數(shù)學(xué)高考對(duì)數(shù)函數(shù)必考知識(shí)點(diǎn)
在高中高考數(shù)學(xué)教學(xué)中,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼臄?shù)學(xué)高考對(duì)數(shù)函數(shù)必考知識(shí)點(diǎn)，希望對(duì)你有幫助。
對(duì)數(shù)函數(shù)必考知識(shí)點(diǎn)
對(duì)數(shù)定義
如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN。其中，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
注：1、以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并記為lg。
2、稱以無理數(shù)e(e=2.71828...)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并記為ln。
3、零沒有對(duì)數(shù)。
4、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)是有對(duì)數(shù)的。
對(duì)數(shù)公式
對(duì)數(shù)函數(shù)定義
一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，也就是說以冪(真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對(duì)數(shù)函數(shù)。
其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞)。它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)
定義域求解：對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的定義域是{x丨x>0}，但如果遇到對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域的求解，除了要注意大于0以外，還應(yīng)注意底數(shù)大于0且不等于1，如求函數(shù)y=logx(2x-1)的定義域，需同時(shí)滿足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定義域?yàn)閧x丨x>1/2且x≠1}
值域：實(shí)數(shù)集R，顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無界。
定點(diǎn)：函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)(1，0)。
單調(diào)性：a>1時(shí)，在定義域上為單調(diào)增函數(shù);
奇偶性：非奇非偶函數(shù)
周期性：不是周期函數(shù)
對(duì)稱性：無
最值：無
零點(diǎn)：x=1
注意：負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)。
兩句經(jīng)典話：底真同對(duì)數(shù)正,底真異對(duì)數(shù)負(fù)。解釋如下：
也就是說：若y=logab (其中a>0,a≠1，b>0)
當(dāng)a>1,b>1時(shí)，y=logab>0;
當(dāng)01時(shí)，y=logab<0;
當(dāng)a>1,0
對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)及推導(dǎo)過程
基本性質(zhì)：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(a^b)=b
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
推導(dǎo)
1、因?yàn)閚=log(a)(b)，代入則a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因?yàn)閍^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
3、MN=M×N
由基本性質(zhì)1(換掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
兩種方法只是性質(zhì)不同,采用方法依實(shí)際情況而定
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
4、與(3)類似處理
MN=M÷N
由基本性質(zhì)1(換掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
5、與(3)類似處理
M^n=M^n
由基本性質(zhì)1(換掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性質(zhì)4推廣
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推導(dǎo)如下：
由換底公式(換底公式見下面)[lnx是log(e)(x)，e稱作自然對(duì)數(shù)的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
換底公式的推導(dǎo)：
設(shè)e^x=b^m,e^y=a^n
則log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性質(zhì)4可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由換底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
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