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2017年高考全國Ⅲ卷理數(shù)試題和答案

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2017年高考全國Ⅲ卷理數(shù)試題和答案

  數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開做題,在復(fù)習(xí)的階段更是需要多做試卷,下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼挠嘘P(guān)于高考全國卷的理數(shù)試卷介紹 ,希望能夠幫助到大家。

  2017年高考全國Ⅲ卷理數(shù)試題

  一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

  1.已知集合A=,B=,則AB中元素的個(gè)數(shù)為

  A.3 B.2 C.1 D.0

  2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則z∣=

  A. B. C. D.2

  3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.

  根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

  A.月接待游客量逐月增加

  B.年接待游客量逐年增加

  C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

  D.各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)

  4.(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為

  A.-80 B.-40 C.40 D.80

  5.已知雙曲線C: (a>0,b>0)的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點(diǎn),則C的方程為

  A. B. C. D.

  6.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

  A.f(x)的一個(gè)周期為−2π B.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱

  C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x= D.f(x)在(,π)單調(diào)遞減

  7.執(zhí)行下面的程序框圖,為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為

  A.5 B.4 C.3 D.2

  8.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為

  A. B. C. D.

  9.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則前6項(xiàng)的和為

  A.-24 B.-3 C.3 D.8

  10.已知橢圓C:,(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切,則C的離心率為

  A. B. C. D.

  11.已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則a=

  A. B. C. D.1

  12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若= +,則+的最大值為

  A.3 B.2 C. D.2

  二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

  13.若,滿足約束條件,則的最小值為__________.

  14.設(shè)等比數(shù)列滿足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3,則a4 = ___________.

  15.設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________。

  16.a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:

  當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成30°角;

  當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成60°角;

  直線AB與a所稱角的最小值為45°;

  直線AB與a所稱角的最小值為60°;

  其中正確的是________。(填寫所有正確結(jié)論的編號)

  三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。

  (一)必考題:共60分。

  17.(12分)

  △ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.

  (1)求c;

  (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD AC,求△ABD的面積.

  18.(12分)

  某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:

  最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。

  (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;

  (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?

  19.(12分)

  如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,ABD=∠CBD,AB=BD.WWW.ziyuanku.com

  (1)證明:平面ACD平面ABC;

  (2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.

  20.(12分)

  已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線l交C與A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.

  (1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;

  (2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程.

  21.(12分)

  已知函數(shù) =x﹣1﹣alnx.

  (1)若 ,求a的值;

  (2)設(shè)m為整數(shù),且對于任意正整數(shù)n,﹤m,求m的最小值.

  (二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。

  22.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)

  在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.

  (1)寫出C的普通方程;

  (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cosWWW.ziyuanku.comθ+sinθ)-=0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.

  23.選修45:不等式選講(10分)

  已知函數(shù)f(x)=│x+1│–│x–2│.

  (1)求不等式f(x)≥1的解集;

  (2)若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空,求m的取值范圍.

  2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

  理科數(shù)學(xué)試題正式答案

  一、選擇題

  1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D

  7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A

  二、填空題

  13. -1 14. -8 15. 16. ②③

  三、解答題

  17.解:

  (1)由已知得 tanA=

  在 △ABC中,由余弦定理得

  (2)有題設(shè)可得

  故△ABD面積與△ACD面積的比值為

  又△ABC的面積為

  18.解:

  (1)由題意知,所有的可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知

  .

  因此的分布列為

  0.2 0.4 0.4 中·華.資*源%庫 ziyuanku.com⑵由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮

  當(dāng)時(shí),

  若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n

  若最高氣溫位于區(qū)間,則Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;

  若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;

  因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n

  當(dāng)時(shí),

  若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;

  若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;

  因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n

  所以n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元。

  19.解:

  (1)由題設(shè)可得,

  又是直角三角形,所以

  取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO

  又由于

  所以

  (2)

  由題設(shè)及(1)知,兩兩垂直,以$來&源:ziyuanku.com的方向?yàn)檩S正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則

  由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,即E為DB的中點(diǎn),得E.故

  設(shè)是平面DAE的法向量,則

  可取

  設(shè)是平面AEC的法向量,則同理可得

  則

  所以二面角D-AE-C的余弦值為

  20.解

  (1)設(shè)

  由可得

  又=4

  因此OA的斜率與OB的斜率之積為

  所以O(shè)AOB

  故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.

  (2)由(1)可得

  故圓心M的坐標(biāo)為,圓M的半徑

  由于圓M過點(diǎn)P(4,-2),因此,故

  即

  由(1)可得,

  所以,解得

  當(dāng)m=1時(shí),直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為,圓M的方程為

  當(dāng)時(shí),直線l的方程為,圓心M的坐標(biāo)為,圓M的半徑為,圓M的方程為

  21.解:(1)的定義域?yàn)?

 ?、偃?,因?yàn)?,所以不滿足題意;

 ?、谌?,由知,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故x=a是在的唯一最小值點(diǎn).

  由于,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),.

  故a=1

  (2)由(1)知當(dāng)時(shí),

  令得,從而

  故

  而,所以m的最小值為3.

  22.解:

  (1)消去參數(shù)t得l1的普通方程

  設(shè)P(x,y),由題設(shè)得,消去k得.

  所以C的普通方程為

  (2)C的極坐標(biāo)方程為

  聯(lián)立得.

  故,從而

  代入得,所以交點(diǎn)M的極徑為.

  23.解:

  (1)

  當(dāng)時(shí),無解;

  當(dāng)時(shí),由得,,解得

  當(dāng)時(shí),由解得.

  所以的解集為.

  (2)由得,而

  且當(dāng)時(shí),.

  故m的取值范圍為

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