高三理科數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷
數(shù)學(xué)有很多的同學(xué)會說很難，其實難在哪里我們要找到原因，小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學(xué)，希望大家多多參考一下
上學(xué)期高三數(shù)學(xué)理科期末試題
一、選擇題(本大題共8小題，共40.0分)
1.若集合A={x|-2
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用交集運算得答案.
【詳解】∵集合 表示 到0的所有實數(shù)，
集合 表示5個整數(shù)的集合，∴ ，
故選C.
【點睛】本題主要考查了交集的概念及其運算，是基礎(chǔ)題.
2.下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用復(fù)數(shù)的運算對每個選項逐一求解即可得答案.
【詳解】∵ ， ， ， ，
∴為純虛數(shù)的是 ，故選D.
【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運算及基本概念，是基礎(chǔ)題
3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的零點可判斷 為奇函數(shù)，且存在零點為 ， 為非奇非偶函數(shù)， 為偶函數(shù)， 不存在零點，故得解.
【詳解】對于選項A： 為奇函數(shù)，且存在零點為x=0，與題意相符;
對于選項B： 為非奇非偶函數(shù)，與題意不符;
對于選項C： 為偶函數(shù)，與題意不符;
對于選項D： 不存在零點，與題意不符，故選：A.
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的零點，熟練掌握常見初等函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.
4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入 ，則輸出 的等于( )
A. 3 B. 12 C. 60 D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】
通過程序框圖，按照框圖中的要求將幾次的循環(huán)結(jié)果寫出，得到輸出的結(jié)果.
【詳解】模擬執(zhí)行程序，可得 ， ， ， ， ，
滿足條件 ，執(zhí)行循環(huán)體， ， ，
滿足條件 ，執(zhí)行循環(huán)體， ， ，
不滿足條件 ，退出循環(huán)，輸出 的值為60.
故選C.
【點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出結(jié)果問題時，常采用寫出幾次的結(jié)果找規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.
5.“ ”是“函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求出函數(shù)的對稱軸為 ，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】若函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 ，則 ，得 ，
當(dāng) 時， ，即“ ”是“函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱”的充分不必要條件，故選A.
【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性求出 的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.
6.某三棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的六條棱中，最長棱的長度為( )
A. 2 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
由三棱錐的三視圖知該三棱錐是三棱錐 ，其中 底面 ， ， ， ，由此能求出在該三棱錐中，最長的棱長.
【詳解】由三棱錐的三視圖知該三棱錐是如圖所示的三棱錐 ，
其中 底面 ， ， ， ，
∴ ，
∴在該三棱錐中，最長的棱長為 ，故選D.
【點睛】本題考查三棱錐中最長棱長的求法，考查三棱錐性質(zhì)及其三視圖等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是基礎(chǔ)題.
7.在極坐標(biāo)系中，下列方程為圓 的切線方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出圓的直角坐標(biāo)方程為 ，圓心為 ，半徑 ，將每個選項分別利用直角坐標(biāo)表示，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系能求出結(jié)果.
【詳解】圓 ，即 ，
∴圓的直角坐標(biāo)方程為 ，即 ，圓心為 ，半徑 ，
在A中， 即 ，
圓心 到 的距離 ，故 不是圓的切線，故A錯誤;
在B中， 是圓，不是直線，故B錯誤;
在C中， 即 ，
圓心 到 的距離 ，故 是圓的切線，故C正確;
在D中， 即 ，
圓心 到 的距離 ，故 不是圓的切線，故D錯誤.
故選C.
【點睛】本題考查圓的切線方程的判斷，考查直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.
8.地震里氏震級是地震強度大小的一種度量.地震釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M.已知兩次地震的里氏震級分別為8.0級和7.5級，若它們釋放的能量分別為E1和E2，則 的值所在的區(qū)間為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先把數(shù)據(jù)代入已知解析式，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出.
【詳解】 ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的值所在的區(qū)間為 ，故選B.
【點睛】本題考查了對數(shù)的運用以及運算，熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題(本大題共6小題，共30.0分)
9.若 滿足 ，則 的最小值為______.
【答案】4
【解析】
【分析】
作出不等式組 對應(yīng)的平面區(qū)域，利用 的幾何意義即可得到結(jié)論.
【詳解】作出 ， 滿足 對應(yīng)的平面區(qū)域，
由 ，得 ，平移直線 ，
由 ，解得
由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點 時，直線 的截距最小，此時最小，
此時 ，故答案為4.
【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.
10.已知雙曲線 - =1的一個焦點為 ，則m=______.
【答案】3
【解析】
【分析】
由雙曲線的焦點坐標(biāo)可得的值，列出關(guān)于 的方程，解出即可.
【詳解】雙曲線 的一個焦點為 ，即 ，
解得 ，故答案為3.
【點睛】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分析、 的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
11.若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，試寫出一組滿足條件的數(shù)列{an}和{bn}的通項公式：an=______，bn=______.
【答案】 (1). -n (2). 2
【解析】
【分析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為 ，等比數(shù)列的公比為 ，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得 ， ，即可得到所求通項公式，注意答案不唯一.
【詳解】等差數(shù)列 的公差設(shè)為 ，等比數(shù)列 的公比設(shè)為 ，
， ， ，可得 ，
即為 ， 可取 ，可得 ，則 ， ，
故答案為 ，2.
【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.
12.在菱形ABCD中，若 ，則 的值為______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分，則 ，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式計算即可.
【詳解】菱形 中， ，由 可得
則 ，
故答案為 .
【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積計算問題，由菱形的性質(zhì)得到 是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
13.函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用兩角差的正弦與余弦公式化簡，根據(jù) 在 上，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.
【詳解】函數(shù)
;
∵ ，∴當(dāng) 時， 取得最大值為 ，
故答案為 .
【點睛】本題主要考查了兩角和與差公式的應(yīng)用和計算能力，得到 是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
14.已知函數(shù)f(x)為定義域為R，設(shè)Ff(x)= .
?、偃鬴(x)= ，則Ff(1)=______;
?、谌鬴(x)=ea-|x|-1，且對任意x∈R，F(xiàn)f(x)=f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
?、偻ㄟ^ 的范圍，可得 ，代入可得所求值;②由題意可得 恒成立，運用絕對值不等式的性質(zhì)和參數(shù)分離，以及函數(shù)的最值求法，可得的范圍.
【詳解】①若 ，由 ，可得 ，成立，即有 ，則 ;
?、谌?，且對任意 ， ，可得 恒成立，即為 ，即有 ，可得 ，即 ，
由 的最小值為 ，則 ，故答案為 ， .
【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的運用：求函數(shù)值和解析式，考查變形能力和轉(zhuǎn)化思想，注意運用參數(shù)分離和絕對值不等式的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為 恒成立是解決②的關(guān)鍵，屬于中檔題
三、解答題(本大題共6小題，共80.0分)
15.在△ABC中， .
(1)求∠B的大小;
(2)若△ABC的面積為a2，求cosA的值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理可得 ，結(jié)合范圍 ，可求 的值;(2)利用三角形的面積公式可求的值，根據(jù)余弦定理可求 的值，進(jìn)而可求 的值.
【詳解】(1)在△ABC中，由正弦定理可得： ，
所以： ，
又 ， .
(2)因為△ABC的面積為 ，
∴ 2 ，
由余弦定理， ，所以 .
.
【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題
16.某中學(xué)有學(xué)生500人，學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀時間，從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，獲得了他們某一個月課外閱讀時間的數(shù)據(jù)(單位：小時)，將數(shù)據(jù)分為5組：[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20]，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的x的值;
(2)試估計該校所有學(xué)生中，課外閱讀時間不小于16小時的學(xué)生人數(shù);
(3)已知課外閱讀時間在[10，12)的樣本學(xué)生中有3名女生，現(xiàn)從閱讀時間在[10，12)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X為抽到女生的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
【答案】(1)0.15;(2)150;(3)見解析
【解析】
【分析】
(1)利用頻率分布直方圖，通過概率和為1，即可求解 ;(2)利用分布直方圖求解即可;(3)隨機(jī)變量 的所有可能取值為0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望.
【詳解】(1)由 ，
可得 0.15
(2) ，
即課外閱讀時間不小于16個小時的學(xué)生樣本的頻率為0.30.500×0.30=150，
所以可估計該校所有學(xué)生中，課外閱讀時間不小于16個小時的學(xué)生人數(shù)為150.
(3)課外閱讀時間在[10，12)的學(xué)生樣本的頻率為0.08×2=0.16，50×0.16=8，即閱讀時間在[10，12)的學(xué)生樣本人數(shù)為8，8名學(xué)生為3名女生，5名男生，
隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3， ; ; ; .
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
故 的期望
【點睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.
17.如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，AE=EF， .將四邊形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD(如圖2)，G是BF的中點.
(1)證明：AC⊥EG;
(2)在線段BC上是否存在一點H，使得DH∥平面ABFE?若存在，求 的值;若不存在，說明理由;
(3)求二面角D-AC-F的大小.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
【分析】
(1)推導(dǎo)出 ， ， ，從而 平面 ，進(jìn)而 ，四邊形 為正方形， ，由此能證明 平面 ，從而 ;(2)由 ， ， 兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系 ，由此利用向量法能求出在線段 上存在一點 ，使得 平面 ，并能求出 的值;(3)求出平面 的法向理和平面 的法向量，利用向量法能求出二面角 的大小.
【詳解】證明：(1)在圖1中， ，
可得△AEF為等腰直角三角形，AE⊥EF.
因為AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC.
因為平面ABFE⊥平面EFCD，且兩平面交于EF，CF⊂平面CDEF，
所以CF⊥平面ABFE.
又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG;
由G為中點，可知四邊形AEFG為正方形，所以AF⊥EG;
又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC.又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG
(2)由(1)知：FE，F(xiàn)C，F(xiàn)B兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz，
設(shè)FE=1，則F(0，0，0)，C(0，2，0)，B(0，0，2)，D(1，1，0).
設(shè)H是線段BC上一點， .
因此點 .
由(1)知 為平面ABFE的法向量， =(0，2，0)，
因為 平面ABFE，所以 平面 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，
即 ，解得 .
.
(3)設(shè)A(1，0，1)，E(1，0，0)，G(0，0，1).
由(1)可得， 是平面 的法向量， . ，
設(shè)平面ACD的法向量為n=(x，y，z)，
由 即
令x=1，則y=1，z=1.于是n=(1，1，1).
所以 .
所以二面角D-AC-F的大小為90°
【點睛】本題主要考查線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點是否存在的判斷與求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.
18.已知函數(shù)f(x)=axex-x2-2x.
(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程;
(2)當(dāng)x>0時，若曲線y=f(x)在直線y=-x的上方，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，求出切點的坐標(biāo)，由直線的點斜式方程分析可得答案;(2)根據(jù)題意，原問題可以轉(zhuǎn)化為 恒成立，設(shè) ，求出 的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得其最大值，分析可得答案.
【詳解】(1)當(dāng) 時， ，其導(dǎo)數(shù) ， .
又因為 ，
所以曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為 ;
(2)根據(jù)題意，當(dāng) 時，
“曲線y=f(x)在直線 的上方”等價于“ 恒成立”，
又由x>0，則 ，
則原問題等價于 恒成立;
設(shè) ，則 ，
又由 ，則 ，則函數(shù) 在區(qū)間 上遞減，
又由 ，則有 ，
若 恒成立，必有 ，
即的取值范圍為 .
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的切線方程以及最值，考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段.通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為 或 恒成立，即 或 即可，利用導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合單調(diào)性求出 或 即得解，屬于中檔題.
19.已知橢圓 過點P(2，1).
(1)求橢圓C的方程，并求其離心率;
(2)過點P作x軸的垂線l，設(shè)點A為第四象限內(nèi)一點且在橢圓C上(點A不在直線l上)，點A關(guān)于l的對稱點為A'，直線A'P與C交于另一點B.設(shè)O為原點，判斷直線AB與直線OP的位置關(guān)系，并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
【分析】
(1)將點 代入橢圓方程，求出，結(jié)合離心率公式即可求得橢圓的離心率;(2)設(shè)直線 ， ，設(shè)點 的坐標(biāo)為 ， ，分別求出 ， ，根據(jù)斜率公式，以及兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系即可得結(jié)果.
【詳解】(1)由橢圓方程橢圓 過點P(2，1)，可得 .
所以 ，
所以橢圓C的方程為 + =1，離心率e= = ，
(2)直線AB與直線OP平行.證明如下：
設(shè)直線 ， ，
設(shè)點A的坐標(biāo)為(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 得 ，
∴ ，∴
同理 ，所以 ，
由 ，
有 ，
因為A在第四象限，所以 ，且A不在直線OP上.
∴ ，
又 ，故 ，
所以直線 與直線 平行.
【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了斜率和直線平行的關(guān)系，是中檔題.
20.對給定的d∈N*，記由數(shù)列構(gòu)成的集合 .
(1)若數(shù)列{an}∈Ω(2)，寫出a3的所有可能取值;
(2)對于集合Ω(d)，若d≥2.求證：存在整數(shù)k，使得對Ω(d)中的任意數(shù)列{an}，整數(shù)k不是數(shù)列{an}中的項;
(3)已知數(shù)列{an}，{bn}∈Ω(d)，記{an}，{bn}的前n項和分別為An，Bn.若|an+1|≤|bn+1|，求證：An≤Bn.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析
【解析】
【分析】
(1)推導(dǎo)出 ， ， ， ，由此能求出 的所有可能取值;(2)先應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列 ，則 具有 ，( )的形式，由此能證明取整數(shù) ，則整數(shù) 均不是數(shù)列 中的項;(3)由 ，得： ，從而 ，由此利用累加法得 ，從而 ，同理 ，由此能證明 .
【詳解】(1)由于數(shù)列{an}∈Ω(2)，即d=2，a1=1.
由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，
|a3|=|a2+d|=|a2+2|，
將a2=±3代入得a3的所有可能取值為-5，-1，1，5.
證明：(2)先應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列：
若{an}∈Ω(d)，則an具有md±1，(m∈Z)的形式.
?、佼?dāng)n=1時，a1=0•d+1，因此n=1時結(jié)論成立.
?、诩僭O(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時結(jié)論成立，即存在整數(shù)m0，使得ak=m0d0±1成立.
當(dāng)n=k+1時，|an+1|=|m0d0±1+d0|=|(m0+1)d0±1|，
ak+1=(m0+1)d±1，或ak+1=-(m0+1)±1，
所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立.
由①②可知，若數(shù)列{an}∈Ω(d)對任意n∈N*，an具有md±1(m∈Z)的形式.
由于an具有md±1(m∈Z)的形式，以及d≥2，可得an不是d的整數(shù)倍.
故取整數(shù)k=d，則整數(shù)k均不是數(shù)列{an}中的項
(3)由|an+1|=|an+d|，可得： = ，
所以有 = +2and+d2，
= +2an-1d+d2，
，
…
= ，
以上各式相加可得 ，
即An= - ，同理Bn= - ，
當(dāng) 時，有 ，
∵d∈N*，∴ ≤ ，
∴ ≤ - ，
∴
【點睛】本題考查數(shù)列的第 項的所有可能取值的求法，考查數(shù)列不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是難題.
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷理科
一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若復(fù)數(shù)滿足 ，則 ( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a，b，則答案可求.
【詳解】設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，
由z2=5+12i，得a2﹣b2+2abi=5+12i，
∴ ，解得 或 .
∴z=3+2i或z=﹣3﹣2i.
故選：A.
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題.
2.函數(shù) 的零點所在的區(qū)間是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由于連續(xù)函數(shù)f(x)滿足 f(1)<0，f(2)>0，從而得到函數(shù)y=x﹣4•( )x的零點所在區(qū)間.
【詳解】∵y=x﹣4•( )x為R上的連續(xù)函數(shù)，
且f(1)=1﹣2<0，f(2)=2﹣1>0，
∴f(1)•f(2)<0，
故函數(shù)y=x﹣4•( )x的零點所在區(qū)間為：(1，2)，
故選：B.
【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點的定義，判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間的方法，屬于基礎(chǔ)題.
3.已知 是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面，則 的一個充分條件是( )
A. ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】
在A中，a與b相交、平行或異面;在C中，由線面垂直的性質(zhì)可得a∥b;在B、D中，均可得a與b相交、平行或異面;
【詳解】由a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，
在A中， ， ，則a與b相交、平行或異面，故A錯誤;
在B中， ， ， ，則a與b相交、平行或異面，故B錯誤;
在C中，由a ， ，則 ，又 ，由線面垂直的性質(zhì)可知 ，故C正確;
在D中， ， ， ，則a與b相交、平行或異面，故D錯誤.
故選：C.
【點睛】本題考查線線平行的充分條件的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.
4.定義運算 ，則函數(shù) 的圖像是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)新定義可得函數(shù)1⊕log2x就是取1與log2x中較大的一個即可判斷.
【詳解】從定義運算a⊕b 上看，對于任意的a、b，a⊕b實質(zhì)上是求a與b中最大的，
∴1⊕log2x就是取1與log2x中較大的一個，
∴對于對數(shù)函數(shù)y=log2x，當(dāng)x≥2，log2x≥1，∴當(dāng)0
故選：C.
【點睛】本題主要考查新定義，求函數(shù)的最大值，屬于基礎(chǔ)題.
5. 的展開式中， 的系數(shù)是( )
A. -160 B. -120 C. 40 D. 200
【答案】B
【解析】
【分析】
將問題轉(zhuǎn)化為二項式(1﹣2x)5的展開式的系數(shù)問題，求出(1﹣2x)5展開式的通項，分別令r=2，3求出(1﹣2x)5(2+x)的展開式中x3項的系數(shù).
【詳解】(1﹣2x)5(2+x)的展開式中x3項的系數(shù)是(1﹣2x)5展開式中x3項的系數(shù)的2倍與(1﹣2x)5展開式中x2項的系數(shù)的和
∵(1﹣2x)5展開式的通項為Tr+1=(﹣2)rC5rxr
令r=3得到x3項的系數(shù)為﹣8C53=﹣80
令r=2得到x2項的系數(shù)為4C52=40
所以(1﹣2x)5(2+x)的展開式中x3項的系數(shù)是﹣80×2+40=﹣120
故答案為：B
【點睛】解決二項展開式的特定項問題常利用的工具是二項展開式的通項公式.求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第 項，再由特定項的特點求出值即可;(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第 項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).
6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A. 36 B. 32 C. 30 D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中的三視圖，判斷該幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個以3為邊長的長方形，高為4，分別求出棱錐各個面的面積，進(jìn)而可得答案.
【詳解】由已知中的該幾何體是一個四棱錐的幾何體，
四棱錐的底面為邊長為3和3的正方形，高為4，
故S四棱錐 4×3+ 5×3 5×3 4×3+3×3=36.
故選：A.
【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求表面積，其中根據(jù)三視圖判斷出幾何體的形狀，并找出各個面的棱長、高等關(guān)鍵的數(shù)據(jù)是解答本題的關(guān)鍵.
7.若雙曲線 的一個焦點與拋物線 的焦點重合，則雙曲線 的離心率為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出拋物線y2=8x的焦點坐標(biāo)，由此得到雙曲線C： 1的一個焦點，從而求出a的值，進(jìn)而得到該雙曲線的離心率.
【詳解】∵拋物線y2=8x的焦點是(2，0)，
雙曲線C： 1的一個焦點與拋物線y2=8x的焦點重合，
∴c=2，b2=3，m=1，
∴e 2.
故選：C.
【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要拋物線的性質(zhì)進(jìn)行求解.
8.在 中，若 ， ( )，則當(dāng) 最小時， ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知 可求 的坐標(biāo)，然后結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)可求BC最小時的x，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.
【詳解】∵ (1，2)， (﹣x，2x)(x>0)，
∴ (﹣x﹣1，2x﹣2)，
∴| |
令y=5x2﹣6x+5，x>0
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x ，ymin ，此時BC最小，
∴ ， ( ， )，
0，
∴ ，即C=90°，
故選：A.
【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.
9.已知函數(shù) ，且圖像在點 處的切線的傾斜角為 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出f′(1)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率
k=f′(2)=tanα，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系可得sin( α)cos( α)=﹣cosαsinα ，代入可求.
【詳解】∵f(x)=x3+2x2f′(1)+2，
∴f′(x)=3x2+4xf′(1)，
∴f′(1)=3+4f′(1)，
即f′(1)=﹣1，f′(x)=3x2﹣4x，
∴圖象在點x=2處的切線的斜率k=f′(2)=4=tanα，
則sin( α)cos( α)
=﹣cosαsinα
，
故選：D.
【點睛】本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用.
10.已知 是 所在平面內(nèi)一點， ，現(xiàn)將一粒紅豆隨機(jī)撒在 內(nèi)，記紅豆落在 內(nèi)的概率為 ，落在 內(nèi)的概率為 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)2 3 ，計算出△PAB，△PAC，△PBC面積的關(guān)系，求出概率，作積得答案.
【詳解】如圖，令 ， ， .
則P為△A1B1C1 的重心，
∴ ，
而 ， ， .
∴2S△PAB=3S△PAC=6S△PBC，
∴ ， ， .
則P△PBCP△PBAP△PAC .
故選：D.
【點睛】本題考查的知識點是幾何概型概率計算公式，計算出滿足條件和所有基本事件對應(yīng)的幾何量，是解答的關(guān)鍵，難度中檔.
11.數(shù)列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2， ，其相鄰的兩個1被2隔開，第 對1之間有 個2，則數(shù)列的前209項的和為( )
A. 279 B. 289 C. 399 D. 409
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，先把數(shù)列分組，每組中，第一個數(shù)為1，其他均為2，且第n組中，有n+1個數(shù);得到209是前19行的和，進(jìn)而得到所有項的和.
【詳解】根據(jù)題意，先把數(shù)列分組，
第一組為1，2，有2個數(shù)，
第二組為1，2，2，有3個數(shù)，
第三組為1，2，2，2，有4個數(shù)，
…
第n組中，第一個數(shù)為1，其他均為2，有n+1個數(shù)，即每組中，第一個數(shù)為1，其他均為2，則前n組共有 個數(shù)，
當(dāng)n=19時，恰好前19行有209個數(shù)，
前19行有19個1，有209-19=190個2，則這些數(shù)的和為：19+
故答案為C.
【點睛】本題考查數(shù)列的求和，注意要先根據(jù)數(shù)列的規(guī)律進(jìn)行分組，綜合運用等差數(shù)列前n項和公式與分組求和的方法，進(jìn)行求和.
12.已知 且 ，則下列結(jié)論正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
將式子變形得到 ，因為余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故 ，構(gòu)造函數(shù) ，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】 等價于 ,即 ，因為余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故 ，構(gòu)造函數(shù) ，根據(jù)偶函數(shù)的定義f(x)=f(-x)得到函數(shù)是偶函數(shù)，而f(x)在 上， ，故函數(shù)單調(diào)增，又因為 ，故得到 .
故答案為：A.
【點睛】這個題目考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)來比較函數(shù)的大小;比較大小常用的方法，除構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)得到結(jié)果，常用的有：做差和0比，做商和1比，不等式性質(zhì)的應(yīng)用等.
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.已知集合 ， ，則 __________.(用區(qū)間表示)
【答案】(-1,0)
【解析】
【分析】
化簡集合N，根據(jù)補集與交集的定義寫出.
【詳解】M={x|﹣1
則?MN=(﹣1，0)，
故答案為：(﹣1，0).
【點睛】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題.
14.元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒?”用程序框圖表達(dá)如圖所示，若最終輸出的x=0，則開始時輸入的x的值為____________
【答案】
【解析】
【分析】
求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，由題輸出的結(jié)果的值為0，由此關(guān)系建立方程求出自變量的值即可.
【詳解】第一次輸入x=x，i=1
執(zhí)行循環(huán)體，x=2x﹣1，i=2，
執(zhí)行循環(huán)體，x=2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3，i=3，
執(zhí)行循環(huán)體，x=2(4x﹣3)﹣1=8x﹣7，i=4>3，
輸出8x﹣7的值為0，解得：x ，
故答案為： .
【點睛】解答本題，關(guān)鍵是根據(jù)所給的框圖，得出函數(shù)關(guān)系，然后通過解方程求得輸入的值.本題是算法框圖考試常見的題型，其作題步驟是識圖得出函數(shù)關(guān)系，由此函數(shù)關(guān)系解題，得出答案.
15.設(shè)實數(shù) 滿足 ，若 的最大值為16，則實數(shù) __________.
【答案】3
【解析】
【分析】
先畫出可行域，得到角點坐標(biāo).再對k進(jìn)行分類討論，通過平移直線z=kx+y得到最大值點A，即可得到答案.
【詳解】實數(shù)x，y滿足 的可行域如圖：
得：A(4，4)，
同樣地，得B(0，2)，
z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k>0，k<0兩種情況.
當(dāng)k>0時，
目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在A點取最大值，即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，即16=4k+4，得k=3;
當(dāng)k<0時，
?、佼?dāng)k 時，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在A點(4，4)時取最大值，
即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，
此時，16=4k+4，
故k=3.
②當(dāng)k 時，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在B點(0，2)時取最大值，
即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，
此時，16=0×k+2，
故k不存在.
綜上，k=3.
故答案為：3.
【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃.解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義.
16.已知過橢圓 上一點 的切線方程為 ，若分別交 軸于 兩點，則當(dāng) 最小時， __________.( 為坐標(biāo)原點)
【答案】
【解析】
【分析】
利用切線求得A、B兩點坐標(biāo)，表示出 ，再利用 ，結(jié)合基本不等式求得 ，再利用 最小時的條件求得 ， ，即可求解.
【詳解】因為點 的切線方程為 ，若分別交 軸于 兩點，所以A( ，0)，B(0， )， = = ，
又 點P 在橢圓 上， 有 ，
= + ) ，當(dāng)且僅當(dāng) = 時等號成立， ，
解得 ， ， = = ，
= .
故答案為 .
【點睛】本題以過橢圓上點的切線為載體，考查了利用基本不等式求最值及等號成立的條件，考查了邏輯推理及運算能力，屬于難題.
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.在 中， 分別是內(nèi)角 的對邊，且 .
(1)求 ;
(2)若 ， ，求 的面積.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由已知利用正弦定理可得：a2=b2+c2+bc.由余弦定理可得：cosA ，結(jié)合范圍A∈(0，π)，可求A .
(2)由已知利用余弦定理c2+2c﹣5=0，解得c的值，利用三角形面積公式即可計算得解.
【詳解】(1)因為 ，
由正弦定理得 .
再由余弦定理得 ，
又因為 ，所以 .
(2)因為a=3， ，
代入 得 ,
解得 .
故△ABC的面積 .
【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.
18.設(shè) ， ， ，數(shù)列 的前 項和 ，點 ( )均在函數(shù) 的圖像上.
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)設(shè) ， 是數(shù)列 的前 項和，求滿足 ( )的最大正整數(shù) .
【答案】(1)an=6n-5 ( ) (2)8
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)f(x)=3x2﹣2x，由(n，Sn)在y=3x2﹣2x上，知Sn=3n2﹣2n.由此能求出數(shù)列{an}的通項公式.
(2)由 ，知Tn (1- )，根據(jù) ( )對 恒成立,當(dāng)且僅當(dāng) ，由此能求出所有n∈N*都成立的m的范圍.
【詳解】(1)因為 =3x2-2x.
又因為點 均在函數(shù) 的圖像上，所以 =3n2-2n.
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- =6n-5.
當(dāng)n=1時，a1=S1=3×12-2=1，所以，an=6n-5 ( ).
(2)由(1)得知 = ，
故Tn= =
= (1- )，且Tn隨著n的增大而增大
因此，要使 (1- ) ( )對 恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)n=1時T1= ，
即m<9，所以滿足要求的最大正整數(shù)m為8.
【點睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合，綜合性強，難度較大.易錯點是基礎(chǔ)知識不牢固，不會運用數(shù)列知識進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化.解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
19.如圖，正三棱柱 中，(底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面)，側(cè)棱長 ，底面邊長 ， 是 的中點.
(1)求證：平面 平面 ;
(2)設(shè) 是線段 的中點，求直線 與平面 所成的角的正弦值.
【答案】(1) 見解析(2)
【解析】
【分析】
(1)通過做平行線構(gòu)造平行四邊形，進(jìn)而得到線面垂直，再由平形四邊行的對邊平行的性質(zhì)得到平面 內(nèi)的線垂直于平面 內(nèi)的線，進(jìn)而得到面面垂直;(2)建立空間坐標(biāo)系，求直線 的方向向量和面 的法向量，進(jìn)而得到線面角.
【詳解】(1)證明：取 中點 ， 的中點為M，連結(jié) ，MN,則有 ∥ 且 = ∴四邊形 為平行四邊形， ∥
∵ 面 ,
∴ ,又
∴ 平面 故 ⊥平面 .
所以平面 平面
(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(- ,0,0),A( ,0,0),
因為 是線段 的中點，所以M
所以
設(shè) 是平面 的一個法向量，因為
所以，由
所以可取
【點睛】這個題目考查了面面垂直的證明，以及線面角的求法，求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值;還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。
20.為了積極支持雄安新區(qū)建設(shè)，某投資公司計劃明年投資1000萬元給雄安新區(qū)甲、乙兩家科技企業(yè)，以支持其創(chuàng)新研發(fā)計劃，經(jīng)有關(guān)部門測算，若不受中美貿(mào)易戰(zhàn)影響的話，每投入100萬元資金，在甲企業(yè)可獲利150萬元，若遭受貿(mào)易戰(zhàn)影響的話，則將損失50萬元;同樣的情況，在乙企業(yè)可獲利100萬元，否則將損失20萬元，假設(shè)甲、乙兩企業(yè)遭受貿(mào)易戰(zhàn)影響的概率分別為0.6和0.5.
(1)若在甲、乙兩企業(yè)分別投資500萬元，求獲利1250萬元的概率;
(2)若在兩企業(yè)的投資額相差不超過300萬元，求該投資公司明年獲利約在什么范圍內(nèi)?
【答案】(1)0.2 (2)其獲利區(qū)間范圍為335與365萬元之間
【解析】
【分析】
(1)由已知條件可知，在甲、乙兩公司分別投資500萬元的情況下欲獲利1250萬元，須且必須兩公司均不遭受貿(mào)易戰(zhàn)的影響，故可列出式子即可;(2)先求得投資100萬元在甲公司獲利的期望30萬，乙為40萬，設(shè)在甲、乙兩公司的投資分別為x,(1000-x)萬元，則平均獲利z=0.3x+0.4(1000-x)=400-0.1x萬元，根據(jù)x的范圍可得到z的范圍.
【詳解】(1)由已知條件可知，在甲、乙兩公司分別投資500萬元的情況下欲獲利1250萬元，須且必須兩公司均不遭受貿(mào)易戰(zhàn)的影響.
故所求的概率為P=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2.
(2)設(shè)投資100萬元在甲公司獲利萬元，則的可能取值為150和-50萬元.
又甲公司遭受貿(mào)易戰(zhàn)影響的概率為0.6
故投資100萬元在甲公司獲利的期望為150×0.4+(-50)×0.6=30萬元.
同理在乙公司獲利的期望為100×0.5+(-20)×0.5=40萬元.
設(shè)在甲、乙兩公司的投資分別為x,(1000-x)萬元，則平均獲利
z=0.3x+0.4(1000-x)=400-0.1x萬元(其中 ).
由于上述函數(shù)為減函數(shù)，所以其獲利區(qū)間范圍為335與365萬元之間.
【點睛】這個題目考查了互相獨立事件的概率的求法，以及離散型隨機(jī)變量的均值的求法，即期望的求法;其中互相獨立事件A和B，P(AB)=P(A)P(B).
21.設(shè)點 在以 ， 為焦點的橢圓 上.
(1)求橢圓 的方程;
(2)經(jīng)過 作直線 交 于兩點 ，交 軸于 點，若 ， ，且 ，求 與 .
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)橢圓的定義得到2a值，由題干得到c=2,進(jìn)而得到方程;(2)設(shè)出A、B、M點的坐標(biāo)，根據(jù)向量關(guān)系得到A點坐標(biāo) ， ，代入橢圓方程得到關(guān)于 的方程，同理得到關(guān)于 的方程，進(jìn)而抽出 、 是方程 的兩個根，解出即可得到 與 .
【詳解】(1)因為點P 在以 為焦點的橢圓C 上，所以
所以 .
又因為c=2，所以
所以橢圓C的方程為
(2)設(shè)A、B、M點的坐標(biāo)分別為A( ， )，B( ， )，M(0， ).
∵ 2， ∴ ( ， )
∴ ，
將A點坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得 .
去分母整理得 ：
同理，由 2可得：
∴ 、 是方程 的兩個根，
∴ ，又
二者聯(lián)立解得
或所以 又 ，所以
所以上述方程即為
所以
【點睛】這個題目考查了橢圓的方程的求法，還考查了向量在圓錐曲線中的應(yīng)用，一般采用的是向量坐標(biāo)化，得到點坐標(biāo)間的關(guān)系，再通過題干列出相應(yīng)的方程進(jìn)行分析即可.
22.已知函數(shù) .
(1)若 ，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù) 在區(qū)間 上不單調(diào)，求實數(shù) 的取值范圍;
(3)求證： 或 是函數(shù) 在 上有三個不同零點的必要不充分條件.
【答案】(1)函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，沒有單調(diào)遞減區(qū)間. (2) (3)見解析
【解析】
【分析】
(1)將參數(shù)值k代入解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0，進(jìn)而得到函數(shù)只有增區(qū)間沒有減區(qū)間;(2)對函數(shù)求導(dǎo)， 在區(qū)間 上不單調(diào)所以 在 上有實數(shù)解，且無重根，變量分離即方程 有解，通過換元得到新函數(shù)的單調(diào)性，對方程的根進(jìn)行討論即可;(3)證明： 或 則函數(shù) 在 上不能有三個不同零點，證明，函數(shù)有3個不同零點則 或 即可.
【詳解】(1)若k=-1，則 ，所以
由于△=16-48<0,
所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)因
，因 在區(qū)間 上不單調(diào)，
所以 在 上有實數(shù)解，且無重根，
由 得
令 有 ，記 則 ，
所以在 上，h(t)單調(diào)遞減，在 上, h(t)單調(diào)遞增，
所以有 ，于是得
而當(dāng) 時有 在 上有兩個相等的實根 ，故舍去
所以 .
(3)因為
所以，當(dāng)△= ，即 時
函數(shù) 在R上單調(diào)遞增
故 在R上不可能有三個不同零點
所以，若 在R上有三個不同零點，則必有△ ，
即 是 在R上有三個不同零點的必要條件.
而當(dāng) ， 時，滿足
但
即此時 只有兩個不同零點
同樣，當(dāng) 時，滿足 ，
但
即此時 也只有兩個不同零點
故k<-2或k>7是 在R上有三個不同零點的必要不充分條件.
【點睛】本題中涉及根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點問題，(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解;(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù);(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
高三理科數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設(shè)全集為 ，集合 ， ，則 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化簡B，再根據(jù)補集、交集的定義即可求出.
【詳解】∵A={x|0
∴?RB={x|x<1}，
∴A∩(?RB)={x|0
故選：B.
【點睛】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題目.
2.下面是關(guān)于復(fù)數(shù) 的四個命題：
; ; 的虛部為2; 的共軛復(fù)數(shù)為 .
其中真命題為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先將復(fù)數(shù)化簡運算，可得|z|及 和共軛復(fù)數(shù)，再依次判斷命題的真假.
【詳解】復(fù)數(shù)z 2+2i.可得|z|=2 ，所以p1：|z|=2;不正確;
z2=(2+2i)2=8i，所以p2：z2=8i;正確;
z=2+2i.z的虛部為2;可得p3：z的虛部為2;正確;
z=2+2i的共軛復(fù)數(shù)為：2﹣2i;所以p4：z的共軛復(fù)數(shù)為﹣2﹣2i不正確;
故選：A.
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算法則以及命題的真假的判斷與應(yīng)用，是對基本知識的考查.
3.已知某產(chǎn)品連續(xù)4個月的廣告費 (千元)與銷售額 (萬元)( )滿足 ， ，若廣告費用 和銷售額 之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸直線方程為 ， ，那么廣告費用為5千元時，可預(yù)測的銷售額為( )萬元
A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 3.75
【答案】D
【解析】
【分析】
求出樣本中心點代入回歸直線方程，可得a，再將x=6代入，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意， ， ，
代入 0.6x+a，可得3=0.6×3.75+a，
所以a=0.75，
所以 0.6x+0.75，
所以x=5時， 0.6×5+0.75=3.75，
故選：D.
【點睛】本題考查線性回歸方程，考查學(xué)生的計算能力，利用回歸方程恒過樣本中心點是關(guān)鍵.
4.已知數(shù)列 為等差數(shù)列，且 成等比數(shù)列，則 的前6項的和為( )
A. 15 B. C. 6 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用 成等比數(shù)列,得到方程2a1+5d=2，將其整體代入 {an}前6項的和公式中即可求出結(jié)果.
【詳解】∵數(shù)列 為等差數(shù)列，且 成等比數(shù)列，∴ ，1， 成等差數(shù)列，
∴2 ，
∴2=a1+a1+5d，
解得2a1+5d=2，
∴{an}前6項的和為 2a1+5d)= .
故選：C.
【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.
5.已知定義在 的奇函數(shù) 滿足 ，當(dāng) 時， ，則 ( )
A. B. 1 C. 0 D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，分析可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，可得f(2019)=f(﹣1+2020)=f(﹣1)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與解析式分析可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=﹣f(x)，則有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
則f(2019)=f(﹣1+2020)=f(﹣1)，
又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(1)2=﹣1;
則f(2019)=﹣1;
故選：D.
【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，注意分析函數(shù)的周期.
6.設(shè) 且 ，則 是 的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意看命題“ab>1”與“ ”能否互推，然后根據(jù)必要條件、充分條件和充要條件的定義進(jìn)行判斷.
【詳解】若“ab>1”當(dāng)a=﹣2，b=﹣1時，不能得到“ ”，
若“ ”，例如當(dāng)a=1，b=﹣1時，不能得到“ab>1“，
故“ab>1”是“ ”的既不充分也不必要條件，
故選：D.
【點睛】本小題主要考查了充分必要條件，考查了對不等關(guān)系的分析，屬于基礎(chǔ)題.
7.設(shè) ， ， ，若 ，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量的坐標(biāo)運算得： (0， )，由數(shù)量積表示兩個向量的夾角得：cosθ ， 可得結(jié)果.
【詳解】由 (1， )， (1，0)， .
則 (1+k， )，
由 ，
則 0，
即k+1=0，即k=﹣1，即 (0， )，
設(shè) 與 的夾角為θ，
則cosθ ，
又θ∈[0，π]，
所以 ，
故選：A.
【點睛】本題考查了數(shù)量積表示兩個向量的夾角、及向量的坐標(biāo)運算，屬于簡單題
8.第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的，會標(biāo)是四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如果小正方形的面積為 ，大正方形的面積為 ，直角三角形中較小的銳角為，則 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由圖形可知三角形的直角邊長度差為a，面積為6 ，列方程組求出直角邊得出sinθ，代入所求即可得出答案.
【詳解】由題意可知小正方形的邊長為a，大正方形邊長為5a，直角三角形的面積為 6 ，
設(shè)直角三角形的直角邊分別為x，y且x
∴直角三角形的面積為S xy=6 ，
聯(lián)立方程組可得x=3a，y=4a，
∴sinθ ，tanθ= .
∴ = = = ，
故選：D.
【點睛】本題考查了解直角三角形，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.
9.如圖所示，正方形的四個頂點 ， ， ， ，及拋物線 和 ，若將一個質(zhì)點隨機(jī)投入正方形 中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用幾何槪型的概率公式，求出對應(yīng)的圖形的面積，利用面積比即可得到結(jié)論.
【詳解】∵A(﹣1，﹣1)，B(1，﹣1)，C(1，1)，D(﹣1，1)，
∴正方體的ABCD的面積S=2×2=4，
根據(jù)積分的幾何意義以及拋物線的對稱性可知陰影部分的面積：
S=2 [1﹣ ]dx=2( x3) 2[(1 )﹣0]=2 ，
則由幾何槪型的概率公式可得質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是 .
故選：B.
【點睛】本題主要考查幾何槪型的概率的計算，利用積分求出陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵.
10.如果 是拋物線 上的點，它們的橫坐標(biāo) ， 是拋物線 的焦點，若 ，則 ( )
A. 2028 B. 2038 C. 4046 D. 4056
【答案】B
【解析】
【分析】
由拋物線性質(zhì)得|PnF| xn+1，由此能求出結(jié)果.
【詳解】∵P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2=4x上的點，
它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點，
,
∴
=(x1+1)+(x2+1)+…+(x2018+1)
=x1+x2+…+x2018+2018
=2018+20=2038.
故選：B.
【點睛】本題考查拋物線中一組焦半徑和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線的性質(zhì)的合理運用.
11.已知函數(shù) ，記 ，若 存在3個零點，則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由g(x)=0得f(x)=ex+a，分別作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象交點個數(shù)與函數(shù)零點之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】由g(x)=0得f(x)=ex+a，
作出函數(shù)f(x)和y=ex+a的圖象如圖：
當(dāng)直線y=ex+a過A 點時，截距a= ，此時兩個函數(shù)的圖象有2個交點，
將直線y=ex+a向上平移到過B(1，0)時，截距a=-e，兩個函數(shù)的圖象有2個交點，
在平移過程中直線y=ex+a與函數(shù)f(x)圖像有三個交點，
即函數(shù)g(x)存在3個零點，
故實數(shù)a的取值范圍是 ，
故選：C.
【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)零點問題，利用函數(shù)與零點之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
12.設(shè) 是雙曲線 的左右焦點， 是坐標(biāo)原點，過 的一條直線與雙曲線 和 軸分別交于 兩點，若 ， ，則雙曲線 的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由條件得到 = ，連接A ，在三角形 中，由余弦定理可得A ，
再由雙曲線定義A =2a，可得.
【詳解】∵ ，得到| ，∴ = ，又 ，連接A ， ，在三角形 中，由余弦定理可得A ，
又由雙曲線定義A =2a，可得 ，∴ = ，
故選D.
【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用及離心率的求法，綜合考查了三角形中余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.若 滿足約束條件 ，則 的最大值為____.
【答案】5
【解析】
【分析】
畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解目標(biāo)函數(shù)的最值即可.
【詳解】x，y滿足約束條件 的可行域如圖：
由 解得A(1，2).
由可行域可知：目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過可行域A時，
z=x+2y取得最大值：5.
故答案為：5.
【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，考查計算能力.
14.設(shè) ，則 的值為__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
分別令x=0和x=-1，即可得到所求.
【詳解】由條件 ，令x=0,則有 =0，再令x=-1,則有-1= ，∴ ，
故答案為1.
【點睛】本題考查二項式定理的系數(shù)問題，利用賦值法是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
15.在平面直角坐標(biāo)系 中,已知過點 的直線與圓 相切,且與直線 垂直,則實數(shù) __________.
【答案】
【解析】
因為 在圓 上，所以圓心與切點 的連線與切線垂直，又知與直線與直線 垂直，所以圓心與切點 的連線與直線 斜率相等， ，所以 ，故填： .
16.已知函數(shù) ，過點 作與 軸平行的直線交函數(shù) 的圖像于點 ，過點 作 圖像的切線交 軸于點 ，則 面積的最小值為____.
【答案】
【解析】
【分析】
求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，令x=a，求得P的坐標(biāo)，可得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程，令y=0，可得B的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式可得△ABP面積S，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得到所求值.
【詳解】函數(shù)f(x)= 的導(dǎo)數(shù)為f′(x) ，
由題意可令x=a，解得y ，
可得P(a， )，
即有切線的斜率為k ，
切線的方程為y﹣ (x )，
令y=0，可得x=a﹣1，
即B( a﹣1，0)，
在直角三角形PAB中，|AB|=1，|AP| ，
則△ABP面積為S(a) |AB|•|AP| • ，a>0，
導(dǎo)數(shù)S′(a) • ，
當(dāng)a>1時，S′>0，S(a)遞增;當(dāng)0
即有a=1處S取得極小值，且為最小值 e.
故答案為： e.
【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，注意運用直線方程和構(gòu)造函數(shù)法，考查運算能力，屬于中檔題.
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.已知函數(shù) 的最小正周期為 ，將函數(shù) 的圖像向右平移 個單位長度，再向下平移 個單位長度，得到函數(shù) 的圖像.
(1)求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在銳角 中，角 的對邊分別為 ，若 ， ，求 面積的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)f(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)先利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，在銳角△ABC中，由g( )=0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面積的最大值.
【詳解】(1)由題得：函數(shù)
=
=
，
由它的最小正周期為 ，得 ，
∴
由 ，得
故函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)將函數(shù) 的圖像向右平移 個單位長度，再向下平移 個單位長度，得到函數(shù) 的圖像，
在銳角 中，角 的對邊分別為 ，
若 ，可得 ，∴ .
因為 ，由余弦定理，得 ，
∴ ，
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取得等號.
∴ 面積 ，
故 面積的最大值為
【點睛】本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.
18.設(shè) 是等差數(shù)列，前 項和為 ， 是等比數(shù)列，已知 ， ， ， .
(1)求數(shù)列 和數(shù)列 的通項公式;
(2)設(shè) ，記 ，求 .
【答案】(1) ， ;(2)
【解析】
【分析】
(1)設(shè)數(shù)列 的公差為 等比數(shù)列{bn}的公比為q，由已知列式求得d，q及首項，則可求數(shù)列 和{bn}的通項公式;
(2)由(1)知， ，利用錯位相減直接求和.
【詳解】(1)設(shè)數(shù)列 的公差為 ，等比數(shù)列 的公比為
由已知得： ，即 ，
又 ，所以 ，
所以
由于 ，
，
所以 ，即 ( 不符合題意，舍去)
所以 ，
所以 和 的通項公式分別為 ， .
(2)由(1)知， ，
所以
所以
上述兩式相減，得：
=
= ，
得 .
【點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)列求和的基本方法及運算能力，是中檔題.
19.已知橢圓 ，點 在橢圓 上，橢圓 的離心率是 .
(1)求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點 為橢圓長軸的左端點， 為橢圓上異于橢圓 長軸端點的兩點，記直線 斜率分別為 ，若 ，請判斷直線 是否過定點?若過定點，求該定點坐標(biāo)，若不過定點，請說明理由.
【答案】(1) (2)過定點
【解析】
【分析】
(1)由點M(﹣1， )在橢圓C上，且橢圓C的離心率是 ，列方程組求出a=2，b ，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)點P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，聯(lián)立 ，得：(4k2+3)x2+8kmx+(4m2﹣12)=0，利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件得直線PQ的方程過定點(1，0);再驗證直線PQ的斜率不存在時，同樣推導(dǎo)出x0=1，從而直線PQ過(1，0).由此能求出直線PQ過定點(1，0).
【詳解】(1)由點 在橢圓 上，且橢圓 的離心率是 ，
可得 ，
可解得：
故橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(2)設(shè)點 的坐標(biāo)分別為 ，
(ⅰ)當(dāng)直線 斜率不存在時，由題意知，直線方程和曲線方程聯(lián)立得： ， ，
(ⅱ)當(dāng)直線 的斜率存在時，設(shè)直線 的方程為 ，
聯(lián)立 ，消去 得： ，
由 ，有 ，
由韋達(dá)定理得： ， ，
故 ，可得： ，
可得： ，
整理為： ，
故有 ，
化簡整理得： ，解得： 或 ，
當(dāng) 時直線 的方程為 ，即 ，過定點 不合題意，
當(dāng) 時直線 的方程為 ，即 ，過定點 ，
綜上，由(ⅰ)(ⅱ)知，直線 過定點 .
【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程是否過定點的判斷與求法，考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，是中檔題.
20.在創(chuàng)新“全國文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：
(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分 ， 近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求 ;
(2)在(1)的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：
①得分不低于 的可以獲贈2次隨機(jī)話費，得分低于 的可以獲贈1次隨機(jī)話費;
?、诿看潍@贈的隨機(jī)話費和對應(yīng)的概率為：
現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記 (單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附：參考數(shù)據(jù)與公式： ,若 ，則 ， ， .
【答案】(1)0.8185(2)詳見解析
【解析】
【分析】
(1)由題意計算平均值，根據(jù)Z～N( ， )計算 的值;
(2)由題意知X的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望值.
【詳解】(1)由題意得：
∴ ，∵ ，
∴ ，
，
∴
綜上，
(2)由題意知， ，
獲贈話費 的可能取值為20,40,50,70,100
;
;
;
，
;
的分布列為：
∴
【點睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望以及正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識，也考查了運算求解能力，是中檔題.
21.已知函數(shù) ， ， .
(1)已知 為函數(shù) 的公共點，且函數(shù) 在點 處的切線相同，求的值;
(2)若 在 上恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)f(x)，g(x)在點T處的切線相同，得到 ，且 ，從而求出a的值即可;
(2)令 ，將a與0、e分別比較進(jìn)行分類，討論 的單調(diào)性及最值情況，從而找到符合條件的a的值.
【詳解】(1)由題意 ， ，
∵點 為函數(shù) 的公共點，且函數(shù) 在點 處的切線相同，
故 且 ，
由(2)得： ，
∵ ，∴ ，從而 ，∴
代入(1)得： ，∴ ， .
(2)令
，
?、佼?dāng) 時， ， 在 單調(diào)遞增，
∴ ，滿足題意;
②當(dāng) 時，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 在 單調(diào)遞增，
需 解得： ，∴
?、郛?dāng) 時， ，使
當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞減;
當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞增;
，
∵ ，
∴
，不恒成立，
綜上，實數(shù)的取值范圍是 .
【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題.
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系 中，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)， )，以坐標(biāo)原點 為極點，以 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程是 .
(1)求直線的普通方程和曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線與曲線 交于 兩點，且 ，求實數(shù)的值.
【答案】(1)的普通方程 ; 的直角坐標(biāo)方程是 ;(2)
【解析】
【分析】
(1)把直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的t消掉即可得到直線的普通方程，由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2 sin(θ )，展開得 (ρsinθ+ρcosθ)，利用 即可得出曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)先求得圓心 到直線 的距離為 ，再用垂徑定理即可求解.
【詳解】(1)由直線的參數(shù)方程為 ，所以普通方程為
由曲線 的極坐標(biāo)方程是 ，
所以 ，
所以曲線 的直角坐標(biāo)方程是
(2)設(shè) 的中點為 ，圓心 到直線 的距離為 ，則 ，
圓 ，則 ， ，
,
由點到直線距離公式，
解得 ，所以實數(shù)的值為 .
【點睛】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程化為普通方程，考查了點到直線的距離公式，圓中垂徑定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
23.選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) .
(1)若不等式 的解集為 ，求的值;
(2)當(dāng) 時，求 的解集.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)通過討論a的范圍，求出不等式的解集，結(jié)合對應(yīng)關(guān)系求出a的值即可;
(2)代入a的值，通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可.
【詳解】(1)由 得 ，
當(dāng) 時，
由 ，得 ，
當(dāng) 時，
由 ，無解
所以 .
(2)
當(dāng) 時，原不等式化為 ，所以 ;
當(dāng) 時，原不等式化為 ，所以 (舍);
當(dāng) 時，原不等式化為
所以，不等式的解集為 .
【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題.
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