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高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末理科試卷

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  高中數(shù)學(xué)的理論性、抽象性強,就需要在對知識的理解上下功夫,要多思考,多研究,今天小編就給大家分享了高二數(shù)學(xué),希望大家來參考哦

  有關(guān)于高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷

  一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

  1.【答案】A

  【解析】試題分析:因為 ,所以 , .

  2、【答案】C

  3.【答案】D

  【解析】因 ,故將其代入 ,可得 ..

  4.【答案】D

  【解析】試題分析:∵ξ服從正態(tài)分布 ∴曲線的對稱軸是直線x=2,∵ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4,∴ξ在(2,+∞)內(nèi)取值的概率為0.5,∴ξ在(0,+∞)內(nèi)取值的概率為0.5+0.4=0.9故答案為:D.

  5.【答案】 B

  【解析】由(x+12x)n的二項展開式的通項為Tr+1=Crn•xn-r•(2x)-r=Crn•2-r•xn-2r,前三項的系數(shù)為20•C0n,2-1•C1n,2-2•C2n.由它們成等差數(shù)列,得n=8或n=1(舍去).由展開式,令8-2r=4,得r=2,所以x4項的系數(shù)為C28•2-2=7.

  6.【答案】B

  【解析】由已知易得:S長方形=4×2=8, S陰影=∫04( )dx= | = ,

  故質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率P= = ;

  7、【答案】:B

  【解析】∫ba1dt=b-a,∫ab1dx=a-b,故①錯;由于y=x2是偶函數(shù),其中在[-1,0]上的積分結(jié)果等于其在[0,1]上的積分結(jié)果,故②對;對于③有S=2∫π0sin xdx=4,故③錯.

  8、【答案】B

  【解析】當(dāng)n=k+1時,左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2),

  所以,增乘的式子為2k+12k+2k+1=2(2k+1).

  9. 【答案】D

  【解析】:由于f(x)= x2+cosx,得f′(x)= x﹣sinx,由奇函數(shù)的定義得函數(shù)f′(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,排除AC,取x= 代入f′( )= ﹣sin = ﹣1<0,排除B,只有D適合.

  10、【答案】 C

  【解析】 從1,3,5,7,9這五個數(shù)中每次取出兩個不同數(shù)的排列個數(shù)為A25=20,但lg 1-lg 3=lg 3-lg 9,lg 3-lg 1=lg 9-lg 3,所以不同值的個數(shù)為20-2=18,

  11、【答案】 A

  【解析】 P(B)=1-P(B)=1-563,P(A∩B)=C25A3363=518,

  所以P(A|B)=PA∩BPB=6091.

  12.【答案】B

  【解析】設(shè) ,則 ,故函數(shù) 是區(qū)間 上的單調(diào)遞減函數(shù),又 ; ,則函數(shù) 是奇函數(shù),所以函數(shù) 是區(qū)間 上的單調(diào)遞減函數(shù);由題設(shè)中 可得: ,所以問題轉(zhuǎn)化為 在 上有解,即 在 上有解,令 ,則 ,故 在 上答單調(diào)遞增,則 。

  二、填空題(本大題共4小題;每小題5分,共20分.把答案填在題橫線上)

  13.【答案】480

  【解析】

  14.【答案】8

  【解析】試題分析:設(shè)三條側(cè)棱長為a,b,c,則 ,三棱錐的側(cè)面積為 ,又因為 ,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時側(cè)面積達(dá)到最大值.

  15、【答案】-65

  【解析】 令x=0,得a0=1;令x=1,得a0+a1+a2+…+a11=-64;

  ∴a1+a2+…+a11=-65.

  16.【答案】①③

  【解析】由正態(tài)分布曲線得 ,①正確;令 ,得 ,當(dāng) 時, 單調(diào)遞增,當(dāng) 時, 單調(diào)遞減,當(dāng) 時, 單調(diào)遞增,得 ,且 時,g(x)<0,故g(x)的圖象如圖所示

  函數(shù)有兩個零點,故②錯誤;由回歸直線方程的定義知③正確;④由于 為真命題, 為假命題,④錯誤,故答案為①③.

  三、解答題 (本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

  17、解 (1)∵P(-1,2),直線的傾斜角α=2π3.

  ∴直線的參數(shù)方程為x=-1+tcos2π3,y=2+tsin2π3(t為參數(shù)),

  即x=-1-12t,y=2+32t(t為參數(shù)).…………2分

  ∵ρ=212cosθ-32sinθ=cosθ-3sinθ,∴ρ2=ρcosθ-3ρsinθ.

  ∴x2+y2-x+3y=0,…………5分

  (2)將直線的參數(shù)方程代入得t2+(3+23)t+6+23=0 ………8分

  ∴t1t2=6+23,…………9分

  即|PM|•|PN|=|t1t2|=6+23. …………10分

  18、解 (1)f(x)=-2x+4,x<-1,6,-1≤x≤5,2x-4,x>5.…………2分

  當(dāng)x<-1時,-2x+4≤x+10, x≥-2, 則-2≤x<-1;…………3分

  當(dāng)-1≤x≤5時,6≤x+10,x≥-4,則-1≤x≤5;…………4分

  當(dāng)x>5時,2x-4≤x+10,x≤14,則5

  綜上可得,不等式f(x)≤x+10的解集為[-2,14].…………6分

  (2)設(shè)g(x)=a-(x-2)2,由函數(shù)f(x)的圖象與g(x)的圖象可知:………8分

  f(x)在x∈[-1,5]上取最小值為6,………9分

  g(x)在x=2時取最大值為a,………10分

  若f(x)≥g(x)恒成立,則a≤6.………12分

  19、解:(Ⅰ)直方圖中,因為身高在170 ~175cm的男生的頻率為 ,

  設(shè)男生數(shù)為 ,則 ,得 .………………………………………3分

  由男生的人數(shù)為40,得女生的人數(shù)為80-40=40.

  (Ⅱ)男生身高 的人數(shù) ,女生身高 的人數(shù) ,所以可得到下列列聯(lián)表:

  ≥170cm <170cm 總計

  男生身高 30 10 40

  女生身高 4 36 40

  總計 34 46 80

  ……………………………………………………………………………………6分

  ,………………………………7分

  所以能有99.9%的把握認(rèn)為身高與性別有關(guān);…………………………………8分

  (Ⅲ)在170~175cm之間的男生有16人,女生人數(shù)有 人.

  按分層抽樣的方法抽出5人,則男生占4人,女生占1人. …………………9分

  從5人任選3名有: ,共10種可能,…………………………10分

  3人中恰好有一名女生有: 共6種可能,…………11分

  故所求概率為 .…………12分

  220、解:(1)f1(x)=x1+x2(x>0),f2(x)=x1+x21+x21+x2=x1+2x2,…………2分

  f3(x)=x1+2x21+x21+2x2=x1+2x2+x2=x1+3x2.…………4分

  (2) 猜想fn(x)=x1+nx2,…………5分

  下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

 ?、佼?dāng)n=1時,命題顯然成立.…………6分

 ?、诩僭O(shè)當(dāng)n=k時,fk(x)=x1+kx2,…………7分

  那么fk+1(x)=x1+kx21+x21+kx2=x1+kx2+x2= .…………10分

  這就是說,當(dāng)n=k+1時命題成立.…………11分

  由①②,可知fn(x)=x1+nx2對所有n∈N+均成立.…………12分

  21.試題解析:(1)由題意知基本事件數(shù)為 ,

  而滿足條件 ,即取出的元素不相鄰,

  則用插空法,有 種可能,

  故所求事件的概率 .•••••••••••••••••••5分

  (2)分析 成等差數(shù)列的情況;

  的情況有8種: , , , , , , ;

  的情況有6種: ;

  的情況有4種:

  的情況有2種:. ............................9分

  故隨機變量 的分布列如下:

  1 2 3 4

  P

  •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••10分

  因此, .••••••••••••••••••••12分

  22.解:(1) ………………1分

  由 ,故

  時 由 得 的單調(diào)增區(qū)間是 ,

  由 得 單調(diào)減區(qū)間是

  同理 時, 的單調(diào)增區(qū)間 , ,單調(diào)減區(qū)間為 …………4分

  (2)①由(1)及 …………5分

  又由 有 知 的零點在 內(nèi),設(shè) ,則 ,結(jié)合(i)解得 , ………7分

  ∴ ………………8分

 ?、谟衷O(shè) ,先求 與 軸在 的交點

  ∵ , 由 得

  故 , 在 單調(diào)遞增 ………………10分

  又 ,故 與 軸有唯一交點

  即 與 的圖象在區(qū)間 上的唯一交點坐標(biāo)為 為所求 …………12分

  高二數(shù)學(xué)理科下學(xué)期期末試題

  參考公式:方差

  一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

  1.設(shè) 為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù) ,則 的模 ▲ .

  2.一根木棍長為5米,若將其任意鋸為兩段,則鋸成的兩段木棍的長度都大于2米的概率為 ▲ .

  3.命題“若 ,則復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)”的逆命題是 ▲ 命題.(填“真”或“假”)

  4.已知一組數(shù)據(jù)為2,3,4,5,6,則這組數(shù)據(jù)的方差為 ▲ .

  5.將一顆骰子拋擲兩次,用 表示向上點數(shù)之和,則 的概率為 ▲ .

  6.用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取1個容量為45的樣本,其中高一年級抽20人,高三年級抽10人.已知該校高二年級共有學(xué)生300人,則該校學(xué)生總數(shù)為 ▲ .

  7.函數(shù) 在點 處切線方程為 ,則 = ▲ .

  8.若 的展開式中所有二項式系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項是 ▲ .

  9.根據(jù)如圖所示的偽代碼可知,輸出的結(jié)果為 ▲ .

  10.若 ,

  則 = ▲ .

  11.已知 ∈R,設(shè)命題P: ;

  命題Q:函數(shù) 只有一個零點.

  則使“P Q”為假命題的實數(shù) 的取值范圍為 ▲ .

  12.有編號分別為1,2,3,4,5的5個黑色小球和編號分別為1,2,3,4,5的5個白色小球,若選取的4個小球中既有1號球又有白色小球,則有 ▲ 種不同的選法.

  13.觀察下列等式:

  請你歸納出一般性結(jié)論 ▲ .

  14.乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是 ,甲贏得比賽的概率是 ,則 的最大值為 ▲ .

  二、解答題:本大題共6小題,共計90分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

  15.(本小題滿分14分)

  在平面直角坐標(biāo)系 中,以 為極點, 為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線 的極坐標(biāo)方程是 ,直線 的參數(shù)方程是 ( 為參數(shù)).求直線 被曲線 截得的弦長.

  16.(本小題滿分14分)

  在棱長為 的正方體 中,O是AC的中點,E是線段D1O上一點,且D1E=λEO.

  (1)若λ=1,求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;

  (2)若平面CDE⊥平面CD1O,求λ的值.

  17.(本小題滿分14分)

  已知 ,

  (1)求 的值;

  (2)若 且 ,求 的值;

  (3)求證: .

  18.(本小題滿分16分)

  某拋擲骰子游戲中,規(guī)定游戲者可以有三次機會拋擲一顆骰子,若游戲者在前兩次拋擲中至少成功一次才可以進(jìn)行第三次拋擲,其中拋擲骰子不成功得0分,第1次成功得3分,第2次成功得3分,第3次成功得4分.游戲規(guī)則如下:拋擲1枚骰子,第1次拋擲骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)則記為成功,第2次拋擲骰子向上的點數(shù)為3的倍數(shù)則記為成功,第3次拋擲骰子向上的點數(shù)為6則記為成功.用隨機變量 表示該游戲者所得分?jǐn)?shù).

  (1)求該游戲者有機會拋擲第3次骰子的概率;

  (2)求隨機變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望.

  19.(本小題滿分16分)

  已知函數(shù)

  (1)若 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù) 的取值范圍;

  (2)若 在 處有極值10,求 的值;

  (3)若對任意的 ,有 恒成立,求實數(shù) 的取值范圍.

  20.(本小題滿分16分)

  把圓分成 個扇形,設(shè)用4種顏色給這些扇形染色,每個扇形恰染一種顏色,并且要求相鄰扇形的顏色互不相同,設(shè)共有 種方法.

  (1)寫出 , 的值;

  (2)猜想 ,并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

  參考答案

  一、填空題

  1. 2. . 3. 真 4. 5. 6. 7.

  8. 9. 10. 11. 12.

  13. 14.

  二、解答題

  15.曲線 的直角坐標(biāo)方程是 …………4分

  直線 的普通方程是 …………………8分

  圓心 到直線 的距離 ……………………11分

  弦長為 …………………………………………14分

  16.解(1以 為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .

  則A(1,0,0), , ,D1(0,0,1),

  E ,

  于是 , .

  由cos = = .

  所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為 . ………6分

  (2)設(shè)平面CD1O的向量為m=(x1,y1,z1),由m• =0,m• =0

  得 取x1=1,得y1=z1=1,即m=(1,1,1) . ………8分

  由D1E=λEO,則E , = .10分

  又設(shè)平面CDE的法向量為n=(x2,y2,z2),由n• =0,n• =0.

  得 取x2=2,得z2=-λ,即n=(-2,0,λ) .12分

  因為平面CDE⊥平面CD1F,所以m•n=0,得λ=2. ……14分

  17(1)令 ,則 =0,又

  所以 ………………………………………………………………4分

  (2)由 ,解得 ,所以 ………………9分

  (3)

  ………………………………………………………………14分

  18.⑴該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為 、 、 ,該游戲者有機會拋擲第3次骰子為事件 .

  則 ;

  答:該游戲者有機會拋擲第3次骰子的概率為 ………………………………6分

  (2)由題意可知, 的可能取值為 、 、 、 、 ,

  , ,

  ,

  ,

  ,

  所以 的分布列為

  ………………………………………………14分

  所以 的數(shù)學(xué)期望 …………………16分

  19解:(1) f'(x)=3x2+2mx,由f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)得,

  當(dāng)x≥1時,3x2+2mx≥0恒成立,即m≥-32x恒成立,

  解得m≥-32;………………………………4分

  (2) ,由題 或

  當(dāng) 時, , 無極值,舍去.

  所以 …………………………8分(沒有舍扣2分)

  (3)由對任意的x1,x2∈[-1,1],有| f(x1)-f(x2)|≤2恒成立,得fmax(x)-fmin(x)≤2.

  且| f(1)-f(0)|≤2,| f(-1)-f(0)|≤2,解得m∈[-1,1],…………10分

 ?、佼?dāng)m=0時,f'(x)≥0,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,

  fmax(x)-fmin(x)= | f(1)-f(-1)|≤2成立.……………………………11分

 ?、诋?dāng)m∈(0,1]時,令f'(x)<0,得x∈(-23m,0),則f(x)在(-23m,0)上單調(diào)遞減;

  同理f(x)在(-1,-23m),(0,1)上單調(diào)遞增,

  f(-23m)= 427m3+m2,f(1)= m2+m+1,下面比較這兩者的大小,

  令h(m)=f(-23m)-f(1)= 427m3-m-1,m∈[0,1],

  h'(m)= 49m2-1<0,則h(m)在(0,1] 上為減函數(shù),h(m)≤h(0)=-1<0,

  故f(-23m)

  所以fmax(x)-fmin(x)= f(1)-f(-1)=2成立.

 ?、弁懋?dāng)m∈[-1 ,0)時,fmax(x)-fmin(x)= f(1)-f(-1)=2成立.

  綜上得m∈[-1 ,1].…………………………16分

  20.解:(1) …………2+4=6分

  (2).當(dāng) 時,首先,對于第1個扇形 ,有4種不同的染法,由于第2個扇形 的顏色與 的顏色不同,所以,對于 有3種不同的染法,類似地,對扇形 ,…, 均有3種染法.對于扇形 ,用與 不同的3種顏色染色,但是,這樣也包括了它與扇形 顏色相同的情況,而扇形 與扇形 顏色相同的不同染色方法數(shù)就是 ,于是可得

  …………………………10分

  猜想 …………………………12分

  ① 當(dāng) 時,左邊 ,右邊 ,所以等式成立

 ?、?假設(shè) 時, ,

  則 時,

  即 時,等式也成立

  綜上 …………………………16分

  高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試卷

  第Ⅰ卷(選擇題,共60分)

  一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求。)

  1.若回歸直線的斜率 ,則相關(guān)系數(shù)的取值范圍為( )

  A. B. C. 0 D. 無法確定

  2.已知非零實數(shù) 滿足 ,則下列不等式一定成立的是

  A. B. C. D.

  3.已知隨機變量 ,若 ,則實數(shù) ( )

  A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

  4.已知 ,則 ( )

  A. 18 B. 24 C. 36 D. 56

  5.三棱錐 中,平面 平面 , , , ,則三棱錐 的外接球的表面積為( )

  A. B. C. D.

  6.以下四個命題中:

 ?、賰蓚€隨機變量的線性相關(guān)性越強,相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近 ;

 ?、谌魯?shù)據(jù) 的方差為 ,則 的方差為 ;

  ③對分類變量 與 的隨機變量 的觀測值 來說, 越小,判斷“ 與 有關(guān)系”的把握程度越大.

  其中真命題的個數(shù)為( )

  A. B. C. D.

  7.如右圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2,粗實線及粗虛線畫出的是某四棱錐的三視圖,則該四棱錐的外接球的表面積為( )

  A. B. C. D.

  8.將編號為1,2,3,4的四個小球放入A,B,C三個盒子中,若每個盒子至少放一個球,且1號球和2號球不能放在同一個盒子,則不同的放法種數(shù)為( )

  A. 24 B. 30 C. 48 D. 72

  9.若離散型隨機變量 的分布列為 ,則 的值為( )

  A. B. C. D.

  10.如圖,在四棱錐 中,底面 是矩形, 底面 , 是 的中點, ,則異面直線 與 所成的角的大小為( )

  A. B. C. D.

  11.某學(xué)校隨機抽查了本校20個同學(xué),調(diào)查他們平均每天在課外從事體育鍛煉的時間(單位:分鐘),根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖,以5為組距將數(shù)據(jù)分為8組,分別是 ,作出頻率分布直方圖如圖所示,則原始的莖葉圖可能是( )

  12.用五種不同的顏色給圖中 六個小長方形區(qū)域涂色,要求顏色齊全且有公共邊的區(qū)域顏色不同,則共有涂色方法( )

  A. 種 B. 種 C. 種 D. 種

  第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)

  二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)

  13.某公司安排6位員工在元旦假期(1月1日至1月3日)值班,每天安排2人,每人值班一天,則6位員工中甲不在1月1日值班的概率為__________;

  14.已知圓錐的頂點為 ,母線 , 互相垂直, 與圓錐底面所成角為 ,若 的面積為 ,則該圓錐的體積為__________;

  15. 展開式中二項式系數(shù)和為32,則 展開式中 的系數(shù)為_________;

  16.甲罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球;乙罐中有5個紅球,3個白球和2個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球,白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件,下列的結(jié)論:

 ?、貾(B)= ;②P(B|A1)= ;③事件B與事件A1不相互獨立;④A1,A2,A3是兩兩互斥的事件;⑤P(B)的值不能確定,因為它與A1,A2,A3中哪一個發(fā)生有關(guān),其中正確結(jié)論的序號為 .(把正確結(jié)論的序號都填上)

  三、解答題(本大題共6小題,共70分)

  17.(本小題滿分12分)習(xí)近平總書記在十九大報告中指出,必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明理念,這將進(jìn)一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展,以下是近幾年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)及其散點圖:

  (1)請根據(jù)散點圖判斷, 與 中哪一個更適宜作為年銷售量 關(guān)于年份代碼 的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)

  (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立 關(guān)于 的回歸方程,并預(yù)測2018年我國新能源乘用車的銷售量(精確到0.1)

  附:最小二乘估計公式: .

  參考數(shù)據(jù):

  22.72 374 135.2 851.2

  其中

  18.(本小題滿分12分)如圖,在 中,已知 , 在 上,且 ,又 平面 .

  (1)求證: 平面 ;

  (2)求二面角 的余弦值.

  19.(本小題滿分12分)某青年教師專項課題進(jìn)行“學(xué)生數(shù)學(xué)成績與物理成績的關(guān)系”的課題研究,對于高二年級800名學(xué)生上學(xué)期期末數(shù)學(xué)和物理成績,按優(yōu)秀和不優(yōu)秀分類得結(jié)果:數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有60人,數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的有140人,物理成績優(yōu)秀但數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的有100人.

  (1)能否在犯錯概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)系?

  (2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,從全體高二年級學(xué)生成績中,有放回地隨機抽取3名學(xué)生的成績,記抽取的3個成績中數(shù)學(xué)、物理兩科成績至少有一科優(yōu)秀的次數(shù)為 ,求 的期望 .

  附:

  20.(本小題滿分12分)如圖甲所示, 是梯形 的高, , , ,現(xiàn)將梯形 沿 折起如圖乙所示的四棱錐 ,使得 ,點 是線段 上一動點.

  (1)證明: 和 不可能垂直;

  (2)當(dāng) 時,求 與平面 所成角的正弦值.

  21.(本小題滿分12分)某單位計劃在一水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量 (年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年,將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,假設(shè)各年的年入流量相互獨立.

  (1)求未來3年中,設(shè)表示流量超過120的年數(shù),求的分布列及期望;

  (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量 限制,并有如下關(guān)系:

  年入流量

  發(fā)電機最多可運行臺數(shù) 1 2 3

  若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5000萬元,若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損800萬元,欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺?

  22.(本小題滿分10分)已知函數(shù)

  (1)當(dāng) 時,解不等式

  (2)若對任意 都存在 ,使得 成立,求實數(shù) 的取值范圍.

  高二數(shù)學(xué)(理)參考答案

  1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B

  7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.D

  13. 14.8π 15. 16.②③④

  17.

  18. (Ⅰ)證明:設(shè)OA=1,則PO=OB=2,DA=1,

  由DA∥PO,PO⊥平面ABC,知DA⊥平面ABC,

  ∴DA⊥AO.從而DO= ,PD= ,

  在△PDO中,∵PO=2,

  ∴△PDO為直角三角形,故PD⊥DO.

  又∵OC=OB=2,∠ABC=45°,

  ∴CO⊥AB,又PO⊥平面ABC,

  ∴PO⊥OC,

  又PO,AB⊂平面PAB,PO∩AB=O,

  ∴CO⊥平面PAB.

  故CO⊥PD.

  ∵CO∩DO=O,

  ∴PD⊥平面COD. ………………6分

  (Ⅱ)以O(shè)C,OB,OP所在射線分別為x,y,z軸,建立直角坐標(biāo)系如圖。

  則由(Ⅰ)知,C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,−1,1),

  ∴ =(0,−1,−1), =(2,−2,0), =(0,−3,1),

  由(Ⅰ)知PD⊥平面COD,∴ 是平面DCO的一個法向量,

  設(shè)平面BDC的法向量為 =(x,y,z),∴ • =0 • =0,∴2x−2y =0−3y+z=0,

  令y=1,則x=1,z=3,∴ =(1,1,3),

  ∴cos< , >

  由圖可知:二面角B−DC−O為銳角,二面角B−DC−O的余弦值為 ………………12分

  19.(1)由題意可得列聯(lián)表:

  物理優(yōu)秀 物理不優(yōu)秀 總計

  數(shù)學(xué)優(yōu)秀 60 140 160

  數(shù)學(xué)不優(yōu)秀 100 500 640

  總計 200 600 800

  因為K2= =16.667>10.828. …(8分)

  所以能在犯錯概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān).

  (2)每次抽取1名學(xué)生成績,其中數(shù)學(xué)物理兩科成績至少一科是優(yōu)秀的頻率0.375.

  將頻率視為概率,即每次抽取1名學(xué)生成績,其中數(shù)學(xué)物理兩科成績至少一科是優(yōu)秀的概率為 .由題意可知X~B(3, ),從而E(X)=np= . …(12分)

  20. 【答案】(1)詳見解析; (2) .

  【解析】試題分析:由于折疊后 ,經(jīng)過計算知 ,這樣 兩兩垂直,因此以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點坐標(biāo).

  (1)否定性命題,可假設(shè) ,同時設(shè) ( ),利用向量垂直計算出 ,如果滿足 說明存在,如果不滿足 說明不存在;

  (2)由 得 點坐標(biāo),從而可求出平面 的法向量 ,則向量 與 夾角的余弦的絕對值等于直線 與平面 所成角的正弦值.

  解析:如圖甲所示,因為 是梯形 的高, ,所以 ,因為 , ,可得 , ,如圖乙所示, , , ,所以有 ,所以 ,而 , ,所以 平面 ,又 ,所以 、 、 兩兩垂直.故以 為原點,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),則 , , ,

  (1)設(shè) 其中 ,所以 , ,假設(shè) 和 垂直,則 ,有 ,解得 ,這與 矛盾,假設(shè)不成立,所以 和 不可能垂直.……………………6分

  (2)因為 ,所以 ,設(shè)平面 的一個法向量是 ,因為 , ,所以 , ,即 ,取 ,而 ,所以 ,所以 與平面 所成角的正弦值為 .……………………12分

  21. 【答案】(1) (2)欲使總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝2臺發(fā)電機

  【解析】試題分析:

  (1)利用二項分布求得分布列,然后可得數(shù)學(xué)期望為0.3;

  (2)利用題意分類討論可得應(yīng)安裝2臺發(fā)電機.

  試題解析:(1)依題意, ,

  由二項分布可知, .

  , ,

  , ,

  所以的分布列為

  0 1 2 3

  0.729 0.243 0.027 0.001

  . ……………………6分

  (2)記水電站的總利潤為 (單位:萬元),

  ①假如安裝1臺發(fā)點機,由于水庫年入流總量大于40,故一臺發(fā)電機運行的概率為1,對應(yīng)的年

  利潤 , ;

 ?、谌舭惭b2臺發(fā)電機,

  當(dāng) 時,只一臺發(fā)電機運行,此時 , ,

  當(dāng) 時,2臺發(fā)電機運行,此時 , ,

  .

 ?、廴舭惭b3臺發(fā)電機,

  當(dāng) 時,1臺發(fā)電機運行,此時 , ,

  當(dāng) 時,2臺發(fā)電機運行,此時 , ,

  當(dāng) 時,3臺發(fā)電機運行,此時 , ,

  綜上可知,欲使總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝2臺發(fā)電機. ……………………12分

  22.


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