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高二數(shù)學(xué)排列與組合知識點(diǎn)總結(jié)

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高二數(shù)學(xué)排列與組合知識點(diǎn)總結(jié)

  數(shù)學(xué)對于文科生來說是個大難題,有些同學(xué)甚至“談數(shù)學(xué)色變”。其實(shí)只要掌握恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法,就能輕松拿下數(shù)學(xué)這門課。雖然說數(shù)學(xué)是理科,但是一些重要公式還是需要花時間記憶的,下面小編總結(jié)了高二的數(shù)學(xué)公式,希望能幫到大家。

  排列組合公式/排列組合計(jì)算公式

  排列P------和順序有關(guān)

  組合C-------不牽涉到順序的問題

  排列分順序,組合不分

  例如把5本不同的書分給3個人,有幾種分法."排列"

  把5本書分給3個人,有幾種分法"組合"

  1.排列及計(jì)算公式

  從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號p(n,m)表示.

  p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).

  2.組合及計(jì)算公式

  從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號

  c(n,m)表示.

  c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);

  3.其他排列與組合公式

  從n個元素中取出r個元素的循環(huán)排列數(shù)=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

  n個元素被分成k類,每類的個數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數(shù)為

  n!/(n1!*n2!*...*nk!).

  k類元素,每類的個數(shù)無限,從中取出m個元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m).

  排列(Pnm(n為下標(biāo),m為上標(biāo)))

  Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是階乘符號);Pnn(兩個n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=n!;0!=1;Pn1(n為下標(biāo)1為上標(biāo))=n

  組合(Cnm(n為下標(biāo),m為上標(biāo)))

  Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=1;Cn1(n為下標(biāo)1為上標(biāo))=n;Cnm=Cnn-m

  公式P是指排列,從N個元素取R個進(jìn)行排列。公式C是指組合,從N個元素取R個,不進(jìn)行排列。N-元素的總個數(shù)R參與選擇的元素個數(shù)!-階乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1

  從N倒數(shù)r個,表達(dá)式應(yīng)該為n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);

  因?yàn)閺膎到(n-r+1)個數(shù)為n-(n-r+1)=r

  舉例:

  Q1:有從1到9共計(jì)9個號碼球,請問,可以組成多少個三位數(shù)?

  A1:123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的,既屬于“排列P”計(jì)算范疇。

  上問題中,任何一個號碼只能用一次,顯然不會出現(xiàn)988,997之類的組合,我們可以這么看,百位數(shù)有9種可能,十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能,個位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能,最終共有9*8*7個三位數(shù)。計(jì)算公式=P(3,9)=9*8*7,(從9倒數(shù)3個的乘積)

  Q2:有從1到9共計(jì)9個號碼球,請問,如果三個一組,代表“三國聯(lián)盟”,可以組合成多少個“三國聯(lián)盟”?

  A2:213組合和312組合,代表同一個組合,只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的,屬于“組合C”計(jì)算范疇。

  上問題中,將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=9*8*7/3*2*1

  排列、組合的概念和公式典型例題分析

  例1設(shè)有3名學(xué)生和4個課外小組.(1)每名學(xué)生都只參加一個課外小組;(2)每名學(xué)生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學(xué)生參加.各有多少種不同方法?

  解(1)由于每名學(xué)生都可以參加4個課外小組中的任何一個,而不限制每個課外小組的人數(shù),因此共有種不同方法.

  (2)由于每名學(xué)生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學(xué)生參加,因此共有種不同方法.

  點(diǎn)評由于要讓3名學(xué)生逐個選擇課外小組,故兩問都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算.

  例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少種?

  解依題意,符合要求的排法可分為第一個排、、中的某一個,共3類,每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出:

  ∴符合題意的不同排法共有9種.

  點(diǎn)評按照分“類”的思路,本題應(yīng)用了加法原理.為把握不同排法的規(guī)律,“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法,也是解決計(jì)數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型.

  例3判斷下列問題是排列問題還是組合問題?并計(jì)算出結(jié)果.

  (1)高三年級學(xué)生會有11人:①每兩人互通一封信,共通了多少封信?②每兩人互握了一次手,共握了多少次手?

  (2)高二年級數(shù)學(xué)課外小組共10人:①從中選一名正組長和一名副組長,共有多少種不同的選法?②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競賽,有多少種不同的選法?

  (3)有2,3,5,7,11,13,17,19八個質(zhì)數(shù):①從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商?②從中任取兩個求它的積,可以得到多少個不同的積?

  (4)有8盆花:①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆,有多少種不同的選法?②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法?

  分析(1)①由于每人互通一封信,甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信,所以與順序有關(guān)是排列;②由于每兩人互握一次手,甲與乙握手,乙與甲握手是同一次握手,與順序無關(guān),所以是組合問題.其他類似分析.

  (1)①是排列問題,共用了封信;②是組合問題,共需握手(次).

  (2)①是排列問題,共有(種)不同的選法;②是組合問題,共有種不同的選法.

  (3)①是排列問題,共有種不同的商;②是組合問題,共有種不同的積.

  (4)①是排列問題,共有種不同的選法;②是組合問題,共有種不同的選法.

  例4證明.

  證明左式

  右式.

  ∴等式成立.

  點(diǎn)評這是一個排列數(shù)等式的證明問題,選用階乘之商的形式,并利用階乘的性質(zhì),可使變形過程得以簡化.

  例5化簡.

  解法一原式

  解法二原式

  點(diǎn)評解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式,并利用階乘的性質(zhì);解法二選用了組合數(shù)的兩個性質(zhì),都使變形過程得以簡化.

  例6解方程:(1);(2).

  解(1)原方程

  解得.

  (2)原方程可變?yōu)?/p>

  ∵,,

  ∴原方程可化為.

  即,解得

  第六章排列組合、二項(xiàng)式定理

  一、考綱要求

  1.掌握加法原理及乘法原理,并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題.

  2.理解排列、組合的意義,掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì),并能用它們解決一些簡單的問題.

  3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并能用它們計(jì)算和論證一些簡單問題.

  二、知識結(jié)構(gòu)

  三、知識點(diǎn)、能力點(diǎn)提示

  (一)加法原理乘法原理

  說明加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ),掌握此兩原理為處理排列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù).

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