高中數學必修五不等式與不等式組知識點
高中數學必修五不等式與不等式組知識點
高中數學不等式是學習的重要內容，那么相關知識點有哪些呢?下面是學習啦小編給大家?guī)淼母咧袛祵W必修五不等式與不等式組知識點，希望對你有幫助。
高中數學必修五不等式與不等式組知識點(一)
1.一元一次不等式的解法
任何一個一元一次不等式經過變形后都可以化為ax>b或axb而言，當a>0時，其解集為(ab，+∞)，當a<0時，其解集為(-∞，ba)，當a=0時，b<0時，期解集為R，當a=0，b≥0時，其解集為空集。
例1：解關于x的不等式ax-2>b+2x
解：原不等式化為(a-2)x>b+2
?、佼攁>2時，其解集為(b+2a-2，+∞)
?、诋攁<2時，其解集為(-∞，b+2a-2)
?、郛攁=2，b≥-2時，其解集為φ
?、墚攁=2且b<-2時，其解集為R.
2.一元二次不等式的解法
任何一個一元二次不等式都可化為ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判別式法來判斷解集的各種情形(空集，全體實數，部分實數)，如果是空集或實數集，那么不等式已經解出，如果是部分實數，則根據“大于號取兩根之外，小于號取兩根中間”分別寫出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)
解：△=16-16a
①當a>1時，△<0，其解集為R
?、诋攁=1時，△=0，則x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)
?、郛攁<1時，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)
3.不等式組的解法
將不等式中每個不等式求得解集，然后求交集即可.
例3：解不等式組m2+4m-5>0(1)
m 2+4m-12<0(2)
解：由①得m<-5或m>1
由②得-6，故原不等式組的解集為(-6，-5)∪(1，2)
高中數學必修五不等式與不等式組知識點(二)
分式不等式的解法
任何一個分式不等都可化為f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后討論分子分母的符號，得兩個不等式組，求得這兩個不等式組的解集的并集便是原不等式的解集.
例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2
解：原不等式化為：3x2-x-4-x2-1>0
它等價于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0
解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).
故原不等式的解集為(-1，43).
含有絕對值不等式的解法
去絕對值號的主要依據是：根據絕對值的定義或性質，先將含有絕對值的不等式中的絕對值號去掉，化為不含絕對值的不等式，然后求出其解集即可。
(1)|x|>a(a>0)?x>a或x<-a.
(2)|x|0)?-a解：原不等式等價于3xx2-4≥1，①或3xx2-4≤-1②
解①得2 解②得-4≤x<-2或1≤x<2
故原不等式的解集為[-4，-2)∪(-2，-1]∪[1，2)∪(2，4].
例6：解不等式|x2-3x+2|>x2-1
解：原不等式等價于x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2<-x2+1②
解①得{x|x<1}，解②得{x|12g(x)和|f(x)|a和|x| 例7：解不等式|x+1|+|x|<2
解：①當x≤-1時，原不等式變?yōu)?x-1-x<2 ∴-32 ②當-1 ∴-1 ③當x>0時，原不等式變?yōu)閤+1+x<2.
∴解得0 綜合①，②，③知，原不等式的解集為{x|-32 例8：解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|>2
解：①當x≤1時，原不等式變?yōu)閤2-3x+2+x2-4x+3>2，此時解集為{x|x<12}.
?、诋?2，此時解集為空集。
?、郛?2，此時的解集是空集。
④當x>3時，原不等式化為x2-3x+2+x2-4x+3>2，此時的解集為{x|x>3}.
綜合①②③④可知原不等式的解集為{x|x≤12}∪{x|x>3}.從以上兩個例子可以看出，解含有兩個或兩個以上的絕對值的不等式，一般是先找出一些關鍵數(如例7的關鍵數是-1，0;例8中的關鍵數是1，2，3)這些關鍵數將實數劃分為幾個區(qū)間，在這些區(qū)間上，可以根據絕對值的意義去掉絕對值號，從而轉化為不含絕對值的不等式，應當注意的是，在解這些不等式時，應該求出交集，最后綜合各區(qū)間的解集寫出答案。
無理不等式的解法
無理不等式f(x)>g(x)的解集為不等式組(I)f(x)≥[g(x)] 2f(x)≥0g(x)≥0和(II)f(x)≥0g(x)<0的解集的并集.
無理不等式f(x)0)的解集為不等式組f(x)≥0f(x)<[g(x)] 2g(x)>0的解集.
例9：解不等式：2x+5-x-1>0
解：原不等式化為：2x+5>x+1 由此得不等式組(I)2x+5≥0x+1<0或(II)2x+5≥0x+1≥02x+5>(x+1)2
解(I)得-52≤x<-1，解(II)得-1≤x<2
故原不等式的解集為[-52，2].
指數不等式的解法
根據指數函數的單調性來解不等式。
例10.解不等式：9x>(3)x+2
解：原不等式化為 3 2x>3x+22
∴2x>x+22即x>23
故原不等式解集為(23 ，+∞).
高中數學必修五不等式與不等式組知識點(三)
對數不等式的解法
根據對數函數的單調性來解不等式。
例11：解不等式：log12(x+1)(2-x)>0
解：原不等式化為log12(x+1)(2-x)>log121
∴ (x+1)(2-x)>0 (1)(x+1)(2-x)<1 (2)
解①得-1 解②得x<1-52 或x>1+52
故原不等式解集(-1，1-52)∪(1+52，2).
簡單高次不等式的解法
簡單高次不等式可以利用數軸標根法來解不等式.
例12：解不等式(x+1)(x 2-5x+4)<0
解：原不等式化為：(x+1)(x-1)(x-4)<0
如圖，由數軸標根法可得原不等式解集為(-∞，-1)∪(1，4)
三角不等式的解法
根據三角函數的單調性，先求出在同一周期內的解集，然后寫出通值。
例13：解不等式：sinx≤-12
解：sinx≤-12在[0，2π]內的解是：76 π≤x≤116π
故原不等式的解集為[2kπ+76 ，2kπ+116 ](k∈z)。
含有字母系數不等式的解法
在解不等式過程中，還常常遇到含有字母系數的一些不等式，此時，一定要注意字母系數進行討論，以保證解題的完備性。
例14：解不等式2 3x-2x 解：原不等式變形為2 2x(2 2x-1) ∴(2 2x-1) (2 2x-a)<0
∴原不等式等價于2 2x-1>02 2x-a<0 或2 2x-1<02 2x-a>0
①當a≤0時，x<0;
?、诋? ③當a=1時，無解
?、墚攁>1時，0 解不等式的基礎是解一元一次不等式，解一元二次不等式，解由一元一次不等式和一元二次不等式組成的不等式組。解其它各式各樣的不等式(三角不等式除外)關鍵在于根據有關的定義，定理，性質轉化這些不等式為上述三類不等式。在具體轉化的過程中，特別應該注意每一步都應是同解變形。像無理不等式中的開偶次方時的被開方數及對數不等式中的真數等，在去根號和去對數符號時，一定要使被開方數非負，真數大于零。
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