高中數(shù)學(xué)幾何中求參數(shù)取值范圍的方法(2)
高中數(shù)學(xué)幾何中求參數(shù)取值范圍的方法
高中數(shù)學(xué)關(guān)于旋轉(zhuǎn)體的知識(shí)點(diǎn)
1.在中學(xué)我們只研直圓柱、直圓錐和直圓臺(tái)。所以對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的旋轉(zhuǎn)定義、實(shí)際上是直圓柱、直圓錐、直圓臺(tái)的定義。
這樣定義直觀形象，便于理解，而且對(duì)它們的性質(zhì)也易推導(dǎo)。
對(duì)于球的定義中，要注意區(qū)分球和球面的概念，球是實(shí)心的。
等邊圓柱和等邊圓錐是特殊圓柱和圓錐，它是由其軸截面來(lái)定義的，在實(shí)踐中運(yùn)用較廣，要注意與一般圓柱、圓錐的區(qū)分。
2.圓柱、圓錐、圓和球的性質(zhì)
(1)圓柱的性質(zhì)，要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是連心線垂直圓柱的底面;二是三個(gè)截面的性質(zhì)——平行于底面的截面是與底面全等的圓;軸截面是一個(gè)以上、下底面圓的直徑和母線所組成的矩形;平行于軸線的截面是一個(gè)以上、下底的圓的弦和母線組成的矩形。
(2)圓錐的性質(zhì)，要強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)
?、倨叫杏诘酌娴慕孛鎴A的性質(zhì)：
截面圓面積和底面圓面積的比等于從頂點(diǎn)到截面和從頂點(diǎn)到底面距離的平方比。
?、谶^(guò)圓錐的頂點(diǎn)，且與其底面相交的截面是一個(gè)由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形，其面積為：
易知，截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角(如圖10-20)，事實(shí)上，由BC≥AB，VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC.
由于截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角。
所以，當(dāng)軸截面的頂角θ≤90°，有0°<α≤θ≤90°，即有
當(dāng)軸截面的頂角θ>90°時(shí)，軸截面的面積卻不是最大的，這是因?yàn)椋?0°≤α<θ<180°時(shí)，1≥sinα>sinθ>0.
?、蹐A錐的母線l，高h(yuǎn)和底面圓的半徑組成一個(gè)直徑三角形，圓錐的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，一般都要?dú)w結(jié)為解這個(gè)直角三角形，特別是關(guān)系式
l2=h2+R2
(3)圓臺(tái)的性質(zhì)，都是從“圓臺(tái)為截頭圓錐”這個(gè)事實(shí)推得的，但仍要強(qiáng)調(diào)下面幾點(diǎn)：
?、賵A臺(tái)的母線共點(diǎn)，所以任兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是，與上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形。
?、谄叫杏诘酌娴慕孛嫒魧A臺(tái)的高分成距上、下兩底為兩段的截面面積為S，則
其中S1和S2分別為上、下底面面積。
的截面性質(zhì)的推廣。
?、蹐A臺(tái)的母線l，高h(yuǎn)和上、下兩底圓的半徑r、R，組成一個(gè)直角梯形，且有
l2=h2+(R-r)2
圓臺(tái)的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，常歸結(jié)為解這個(gè)直角梯形。
(4)球的性質(zhì)，著重掌握其截面的性質(zhì)。
①用任意平面截球所得的截面是一個(gè)圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個(gè)截面垂直。
②如果用R和r分別表示球的半徑和截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離，則
R2=r2+d2
即，球的半徑，截面圓的半徑，和球心到截面的距離組成一個(gè)直角三角形，有關(guān)球的計(jì)算問(wèn)題，常歸結(jié)為解這個(gè)直角三角形。
3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的表面積
(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和多面體一樣都是可以平面展開(kāi)的。
?、賵A柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，是求其側(cè)面積的基本依據(jù)。
圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，是由底面圖的周長(zhǎng)和母線長(zhǎng)組成的一個(gè)矩形。
?、趫A錐和側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)由兩條母線長(zhǎng)和底面圓的周長(zhǎng)組成的扇形，其扇形的圓心角為
?、蹐A臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)由兩條母線長(zhǎng)和上、下底面周長(zhǎng)組成的扇環(huán)，其扇環(huán)的圓心角為
這個(gè)公式有利于空間幾何體和其側(cè)面展開(kāi)圖的互化
顯然，當(dāng)r=0時(shí)，這個(gè)公式就是圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角公式，所以，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角公式是圓臺(tái)相關(guān)角的特例。
(2)圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面公式為
S側(cè)=π(r+R)l
當(dāng)r=R時(shí)，S側(cè)=2πRl，即圓柱的側(cè)面積公式。
當(dāng)r=0時(shí)，S側(cè)=rRl，即圓錐的面積公式。
要重視，側(cè)面積間的這種關(guān)系。
(3)球面是不能平面展開(kāi)的圖形，所以，求它的面積的方法與柱、錐、臺(tái)的方法完全不同。
推導(dǎo)出來(lái)，要用“微積分”等高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，課本上不能算是一種證明。
求不規(guī)則圓形的度量屬性的常用方法是“細(xì)分——求和——取極限”，這種方法，在學(xué)完“微積分”的相關(guān)內(nèi)容后，不證自明，這里從略。
4.畫(huà)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的直觀圖的方法——正等測(cè)
(1)正等測(cè)畫(huà)直觀圖的要求：
①畫(huà)正等測(cè)的X、Y、Z三個(gè)軸時(shí)，z軸畫(huà)成鉛直方向，X 軸和Y軸各與Z軸成120°。
?、谠谕队皥D上取線段長(zhǎng)度的方法是：在三軸上或平行于三軸的線段都取實(shí)長(zhǎng)。
這里與斜二測(cè)畫(huà)直觀圖的方法不同，要注意它們的區(qū)別。
(2)正等測(cè)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的直觀圖的區(qū)別主要是水平放置的平面圖形。
用正等測(cè)畫(huà)水平放置的平面圓形時(shí)，將X軸畫(huà)成水平位置，Y軸畫(huà)成與X軸成120°，在投影圖上，X軸和Y軸上，或與X軸、Y軸平行的線段都取實(shí)長(zhǎng)，在Z軸上或與Z軸平行的線段的畫(huà)法與斜二測(cè)相同，也都取實(shí)長(zhǎng)。
5.關(guān)于幾何體表面內(nèi)兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題
柱、錐、臺(tái)的表面都可以平面展開(kāi)，這些幾何體表面內(nèi)兩點(diǎn)間最短距離，就是其平面內(nèi)展開(kāi)圖內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)。
由于球面不能平面展開(kāi)，所以求球面內(nèi)兩點(diǎn)間的球面距離是一個(gè)全新的方法，這個(gè)最短距離是過(guò)這兩點(diǎn)大圓的劣弧長(zhǎng)。
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