理科高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試試題
大家要學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的話(huà)就必須要多做題,多看,今天小編就給大家分享一下高二數(shù)學(xué),需要的來(lái)閱讀哦
理科高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷
一、單選題
1.命題“若 ,則 且 ”的逆否命題是( D )
A. 若 ,則 且 B. 若 ,則 或
C. 若 且 ,則 D. 若 或 ,則
2已知拋物線方程為 ,則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( C )
A. B. C. D.
3.下列命題錯(cuò)誤的是(B )
A. 命題“ , ”的否定是“ , ”;
B. 若 是假命題,則 , 都是假命題
C. 雙曲線 的焦距為
D. 設(shè) , 是互不垂直的兩條異面直線,則存在平面 ,使得 ,且
4.與橢園 共焦點(diǎn)且漸近線方程為 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( D )
A. B. C. D.
5.已知 .若“ ”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( C )
A. (1,+∞) B. (-∞,3) C. (1,3) D.
6.直線 截圓 所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù) 的值是( A)
A. -3 B. -4 C. -6 D.
7.方程 表示的曲線是( D )
A. 兩條直線 B. 兩條射線 C. 兩條線段 D. 一條直線和一條射線
8.已知 、 是橢圓 : 的兩個(gè)焦點(diǎn), 為橢圓 上一點(diǎn),且 ,若 的面積為9,則 的值為( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.如圖,空間四面體 的每條邊都等于1,點(diǎn) , 分別是 , 的中點(diǎn),則 等于(A )
A. B. C. D.
10.已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 , , 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則
的最小值為(B )
A. B. C. D.
11.如圖,在所有棱長(zhǎng)均為a 的直三棱柱ABC—A1B1C1 中,D,E 分別為BB1,A1C1 的中點(diǎn),則異面直線AD,CE 所成角的余弦值為(C)
A. B. C. D.
12. 為雙曲線 上一點(diǎn), 分別為 的左、右焦點(diǎn), ,若 外接圓半徑與其內(nèi)切圓半徑之比為 ,則 的離心率為(D)
A. B. 2 C. 或 D. 2或3
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B D C A D C A B C D
二、填空題
13.已知O為空間任意一點(diǎn),A,B,C,D四點(diǎn)滿(mǎn)足任意三點(diǎn)不共線,但四點(diǎn)共面,
且 ,則 __________;
【答案】-1
14.有下列幾個(gè)命題:
①“若 ,則 ”的否命題;②“若 ,則 , 互為相反數(shù)”的逆命題;
?、?ldquo;若 ,則 ”的逆否命題;④ “若 ,則 有實(shí)根”的逆否命題;
其中真命題的序號(hào)是_____.
【答案】②③④
15.15.已知點(diǎn) 在橢圓 上,則 的最大值為_(kāi)__________;
【答案】4
16.已知橢圓 上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn) 為其右焦點(diǎn),若 ,設(shè) ,且 ,則橢圓的離心率 的取值范圍為_(kāi)_____________
【答案】
三、解答題
17.已知 ,已知命題 :方程 表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓;命題 :“函數(shù) 在 上為單調(diào)增函數(shù).若“ 或 ”為真命題,“ 且 ”為假命題,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【答案】 或
【試題解析】
若 為真命題,則 解得 若 為真命題,則 即 ,
若“ 或 ”為真命題,“ 且 ”為假命題,則 一真一假.
當(dāng) 時(shí),由 得 ,當(dāng) 時(shí),由 得
綜上,實(shí)數(shù) 的取值范圍是 或
18.已知向量 , ,若向量 同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件:
?、?;② ;③ 與 垂直.
(1)求向量 的坐標(biāo);
(2)若向量 與向量 共線,求向量 與 夾角的余弦值.
【答案】(1) 或 ;(2) .
(1)設(shè) ,則由題可知 解得 或
所以 或 .
(2)因?yàn)橄蛄?與向量 共線,所以 .
又 , ,所以 , ,
所以 ,且 , ,
所以 與 夾角的余弦值為 .
19.如圖,設(shè) 是圓 上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) 是 在 軸上的投影, 為 上一點(diǎn),且 .
(1)當(dāng) 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn) 的軌跡 的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn) 且斜率為 的直線被 所截線段的長(zhǎng)度.
【答案】(1) .(2) .
(1)設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,由已知得 .∵ 在圓上, ,
即 ,整理得 ,即 的方程為 .
(2)過(guò)點(diǎn) 且斜率為 的直線方程為 ,
設(shè)直線與 的交點(diǎn)為 , ,將直線方程 代入 的方程,
得 ,即 .∴x1+x2=3,x1•x2=-8∴線段 的長(zhǎng)度為
.
∴直線被 所截線段的長(zhǎng)度為 .
20.如圖所示,四棱錐 中, 底面 , , , , , , 為 的中點(diǎn).
(1)求證: 平面 ;
(2)求直線 與平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析; (2) .
【解析】
(1)證明:因?yàn)?, , ,所以 , ,
在 中, , , ,由余弦定理可得: 解得: 所以 ,所以 是直角三角形,又 為 的中點(diǎn),所以 又 ,所以 為等邊三角形,所以 ,所以 ,又 平面 , 平面 ,所以 平面 .
(2)解:由(1)可知 ,以點(diǎn) 為原點(diǎn),以 , , 所在直線分別為 軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 , , , .
所以 , , .
設(shè) 為平面 的法向量,則 ,即
設(shè) ,則 , ,即平面 的一個(gè)法向量為 ,
所以 ,所以直線 與平面 所成角的正弦值為 .
21.已知 為雙曲線 的左、右焦點(diǎn),過(guò) 作垂直于 軸的直線,并在 軸上方交雙曲線于點(diǎn) ,且 .
(1)求雙曲線 的方程;
(2)過(guò)圓 上任意一點(diǎn) 作切線 交雙曲線 于 兩個(gè)不同點(diǎn), 中點(diǎn)為 ,
若 ,求實(shí)數(shù)
【答案】(1) ;(2) ;(3)見(jiàn)解析
【解析】:(1)根據(jù)已知條件 得 ,∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,
∵ 軸,∴ 在直角三角形 中, ,解得 ,
于是所求雙曲線方程為 .
(2)①當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí),則 ,于是 ,此時(shí) ,
?、诋?dāng)直線 的斜率存在時(shí),設(shè) 的方程為 切線 與 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ,
于是有 消去 化成關(guān)于 的二次為 .
∵ 為 的中點(diǎn),∴ 即 坐標(biāo)為
則 , 又點(diǎn) 到直線 的距離為 , .代入得: , ,故 .
22.已知拋物線 : ( )與橢圓 : 相交所得的弦長(zhǎng)為
(Ⅰ)求拋物線 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè) , 是 上異于原點(diǎn) 的兩個(gè)不同點(diǎn),直線 和 的傾斜角分別為 和 ,當(dāng) , 變化且 為定值 ( )時(shí),證明:直線 恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)直線 恒過(guò)定點(diǎn) .
【解析】(Ⅰ)設(shè)拋物線 與橢圓 交于 , 兩點(diǎn).由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知, , , 將點(diǎn) 代入拋物線 中,得 ,
再將點(diǎn) 代入橢圓 中,得 ,解得 .故拋物線 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) , ,由題意得 (否則 ,不滿(mǎn)足 ),且 , ,
設(shè)直線 , 的方程分別為 , , 聯(lián)立 ,解得 , ,聯(lián)立 ,解得 , ; 則由兩點(diǎn)式得,直線 的方程為 .
化簡(jiǎn)得 .①因?yàn)?,由 ,得 ,得 ,②將②代入①,化簡(jiǎn)得 ,得 .
得 ,得 ,得 ,
即 .令 ,不管 取何值,都有 .所以直線 恒過(guò)定點(diǎn) .
考點(diǎn):(1)軌跡方程;(2)直線過(guò)定點(diǎn);(3)直線與圓的位置關(guān)系.
第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)試卷題目
選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.不等式 的解集為 ( )
A. B.
C. D.
2.在 中,若 ,則角A是( )
A.鈍角 B.直角 C.銳角 D.不能確定
3.對(duì)于任意實(shí)數(shù) ,不等式 恒成立,則實(shí)數(shù) 取值范圍( )
A. B. C. D.
4.設(shè) ,給出下列三個(gè)結(jié)論:① ;② ;
?、?.其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是 ( )
A.①③ B.①② C.②③ D.①②③
5.若變量x,y滿(mǎn)足約束條件 則z=2x+y的最大值為( )
A.0 B.5 C.-3 D.-2
6.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+4r,則 r=( )
A. B. C. D.
7.已知滿(mǎn)足條件 , , 的 的個(gè)數(shù)有兩個(gè),則x的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
8.設(shè) 是等差數(shù)列,下列結(jié)論中一定成立的是( )
A.若 ,則 B.若 ,則
C .若 ,則 D.若 ,則
9.等比數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù),且 ,則 ( )
A.60 B.50 C.40 D.20+log2 5
10.如圖, 一艘船上午10:30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°處,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午11:00到達(dá)B處,此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處,且與它相距9 n mile,則此船的航速是( )
A.16 n mile/h B.18 n mile/h
C.32 n mile/h D.36 n mile/h
11.等差數(shù)列{an}中, , ,且 < , 為其前n項(xiàng)之和 ,則使 的最大正整數(shù) 是( )
A.198 B. 199 C.200 D.201
12. 中,三個(gè)內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ,若 成等差數(shù)列,且 ,則 ( )
A. B. C. 2 D.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.)
13.公差為2的等差數(shù)列 中, 成等比數(shù)列,則 的前 項(xiàng)和為 .
14.∆ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c, 若 的面積為 ,則角B= ,
15.設(shè) ,若關(guān)于 的不等式 在 恒成立, 則 的取值范圍為 .
16.已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22,依此類(lèi)推.記 此數(shù)列為 ,則 。
三、解答題(本大題6小題,共70分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17.(本小題滿(mǎn)分10分)在△ 中,角 所對(duì)的邊分別為 ,已知 , , .
(1) 求 的值; (2) 求 的值.
18.(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)函數(shù) ,其中 。
(1)若不等式 的解集為 ,求實(shí)數(shù) 值。
(2)當(dāng) 時(shí),解關(guān)于x的不等式 。
19.(本小題滿(mǎn)分12分)已知數(shù)列 是 等比數(shù)列, , 是 和 的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 ;
(2)設(shè) ,求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
20.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BCD=1200
(1)求線段BD的長(zhǎng)與圓的面積。
(2)求四邊形ABCD的周長(zhǎng)的最大值。
21.(本小題滿(mǎn)分12分)閩越水鎮(zhèn)是閩侯縣打造閩都水鄉(xiāng)文化特色小鎮(zhèn)核心區(qū),該小鎮(zhèn)有一塊1800平方米的矩形地塊,開(kāi)發(fā)商準(zhǔn)備在中間挖出三個(gè)矩形池塘養(yǎng)閩侯特色金魚(yú),挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植柳樹(shù),形成柳中觀魚(yú)特色景觀。假設(shè)池塘周?chē)幕鶉鷮捑鶠?米,如圖,設(shè)池塘所占的總面積為 平方米.
(1)試用 表示a及 ;
(2)當(dāng) 取何值時(shí),才能使得 最大?并求出 的最大值.
22.定義 為n個(gè)正數(shù) 的“均倒數(shù)”。已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為 。
(1)求 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
(2)設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ,若4 < 對(duì)一切 恒成立試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
(3)令 ,問(wèn):是否存在正整數(shù)k使得 對(duì)一切 恒成立,如存在求出k值,否則說(shuō)明理由。
高中二年 數(shù)學(xué) 科
參考答案及評(píng)分參考
1.C 2.C 3.D 4.B 5.B
6.A 7. B 8. D. 9.B 10 D
11. B .12. C.
13.170 14. 15. 16. 2
17.解:(I)由余弦定理, ,
得 , ……3分
. ……5分
(II)方法1:由余弦定理,得 , ……8分
∵ 是 的內(nèi)角, ……9分
∴ . …10分
方法2:∵ ,且 是 的內(nèi)角,
∴ . ……6分[
根據(jù)正弦定理, ,
. …… 10分
18.解:(1)由于不等式 的解集為 ,所以1與5為方程 的兩根,
即 ……………………2分
a=3,k= ………………………4分
(用韋達(dá)定理計(jì)算同樣得分)
(2)a=3時(shí), ,解方程 得 …………………5分
由于1- = 所以
當(dāng) 時(shí), 此時(shí)不等式 的解集為 ………7分
當(dāng) 時(shí), 此時(shí)不等式 的解集為 ………9分
當(dāng) 時(shí), 此時(shí)不等式 的解集為 ………11分
綜上
當(dāng) 時(shí),不等式 解集為
當(dāng) 時(shí),不等式 解集為
當(dāng) 時(shí),不等式 解集為 ………12分
(如果誤用第一結(jié)論,結(jié)果正確,可酌情給2分)
19.解:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列 的公比為 ,
因?yàn)?,所以 , .…………………………………………1分
因?yàn)?是 和 的等差中項(xiàng),所以 .……………………2分
即 ,化簡(jiǎn)得 .
因?yàn)楣?,所以 .………………………………………………………4分
所以 ,所以數(shù)列 的前n項(xiàng)和 = …6分
(Ⅱ)因?yàn)?,所以 .
所以 .…………………8分
則 , ①
②………………9分
?、? ②得
=
= ……………11分
所以 …………12分
20.解:(1)由于四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,所以∠BCD+∠BAD=1800
由題設(shè)知∠BCD=1200,所以∠BAD=600……………1分
在 中由余弦定理得
= =7
……………4分
由正弦定理得 ………6分
(2)解法一:設(shè)∠CBD=θ,那么00<θ<600……………7分
在 中有正弦定理得
……………8分
……………9分
四邊形ABCD的周長(zhǎng)=5+
= …………11分
由于00<θ<600,所以600<θ+600<1200
所以θ+600=900即所以θ=300時(shí)四邊形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值5+ ……………12分
解法二:
設(shè) , ,在 中由余弦定理得 …7分
…………8分
………9分
四邊形ABCD的周長(zhǎng) ………11分
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)上式取等號(hào), 四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大值為
……12分
(沒(méi)有取等條件扣一分)
21.(1)由題圖形知,3a+6=x,∴a=x-63.………2分
則總面積S=1 800x-4•a+2a1 800x-6………4分
=a5 400x-16=x-635 400x-16
=1 832-10 800x+16x3,
即S=1 832-10 800x+16x3(x>0).……… 6分
(定義域沒(méi)寫(xiě)扣一分)
(2)由S=1 832-10 800x+16x3,
得S≤1 832-2 10 800x•16x3……… 8分
=1 832-2×240=1 352(平方米).……… 9分
當(dāng)且僅當(dāng)10 800x=16x3,此時(shí),x=45. ………11分
即當(dāng)x為45米時(shí),S最 大,且S最大值為1 352平方米.……… 12分
22.解:(1)設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ,
由于數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為 ,所以
= ……2分
當(dāng)
當(dāng)
(對(duì)當(dāng) 成立)
……4分
(2) = = ……5分
= = ……6分
< 對(duì)一切 恒成立
解之得
即m 的取值范圍是 …8分
(3)解法一: = ……9分
由于
= ……10分
時(shí) , 時(shí)
時(shí) 取得最大值,即存在正整數(shù)k=10使得 對(duì)一切 恒成立
……12分
解法二: = ……9分
假設(shè)存在正整數(shù)k使得 則 為數(shù)列 中的最大項(xiàng)
由 得 …10分
…11分 又 k=10即存在正整數(shù)k=10使得 對(duì)一切 恒成立…12分
高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷閱讀
一、選擇題:本題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.
1.已知集合M={x|2x 1},N={x|﹣2 x 2},則 RM∩N=( )
A.[﹣2,1] B.[0,2] C.(0,2] D.[﹣2,2]
2.“x 2”是“x2+x﹣6 0”的( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已知a=log20.3,b=20.3,c=0.32,則a,b,c三者的大小關(guān)系是( )
A.b c a B.b a c C.a b c D.c b a
4.2路公共汽車(chē)每5分鐘發(fā)車(chē)一次,小明到乘車(chē)點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他候車(chē)時(shí)間不超過(guò)兩分鐘的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知高一(1)班有48名學(xué)生,班主任將學(xué)生隨機(jī)編號(hào)為01,02,……,48,用系統(tǒng)抽樣方法,從中抽8人,若05號(hào)被抽到了,則下列編號(hào)的學(xué)生被抽到的是( )
A.16 B.22 C.29 D.33
6.直線2x+3y﹣9=0與直線6x+my+12=0平行,則兩直線間的距離為( )
A. B. C.21 D.13
7.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中每一個(gè)小方
格均為正方形,且邊長(zhǎng)為1,則該幾何體的體
積為( )
A. B.
C. D.
8.在△ABC中, 則( )
A. B.
C. D.
9.已知m,n R,且m﹣2n+6=0,則 的最小值為( )
A. B.4 C. D.3
10.已知某算法的程序框圖如圖所示,則該算法的功能
是( )
A.求首項(xiàng)為1,公差為2 的等差數(shù)列前2017項(xiàng)和
B.求首項(xiàng)為1,公差為2 的等差數(shù)列前2018項(xiàng)和
C.求首項(xiàng)為1,公差為4 的等差數(shù)列前1009項(xiàng)和
D.求首項(xiàng)為1,公差為4 的等差數(shù)列前1010項(xiàng)和
11.已知四棱錐P﹣ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上,底
面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,且PA⊥面ABCD,
若四棱錐的體積為 ,則該球的體積為( )
A.64 π B.8 π
C.24π D.6π
12.定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:f(x﹣2)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2,f(x+1)= (f(x)≠0),且f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,已知α,β是鈍角三角形中的兩銳角,則f(sinα)和f(cosβ)的大小關(guān)系是( )
A.f(sinα) f(cosβ) B.f(sinα) f(cosβ)
C.f(sinα)=f(cosβ) D.以上情況均有可能
二、填空題:本題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.
13.在等比數(shù)列{an}中,已知 =8,則 =__________
14. 已知變量x,y滿(mǎn)足約束條件 ,則目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值是________
15.將函數(shù)f(x)=sin( 2x)的圖象向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________
16.由直線x+2y﹣7=0上一點(diǎn)P引圓x2+y2﹣2x+4y+2=0的一條切線,切點(diǎn)為A,則|PA|的最小值為_(kāi)_________
二.解答題(共6小題)
17.(本小題滿(mǎn)分10分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2acosC=bcosC+ccosB.
(1)求角C的大小;
(2)若c= ,a2+b2=10,求△ABC的面積.
18.(本小題滿(mǎn)分12分)對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:
分組 頻數(shù) 頻率
[10,15) 10 0.25
[15,20) 25 n
[20,25) m p
[25,30) 2 0.05
合計(jì) M 1
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高一學(xué)生有360人,試估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[15,20)內(nèi)的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,請(qǐng)列舉出所有基本事件,并求至多1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20,25)內(nèi)的概率.
19.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1= AB=1,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).
(1)證明: B1C⊥平面D1EA;
(2)若BE= ,求二面
角D1﹣EC﹣D的大小.
20.(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足:Sn=nan﹣2n(n﹣1),首項(xiàng) =1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Mn,求證: Mn .
21.(本小題滿(mǎn)分12分)已知圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O(0,0)且與直線y=2x﹣8相切于點(diǎn)P(4,0).
(1)求圓C的方程;
(2)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4, 5),且與圓C相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|=2,求出直線l的方程.
22.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù) (k R),且滿(mǎn)足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線 沒(méi)有交點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)若函數(shù) ,x [0,log23],是否存在實(shí)數(shù)m使得h(x)最小值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
理科數(shù)學(xué)試卷答案
一. 選擇題(共12小題)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A A C B B C A C B A
二、填空題
13. 4 14.2
15. 16.
二.解答題(共6小題)
17.【解答】解:(1)∵△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2acosC=bcosC+ccosB,
∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB,
∵A+B+C=π,∴2sinAcosC=sin(B+C)=sinA,
∴cosC= ,∵0
(2)∵c= ,a2+b2=10, ,
∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC,
即7=10﹣ab,解得ab=3,
∴△ABC的面積S= = = .(5分)
18. 【解答】(1)由分組[10,15)內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25知, ,所以M=40.
因?yàn)轭l數(shù)之和為40,所以 .
因?yàn)閍是對(duì)應(yīng)分組[15,20)的頻率與組距的商,所以 .(4分)
(2)因?yàn)樵撔8呷龑W(xué)生有360人,分組[15,20)內(nèi)的頻率是0.625,
所以估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為360×0.625=225人.(7分)
(3)這個(gè)樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有3+2=5人
設(shè)在區(qū)間[20,25)內(nèi)的人為{a1,a2,a3},在區(qū)間[25,30)內(nèi)的人為{b1,b2}.
則任選2人共有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)10種情況,(9分)
而兩人都在[20,25)內(nèi)共有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3)3種情況,
至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20,25)內(nèi)的概率為 .(12分)
19.
(6分)
(6分)
20.【解答】解:(1)Sn=nan﹣2n(n﹣1),
當(dāng)n≥2時(shí),Sn﹣1=(n﹣1)an﹣1﹣2(n﹣1)(n﹣2),
相減可得an=nan﹣2n(n﹣1)﹣(n﹣1)an﹣1+2(n﹣1)(n﹣2),
化為an=an﹣1+4,
則{an}為首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,
即有an=1+4(n﹣1)=4n﹣3;(6分)
(2)證明: = = ( ﹣ ),
前n項(xiàng)和為Mn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= (1﹣ ),
由 (1﹣ )在自然數(shù)集上遞增,可得n=1時(shí)取得最小值 ,
且 (1﹣ )< ,
則 ≤Mn< .(6分)
21.【解答】解:(1)由已知,得圓心在經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,0)且與y=2x﹣8垂直的直線 上,它又在線段OP的中垂線x=2上,
所以求得圓心C(2,1),半徑為 .
所以圓C的方程為(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.(6分)
(2)①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),
設(shè)直線l的方程為 ,即 .
因?yàn)閨MN|=2,圓C的半徑為 ,所以圓心到直線的距離d=2
,解得 ,所以直線 ,
?、诋?dāng)斜率不存在時(shí),即直線l:x=4,符合題意
綜上直線l為 或x=4(12分)
22.已知函數(shù) (k R),且滿(mǎn)足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線 沒(méi)有交點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)若函數(shù) ,x [0,log23],是否存在實(shí)數(shù)m使得h(x)最小值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解答】解:(1)∵f(﹣1)=f(1),
即 ∴ (3分)
(2)由題意知方程 即方程 無(wú)解,
令 ,則函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=a無(wú)交點(diǎn)
∵
任取x1、x2 R,且x1
∴ .∴ ,
∴g(x)在(﹣∞,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).
∵ ,∴ .
∴a的取值范圍是(﹣∞,0].(7分)
注意:如果從復(fù)合函數(shù)角度分析出單調(diào)性,給全分. …9分
(3)由題意h(x)=4x+m×2x,x [0,log23],
令t=2x [1,3],φ(t)=t2+mt,t [1,3],
∵開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸 .
當(dāng) , ,m=﹣1
當(dāng) , ,m=0(舍去)
當(dāng) ,即m<﹣6,φ(t)min=φ(3)=9+3m=0,m=﹣3(舍去)
∴存在m=﹣1得h(x)最小值為0(12分)
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