高考數(shù)學(xué)對(duì)稱問題知識(shí)總結(jié)
對(duì)稱問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)試題中常出現(xiàn)一些構(gòu)思新穎解法靈活的對(duì)稱問題，為使對(duì)稱問題的知識(shí)系統(tǒng)化。下面學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)高考數(shù)學(xué)對(duì)稱問題知識(shí)，希望對(duì)你有幫助。
高考數(shù)學(xué)對(duì)稱問題知識(shí)
一、點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線對(duì)稱點(diǎn)問題
1、設(shè)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，
x′=2a-x
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：y′=2b-y
2、點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線L：Ax+By+C=O的對(duì)稱點(diǎn)為
x′=x-(Ax+By+C)
P′(x′，y′)則
y′=y-(AX+BY+C)
事實(shí)上：∵PP′⊥L及PP′的中點(diǎn)在直線L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C
解此方程組可得結(jié)論。
(-)=-1(B≠0)
特別地，點(diǎn)P(x，y)關(guān)于
1、x軸和y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為(x，-y)和(-x，y)
2、直線x=a和y=a的對(duì)標(biāo)點(diǎn)分別為(2a-x，y)和(x，2a-y)
3、直線y=x和y=-x的對(duì)稱點(diǎn)分別為(y，x)和(-y，-x)
例1光線從A(3，4)發(fā)出后經(jīng)過直線x-2y=0反射，再經(jīng)過y軸反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1，5)，求射入y軸后的反射線所在的直線方程。
解：如圖，由公式可求得A關(guān)于直線x-2y=0的對(duì)稱點(diǎn)
A′(5，0)，B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′為(-1，5)，直線A′B′的方程為5x+6y-25=0
`C(0，)
`直線BC的方程為：5x-6y+25=0
二、曲線關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱曲線問題
求已知曲線F(x，y)=0關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱曲線方程時(shí)，只須將曲線F(x，y)=O上任意一點(diǎn)(x，y)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換方程F(x，y)=0中相應(yīng)的作稱即得，由此我們得出以下結(jié)論。
1、曲線F(x，y)=0關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱曲線的方程是F(2a-x，2b-y)=0
2、曲線F(x，y)=0關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱的曲線方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0
特別地，曲線F(x，y)=0關(guān)于
(1)x軸和y軸對(duì)稱的曲線方程分別是F(x，-y)和F(-x，y)=0
(2)關(guān)于直線x=a和y=a對(duì)稱的曲線方程分別是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0
(3)關(guān)于直線y=x和y=-x對(duì)稱的曲線方程分別是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0
除此以外還有以下兩個(gè)結(jié)論：對(duì)函數(shù)y=f(x)的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象;保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f(x)|的圖象。
例2(全國(guó)高考試題)設(shè)曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動(dòng)t，s單位長(zhǎng)度后得曲線C1：
1)寫出曲線C1的方程
2)證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A(，)對(duì)稱。
(1)解知C1的方程為y=(x-t)3-(x-t)+s
(2)證明在曲線C上任取一點(diǎn)B(a，b)，設(shè)B1(a1，b1)是B關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：
s-b1=(t-a1)3-(t-a1)
`b1=(a1-t)3-(a1-t)+s
`B1(a1，b1)滿足C1的方程
`B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上
`曲線C和C1關(guān)于a對(duì)稱
我們用前面的結(jié)論來(lái)證：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P1(t-x，s-y)，為了求得C關(guān)于A的對(duì)稱曲線我們將其坐標(biāo)代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x)
`y=(x-t)3-(x-t)+s
此即為C1的方程，`C關(guān)于A的對(duì)稱曲線即為C1。
三、曲線本身的對(duì)稱問題
曲線F(x，y)=0為(中心或軸)對(duì)稱曲線的充要條件是曲線F(x，y)=0上任意一點(diǎn)P(x，y)(關(guān)于對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換曲線方程中相應(yīng)的坐標(biāo)后方程不變。
例如拋物線y2=-8x上任一點(diǎn)p(x，y)與x軸即y=0的對(duì)稱點(diǎn)p′(x，-y)，其坐標(biāo)也滿足方程y2=-8x，`y2=-8x關(guān)于x軸對(duì)稱。
例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：
A、關(guān)于y軸對(duì)稱B、關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱
C、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D、關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱
解：在方程中以-x換x，同時(shí)以-y換y得
(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變
`曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
函數(shù)圖象本身關(guān)于直線和點(diǎn)的對(duì)稱問題我們有如下幾個(gè)重要結(jié)論：
1、函數(shù)f(x)定義線為R，a為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R，均有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱。
這是因?yàn)閍+x和a-x這兩點(diǎn)分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對(duì)稱，且其函數(shù)值相等，說(shuō)明這兩點(diǎn)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，由x的任意性可得結(jié)論。
例如對(duì)于f(x)若t∈R均有f(2+t)=f(2-t)則f(x)圖象關(guān)于x=2對(duì)稱。若將條件改為f(1+t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)結(jié)論又如何呢?第一式中令t=1+m則得f(2+m)=f(2-m);第二式中令t=2+m，也得f(2+m)=f(2-m)，所以仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對(duì)稱，由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：
2、函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R均有f(a+x)=f(b-x)，則其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱。
我們?cè)賮?lái)探討以下問題：若將條件改為f(2+t)=-f(2-t)結(jié)論又如何呢?試想如果2改成0的話得f(t)=-f(t)這是奇函數(shù)，圖象關(guān)于(0，0)成中心對(duì)稱，現(xiàn)在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移，由此我們猜想，圖象關(guān)于M(2，0)成中心對(duì)稱。如圖，取點(diǎn)A(2+t，f(2+t))其關(guān)于M(2，0)的對(duì)稱點(diǎn)為A′(2-x，-f(2+x))
∵-f(2+X)=f(2-x)`A′的坐標(biāo)為(2-x，f(2-x))顯然在圖象上
`圖象關(guān)于M(2，0)成中心對(duì)稱。
若將條件改為f(x)=-f(4-x)結(jié)論一樣，推廣至一般可得以下重要結(jié)論：
3、f(X)定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R均有f(a+x)=-f(b-x)，則其圖象關(guān)于點(diǎn)M(，0)成中心對(duì)稱。
高考數(shù)學(xué)得分技巧
在三門主科中，只有數(shù)學(xué)最容易拉開距離，也最為同學(xué)、家長(zhǎng)所關(guān)心。由于高考的特殊性，有些同學(xué)在考試開始的前5分鐘就已亂了方寸，導(dǎo)致誰(shuí)都不希望的結(jié)果。
1.做好前面5個(gè)小題。不要小看這幾個(gè)小題，對(duì)穩(wěn)定情緒，鼓舞士氣有很大作用。有些同學(xué)就是由于前面?zhèn)€別小題做得不順，影響整個(gè)考試情緒。而一旦前面發(fā)揮得好，會(huì)感到一路順手，所向披靡。
2.認(rèn)真審題。由于前面題目簡(jiǎn)單，想抓緊時(shí)間做完，以便騰出時(shí)間做后面的難題，結(jié)果把題目看錯(cuò)了，非常可惜。如2000年上海卷第1題就有不少同學(xué)犯這種低級(jí)錯(cuò)誤。
3.確實(shí)遇到暫時(shí)不會(huì)做的題目，可以放一放，但很多同學(xué)做不到。擔(dān)心前面就有不會(huì)做，后面肯定更難，從而心慌手抖，頭腦一片空白。
要知道難易對(duì)大家都一樣，你不會(huì)別人可能也不會(huì)。遇到暫時(shí)不會(huì)做的題目要敢于“合理放棄”，必要時(shí)你可以抬頭看看，周圍的人還在做這道難題，讓他們浪費(fèi)時(shí)間吧，我去做會(huì)做的題目。這種心理暗示會(huì)減少你的壓力，等會(huì)做的做完了，狀態(tài)很好，勢(shì)如破竹，再回過來(lái)，有時(shí)一看就會(huì)了，這就能使你出色發(fā)揮。
4.對(duì)多數(shù)同學(xué)而言，最后兩題的最后一問是“用不著”做的，如果前面不細(xì)心失誤而把時(shí)間放攻難題上是得不償失，犯了策略性錯(cuò)誤。
5.心理素質(zhì)不太好的同學(xué)，不一定要先看整個(gè)試卷，因?yàn)橛龅诫y題會(huì)緊張。
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法
1.強(qiáng)化“三基”，夯實(shí)基礎(chǔ)
所謂“三基”就是指基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本的數(shù)學(xué)思想方法，從近幾年的高考數(shù)學(xué)試題可見“出活題、考基礎(chǔ)、考能力”仍是命題的主導(dǎo)思想。因而在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意加強(qiáng)“三基”題型的訓(xùn)練，不要急于求成，好高騖遠(yuǎn)，抓了高深的，丟了基本的。
考生要深化對(duì)“三基”的理解、掌握和運(yùn)用，高考試題改革的重點(diǎn)是：從“知識(shí)立意”向“能力立意”轉(zhuǎn)變，考試大綱提出的數(shù)學(xué)學(xué)科能力要求是：能力是指思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力以及實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)。
新課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)學(xué)科的能力為：數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題和解決問題的能力，數(shù)學(xué)探究能力，數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)交流能力，數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，數(shù)學(xué)思維能力。
考生復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)要抓住本學(xué)科內(nèi)各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系與綜合進(jìn)行重新組合，對(duì)所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)形成一個(gè)較為完整的結(jié)構(gòu)，達(dá)到“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的境界。
強(qiáng)化基本技能的訓(xùn)練要克服“眼高手低”現(xiàn)象，主要在速算、語(yǔ)言表達(dá)、解題、反思矯正等方面下功夫，盡量不丟或少丟一些不應(yīng)該丟失的分?jǐn)?shù)。
要注重基本數(shù)學(xué)思想方法在日常訓(xùn)練中的滲透，逐步提高學(xué)生的思維能力。
夯實(shí)解題基本功。高考復(fù)習(xí)的一個(gè)基本點(diǎn)是夯實(shí)解題基本功，而對(duì)這個(gè)問題的一個(gè)片面做法是，只抓解題的知識(shí)因素，其實(shí)，解題的效益取決于多種因素，其中最基本的有：解題的知識(shí)因素、能力因素、經(jīng)驗(yàn)因素、非智力因素。學(xué)生在答卷中除了知識(shí)性錯(cuò)誤之外，還有邏輯性錯(cuò)誤和策略性錯(cuò)誤和心理性錯(cuò)誤。
數(shù)學(xué)高考?xì)v來(lái)重視運(yùn)算能力，運(yùn)算要熟練、準(zhǔn)確，運(yùn)算要簡(jiǎn)捷、迅速，運(yùn)算要與推理相結(jié)合，要合理，并且在復(fù)習(xí)中要有意識(shí)地養(yǎng)成書寫規(guī)范，表達(dá)準(zhǔn)確的良好習(xí)慣。
2. 全面復(fù)習(xí)，系統(tǒng)整理知識(shí)，查漏補(bǔ)缺，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)
這是第一階段復(fù)習(xí)中應(yīng)該重點(diǎn)解決的問題?？忌谶@一過程應(yīng)牢牢抓住以下幾點(diǎn)：①概念的準(zhǔn)確理解和實(shí)質(zhì)性理解;②基本技能、基本方法的熟練和初步應(yīng)用;③公式、定理的正逆推導(dǎo)運(yùn)用，抓好相互的聯(lián)系、變形和巧用。
經(jīng)過全面復(fù)習(xí)這一階段的努力，應(yīng)使達(dá)到以下要求：①按大綱要求理解或掌握概念;②能理解或獨(dú)立完成課本中的定理證明;③能熟練解答課本上的例題、習(xí)題;④能簡(jiǎn)要說(shuō)出各單元題目類型及主要解法;⑤形成系統(tǒng)知識(shí)的合理結(jié)構(gòu)和解題步驟的規(guī)范化。
這一階段的直接效益是會(huì)考得優(yōu)，其根本目的是為數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高準(zhǔn)備物質(zhì)基礎(chǔ)。認(rèn)真做好全面復(fù)習(xí)，才談得上靈活性和綜合性，才能適應(yīng)高考踩分點(diǎn)多、覆蓋面廣的特點(diǎn)。
這一階段復(fù)習(xí)的基本方法是從大到小、先粗后細(xì)，把教學(xué)中分割講授的知識(shí)單點(diǎn)、知識(shí)片斷組織合成知識(shí)鏈、知識(shí)體系、知識(shí)結(jié)構(gòu)，使之各科內(nèi)容綜合化;基礎(chǔ)知識(shí)體系化;基本方法類型化;解題步驟規(guī)范化。這當(dāng)中，輔以圖線、表格、口訣等已被證明是有益的，“習(xí)題化”的復(fù)習(xí)技術(shù)亦被證明是成功的，如，基本內(nèi)容填空，基本概念判斷，基本公式串聯(lián)，基本運(yùn)算選擇。
3.加強(qiáng)對(duì)知識(shí)交匯點(diǎn)問題的訓(xùn)練
課本上每章的習(xí)題往往是為鞏固本章內(nèi)容而設(shè)置的，所用知識(shí)相對(duì)比較單一。復(fù)習(xí)中考生對(duì)知識(shí)交匯點(diǎn)的問題應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng)訓(xùn)練，實(shí)際上就是訓(xùn)練學(xué)生的分析問題解決問題的能力。
要形成有效的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。知識(shí)網(wǎng)絡(luò)就是知識(shí)之間的基本聯(lián)系，它反映知識(shí)發(fā)生的過程，知識(shí)所要回答的基本問題。構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過程是一個(gè)把厚書(課本)讀薄的過程;同時(shí)通過綜合復(fù)習(xí)，還應(yīng)該把薄書讀厚，這個(gè)厚，應(yīng)該比課本更充實(shí)，在課本的基礎(chǔ)上加入一些更宏觀的認(rèn)識(shí)，更個(gè)性化的理解，更具操作性的解題經(jīng)驗(yàn)。
綜合性的問題往往是可以分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問題來(lái)解決的，這幾個(gè)簡(jiǎn)單問題有機(jī)的結(jié)合在一起。要解決這類考題，關(guān)鍵在于弄清題意，將之分解，找到突破口。由于課程內(nèi)容的變化，使知識(shí)的交匯點(diǎn)出現(xiàn)了新動(dòng)向，如從概率統(tǒng)計(jì)中產(chǎn)生應(yīng)用型試題，從導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中與函數(shù)性質(zhì)的聯(lián)袂，從解析幾何中產(chǎn)生與平面向量的聯(lián)系、立體幾何、三角函數(shù)、數(shù)列內(nèi)容中滲透相關(guān)知識(shí)的綜合考查(如三角與向量的結(jié)合、數(shù)列與不等式結(jié)合、概率與數(shù)列內(nèi)容的結(jié)合)等。
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