高中數(shù)學(xué)的復(fù)數(shù)運(yùn)算的公式分析
高中數(shù)學(xué)的復(fù)數(shù)運(yùn)算的公式分析
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也有些的知識(shí)點(diǎn)是需要學(xué)生記憶的，下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)的有關(guān)于高中數(shù)學(xué)的復(fù)數(shù)運(yùn)算的公式的介紹，希望能夠幫助到大家。
高中數(shù)學(xué)的復(fù)數(shù)運(yùn)算的公式
1.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖
2.復(fù)數(shù)中的難點(diǎn)
(1)復(fù)數(shù)的向量表示法的運(yùn)算.對(duì)于復(fù)數(shù)的向量表示有些學(xué)生掌握得不好，對(duì)向量的運(yùn)算的幾何意義的靈活掌握有一定的困難.對(duì)此應(yīng)認(rèn)真體會(huì)復(fù)數(shù)向量運(yùn)算的幾何意義，對(duì)其靈活地加以證明.
(2)復(fù)數(shù)三角形式的乘方和開(kāi)方.有部分學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則知道，但對(duì)其靈活地運(yùn)用有一定的困難，特別是開(kāi)方運(yùn)算，應(yīng)對(duì)此認(rèn)真地加以訓(xùn)練.
(3)復(fù)數(shù)的輻角主值的求法.
(4)利用復(fù)數(shù)的幾何意義靈活地解決問(wèn)題.復(fù)數(shù)可以用向量表示，同時(shí)復(fù)數(shù)的模和輻角都具有幾何意義，對(duì)他們的理解和應(yīng)用有一定難度，應(yīng)認(rèn)真加以體會(huì).
3.復(fù)數(shù)中的重點(diǎn)
(1)理解好復(fù)數(shù)的概念，弄清實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的不同點(diǎn).
(2)熟練掌握復(fù)數(shù)三種表示法，以及它們間的互化，并能準(zhǔn)確地求出復(fù)數(shù)的模和輻角.復(fù)數(shù)有代數(shù)，向量和三角三種表示法.特別是代數(shù)形式和三角形式的互化，以及求復(fù)數(shù)的模和輻角在解決具體問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到，是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.
(3)復(fù)數(shù)的三種表示法的各種運(yùn)算，在運(yùn)算中重視共軛復(fù)數(shù)以及模的有關(guān)性質(zhì).復(fù)數(shù)的運(yùn)算是復(fù)數(shù)中的主要內(nèi)容，掌握復(fù)數(shù)各種形式的運(yùn)算，特別是復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義更是重點(diǎn)內(nèi)容.
(4)復(fù)數(shù)集中一元二次方程和二項(xiàng)方程的解法.
4. ⑴復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于-1，即
.
?、茝?fù)數(shù)及其相關(guān)概念：
① 復(fù)數(shù)—形如a + bi的數(shù)(其中
);
?、?實(shí)數(shù)—當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a;
?、?虛數(shù)—當(dāng)
時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi; ④ 純虛數(shù)—當(dāng)a = 0且
時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.
?、?復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部—a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部(注意a，b都是實(shí)數(shù))
⑥ 復(fù)數(shù)集C—全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.
⑶兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：
.
?、葍蓚€(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.
注：①若
為復(fù)數(shù)，則
若
，則
.(×)[
為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)]
若
，則
.(√) ②若
，則
是
的必要不充分條件.(當(dāng)
，
時(shí)，上式成立) 5. ⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：
. 其中
是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)
所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，
間的距離. 由上可得：復(fù)平面內(nèi)以
為圓心，
為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：
.
?、魄€方程的復(fù)數(shù)形式：
①
為圓心，r為半徑的圓的方程. ②
表示線段
的垂直平分線的方程. ③
為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a的橢圓的方程(若
，此方程表示線段
). ④
表示以
為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為a的雙曲線方程(若
，此方程表示兩條射線).
?、墙^對(duì)值不等式：
設(shè)
是不等于零的復(fù)數(shù)，則 ①
. 左邊取等號(hào)的條件是
，右邊取等號(hào)的條件是
. ②
. 左邊取等號(hào)的條件是
，右邊取等號(hào)的條件是
. 注：
.
6. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：
，
(
a + bi)
(
)
注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù). (×)[之差可能為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的]
7
?、泞?gòu)?fù)數(shù)的乘方：
?、趯?duì)任何
，
及
有 ③
注：①以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會(huì)得到荒謬的結(jié)果，如
若由
就會(huì)得到
的錯(cuò)誤結(jié)論. ②在實(shí)數(shù)集成立的
. 當(dāng)
為虛數(shù)時(shí)，
，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.
⑵常用的結(jié)論：
若
是1的立方虛數(shù)根，即
，則 . 8. ⑴復(fù)數(shù)
是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件： ①
. ②若
，
是純虛數(shù)
.
?、颇Ｏ嗟惹曳较蛳嗤南蛄?，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù). 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.
注：
. 9. ⑴復(fù)數(shù)的三角形式：
. 輻角主值：
適合于0≤
<
的值，記作
. 注：①
為零時(shí)，
可取
內(nèi)任意值. ②輻角是多值的，都相差2
的整數(shù)倍. ③設(shè)
則
.
⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化：
，
，
.
?、菐最?lèi)三角式的標(biāo)準(zhǔn)形式：
10. 復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：
在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于
的一元二次方程
時(shí)，應(yīng)注意下述問(wèn)題： ①當(dāng)
時(shí)，若
>0，則有二不等實(shí)數(shù)根
;若
=0，則有二相等實(shí)數(shù)根
;若
<0，則有二相等復(fù)數(shù)根
(
為共軛復(fù)數(shù)). ②當(dāng)
不全為實(shí)數(shù)時(shí)，不能用
方程根的情況. ③不論
為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.
11. 復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算：
棣莫弗定理：
高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)的口訣
高中數(shù)學(xué)口訣一、《集合與函數(shù)》
內(nèi)容子交并補(bǔ)集，還有冪指對(duì)函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。
復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。
指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非1的正數(shù)，1兩邊增減變故。
函數(shù)定義域好求。分母不能等于0，偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù);
正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平;其余函數(shù)實(shí)數(shù)集，多種情況求交集。
兩個(gè)互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同;圖象互為軸對(duì)稱(chēng)，Y=X是對(duì)稱(chēng)軸;
求解非常有規(guī)律，反解換元定義域;反函數(shù)的定義域，原來(lái)函數(shù)的值域。
冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù);函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，
奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù);圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。
高中數(shù)學(xué)口訣二、《三角函數(shù)》
三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號(hào)坐標(biāo)注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。
同角關(guān)系很重要，化簡(jiǎn)證明都需要。正六邊形頂點(diǎn)處，從上到下弦切割;
中心記上數(shù)字1，連結(jié)頂點(diǎn)三角形;向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對(duì)角，
頂點(diǎn)任意一函數(shù)，等于后面兩根除。誘導(dǎo)公式就是好，負(fù)化正后大化小，
變成稅角好查表，化簡(jiǎn)證明少不了。二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變，
將其后者視銳角，符號(hào)原來(lái)函數(shù)判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，
余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱(chēng)。
計(jì)算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名，保持基本量不變，繁難向著簡(jiǎn)易變。
逆反原則作指導(dǎo)，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。
萬(wàn)能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運(yùn)用加巧用;
1加余弦想余弦，1 減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范;
三角函數(shù)反函數(shù)，實(shí)質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍;
利用直角三角形，形象直觀好換名，簡(jiǎn)單三角的方程，化為最簡(jiǎn)求解集;
高中數(shù)學(xué)口訣三、《不等式》
解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)指無(wú)理不等式，化為有理不等式。
高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價(jià)。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。
證不等式的方法，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商和1爭(zhēng)高下。
直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。
還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來(lái)幫助，畫(huà)圖建模構(gòu)造法。
高中數(shù)學(xué)口訣四、《數(shù)列》
等差等比兩數(shù)列，通項(xiàng)公式N項(xiàng)和。兩個(gè)有限求極限，四則運(yùn)算順序換。
數(shù)列問(wèn)題多變幻，方程化歸整體算。數(shù)列求和比較難，錯(cuò)位相消巧轉(zhuǎn)換，
取長(zhǎng)補(bǔ)短高斯法，裂項(xiàng)求和公式算。歸納思想非常好，編個(gè)程序好思考：
一算二看三聯(lián)想，猜測(cè)證明不可少。還有數(shù)學(xué)歸納法，證明步驟程序化：
首先驗(yàn)證再假定，從 K向著K加1，推論過(guò)程須詳盡，歸納原理來(lái)肯定。
高中數(shù)學(xué)口訣五、《復(fù)數(shù)》
虛數(shù)單位i一出，數(shù)集擴(kuò)大到復(fù)數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)一對(duì)數(shù)，橫縱坐標(biāo)實(shí)虛部。
對(duì)應(yīng)復(fù)平面上點(diǎn)，原點(diǎn)與它連成箭。箭桿與X軸正向，所成便是輻角度。
箭桿的長(zhǎng)即是模，常將數(shù)形來(lái)結(jié)合。代數(shù)幾何三角式，相互轉(zhuǎn)化試一試。
代數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，有i多項(xiàng)式運(yùn)算。i的正整數(shù)次慕，四個(gè)數(shù)值周期現(xiàn)。
一些重要的結(jié)論，熟記巧用得結(jié)果。虛實(shí)互化本領(lǐng)大，復(fù)數(shù)相等來(lái)轉(zhuǎn)化。
利用方程思想解，注意整體代換術(shù)。幾何運(yùn)算圖上看，加法平行四邊形，
減法三角法則判;乘法除法的運(yùn)算，逆向順向做旋轉(zhuǎn)，伸縮全年模長(zhǎng)短。
三角形式的運(yùn)算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開(kāi)方極方便。
輻角運(yùn)算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得，相等和模與共軛，
兩個(gè)不會(huì)為實(shí)數(shù)，比較大小要不得。復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)很密切，須注意本質(zhì)區(qū)別。
高中數(shù)學(xué)口訣六、《排列、組合、二項(xiàng)式定理》
加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無(wú)關(guān)是組合，要求有序是排列。
兩個(gè)公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問(wèn)題須轉(zhuǎn)化。
排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。
不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。
關(guān)于二項(xiàng)式定理，中國(guó)楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。
高中數(shù)學(xué)口訣七、《立體幾何》
點(diǎn)線面三位一體，柱錐臺(tái)球?yàn)榇?。距離都從點(diǎn)出發(fā)，角度皆為線線成。
垂直平行是重點(diǎn)，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對(duì)之間循環(huán)現(xiàn)。
方程思想整體求，化歸意識(shí)動(dòng)割補(bǔ)。計(jì)算之前須證明，畫(huà)好移出的圖形。
立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對(duì)于解題最關(guān)鍵。
異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問(wèn)題一大片。
高中數(shù)學(xué)口訣八、《平面解析幾何》
有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合稱(chēng)典范。
笛卡爾的觀點(diǎn)對(duì)，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)，兩者—一來(lái)對(duì)應(yīng)，開(kāi)創(chuàng)幾何新途徑。
兩種思想相輝映，化歸思想打前陣;都說(shuō)待定系數(shù)法，實(shí)為方程組思想。
三種類(lèi)型集大成，畫(huà)出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。
四件工具是法寶，坐標(biāo)思想?yún)?shù)好;平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。
解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)。
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