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高考數(shù)學解析幾何解題技巧及高考題例析

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高考數(shù)學解析幾何解題技巧及高考題例析

  考試是檢測學生學習效果的重要手段和方法,考前需要做好各方面的知識儲備。下面是學習啦小編為大家整理的高考數(shù)學解析幾何解題技巧,希望對大家有所幫助!

  高考數(shù)學解析幾何解題技巧及高考題例析

  每次和同學們談及高考數(shù)學,大家似乎都有同感:高中數(shù)學難,高考數(shù)學解析幾何又是難中之難。實在不然,解析幾何題目自有路徑可循,方法可依。只要經(jīng)過認真的預備和正確的點撥,完全可以讓高考數(shù)學的解析幾何壓軸題變成讓同學們都很有信心的中等題目。

  我們先來分析一下解析幾何高考的命題趨勢:

  (1)題型穩(wěn)定:近幾年來高考解析幾何試題一直穩(wěn)定在三(或二)個選擇題,一個填空題,一個解答題上,分值約為30分左釉冬 占總分值的20%左右。

  (2)整體平衡,重點突出:《考試說明》中解析幾何部分原有33個知識點,現(xiàn)縮為19個知識點,一般考查的知識點超過50%,其中對直線、圓、圓錐曲線知識的考查幾乎沒有遺漏,通過對知識的重新組合,考查時既留意全面,更留意突出重點,對支撐數(shù)學科知識體系的主干知識,考查時保證較高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考對解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個類型:

 ?、?求曲線方程(類型確定、類型未定);

  ②直線與圓錐曲線的交點題目(含切線題目);

 ?、叟c曲線有關(guān)的最(極)值題目;

 ?、芘c曲線有關(guān)的幾何證實(對稱性或求對稱曲線、平行、垂直);

 ?、萏角笄€方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)目特征;

  (3)能力立意,滲透數(shù)學思想:如2000年第(22)題,以梯形為背景,將雙曲線的概念、性質(zhì)與坐標法、定比分點的坐標公式、離心率等知識融為一體,有很強的綜合性。一些雖是常見的基本題型,但假如借助于數(shù)形結(jié)合的思想,就能快速正確的得到答案。

  (4)題型新奇,位置不定:近幾年解析幾何試題的難度有所下降,選擇題、填空題均屬易中等題,且解答題未必處于壓軸題的位置,計算量減少,思考量增大。加大與相關(guān)知識的聯(lián)系(如向量、函數(shù)、方程、不等式等),凸現(xiàn)教材中研究性學習的能力要求。加大探索性題型的分量。

  在近年高考中,對直線與圓內(nèi)容的考查主要分兩部分:

  (1)以選擇題題型考查本章的基本概念和性質(zhì),此類題一般難度不大,但每年必考,考查內(nèi)容主要有以下幾類:

 ?、倥c本章概念(傾斜角、斜率、夾角、間隔、平行與垂直、線性規(guī)劃等)有關(guān)的題目;

  ②對癡光目(包括關(guān)于點對稱,關(guān)于直線對稱)要熟記解法;

  ③與圓的位置有關(guān)的題目,其常規(guī)方法是研究圓心到直線的間隔.

  以及其他“標準件”類型的基礎題。

  (2)以解答題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,此類題綜合性比較強,難度也較大。

  預計在今后一、二年內(nèi),高考對本章的考查會保持相對穩(wěn)定,即在題型、題量、難度、重點考查內(nèi)容等方面不會有太大的變化。

  相比較而言,圓錐曲線內(nèi)容是平面解析幾何的核心內(nèi)容,因而是高考重點考查的內(nèi)容,在每年的高考試卷中一般有2~3道客觀題和一道解答題,難度上易、中、難三檔題都有,主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì),直線與圓錐的位置關(guān)系等,從近十年高考試題看大致有以下三類:

  (1)考查圓錐曲線的概念與性質(zhì);

  (2)求曲線方程和求軌跡;

  (3)關(guān)于直線與圓及圓錐曲線的位置關(guān)系的題目.

  選擇題主要以橢圓、雙曲線為考查對象,填空題以拋物線為考查對象,解答題以考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為主,對于求曲線方程和求軌跡的題,高考一般不給出圖形,以考查學生的想象能力、分析題目的能力,從而體現(xiàn)解析幾何的基本思想和方法,圓一般不單獨考查,總是與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題,等軸雙曲線基本不出題,坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題,大多是以選擇題形式出現(xiàn).解析幾何的解答題一般為困難,近兩年都考查了解析幾何的基本方法——坐標法以及二次曲線性質(zhì)的運用的命題趨向要引起我們的重視.

  請同學們留意圓錐曲線的定義在解題中的應用,留意解析幾何所研究的題目背景平面幾何的一些性質(zhì).從近兩年的試題看,解析幾何題有前移的趨勢,這就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.參數(shù)方程是研究曲線的輔助工具.高考試題中,涉及較多的是參數(shù)方程與普通方程互化及等價變換的數(shù)學思想方法。

  考試大綱這部分的變動就是(1)、簡單線性規(guī)劃由08年的了解進步到理解,(2)、橢圓的參數(shù)方程由08年的了解進步到理解。

  04----08年,解析幾何部分的命題都是“一大兩小”——一個解答題兩個客觀題,多是以平面向量為載體,綜合圓錐曲線交匯處為主干,構(gòu)筑成知識網(wǎng)絡型圓錐曲線題目,使平面向量的知識與解析幾何的知識得到了很好的整合。集中體現(xiàn)對考生綜合知識和應變能力的考查。

  考查的重點落在軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,往往是通過直線與圓錐曲線方程的聯(lián)立、消元,借助于韋達定理代人、向量搭橋建立等量關(guān)系??疾轭}型涉及的知識點題目有求曲線方程題目、參數(shù)的取值范圍題目、最值題目、定值題目、直線過定點題目、對癡光目等,所以我們要把握這些題目的基本解法。

  命題特別留意對思維嚴密性的考查,解題時需要留意考慮以下幾個題目:

  1、設曲線方程時看清焦點在哪條坐標軸上;留意方程待定形式及參數(shù)方程的使用。

  2、直線的斜率存在與不存在、斜率為零,相交題目留意“D”的影響等。

  3、命題結(jié)論給出的方式:搞清題目所給的幾個小題是并列關(guān)系還是遞進關(guān)系。假如前后小題各自有強化條件,則為并列關(guān)系,前面小題結(jié)論后面小題不能用;不過考題經(jīng)常給出的是遞進關(guān)系,有(1)、第一問求曲線方程、第二問討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,(2)第一問求離心率、第二問結(jié)合圓錐曲線性質(zhì)求曲線方程,(3)探索型題目等。解題時要根據(jù)不同情況考慮施加不同的解答技巧。

  4、題目條件如與向量知識結(jié)合,也要留意向量的給出形式:

  (1)、直接反映圖形位置關(guān)系和性質(zhì)的,如?=0,=( ),λ,以及過三角形“四心”的向量表達式等;

  (2)、=λ:假如已知M的坐標,按向量展開;假如未知M的坐標,按定比分點公式代進表示M點坐標。

  (3)、若題目條件由多個向量表達式給出,則考慮其圖形特征(數(shù)形結(jié)合)。

  5、考慮圓錐曲線的第一定義、第二定義的區(qū)別使用,留意圓錐曲線的性質(zhì)的應用。

  6、留意數(shù)形結(jié)合,特別留意圖形反映的平面幾何性質(zhì)。

  7、解析幾何題的另一個考查的重點就是學生的基本運算能力,所以解析幾何考題學生普遍感覺較難對付。為此我們有必要在平常的解題變形的過程中,發(fā)現(xiàn)積累一些式子的常用變形技巧,如假分式的分離技巧,對癡規(guī)換的技巧,構(gòu)造對稱式用韋達定理代進的技巧,構(gòu)造均值不等式的變形技巧等,以便提升解題速度。

  8、平面解析幾何與平面向量都具有數(shù)與形結(jié)合的特征,所以這兩者多有結(jié)合,在它們的知識點交匯處命題,也是高考命題的一大亮點.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目是常考常新、經(jīng)久不衰的一個考查重點,另外,圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍題目、最值題目、定值題目、對癡光目等綜合性題目也是高考的常考題型.解析幾何題一般來說計算量較大且有一定的技巧性,需要“精打細算”,近幾年解析幾何題目的難度有所降低,但還是一個綜合性較強的題目,對考生的意志品質(zhì)和數(shù)學機智都是一種考驗,是高考試題中區(qū)分度較大的一個題目,有可能作為今年高考的一個壓軸題出現(xiàn).

  例1已知點A(-1,0),B(1,-1)和拋物線.,O為坐標原點,過點A的動直線l交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點Q,如圖.

  (1)若△POM的面積為,求向量與的夾角http://www.xxsxyy.com。什么牌子的粉底液好

  (2)試證實直線PQ恒過一個定點。

  高考命題雖說千變?nèi)f化,但只要認真研究考綱和近三年高考試題以及2010年的模擬試題,找出相應的一些規(guī)律,我們就大膽地猜想高考解答題命題的一些思路和趨勢,指導我們后面的溫習。對待高考,我們應該采取正確的態(tài)度,再大膽猜測的同時,更要注重基礎知識的進一步鞏固,多做一些簡單的綜合練習,進步自己的解題能力.

  一、高考溫習建議:

  本章內(nèi)容是高考重點考查的內(nèi)容,在每年的高考考試卷中占總分的15%左釉冬分值一直保持穩(wěn)定,一般有2-3道客觀題和一道解答題。選擇題、填空題不僅重視基礎知識和基本方法,而且具有一定的靈活性與綜合性,難度以中檔題居多,解答題注重考生對基本方法,數(shù)學思想的理解、把握和靈活運用,綜合性強,難度較大,常作為把關(guān)題或壓軸題,其重點是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,求曲線方程,關(guān)于圓錐曲線的最值題目??疾閿?shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、函數(shù)與方程、邏輯推理諸方面的能力,對思維能力、思維方法的要求較高。

  近幾年,解析幾何考查的熱門有以下幾個

  ――求曲線方程或點的軌跡

  ――求參數(shù)的取值范圍

  ――求值域或最值

  ――直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

  以上幾個題目往往是相互交叉的,例如求軌跡方程時就要考慮參數(shù)的范圍,而參數(shù)范圍題目或者最值題目,又要結(jié)合直線與圓錐曲線關(guān)系進行。

  總結(jié)近幾年的高考試題,溫習時應留意以下題目:

  1、重點把握橢圓、雙曲線、拋物線的定義或性質(zhì)

  這是由于橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)是本章的基石,高考所考的題目都要涉及到這些內(nèi)容,要善于多角度、多層次不斷鞏固強化三基,努力促進知識的深化、升華。

  2、重視求曲線的方程或曲線的軌跡

  曲線的方程或軌跡題目往往是高考解答題的命題對象,而且難度較大,所以要把握求曲線的方程或曲線的軌跡的一般方法:定義法、直接法、待定系數(shù)法、代進法(中間變量法)、相關(guān)點法等,還應留意與向量、三角等知知趣結(jié)合。

  3、加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目的溫習

  由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱門,這類題目常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直題目,因此分析題目時利用數(shù)形結(jié)合思想和設而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系往解決題目,這樣就加強了對數(shù)學各種能力的考查,其中著力抓好“運算關(guān)”,增強抽象運算與變形能力。解析幾何的解題思路輕易分析出來,往往由于運算不過關(guān)中途而廢,在學習過程中,應當通過解題,尋求公道運算方案,以及簡化運算的基本途徑和方法,親身經(jīng)歷運算困難的發(fā)生與克服困難的完整過程,增強解決復雜題目的信心。

  4、重視對數(shù)學思想、方法進行回納提煉,達到優(yōu)化解題思路,簡化解題過程的目的。

  用好方程思想。解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線,因此把直線與圓錐曲線相交的弦長題目利用韋達定理進行整體處理,就可簡化解題運算量。

  用好函數(shù)思想。

  把握坐標法。

  二、學習目標

  三、知識梳理

  ●求曲線方程或點的軌跡

  求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本題目之一,是高考中的一個熱門和重點,在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高,特別是當今高考的改革以考查學生的創(chuàng)新意識為突破口,注重考查學生的邏輯思維能力、運算能力、分析題目和解決題目的能力,而軌跡方程這一熱門,則能很好地反映學生在這些方面能力的把握程度。

  下面先容幾種常用的方法

  (1) 直接法:動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系,我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x、粉底液哪個牌子好y的等式就得到曲線軌跡方程。

  (2) 定義法:其動點的軌跡符合某一基本軌跡的定義,則可根據(jù)定義直接求出動點的軌跡方程。

  (3) 幾何法:若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)(如線段中垂線、角平分線性質(zhì)等),可以用幾何法,列出幾何式,再代進點的坐標較簡單。

  (4) 相關(guān)點法(代進法):有些題目中,某動點滿足的條件不便用等式列出,但動點是隨著另一動點(稱為相關(guān)點)而運動的,假如相關(guān)點所滿足的條件是明顯的,這時我們可以用動點坐標表示相關(guān)點坐標,再把相關(guān)點代進其所滿足的方程,即可求得動點的軌跡方程。

  (5) 參數(shù)法:有時求動點應滿足的幾何條件不易得出,也無明顯的相關(guān)點,但卻較易發(fā)現(xiàn)這個動點的運動經(jīng)常受到另一個變量(角度、斜率、比值、截距)等的制約,即動點坐標(x、y)中的x、y分別隨另一變量的變化而變化,我們可稱這個變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程,這種方法叫參數(shù)法。消往參數(shù),即可得到軌跡普通方程。選定參變量要特別留意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響。

  (6) 交軌法:在求動點軌跡時,有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡題目,這類題目常通過解方程組得出交點(含參數(shù))的坐標,再消往參數(shù)求出所求軌跡方程,該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。

  例1、(2000安徽春)已知A、B為拋物線y2 = 4px (p>0) 上原點以外的兩個動點, OA⊥OB,OM⊥AB,M為垂足,求點M的軌跡方程,并說明它表示什么曲線。

  例2、好用的粉底液(1997全國)如圖,給出定點A(a ,0)( a>0 )和直線l :x = -1 , B是直線l上的動點,∠BOA的角平分線交AB于C,求點C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系

  ●求參數(shù)范圍題目

  在解析幾何題目中,常用到參數(shù)來刻劃點和曲線的運動和變化,對于參變量范圍的討論,則需要用到變與不變的相互轉(zhuǎn)化,需要用函數(shù)和變量往思考,因此要用函數(shù)和方程的思想作指導,利用已知變量的取值范圍以及方程的根的狀況求出參數(shù)的取值范圍。

  例1、已知橢圓C: 試確定m的范圍,使得對于直線l: y = 4x+m 橢圓上有不同的兩點關(guān)于直線 l 對稱。

  例2、(2004浙江)已知雙曲線的中心在原點,右頂點為A(1,0),點P、Q在雙曲線的右支上,點M (m , 0 ) 到直線AP的間隔為1,

  (1)若直線AP的斜率為k ,且 ,求實數(shù) m 的取值范圍

  (2)當 時,ΔAPQ的內(nèi)心恰好是點M,求此雙曲線的方程

  ●值域和最值題目

  與解析幾何有關(guān)的函數(shù)的值域或弦長、面積等的最大值、最小值題目是解析幾何與函數(shù)的綜合題目,需要以函數(shù)為工具來處理。

  解析幾何中的最值題目,一般是根據(jù)條件列出所求目標――函數(shù)的關(guān)系式,然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法,應用不等式的性質(zhì),以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值或最小值。另外,還可借助圖形,利用數(shù)形結(jié)正當求最值。

  例1、如圖,已知拋物線 y2 = 4x 的頂點為O,點A 的坐標為(5,0),傾斜角為π/4的直線 l 與線段OA相交(不過O點或A點),且交拋物線于M、N兩點,求△AMN面積最大時直線的方程,并求△AMN的最大面積。

  ●直線與圓錐曲線關(guān)系題目

  1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目,從代數(shù)角度轉(zhuǎn)化為一個方程組實解個數(shù)研究(如能數(shù)形結(jié)合,可借助圖形的幾何性質(zhì)則較為簡便)。即判定直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系時,可將直線方程帶進曲線C的方程,消往y(有時消往x更方便),得到一個關(guān)于x的一元方程 ax2 + bx + c = 0

  當a=0時,這是一個一次方程,若方程有解,則 l 與C相交,此時只有一個公共點。若C為雙曲線,則 l 平行與雙曲線的漸進線;若C為拋物線,則 l 平行與拋物線的對稱軸。所以當直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時,直線和雙曲線、拋物線可能相交,也可能相切。

  當 a≠0 時,若Δ>0 l與C相交

  Δ=0 l與C相切

  Δ<0 l與C相離

  2、涉及圓錐曲線的弦長,一般用弦長公式結(jié)合韋達定理求解,若是過交點的弦利用圓錐曲線的定***題則較為方便

  弦長公式

  解決弦中點有兩種常用辦法:一是利用韋達定理及中點坐標公式;二是利用端點在曲線上,坐標滿足方程,作差構(gòu)造出中點坐標和斜率的關(guān)系(點差法)

  中點弦題目就是當直線與圓錐曲線相交時,得到一條顯冬進一步研究弦的中點的題目. 中點弦題目是解析幾何中的重點和熱門題目,在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn). 解決圓錐曲線的中點弦題目,“點差法”是一個行之有效的方法,“點差法”顧名思義是代點作差的辦法. 其步驟可扼要地敘述為:①設出弦的兩個端點的坐標;②將端點的坐標代進圓錐曲線方程相減;③得到弦的中點坐標與所在直線的斜率的關(guān)系,從而求出直線的方程;④ 作簡

  要的檢驗. 本文試圖通過對一道高考試題解法的探討,談點個人見解.

  一、高考試題

  (2006年北京市高考卷第19題)橢圓C: + = 1(a> b > 0)的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,點P在橢圓C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=, |PF2| = .

  (1) 求橢圓C的方程;

  (2) 若直線l過圓x2 + y2 + 4x - 2y = 0 的圓心M,交橢圓C于A,B兩點,竊讀,B關(guān)于點M對稱,求直線l的方程.

  二、解題思路

  第(1)題的解法不再贅述,答案是:+ = 1,在此基礎上研究第(2)題的解法.

  1. 運用方程組的思路

  設A(x1,y1),B(x2,y2),已知圓的方程為(x + 2)2 + (y - 1)2 = 5,所以圓心M的坐標為(-2,1),從而可設直線l的方程為:y= k(x+ 2)+1.

  ∴y= k(x+ 2)+ 1,+=1.消y得

  (4 + 9k2)x2 + (36k2 + 18k)x + 36k2 + 36k - 27 = 0.

  ∵ A,B關(guān)于點M對稱,

  ∴ = - = -2,解得 k =.

  ∴ 直線l的方程為:8x - 9y + 25 = 0.

  2. 運用“點差法”的思路

  已知圓的方程為(x+ 2)2+ (y- 1)2= 5,所以圓心M的坐標為(-2,1).

  設A(x1,y1),B(x2,y2),由題意x1≠x2且

  + = 1(1)+= 1(2)

  由(1)- (2)得

  + = 0(3)

  由于A,B關(guān)于點M對稱,所以x1 + x2 = -4,y1 + y2 = 2,代進(3)得 k1 = =,所以,直線l的方程為:8x - 9y + 25 = 0. 經(jīng)檢驗,所求直線方程符合題意.

  三、對兩種思路的熟悉

  思路1運算較復雜,尤其是消元得到方程這一步,很多學生是不能順利過關(guān)的;思路2運算較簡潔,學生易把握. 對于兩種思路都必須分析到:直線l經(jīng)過圓心,而且圓心是弦的中點. 這些方法在考題中經(jīng)常有所涉及.

  四、對“點差法”的思考

  1. “點差法”使用條件的反思

  “點差法”使用起來較為簡潔,那么使用“點差法”的條件是什么?

  假設一條直線與曲線mx2 + ny2 = 1(n,m是不為零的常數(shù),且不同時為負數(shù))相交于A,B兩點,設A(x1,x2),B(x2,y2),則mx12 + ny12= 1,mx22 + ny22 = 1, 兩式相減有:m(x1 - x2)(x1 + x2) = -n(y1 - y2)(y1 + y2). 其中x1+x2與y1 + y2和線段AB的中點坐標有關(guān); 為AB的斜率. 由此可見,知道其中一個可以求出另外一個,意思是說:要用“點差法”,需知道AB的中點和AB的斜率之一才可求另一個. 然后進行扼要的檢驗.

  2. 先容一種處理中點弦題目時的巧妙的獨到的解法

  例題 已知雙曲線x2 - = 1,問是否存在直線l,使得M(1,1)為直線l被雙曲線所截弦AB的中點.若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

  由題意得M(1,1)為顯讀B的中點,可設A(1+ s,1+ t),B(1- s,1- t),(s,t∈T訂,由于A,B,M不重合可知, s,t不全為零. 又點A,B在雙曲線x2-= 1上,將點的坐標代進方程得

  (1+ s)2-= 1(1)(1- s)2-= 1(2)

  (1)+ (2) 可得s2= t2 (3)

  (1)- (2) 可得t = 2s (4)

  將(4)代進(3)可得s= 0,t= 0,不可能,故不存在這樣的直線.

  這里我們回納一下解題思路:

  已知直線l與圓錐曲線:ax2 + by2 = 1(a,b使得方程為圓錐曲線)相交于A,B兩點,設中點為M(m,n),求直線l方程.

  解題思路 設A(m+ s,n+ t),B(m - s,n - t), (s,t∈T訂,由于A,B,M不重合可知,s,t不全為零. 又點A,B在雙曲線ax2 + by2 = 1上,將點的坐標代進方程得a(m + s)2- b(n+ t)2= 1, a(m-s)2 - b(n- t)2= 1.解得:ams = bnt,am2 +s2 = bn2 + t2. (由于這里全是字母運算,表達式復雜,不再求出所有的表達式的具體形式,只是談一下思路)進一步解出s,t的值,從而知道A,B的坐標,運用兩點式求出直線l的方程.
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