人教版高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
人教版高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
函數(shù)是高一數(shù)學(xué)科目中非常重要的內(nèi)容,需要重點(diǎn)掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn),下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)的高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn),希望對(duì)你有幫助。
人教版高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
一、一次函數(shù)定義與定義式:
自變量x和因變量y有如下關(guān)系:
y=kx+b
則此時(shí)稱(chēng)y是x的一次函數(shù)。
特別地,當(dāng)b=0時(shí),y是x的正比例函數(shù)。
即:y=kx(k為常數(shù),k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì):
1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k
即:y=kx+b(k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù))
2.當(dāng)x=0時(shí),b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):
1.作法與圖形:通過(guò)如下3個(gè)步驟
(1)列表;
(2)描點(diǎn);
(3)連線(xiàn),可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線(xiàn)。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn),并連成直線(xiàn)即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn))
2.性質(zhì):(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x,y),都滿(mǎn)足等式:y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。
3.k,b與函數(shù)圖像所在象限:
當(dāng)k>0時(shí),直線(xiàn)必通過(guò)一、三象限,y隨x的增大而增大;
當(dāng)k<0時(shí),直線(xiàn)必通過(guò)二、四象限,y隨x的增大而減小。
當(dāng)b>0時(shí),直線(xiàn)必通過(guò)一、二象限;
當(dāng)b=0時(shí),直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)
當(dāng)b<0時(shí),直線(xiàn)必通過(guò)三、四象限。
特別地,當(dāng)b=O時(shí),直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)O(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時(shí),當(dāng)k>0時(shí),直線(xiàn)只通過(guò)一、三象限;當(dāng)k<0時(shí),直線(xiàn)只通過(guò)二、四象限。
四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式:
已知點(diǎn)A(x1,y1);B(x2,y2),請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P(x,y),都滿(mǎn)足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解這個(gè)二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用:
1.當(dāng)時(shí)間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定,水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式:
1.求函數(shù)圖像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn):|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn):|y1-y2|/2
4.求任意線(xiàn)段的長(zhǎng):√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根號(hào)下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
二次函數(shù)
I.定義與定義表達(dá)式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:
y=ax’2+bx+c
(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向,a>0時(shí),開(kāi)口方向向上,a<0時(shí),開(kāi)口方向向下,IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大.)
則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式:y=ax’2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點(diǎn)式:y=a(x-h)’2+k[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h,k)]
交點(diǎn)式:y=a(x-x₁)(x-x₂)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x₁,0)和B(x₂,0)的拋物線(xiàn)]
注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:
h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax₁,x₂=(-b±√b’2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x’2的圖像,
可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)。
IV.拋物線(xiàn)的性質(zhì)
1.拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)
x=-b/2a。
對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。
特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0)
2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為
P(-b/2a,(4ac-b’2)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ=b’2-4ac=0時(shí),P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當(dāng)a>0時(shí),拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。
|a|越大,則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱(chēng)軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。
拋物線(xiàn)與y軸交于(0,c)
6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ=b’2-4ac>0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b’2-4ac=0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b’2-4ac<0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b’2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)(以下稱(chēng)函數(shù))y=ax’2+bx+c,
當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程),
即ax’2+bx+c=0
此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=ax’2,y=a(x-h)’2,y=a(x-h)’2+k,y=ax’2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸如下表:
解析式 | 頂點(diǎn)坐標(biāo) | 對(duì)稱(chēng)軸 |
y=ax’2 | (0,0) | x=0 |
y=a(x-h)’2 | (h,0) | x=h |
y=a(x-h)’2+k | (h,k) | x=h |
y=ax’2+bx+c | (-b/2a,[4ac-b’2]/4a) | x=-b/2a |
當(dāng)h>0時(shí),y=a(x-h)’2的圖象可由拋物線(xiàn)y=ax’2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到,
當(dāng)h<0時(shí),則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.
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