高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)
高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的重要工具，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高二數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此同學(xué)們需要掌握導(dǎo)數(shù)的重要知識點(diǎn)。下面學(xué)習(xí)啦小編帶來高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)，歡迎閱讀!
高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)
1. 求函數(shù)的單調(diào)性：
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)， (1)如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù); (2)如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù); (3)如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)。
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：①求函數(shù)yf(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)f(x); ③解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間;④解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。
反過來, 也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題(如確定參數(shù)的取值范圍)： 設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，
(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間);
(2) 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間);
(3) 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù),則f(x)0恒成立。 2. 求函數(shù)的極值：
設(shè)函數(shù)yf(x)在x0及其附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值(或極大值)。
可導(dǎo)函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f(x);(3)求方程f(x)0的全部實(shí)根，x1x2xn，順次將定義域分成若干個小區(qū)間，并列表：x變化時，f(x)和f(x)值的
變化情況：
(4)檢查f(x)的符號并由表格判斷極值。 3. 求函數(shù)的最大值與最小值：
如果函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)存在x0，使得對任意的xI，總有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。
求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值的步驟： (1)求f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;
(2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值。
4. 解決不等式的有關(guān)問題：
(1)不等式恒成立問題(絕對不等式問題)可考慮值域。
f(x)(xA)的值域是[a,b]時，
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)max0，即b0;
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)min0，即a0。
f(x)(xA)的值域是(a,b)時，
不等式f(x)0恒成立的充要條件是b0; 不等式f(x)0恒成立的充要條件是a0。
(2)證明不等式f(x)0可轉(zhuǎn)化為證明f(x)max0，或利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明f(x)f(x0)0。
5. 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用：
實(shí)際生活求解最大(小)值問題，通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值. 在利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最值時，一定要注意，極值點(diǎn)唯一的單峰函數(shù)，極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，在解題時要加以說明。
高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)
考點(diǎn)一：求導(dǎo)公式。
例1. f(x)是f(x)13x2x1的導(dǎo)函數(shù)，則f(1)的值是 3
考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
例2. 已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y
1x2，則f(1)f(1) 2
，3)處的切線方程是 例3.曲線yx32x24x2在點(diǎn)(1
點(diǎn)評：以上兩小題均是對導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查。
考點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用。
例4.已知曲線C：yx33x22x，直線l:ykx，且直線l與曲線C相切于點(diǎn)x0,y0x00，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)。
點(diǎn)評：本小題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用。解決此類問題時應(yīng)注意“切點(diǎn)既在曲線上又在切線上”這個條件的應(yīng)用。函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是相應(yīng)曲線上過該點(diǎn)存在切線的充分條件，而不是必要條件。
考點(diǎn)四：函數(shù)的單調(diào)性。
例5.已知fxax3xx1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。 32
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用。對于高次函數(shù)單調(diào)性問題，要有求導(dǎo)意識。
考點(diǎn)五：函數(shù)的極值。
例6. 設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時取得極值。
(1)求a、b的值;
(2)若對于任意的x[0，3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍。
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。求可導(dǎo)函數(shù)fx的極值步驟：
?、偾髮?dǎo)數(shù)f'x;
?、谇骹'x0的根;③將f'x0的根在數(shù)軸上標(biāo)出，得出單調(diào)區(qū)間，由f'x在各區(qū)間上取值的正負(fù)可確定并求出函數(shù)fx的極值。
考點(diǎn)六：函數(shù)的最值。
例7. 已知a為實(shí)數(shù)，fxx24xa。求導(dǎo)數(shù)f'x;(2)若f'10，求fx在區(qū)間2,2上的最大值和最小值。
點(diǎn)評：本題考查可導(dǎo)函數(shù)最值的求法。求可導(dǎo)函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的最值，要先求出函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的極值，然后與fa和fb進(jìn)行比較，從而得出函數(shù)的最大最小值。
考點(diǎn)七：導(dǎo)數(shù)的綜合性問題。
例8. 設(shè)函數(shù)f(x)ax3bxc(a0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x6y70垂直，導(dǎo)函數(shù)
(1)求a，b，c的值; f'(x)的最小值為12。
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在[1,3]上的最大值和最小值。
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，以及推理能力和運(yùn)算能力。
高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式
1.①
②
?、?/p>
2. 原函數(shù)與反函數(shù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系(由三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)推反三角函數(shù)的)：y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y)，則有y'=1/x'.
3. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)--稱為鏈?zhǔn)椒▌t。
4. 變現(xiàn)積分的求導(dǎo)法則：
(a(x),b(x)為子函數(shù))
導(dǎo)數(shù)的計算
計算已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可以按照導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)用變化比值的極限來計算。在實(shí)際計算中，大部分常見的解析函數(shù)都可以看作是一些簡單的函數(shù)的和、差、積、商或相互復(fù)合的結(jié)果。只要知道了這些簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，那么根據(jù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，就可以推算出較為復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。
導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則
求導(dǎo)法則
由基本函數(shù)的和、差、積、商或相互復(fù)合構(gòu)成的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)則可以通過函數(shù)的求導(dǎo)法則來推導(dǎo)。基本的求導(dǎo)法則如下：
求導(dǎo)的線性性：對函數(shù)的線性組合求導(dǎo)，等于先對其中每個部分求導(dǎo)后再取線性組合。
兩個函數(shù)的乘積的導(dǎo)函數(shù)，一導(dǎo)乘二+一乘二導(dǎo)。
兩個函數(shù)的商的導(dǎo)函數(shù)也是一個分式。(子導(dǎo)乘母-子乘母導(dǎo))除以母平方
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
如果有復(fù)合函數(shù)，那么若要求某個函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，可以先運(yùn)用以上方法求出這個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再看導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的值。
高階求導(dǎo)
高階導(dǎo)數(shù)的求法
1.直接法：由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)。
一般用來尋找解題方法。
2.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：
(二項式定理)
3.間接法：利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式，通過四則運(yùn)算，變量代換等方法。
注意：代換后函數(shù)要便于求，盡量靠攏已知公式求出階導(dǎo)數(shù)。
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