
④ 成AP, ④ 成GP,
等差數(shù)列特有性質(zhì)：
1 項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); ; ;
2 項(xiàng)數(shù)為2n-1時(shí)：S2n-1=(2n-1) ; ; ;
3 若 ;若 ;
若 。
3.數(shù)列通項(xiàng)的求法：
⑴分析法;⑵定義法(利用AP,GP的定義);⑶公式法：累加法( ;
?、券B乘法( 型);⑸構(gòu)造法( 型);(6)迭代法;
?、碎g接法(例如： );⑻作商法( 型);⑼待定系數(shù)法;⑽(理科)數(shù)學(xué)歸納法。
注：當(dāng)遇到 時(shí)，要分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果是分段形式。
4.前 項(xiàng)和的求法：
⑴拆、并、裂項(xiàng)法;⑵倒序相加法;⑶錯(cuò)位相減法。
5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法：
?、?;⑵利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。
第九部分 不等式
1.均值不等式：
注意：①一正二定三相等;②變形， 。
2.絕對(duì)值不等式：
3.不等式的性質(zhì)：
?、?;⑵ ;⑶ ;
;⑷ ; ;
;⑸ ;(6)
。
4.不等式等證明(主要)方法：
?、疟容^法：作差或作比;⑵綜合法;⑶分析法。
第十部分 復(fù)數(shù)
1.概念：
?、舲=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0;
?、苲=a+bi是虛數(shù) b≠0(a,b∈R);
?、莦=a+bi是純虛數(shù) a=0且b≠0(a,b∈R) z+ =0(z≠0) z2<0;
?、萢+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè)z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，則：
(1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
3.幾個(gè)重要的結(jié)論：
;⑶ ;⑷
?、?性質(zhì)：T=4; ;
(6) 以3為周期，且 ; =0;
(7) 。
4.運(yùn)算律：(1)
5.共軛的性質(zhì)：⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ 。
6.模的性質(zhì)：⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ;
第十一部分 概率
1.事件的關(guān)系：
?、攀录﨎包含事件A：事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，記作 ;
⑵事件A與事件B相等：若 ，則事件A與B相等，記作A=B;
⑶并(和)事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或B發(fā)生，記作 (或 );
?、炔?積)事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且B發(fā)生，記作 (或 ) ;
?、墒录嗀與事件B互斥：若 為不可能事件( )，則事件A與互斥;
(6)對(duì)立事件： 為不可能事件， 為必然事件，則A與B互為對(duì)立事件。
2.概率公式：
⑴互斥事件(有一個(gè)發(fā)生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B);
?、乒诺涓判停?;
?、菐缀胃判停?;
第十二部分 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例
1.抽樣方法
?、藕?jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N，通過(guò)逐個(gè)不放回的方法從中抽取一個(gè)容量為n的樣本，且每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，就稱(chēng)這種抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。
注：①每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為 ;
?、诔Ｓ玫暮?jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有：抽簽法;隨機(jī)數(shù)法。
⑵系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體均衡的分成幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先制定的
規(guī)則，從每一個(gè)部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。
注：步驟：①編號(hào);②分段;③在第一段采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法確定其時(shí)個(gè)體編號(hào) ;
?、馨搭A(yù)先制定的規(guī)則抽取樣本。
?、欠謱映闃樱寒?dāng)已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時(shí)，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。
注：每個(gè)部分所抽取的樣本個(gè)體數(shù)=該部分個(gè)體數(shù)
2.總體特征數(shù)的估計(jì)：
⑴樣本平均數(shù) ;
?、茦颖痉讲?;
?、菢颖緲?biāo)準(zhǔn)差 = ;
3.相關(guān)系數(shù)(判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性)：
注：⑴ >0時(shí)，變量 正相關(guān); <0時(shí)，變量 負(fù)相關(guān);
?、脾?越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng);② 接近于0時(shí)，兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。
4.回歸分析中回歸效果的判定：
⑴總偏差平方和： ⑵殘差： ;⑶殘差平方和： ;⑷回歸平方和： - ;⑸相關(guān)指數(shù) 。
注：① 得知越大，說(shuō)明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好;
?、?越接近于1，，則回歸效果越好。
5.獨(dú)立性檢驗(yàn)(分類(lèi)變量關(guān)系)：
隨機(jī)變量 越大，說(shuō)明兩個(gè)分類(lèi)變量，關(guān)系越強(qiáng)，反之，越弱。
第十四部分 常用邏輯用語(yǔ)與推理證明
1. 四種命題：
⑴原命題：若p則q; ⑵逆命題：若q則p;
?、欠衩}：若 p則 q;⑷逆否命題：若 q則 p
注：原命題與逆否命題等價(jià);逆命題與否命題等價(jià)。
2.充要條件的判斷：
(1)定義法----正、反方向推理;
(2)利用集合間的包含關(guān)系：例如：若 ，則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B，則A是B的充要條件;
3.邏輯連接詞：
⑴且(and) ：命題形式 p q; p q p q p q p
?、苹?or)：命題形式 p q; 真 真 真 真 假
?、欠?not)：命題形式 p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4.全稱(chēng)量詞與存在量詞
?、湃Q(chēng)量詞-------“所有的”、“任意一個(gè)”等，用 表示;
全稱(chēng)命題p： ;
全稱(chēng)命題p的否定 p： 。
⑵存在量詞--------“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用 表示;
特稱(chēng)命題p： ;
特稱(chēng)命題p的否定 p： ;
第十五部分 推理與證明
1.推理：
?、藕锨橥评恚簹w納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱(chēng)為合情推理。
?、贇w納推理：由某類(lèi)食物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理，簡(jiǎn)稱(chēng)歸納。
注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。
?、陬?lèi)比推理：由兩類(lèi)對(duì)象具有類(lèi)似和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理，稱(chēng)為類(lèi)比推理，簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比。
注：類(lèi)比推理是特殊到特殊的推理。
?、蒲堇[推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。
注：演繹推理是由一般到特殊的推理。
“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：
?、糯笄疤?--------已知的一般結(jié)論;
?、菩∏疤?--------所研究的特殊情況;
⑶結(jié) 論---------根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。
二.證明
⒈直接證明
?、啪C合法
一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Чā?/p>
?、品治龇?/p>
一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等)，這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。
2.間接證明------反證法
一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。
附：數(shù)學(xué)歸納法(僅限理科)
一般的證明一個(gè)與正整數(shù) 有關(guān)的一個(gè)命題，可按以下步驟進(jìn)行：
⑴證明當(dāng) 取第一個(gè)值 是命題成立;
?、萍僭O(shè)當(dāng) 命題成立，證明當(dāng) 時(shí)命題也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命題對(duì)從 開(kāi)始所有的正整數(shù)都成立。
這種證明方法叫數(shù)學(xué)歸納法。
注：①數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行;
3 的取值視題目而4 定，5 可能是1，6 也可能是2等。
第十六部分 理科選修部分
1. 排列、組合和二項(xiàng)式定理
?、排帕袛?shù)公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (m≤n,m、n∈N*),當(dāng)m=n時(shí)為全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
?、平M合數(shù)公式： (m≤n), ;
?、墙M合數(shù)性質(zhì)： ;
?、榷?xiàng)式定理：
?、偻?xiàng)： ②注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別;
⑸二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：
?、倥c首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等;②若n為偶數(shù)，中間一項(xiàng)(第 +1項(xiàng))二項(xiàng)式系數(shù)最大;若n為奇數(shù)，中間兩項(xiàng)(第 和 +1項(xiàng))二項(xiàng)式系數(shù)最大;
?、?/p>
(6)求二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和或奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)和時(shí)，注意運(yùn)用賦值法。
2. 概率與統(tǒng)計(jì)
?、烹S機(jī)變量的分布列：
?、匐S機(jī)變量分布列的性質(zhì)：pi≥0,i=1,2,…; p1+p2+…=1;
②離散型隨機(jī)變量：
X x1 X2 … xn …
P P1 P2 … Pn …
期望：EX= x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
方差：DX= ;
注： ;
?、蹆牲c(diǎn)分布：
X 0 1 期望：EX=p;方差：DX=p(1-p).
P 1-p p
4 超幾何分布：
一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則 其中， 。
稱(chēng)分布列
X 0 1 … m
P …
為超幾何分布列， 稱(chēng)X服從超幾何分布。
⑤二項(xiàng)分布(獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))：
若X～B(n,p),則EX=np, DX=np(1- p);注： 。
⑵條件概率：稱(chēng) 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。
注：①0 P(B|A) 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(AB)=P(A)P(B)。
?、日龖B(tài)總體的概率密度函數(shù)： 式中 是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)(期望值)與標(biāo)準(zhǔn)差;
(6)正態(tài)曲線的性質(zhì)：
?、偾€位于x軸上方，與x軸不相交;②曲線是單峰的，關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng);
?、矍€在x= 處達(dá)到峰值 ;④曲線與x軸之間的面積為1;
5 當(dāng) 一定時(shí)，6 曲線隨 質(zhì)的變化沿x軸平移;
7 當(dāng) 一定時(shí)，8 曲線形狀由 確定： 越大，9 曲線越“矮胖”，10 表示總體分布越集中;
越小，曲線越“高瘦”，表示總體分布越分散。
注：P =0.6826;P =0.9544
P =0.9974
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