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高中數(shù)學(xué)必修五不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)

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高中數(shù)學(xué)必修五不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)

  高中數(shù)學(xué)不等式是學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容,那么相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有哪些呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)的高中數(shù)學(xué)必修五不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn),希望對(duì)你有幫助。

  高中數(shù)學(xué)必修五不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)(一)

  1.一元一次不等式的解法

  任何一個(gè)一元一次不等式經(jīng)過(guò)變形后都可以化為ax>b或axb而言,當(dāng)a>0時(shí),其解集為(ab,+∞),當(dāng)a<0時(shí),其解集為(-∞,ba),當(dāng)a=0時(shí),b<0時(shí),期解集為R,當(dāng)a=0,b≥0時(shí),其解集為空集。

  例1:解關(guān)于x的不等式ax-2>b+2x

  解:原不等式化為(a-2)x>b+2

 ?、佼?dāng)a>2時(shí),其解集為(b+2a-2,+∞)

  ②當(dāng)a<2時(shí),其解集為(-∞,b+2a-2)

  ③當(dāng)a=2,b≥-2時(shí),其解集為φ

 ?、墚?dāng)a=2且b<-2時(shí),其解集為R.

  2.一元二次不等式的解法

  任何一個(gè)一元二次不等式都可化為ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式,然后用判別式法來(lái)判斷解集的各種情形(空集,全體實(shí)數(shù),部分實(shí)數(shù)),如果是空集或?qū)崝?shù)集,那么不等式已經(jīng)解出,如果是部分實(shí)數(shù),則根據(jù)“大于號(hào)取兩根之外,小于號(hào)取兩根中間”分別寫出解集就可以了。

  例2:解不等式ax2+4x+4>0(a>0)

  解:△=16-16a

  ①當(dāng)a>1時(shí),△<0,其解集為R

 ?、诋?dāng)a=1時(shí),△=0,則x≠-2,故其解集(-∞,-2)∪(-2,+∞)

 ?、郛?dāng)a<1時(shí),△>0,其解集(-∞,-2-21-aa)∪(-2+21-aa,+∞)

  3.不等式組的解法

  將不等式中每個(gè)不等式求得解集,然后求交集即可.

  例3:解不等式組m2+4m-5>0(1)

  m 2+4m-12<0(2)

  解:由①得m<-5或m>1

  由②得-6,故原不等式組的解集為(-6,-5)∪(1,2)

  高中數(shù)學(xué)必修五不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)(二)

  分式不等式的解法

  任何一個(gè)分式不等都可化為f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式,然后討論分子分母的符號(hào),得兩個(gè)不等式組,求得這兩個(gè)不等式組的解集的并集便是原不等式的解集.

  例4:解不等式x2-x-6-x2-1>2

  解:原不等式化為:3x2-x-4-x2-1>0

  它等價(jià)于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0

  解(I)得解集空集,解(II)得解集(-1,43).

  故原不等式的解集為(-1,43).

  含有絕對(duì)值不等式的解法

  去絕對(duì)值號(hào)的主要依據(jù)是:根據(jù)絕對(duì)值的定義或性質(zhì),先將含有絕對(duì)值的不等式中的絕對(duì)值號(hào)去掉,化為不含絕對(duì)值的不等式,然后求出其解集即可。

  (1)|x|>a(a>0)?x>a或x<-a.

  (2)|x|0)?-a解:原不等式等價(jià)于3xx2-4≥1,①或3xx2-4≤-1②

  解①得2 解②得-4≤x<-2或1≤x<2

  故原不等式的解集為[-4,-2)∪(-2,-1]∪[1,2)∪(2,4].

  例6:解不等式|x2-3x+2|>x2-1

  解:原不等式等價(jià)于x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2<-x2+1②

  解①得{x|x<1},解②得{x|12g(x)和|f(x)|a和|x| 例7:解不等式|x+1|+|x|<2

  解:①當(dāng)x≤-1時(shí),原不等式變?yōu)?x-1-x<2 ∴-32 ②當(dāng)-1 ∴-1 ③當(dāng)x>0時(shí),原不等式變?yōu)閤+1+x<2.

  ∴解得0 綜合①,②,③知,原不等式的解集為{x|-32 例8:解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|>2

  解:①當(dāng)x≤1時(shí),原不等式變?yōu)閤2-3x+2+x2-4x+3>2,此時(shí)解集為{x|x<12}.

 ?、诋?dāng)12,此時(shí)解集為空集。

 ?、郛?dāng)22,此時(shí)的解集是空集。

 ?、墚?dāng)x>3時(shí),原不等式化為x2-3x+2+x2-4x+3>2,此時(shí)的解集為{x|x>3}.

  綜合①②③④可知原不等式的解集為{x|x≤12}∪{x|x>3}.從以上兩個(gè)例子可以看出,解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值的不等式,一般是先找出一些關(guān)鍵數(shù)(如例7的關(guān)鍵數(shù)是-1,0;例8中的關(guān)鍵數(shù)是1,2,3)這些關(guān)鍵數(shù)將實(shí)數(shù)劃分為幾個(gè)區(qū)間,在這些區(qū)間上,可以根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值號(hào),從而轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式,應(yīng)當(dāng)注意的是,在解這些不等式時(shí),應(yīng)該求出交集,最后綜合各區(qū)間的解集寫出答案。

  無(wú)理不等式的解法

  無(wú)理不等式f(x)>g(x)的解集為不等式組(I)f(x)≥[g(x)] 2f(x)≥0g(x)≥0和(II)f(x)≥0g(x)<0的解集的并集.

  無(wú)理不等式f(x)0)的解集為不等式組f(x)≥0f(x)<[g(x)] 2g(x)>0的解集.

  例9:解不等式:2x+5-x-1>0

  解:原不等式化為:2x+5>x+1 由此得不等式組(I)2x+5≥0x+1<0或(II)2x+5≥0x+1≥02x+5>(x+1)2

  解(I)得-52≤x<-1,解(II)得-1≤x<2

  故原不等式的解集為[-52,2].

  指數(shù)不等式的解法

  根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式。

  例10.解不等式:9x>(3)x+2

  解:原不等式化為 3 2x>3x+22

  ∴2x>x+22即x>23

  故原不等式解集為(23 ,+∞).

  高中數(shù)學(xué)必修五不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)(三)

  對(duì)數(shù)不等式的解法

  根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式。

  例11:解不等式:log12(x+1)(2-x)>0

  解:原不等式化為log12(x+1)(2-x)>log121

  ∴ (x+1)(2-x)>0 (1)(x+1)(2-x)<1 (2)

  解①得-1 解②得x<1-52 或x>1+52

  故原不等式解集(-1,1-52)∪(1+52,2).

  簡(jiǎn)單高次不等式的解法

  簡(jiǎn)單高次不等式可以利用數(shù)軸標(biāo)根法來(lái)解不等式.

  例12:解不等式(x+1)(x 2-5x+4)<0

  解:原不等式化為:(x+1)(x-1)(x-4)<0

  如圖,由數(shù)軸標(biāo)根法可得原不等式解集為(-∞,-1)∪(1,4)

  三角不等式的解法

  根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性,先求出在同一周期內(nèi)的解集,然后寫出通值。

  例13:解不等式:sinx≤-12

  解:sinx≤-12在[0,2π]內(nèi)的解是:76 π≤x≤116π

  故原不等式的解集為[2kπ+76 ,2kπ+116 ](k∈z)。

  含有字母系數(shù)不等式的解法

  在解不等式過(guò)程中,還常常遇到含有字母系數(shù)的一些不等式,此時(shí),一定要注意字母系數(shù)進(jìn)行討論,以保證解題的完備性。

  例14:解不等式2 3x-2x 解:原不等式變形為2 2x(2 2x-1) ∴(2 2x-1) (2 2x-a)<0

  ∴原不等式等價(jià)于2 2x-1>02 2x-a<0 或2 2x-1<02 2x-a>0

 ?、佼?dāng)a≤0時(shí),x<0;

 ?、诋?dāng)0 ③當(dāng)a=1時(shí),無(wú)解

 ?、墚?dāng)a>1時(shí),0 解不等式的基礎(chǔ)是解一元一次不等式,解一元二次不等式,解由一元一次不等式和一元二次不等式組成的不等式組。解其它各式各樣的不等式(三角不等式除外)關(guān)鍵在于根據(jù)有關(guān)的定義,定理,性質(zhì)轉(zhuǎn)化這些不等式為上述三類不等式。在具體轉(zhuǎn)化的過(guò)程中,特別應(yīng)該注意每一步都應(yīng)是同解變形。像無(wú)理不等式中的開偶次方時(shí)的被開方數(shù)及對(duì)數(shù)不等式中的真數(shù)等,在去根號(hào)和去對(duì)數(shù)符號(hào)時(shí),一定要使被開方數(shù)非負(fù),真數(shù)大于零。
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