高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試題
數(shù)學(xué)中有許多概念，如何讓學(xué)生正確地掌握概念，應(yīng)該指明學(xué)習(xí)概念需要怎樣的一個(gè)過(guò)程，應(yīng)達(dá)到什么程度，今天小編就給大家分享了高二數(shù)學(xué)，歡迎大家來(lái)多多參考哦
高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試題
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題：本大題共12小題， 每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1.已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù) 的實(shí)部為
A. B. C. D.
3. 的展開(kāi)式中 的系數(shù)為
A. B. C. D.
4.《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的 直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為
A. B. C. D.
5若實(shí)數(shù) 滿足條件 ，則 的最小值為
A. B. C. D.
6.在等比數(shù)列 中， ，公比為 ，前 項(xiàng)和為 ，若數(shù)列 也是等比數(shù)列，則 等于
A. B. C. D.
7.直線 分別與 軸， 軸交于 ， 兩點(diǎn)，點(diǎn) 在圓 上，則 面積的取值范圍是
A. B. C. D.
8.函數(shù) 的部分圖象可能是
A. B.
C. D.
9.拋物線 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) ， 為拋物線上一點(diǎn)，且 不在直線 上，則 周長(zhǎng)的最小值為
A. B. C. D.
10.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面 上，若該棱錐的高和底面邊長(zhǎng)均為 ，則該球的體積為
A. B. C. D.
11.在長(zhǎng)方體 中， ， ，則異面直線 與 所成角的余弦值為
A. B. C. D.
12.已知 是定義域?yàn)?的奇函數(shù)，滿足 .若 ，則
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為_(kāi)_________.
14.已知向量 ， ， .若 ，則 __________.
15.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的 四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：
甲說(shuō)：“是 或 作品獲得 一等獎(jiǎng)”
乙說(shuō)：“ 作品獲得一等獎(jiǎng)”
丙說(shuō)：“ 兩項(xiàng)作品未獲得一等 獎(jiǎng)”
丁說(shuō)：“是 作品獲得一等獎(jiǎng)”
若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是___________.
16.如圖在 中， ， ，點(diǎn) 是 外一點(diǎn)， , 則平面四邊形 面積的最大值是___________.
三、解答題：本大題共6小題，共 70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分) 記 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和，已知 ， .
(Ⅰ)求 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求 ，并求 的最小值.
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18.(本小題滿分12分)在如圖所示的六面體中，面 是邊長(zhǎng)為 的正方形，面 是直角梯形， ， ， .
(Ⅰ)求證： //平面 ;
(Ⅱ)若二面角 為 ，求直線 和平面 所成角的正弦值.
19. (本小題滿分12分)為迎接 月 日的“全民健身日”，某大學(xué)學(xué)生會(huì)從全體男生中隨機(jī)抽取 名男生參加 米中長(zhǎng)跑測(cè)試，經(jīng)測(cè)試得到每個(gè)男生的跑步所用時(shí)間的莖葉圖(小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)的后一位數(shù)字為葉)，如圖，若跑步時(shí)間不高于 秒，則稱為“好體能”.
(Ⅰ) 寫(xiě)出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ)要從這 人中隨機(jī)選取 人，求至少有 人是“好體能”的概率;
(Ⅲ)以這 人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校男生的總體數(shù)據(jù)，若從該校男生(人數(shù)眾多)任取 人，記 表示抽到“好體能”學(xué)生的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(20)(本小題滿分12分) 設(shè)橢圓 的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為 ， .
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)直線 與橢圓交于 兩點(diǎn)， 與直線 交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限.若 的面積是 面積的2倍，求k的值.
21.已知函數(shù) .
(Ⅰ)求函數(shù) 的最大值;
(Ⅱ)已知 ，求證 .
22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線 ： ( 為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓 的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ) 求圓心 的極坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為 ，直線 與圓 的交點(diǎn)為 ,求 的值.
23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
已知關(guān)于 的不等式
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，求不等式解集;
(Ⅱ)若不等式有解，求 的范圍.
數(shù)學(xué)理科答案
選擇題 CADDB CBBCA AD
填空題
17(I)設(shè) 的公差為d，由題意得 .……………………………………………………………… 3分
由 得d=2.
所以 的通項(xiàng)公式為 .………………………………………………………………………………… 6分
(II)由(1)得 .………………………………………………………………………9分
所以當(dāng)n=4時(shí)， 取得最小值，最小值為−16.………………………………………………………………………12分
18證明：(I)連接 相交于點(diǎn) ，取 的中點(diǎn)為 ,連接 .
是正方形， 是 的中點(diǎn)， ,
又因?yàn)?,所以 且 ，
所以四邊形 是平行四邊形，……………………………………………………………………… ………… 3分
，又因?yàn)?平面 , 平面
平面 …………………………………………………………………5分
(II) 是正方形， 是直角梯形， ，
, 平面 ,同理可得 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 ,
又因?yàn)槎娼?為 ，
所以 , , ,由余弦定理得 ,
所以 ,又因?yàn)?平面 ，
,所以 平面 ，…………………………………………………7分
以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為 軸、 為 軸、 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則 ,………………… …………………8分
所以 ,設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
則 即 令 ，則 ，
所以 ………………………………………………………11分
設(shè)直線 和平面 所成角為 ，
則 ………………………………………12分
19解： (I)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是 ;………………………………………………………………3分
(II)設(shè)求至少有 人是“好體能”的事件為A,則事件A包含得基本事件個(gè)數(shù)為;
總的基本事件個(gè)數(shù)為 ， …………………………………………7分
(Ⅲ) 的可能取值為
由于該校男生人數(shù)眾多，故 近似服從二項(xiàng)分布 …………………………………………………………9分
， , ,
的分布列為
故 的數(shù)學(xué)期望 ………………………………………………………………………1 2分
20(I)解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得 ，又由 ，可得
由 ,從而 .
所以，橢圓的方程為 . …………………………………………………………………………5分
(II)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，由題意， ，
點(diǎn) 的坐標(biāo)為 由 的面積是 面積的2倍，可得 ，
從而 ，即 .……………………………………………………………………………6分
易知直線 的方程為 ，由方程組
消去y，可得 .
由方程組 消去 ，可得 . …………………………………………………………9分
由 ， 可得 ，
兩邊平方，整理得 ，解得 ，或 .
當(dāng) 時(shí)， ，不合題意，舍去;
當(dāng) 時(shí)， ， ，符合題意.
所以， 的值為 . ………………………………………………………………………………12分
21解：(I)因?yàn)?，
…………………………………………………………2分
當(dāng) 時(shí) ;當(dāng) 時(shí) ，
則 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減. 所以 的最大值為 . …………………………………………………………………5分
(II)由 得， ，………7分
則 ，又因?yàn)?，有 ，
構(gòu)造函數(shù) ………………………………………9分
則 ，
當(dāng) 時(shí)， ，可得 在 單調(diào)遞增，
有 ， ……………………………………………………11分
所以有 .………………………………………12分
22解：(I)由題意可知圓的直角坐標(biāo)系方程為 ，
所以圓心的極坐標(biāo)為 . ……………………………………………4分
(II)因?yàn)閳A的直角坐標(biāo)系方程為 ，直線方程為 ，
得到 所以 . ………………………………………10分
23解：(I)當(dāng) 時(shí)，則
所以
即不等式解集為 . ………………………………………………5分
(II)令 ，由題意可知;
又因?yàn)?/p>
所以 ，即 . …………………………………………10分
高二數(shù)學(xué)理科下學(xué)期期末試題閱讀
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.下列運(yùn)算正確的為( )
A. ( 為常數(shù)) B.
C. D.
2.已知 ，則復(fù)數(shù) ( )
A. B. C. D.
3.已知曲線 在點(diǎn) 處的切線平行于直線 ，那么點(diǎn) 的坐標(biāo)為( )
A. 或 B. 或
C. D.
4.隨機(jī)變量 ，且 ，則 ( )
A.0.20 B.0.30 C.0.70 D.0.80
5.設(shè) ，那么 ( )
A. B. C. D.
6.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件 “第一次取到的是偶數(shù)”， “第二次取到的是偶數(shù)”，則 ( )
A. B. C. D.
7.用反證法證明命題“已知函數(shù) 在 上單調(diào)，則 在 上至多有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí)，要做的假設(shè)是( )
A. 在 上沒(méi)有零點(diǎn) B. 在 上至少有一個(gè)零點(diǎn)
C. 在 上恰好有兩個(gè)零點(diǎn) D. 在 上至少有兩個(gè)零點(diǎn)
8.在 的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為 ，則 的系數(shù)為( )
A.21 B.63 C.189 D.729
9.如圖是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 的圖象，則下面判斷正確的是( )
A.在 上 是增函數(shù)
B.在 上 是減函數(shù)
C.在 上 是增函數(shù)
D.在 時(shí)， 取極大值
10.若 是離散型隨機(jī)變量， ， ，又已知 ， ，則 的值為( )
A. B. C.3 D.1
11.已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲沒(méi)有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四名顧客購(gòu)物后，恰好用了其中的三種結(jié)賬方式，那么他們結(jié)賬方式的可能情況有( )種
A.19 B.26 C.7 D.12
12.已知在 上的可導(dǎo)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 ，滿足 ，且 為偶函數(shù)， ，則不等式 的解集為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每小題5分，共計(jì)20分)
13.某研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表
玩手機(jī) 不玩手機(jī) 合計(jì)
學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀 4 8 12
學(xué)習(xí)成績(jī)不優(yōu)秀 16 2 18
合計(jì) 20 10 30
經(jīng)計(jì)算 的值，則有 的把握認(rèn)為玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響.
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
， .
14.由曲線 與 圍成的封閉圖形的面積是 .
15.對(duì)于三次函數(shù) ，定義：設(shè) 是函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，若方程 有實(shí)數(shù)解 ，則稱點(diǎn) 為函數(shù) 的“拐點(diǎn)”，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心;且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱中心.”根據(jù)此發(fā)現(xiàn)，若函數(shù) ，計(jì)算 .
16.對(duì)于函數(shù) ，若存在區(qū)間 ，當(dāng) 時(shí)， 的值域?yàn)?，則稱 為 倍值函數(shù).下列函數(shù)為2倍值函數(shù)的是 (填上所有正確的序號(hào)).
① ②
?、?④
三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17.已知 ， ， 為實(shí)數(shù).
(Ⅰ)若 ，求 ;
(Ⅱ)若 ，求實(shí)數(shù) ， 的值.
18.已知函數(shù) .
(Ⅰ)若 在 處取得極值，求 的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若 在區(qū)間 內(nèi)有極大值和極小值，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
19.某校倡導(dǎo)為特困學(xué)生募捐，要求在自動(dòng)購(gòu)水機(jī)處每購(gòu)買一箱礦泉水，便自覺(jué)向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和收入情況，列表如下：
售出水量 (單位：箱)
7 6 6 5 6
收入 (單位：元)
165 142 148 125 150
學(xué)校計(jì)劃將捐款以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元;綜合考核21～50名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元;綜合考核50名以后的不獲得獎(jiǎng)學(xué)金.
(Ⅰ)若售出水量箱數(shù) 與 成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時(shí)，預(yù)計(jì)收入為多少元?
(Ⅱ)甲乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為 ，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為 ，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為 ，已知甲乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)學(xué)金相互獨(dú)立，求甲乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：回歸直線方程 ，其中 ， .
20.如圖(1)是一個(gè)仿古的首飾盒，其左視圖是由一個(gè)半徑為 分米的半圓和矩形 組成，其中 長(zhǎng)為 分米，如圖(2).為了美觀，要求 .已知該首飾盒的長(zhǎng)為 分米，容積為4立方分米(不計(jì)厚度)，假設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用只與其表面積有關(guān)，下半部分的制作費(fèi)用為每平方分米2百元，上半部制作費(fèi)用為每平方分米4百元，設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用為 百元.
(Ⅰ)寫(xiě)出 關(guān)于 的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)當(dāng) 為何值時(shí)，該首飾盒的制作費(fèi)用最低?
21.已知函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線與直線 垂直.
(Ⅰ)求函數(shù) 的極值;
(Ⅱ)若 在 上恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系 中，直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)， )，以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ)求直線 的普通方程與曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線 與曲線 交于 、 兩點(diǎn)，求 的最小值.
23.選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) ， .
(Ⅰ)若 恒成立，求 的取值范圍;
(Ⅱ)已知 ，若 使 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
高二數(shù)學(xué)(理科)試題參考答案
一、選擇題
1-5: CABBD 6-10: BDCCD 11、12：BA
二、填空題
13. 99.5 14. 1 15. 2018 16. ①②④
三、解答題
17.解：(Ⅰ)∵ ，∴ .
∴ ，
∴ ;
(Ⅱ)∵ ，
∴
.
∴ ，
解得 ，
∴ ， 的值為：-3，2.
18.解： ，
(Ⅰ)∵ 在 處取得極值，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，令 ，則 ，
∴ ，
∴函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
(Ⅱ)∵ 在 內(nèi)有極大值和極小值，
∴ 在 內(nèi)有兩不等實(shí)根，對(duì)稱軸 ，
∴ ，
即 ，
∴ .
19.解：(Ⅰ) ， ，
，
，
所以線性回歸方程為 ，
當(dāng) 時(shí)， 的估計(jì)值為206元;
(Ⅱ)甲乙兩名同學(xué)所獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和 的可能取值為0，300，500，600，800，1000;
;
;
;
;
;
.
0 300 500 600 800 1000
所以 的數(shù)學(xué)期望 .
20.解：(Ⅰ)由題知 ，
∴ .
又因 ，得 ，
∴
.
(Ⅱ)令 ，
∴ ，
令 則 ，
∵ ，
當(dāng) 時(shí) ，函數(shù) 為增函數(shù).
∴ 時(shí)， 最小.
答：當(dāng) 分米時(shí)，該首飾盒制作費(fèi)用最低.
21.解：(Ⅰ)函數(shù) 的定義域?yàn)?， ，
所以函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線的斜率 .
∵該切線與直線 垂直，所以 ，解得 .
∴ ， ，
令 ，解得 .
顯然當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞增;當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞減.
∴函數(shù) 的極大值為 ，函數(shù) 無(wú)極小值.
(Ⅱ) 在 上恒成立，等價(jià)于 在 上恒成立，
令 ，則 ，
令 ，則 在 上為增函數(shù)，即 ，
①當(dāng) 時(shí)， ，即 ，則 在 上是增函數(shù)，
∴ ，故當(dāng) 時(shí)， 在 上恒成立.
?、诋?dāng) 時(shí)，令 ，得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上單調(diào)遞減， ，
因此當(dāng) 時(shí)， 在 上不恒成立，
22.解：(Ⅰ)將 ( 為參數(shù)， )消去參數(shù) ，
得直線， ，即 .
將 代入 ，得 ，
即曲線 的直角坐標(biāo)方程為 .
(Ⅱ)設(shè)直線 的普通方程為 ，其中 ，又 ，
∴ ，則直線 過(guò)定點(diǎn) ，
∵圓 的圓心 ，半徑 ， ，
故點(diǎn) 在圓 的內(nèi)部.
當(dāng)直線 與線段 垂直時(shí)， 取得最小值，
∴ .
23.解：(Ⅰ)∵ ，若 恒成立，需 ，
即 或 ，
解得 或 .
(Ⅱ)∵ ，∴當(dāng) 時(shí)， ，
∴ ，即 ， 成立，
由 ，∵ ，∴ (當(dāng)且僅當(dāng) 等號(hào)成立)，
∴ .
又知 ，∴ 的取值范圍是 .
有關(guān)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.不需寫(xiě)出解題過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.
1.已知復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)( 為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù) 的值為 .
2.已知點(diǎn) ， ，則 .
3.若 ，則 的值為 .
4.已知隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ，那么方差 的值為 .
5.三個(gè)同學(xué)猜同一個(gè)謎語(yǔ)，如果每人猜對(duì)的概率都是 ，并且各人猜對(duì)與否相互獨(dú)立，那么他們同時(shí)猜對(duì)的概率為 .
6.已知矩陣 ，則矩陣 的逆矩陣為 .
7.若從4名男生和3名女生中任選2人參加演講比賽，則至少選出1名女生的概率為 .(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)
8.在極坐標(biāo)系中，已知 到直線 ： ， 的距離為2，則實(shí)數(shù) 的值為 .
9.設(shè)向量 ， ，且 ，則 的值為 .
10.圓 ： 在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了曲線 ，曲線 的矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了曲線 ，則曲線 的方程為 .
11.若 的二項(xiàng)展開(kāi)式中的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15，則 的展開(kāi)式中含 項(xiàng)的系數(shù)為 .
12.將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，恰有2個(gè)空盒的方法共有 種(用數(shù)字作答).
13.對(duì)于自然數(shù)方冪和 ， ， ，求和方法如下：
，
，
…
，
將上面各式左右兩邊分別相加，就會(huì)有 ，解得 ，類比以上過(guò)程可以求得 ， 且與 無(wú)關(guān)，則 的值為 .
14.化簡(jiǎn) .
二、解答題：本大題共6小題，15-17題每題14分，18-20題每題16分，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.已知復(fù)數(shù) ， 為虛數(shù)單位.
(1)求 ;
(2)若復(fù)數(shù) 滿足 ，求 的最大值.
16.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 重合，極軸與 軸的正半軸重合，若直線 的參數(shù)方程為： ( 為參數(shù))，曲線 的極坐標(biāo)方程為： .
(1)求直線 的普通方程和曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)求直線 被曲線 截得線段的長(zhǎng).
17.已知矩陣 ，向量 .
(1)求 的特征值 、 和特征向量 、 ;
(2)求 的值.
18.如圖，在正四棱柱 中， ， ，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .
(1)若 ，求異面直線 與 所成角的大小;
(2)若 ，求直線 與平面 所成角的正弦值;
(3)若二面角 的大小為 ，求實(shí)數(shù) 的值.
19.假設(shè)某士兵遠(yuǎn)程射擊一個(gè)易爆目標(biāo)，射擊一次擊中目標(biāo)的概率為 ，三次射中目標(biāo)或連續(xù)兩次射中目標(biāo)，該目標(biāo)操作，停止射擊，否則就一直獨(dú)立地射擊至子彈用完.現(xiàn)有5發(fā)子彈，設(shè)耗用子彈數(shù)為隨機(jī)變量 .
(1)若該士兵射擊兩次，求至少射中一次目標(biāo)的概率;
(2)求隨機(jī)變量 的概率分布與數(shù)學(xué)期望 .
20.設(shè) ，其中 ， ， 與 無(wú)關(guān).
(1)若 ，求 的值;
(2)試用關(guān)于 的代數(shù)式表示： ;
(3)設(shè) ， ，試比較 與 的大小.
理 科 數(shù) 學(xué)
一、填空題
1. -1 2. 5 3. 4或9 4. 5. 6.
7. 8. 1 9. 168 10.
11. 160 12. 84 13. 14.
二、解答題
15.解：(1)
(2)設(shè) ，因?yàn)?，所以
在復(fù)平面中，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)點(diǎn) ，
復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為 圓心，2為半徑的圓;
因?yàn)锳O= ,所以 的最大值為 .
16.解：(1)直線 的普通方程為 ，
曲線 的普通方程為 .
(2)曲線 表示以 為圓心，2為半徑的圓，
圓心到直線 的距離 ，
故直線 被曲線 截得的線段長(zhǎng)為 .
17.解：(1)矩陣 的特征多項(xiàng)式為 ，
令 ，解得 ， ，
當(dāng) 時(shí)，解得 ;
當(dāng) 時(shí)，解得 .
(2)令 ，得 ，求得 .
所以
18.解：(1)當(dāng) 時(shí)， ，， ， ， ，
則 ，
，
故 ，
所以異面直線 與 所成角為 .
(2)當(dāng) 時(shí)， ， ， ， ， ，
則 ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時(shí) ，
設(shè) 與平面 所成角為 ，因?yàn)?，
則 ，
所以 與平面 所成角的正弦值為 .
(3)由 得， ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時(shí) ，
又平面 的法向量 ，
故 ，解得 ，
由圖形得二面角 大于 ，所以符合題意.
所以二面角 的大小為 ， 的值為 .
19. 解：(1)該士兵射擊兩次，至少射中一次目標(biāo)的概率為
.
(2)耗用子彈數(shù) 的所有可能取值為2，3，4，5.
當(dāng) 時(shí)，表示射擊兩次，且連續(xù)擊中目標(biāo)， ;
當(dāng) 時(shí)，表示射擊三次，第一次未擊中目標(biāo)，且第二次和第三次連續(xù)擊中目標(biāo)，
;
當(dāng) 時(shí)，表示射擊四次，第二次未擊中目標(biāo)，且第三次和第四次連續(xù)擊中目標(biāo)，
;
當(dāng) 時(shí)，表示射擊五次，均未擊中目標(biāo)，或只擊中一次目標(biāo)，或擊中兩次目標(biāo)前四次擊中不連續(xù)兩次或前四次擊中一次且第五次擊中，或擊中三次第五次擊中且前四次無(wú)連續(xù)擊中。
;
隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望
.
20.解：(1)由題意知 ，所以 .
(2)當(dāng) 時(shí)， ，
兩邊同乘以 得：
，
等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得：
，
令 得：
，
即 .
(3) ， ，
猜測(cè)： ，
?、?當(dāng) 時(shí)， ， ， ，此時(shí)不等式成立;
?、诩僭O(shè) 時(shí)，不等式成立，即： ，則 時(shí)，
所以當(dāng) 時(shí)，不等式也成立;
根據(jù)①②可知， ，均有 .
【實(shí)際上問(wèn)題即比較 與 的大小關(guān)系;】
理 科 數(shù) 學(xué)
(考試時(shí)間120分鐘，試卷滿分160分)
注意事項(xiàng):
1.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上規(guī)定的地方.
2.答題時(shí)，請(qǐng)使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字跡工整，筆跡清楚.
3.請(qǐng)按照題號(hào)在答題卡上各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.請(qǐng)保持卡面清潔，不折疊，不破損.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.不需寫(xiě)出解題過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.
1.
答案：-1
2.
答案：5
3.
答案：4或9
4.
答案：
5.
答案：
6.
答案：
7.
答案：
8.
答案：1
9.
答案：168
10.
答案：
11.
答案：160
12.
答案：84
13.
答案：
14.
答案：
二、解答題：本大題共6小題，15-17題每題14分，18-20題每題16分，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.
解： (1) ……………………6分
(2)設(shè) ，因?yàn)?，所以 ……………………8分
在復(fù)平面中，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)點(diǎn) ，
復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為 圓心，2為半徑的圓;
……………………10分
因?yàn)锳O= ,所以 的最大值為 . ……………………14分
16.
解：(1)直線 的普通方程為 ， ……………………4分
曲線 的普通方程為 . ……………………8分
(2)曲線 表示以 為圓心，2為半徑的圓，
圓心到直線 的距離 ， ……………………10分
故直線 被曲線 截得的線段長(zhǎng)為 . …………………14分
17.
解： (1)矩陣 的特征多項(xiàng)式為 ，
令 ，解得 ， ， ………4分
當(dāng) 時(shí)，解得 ; ………6分
當(dāng) 時(shí)，解得 . ………8分
(2)令 ，得 ，求得 . …………………10分
所以
………………14分
18.解：(1)當(dāng) 時(shí)， ，， ， ， ，
則 ，
， ………………2分
故 ，
所以異面直線 與 所成角為 .……………………4分
(2)當(dāng) 時(shí)， ， ， ， ， ，
則 ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時(shí) ， ……………………7分
設(shè) 與平面 所成角為 ，因?yàn)?，
則 ，
所以 與平面 所成角的正弦值為 . ……………………10分
(3)由 得， ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時(shí) ， ……………13分
又平面 的法向量 ，
故 ，解得 ，
由圖形得二面角 大于 ，所以符合題意.
所以二面角 的大小為 ， 的值為 . ……………16分
19.
解：(1)該士兵射擊兩次，至少射中一次目標(biāo)的概率為
………4分
(2)耗用子彈數(shù) 的所有可能取值為2，3，4，5.
當(dāng) 時(shí)，表示射擊兩次，且連續(xù)擊中目標(biāo)， ; ………6分
當(dāng) 時(shí)，表示射擊三次，第一次未擊中目標(biāo)，且第二次和第三次連續(xù)擊中目標(biāo)，
; ………8分
當(dāng) 時(shí)，表示射擊四次，第二次未擊中目標(biāo)，且第三次和第四次連續(xù)擊中目標(biāo)，
; ………10分
當(dāng) 時(shí)，表示射擊五次，均未擊中目標(biāo)，或只擊中一次目標(biāo)，或擊中兩次目標(biāo)前四次擊中不連續(xù)兩次或前四次擊中一次且第五次擊中，或擊中三次第五次擊中且前四次無(wú)連續(xù)擊中。
;
………12分
隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望
………16分
20.
解：(1)由題意知 ，所以 . ………2分
(2)當(dāng) 時(shí)， ，
兩邊同乘以 得：
，
………………………4分
等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得：
………………………6分
令 得：
，
即 …………………………………………8分
(3) ，
猜測(cè)： ………………………………………………10分
?、?當(dāng) 時(shí)， ， ， ，此時(shí)不等式成立;
………………………………………………11分
?、诩僭O(shè) 時(shí)，不等式成立，即： ，則 時(shí)，
所以當(dāng) 時(shí)，不等式也成立; ………………………………………………15分
根據(jù)①②可知， ，均有 . …………………………16分
【實(shí)際上問(wèn)題即比較 與 的大小關(guān)系;】
高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷閱讀
第I卷 選擇題(60分)
一.選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1.已知 是虛數(shù)單位，且 ，則
A. B. C. D.
2.下列不等式成立的有
?、?，② ，③
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
3.已知 ， 則 等于
A. B. C. D.
4.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布 N(2，σ2)，P(ξ≤4)=0.84，則 P(ξ≤0)=
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
5.一牧場(chǎng)有 10 頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為 0.02.設(shè)發(fā)病 的牛的頭數(shù)為ξ，則 Dξ等于
A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
6.將小亮等 名同學(xué)全部安排到 、 、 、 四個(gè)社區(qū)參加社區(qū)活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少安排一人，則小亮在 社區(qū)的安排方案共有
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
7.某中學(xué)有高中生 人，初中生 人，高中生中男生、女生人數(shù)之比為 ，初中生中男生、女生人數(shù)之比為 ，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為 的樣本，已知從初中生中抽取男生 人，則從高中生中抽取的女生人數(shù)是
A. B. C. D.
8.若 ， 滿足約束條件 ，則 的最小值是
A. B. C. D.
9.一個(gè)盒子里裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的12個(gè)球，其中黃球5個(gè)，藍(lán)球4個(gè)，綠球3個(gè).現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件 為“取出的兩個(gè)球顏色不同”，事件 為“取出一個(gè)黃球，一個(gè)綠球”，則
A. B. C. D.
10.設(shè)函數(shù) ， .若當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍
A. B. C. D.
11.已知函數(shù) ，在區(qū)間 內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù) ， ，且 ，若不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A. B. C. D.
12.已知拋物線 上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)M(0，4)的距離之和的最小值為 ，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)， 是坐標(biāo)原點(diǎn)，則 的內(nèi)切圓半徑為
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.二項(xiàng)式 展開(kāi)式中含 項(xiàng)的系數(shù)是 .
14.已知函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線斜率為 ，則 .
15.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x +y -4 =0相切，則圓C面積的最小值為 .
16.已知函數(shù) 的定義域是 ，關(guān)于函數(shù) 給出下列命題：
?、賹?duì)于任意 ，函數(shù) 是 上的減函數(shù);②對(duì)于任意 ，函數(shù) 存在最小值;
?、鄞嬖?，使得對(duì)于任意的 ，都有 成立;
?、艽嬖?，使得函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn).
其中正確命題的序號(hào)是________.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))
三.解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) ，且當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得極值為 .
(1)求 的解析式;
(2)若關(guān)于 的方程 在 上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
18.(本小題滿分12分)
世界那么大，我想去看看，每年高考結(jié)束后，處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動(dòng)機(jī)強(qiáng)烈，旅游可支配收入日益增多，可見(jiàn)高中畢業(yè)生旅游是一個(gè)巨大的市場(chǎng).為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費(fèi)支出(單位:百元)的情況，相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某市的1000名畢業(yè)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：
組別 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)
頻數(shù) 2 250 450 290 8
(1)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布 ，若該市共有高中畢業(yè)生35000人，試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在 8100元以上;
(3)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在[80,100)錯(cuò)誤!未找到引用源。范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生，3名男生， 現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪，記選出的男生人數(shù)為 ，求 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:若 錯(cuò)誤!未找到引用源。，則
，
19.(本小題滿分12分)
如圖所示，三棱錐 中， 平面 ， ， ， 為 上一點(diǎn)， ， ， 分別為 ， 的中點(diǎn).
(1)證明： ;
(2)求平面 與平面 所成角的余弦值.
20.(本小題滿分12分)
已知中心在原點(diǎn) ，焦點(diǎn)在 軸上的橢圓 過(guò)點(diǎn) ，離心率為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于不同的兩點(diǎn) ，且 ，求直線 的斜率 的取值范圍;
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(2)若不等式 在 時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(3)當(dāng) 時(shí)，證明： .
(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.(本小題滿分10分)
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中， 是過(guò)點(diǎn) 且傾斜角為 的直線.以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)，以 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求直線 的參數(shù)方程與曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線 與曲線 交于兩點(diǎn) ， ，求 .
23.(本小題滿分10分)
[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù) .
(1)當(dāng) 時(shí)，解不等式 ;
(2)當(dāng) 時(shí)，不等式 對(duì)任意 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取
值范圍.
理科數(shù)學(xué)參考答案
一.選擇題
1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.D
二.填空題
13. 210 14. 15. 16. ②④
三.解答題
17.解：(1) ，
由題意得， ，即 ，解得 ，
∴ .
(2)由 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
得 在 上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
設(shè) ，
由 ，
由 ，得 或 ，
當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上遞增，
當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上遞減，
由題意得 ，即 ，解得 ，
18.解：(1)設(shè)樣本的中位數(shù)為 ，
則 錯(cuò)誤!未找到引用源。，
解得 ，所得樣本中位數(shù)為錯(cuò)誤!未找到引用源。(百元).
估計(jì)有805位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上.
(3) 的可能取值為0，1，2，3，
， ，
，
∴錯(cuò)誤!未找到引用源。的分布列為
0 1 2 3
19. 解 設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).
則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
又AN=14AB，M、S分別為PB、BC的中點(diǎn)，
∴N(12，0,0)，M(1,0，12)，S(1，12，0)，
(1)CM→=(1，-1，12)，SN→=(-12，-12，0)，
∴CM→•SN→=(1，-1，12)•(-12，-12，0)=0，
因此CM⊥SN.
(2) NC→=(-12，1,0)，設(shè)a=(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，
∴CM→•a=0，NC→•a=0.
則x-y+12z=0，-12x+y=0.∴x=2y，z=-2y.取y=1，則得 =(2,1，-2).
平面NBC的法向量
因?yàn)槠矫鍺BC與平面C MN所成角是銳二面角;所以平面NBC與平面CMN所成角的余弦值為 ..
20.解：(1)設(shè)橢圓 的方程為： ，
由已知： 得： ， ，
所以，橢圓 的方程為： .
(2)由題意，直線斜率存在，故設(shè)直線 的方程為
由 得
由 即有
即
有
解得
綜上：實(shí)數(shù) 的取值范圍為
21.解：(1)∵y=f(x)-g(x)=ln(ax+1)-x-2x+2，
y′=aax+1-4(x+2)2=ax2+4a-4(ax+1)(x+2)2，
當(dāng)a≥1時(shí)，y′≥0，所以函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函數(shù);
當(dāng)0
(2)當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函數(shù).
所以f(x)-g(x)≥f(0)-g(0)= 1，
即不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0，+∞)時(shí)恒成立，
當(dāng)0
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞)
(3)當(dāng)a=1時(shí)，由(2)得不等式f(x)>g(x)+1在x∈(0，+∞)時(shí)恒成立，
即ln(x+1)>2xx+2 ，所以 ，
即12k+1<12[ln(k+1)-lnk].
所以13<12(ln2-ln1)，15<12(ln3-ln2)，17<12(ln4-ln3)，...，12n+1<12[ln(n+1)-lnn].
將上面各式相加得到，13+15+17+…+12n+1<12[(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+(ln(n+1)-lnn)]=12ln(n+1)=12f(n).
∴原不等式成立.
22.解：(1)直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)).
由曲線 的極坐標(biāo)方程 ，得 ，
把 ， ，代入得曲線 的直角坐標(biāo)方程為 .
(2)把 代入圓 的方程得 ，
化簡(jiǎn)得 ，
設(shè) ， 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 ， ，
則 ，∴ ， ，則 .
23.解：(1)當(dāng) 時(shí)，由 得： ，
故有 或 或 ，
∴ 或 或 ，∴ 或 ，
∴ 的解集為 .
(2)當(dāng) 時(shí) ，∴ ，
由 得： ，∴ ，∴ 的取值范圍為 .
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