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高一數學導數相關知識點集錦

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高一數學導數相關知識點集錦

  量的學習起于數,一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的有理和無理數,下面是學習啦小編給大家?guī)淼母咭粩祵W導數相關知識點集錦,希望對你有幫助。

  高一數學導數的定義:

  當自變量的增量Δx=x-x0,Δx→0時函數增量Δy=f(x)- f(x0)與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數f在x0點可導,稱之為f在x0點的導數(或變化率)。

  函數y=f(x)在x0點的導數f'(x0)的幾何意義:表示函數曲線在P0[x0,f(x0)] 點的切線斜率(導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率)。

  一般地,我們得出用函數的導數來判斷函數的增減性(單調性)的法則:設y=f(x )在(a,b)內可導。如果在(a,b)內,f'(x)>0,則f(x)在這個區(qū)間是單調增加的(該點切線斜率增大,函數曲線變得“陡峭”,呈上升狀)。如果在(a,b)內,f'(x)<0,則f(x)在這個區(qū)間是單調減小的。所以,當f'(x)=0時,y=f(x )有極大值或極小值,極大值中最大者是最大值,極小值中最小者是最小值

  高一數學求導數的步驟:

  求函數y=f(x)在x0處導數的步驟:

 ?、?求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均變化率 ③ 取極限,得導數。

  高一數學導數公式:

 ?、?C'=0(C為常數函數); ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟記1/X的導數 ③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx•secx (cscx)'=-cotx•cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx•sechx (cschx)'=-cothx•cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln為自然對數) (Inx)' = 1/x(ln為自然對數) (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2)

  高一數學導數的應用:

  1。函數的單調性

  (1)利用導數的符號判斷函數的增減性 利用導數的符號判斷函數的增減性,這是導數幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應用,它充分體現了數形結合的思想。 一般地,在某個區(qū)間(a,b)內,如果f'(x)>0,那么函數y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞增;如果f'(x)<0,那么函數y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞減。 如果在某個區(qū)間內恒有f'(x)=0,則f(x)是常數函數。 注意:在某個區(qū)間內,f'(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數的充分條件,而不是必要條件,如f(x)=x3在R內是增函數,但x=0時f'(x)=0。也就是說,如果已知f(x)為增函數,解題時就必須寫f'(x)≥0。 (2)求函數單調區(qū)間的步驟(不要按圖索驥 緣木求魚 這樣創(chuàng)新何言?1。定義最基礎求法2。復合函數單調性) ①確定f(x)的定義域; ②求導數; ③由(或)解出相應的x的范圍。當f'(x)>0時,f(x)在相應區(qū)間上是增函數;當f'(x)<0時,f(x)在相應區(qū)間上是減函數。

  2。函數的極值

  (1)函數的極值的判定 ①如果在兩側符號相同,則不是f(x)的極值點; ②如果在附近的左右側符號不同,那么,是極大值或極小值。

  3。求函數極值的步驟

 ?、俅_定函數的定義域; ②求導數; ③在定義域內求出所有的駐點與導數不存在的點,即求方程及的所有實根; ④檢查在駐點左右的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值。

  4。函數的最值

  (1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在(a,b)內一點處取得的,顯然這個最大值(或最小值)同時是個極大值(或極小值),它是f(x)在(a,b)內所有的極大值(或極小值)中最大的(或最小的),但是最值也可能在[a,b]的端點a或b處取得,極值與最值是兩個不同的概念。 (2)求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟 ①求f(x)在(a,b)內的極值; ②將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值。

  5。生活中的優(yōu)化問題

  生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題稱為優(yōu)化問題,優(yōu)化問題也稱為最值問題。解決這些問題具有非?,F實的意義。這些問題通??梢赞D化為數學中的函數問題,進而轉化為求函數的最大(小)值問題。

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