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2016年高二文科數(shù)學上學期期末試卷

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  數(shù)學的學習少不了勤奮的練習,只有在題目中才能將數(shù)學的知識點理解透徹。以下是學習啦小編為您整理的關(guān)于2016年高二文科數(shù)學上學期期末試卷的相關(guān)資料,供您閱讀。

  2016年高二文科數(shù)學上學期期末試卷及解析

  一、選擇題:本大題共12小題.每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.

  1.已知命題p:∀x∈R,log2x=2015,則¬p為(  )

  A.∀x∉R,log2x=2015 B.∀x∈R,log2x≠2015

  C.∃x0∈R,log2x0=2015 D.∃x0∈R,log2x0≠2015

  2.為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要從編號依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進行檢驗,用系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號可能是(  )

  A.5,10,15,20,25 B.2,4,8,16,32

  C.5,6,7,8,9 D.6,16,26,36,46

  3.如果一個家庭有兩個小孩,則兩個孩子是一男一女的概率為(  )

  A. B. C. D.

  4.雙曲線 的漸近線方程為(  )

  A.x±2y=0 B.2x±y=0 C. D.

  5.甲、乙兩名學生五次數(shù)學測驗成績(百分制)如圖所示.

 ?、偌淄瑢W成績的中位數(shù)大于乙同學成績的中位數(shù);

  ②甲同學的平均分與乙同學的平均分相等;

 ?、奂淄瑢W成績的方差大于乙同學成績的方差.

  以上說法正確的是(  )

  A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

  6.用秦九韶算法求多項式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值,則f(2)的值為(  )

  A.98 B.105 C.112 D.119

  7.運行如圖的程序后,輸出的結(jié)果為(  )

  A. B. C. D.

  8.已知橢圓 過點P(﹣2,1)作弦且弦被P平分,則此弦所在的直線方程為(  )

  A.2x﹣y﹣3=0 B. 2x﹣y﹣1=0 C.x﹣2y﹣4=0 D.x﹣2y+4=0

  9.已知g(x)為函數(shù)f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的導函數(shù),則它們的圖象可能是(  )

  A. B. C. D.

  10.已知傾斜角為45°的直線l過拋物線y2=4x的焦點,且與拋物線交于A,B兩點,則△OAB(其中O為坐標原點)的面積為(  )

  A.2 B. C. D.8

  11.已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),且滿足以下條件:

 ?、賔(x)=ax•g(x)(a>0,且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)

  若 + = ,則實數(shù)a的值為(  )

  A. B.2 C. D.2或

  12.如圖,直線x=m與拋物線x2=4y交于點A,與圓(y﹣1)2+x2=4的實線部分(即在拋物線開口內(nèi)的圓弧)交于點B,F(xiàn)為拋物線的焦點,則△ABF的周長的取值范圍是(  )

  A.(2,4) B.(4,6) C.[2,4]D.[4,6]

  二、填空題:本大題共四小題,每小題5分.

  13.將十進制數(shù)2016(10)化為八進制數(shù)為      .

  14.已知變量x與y的取值如下表:

  x 2 3 5 6

  y 7 8﹣a 9+a 12

  從散點圖可以看出y對x呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系,則y與x的線性回歸直線方程 必經(jīng)過的定點為      .

  15.已知P為圓M:(x+2)2+y2=4上的動點,N(2,0),線段PN的垂直平分線與直線PM的交點為Q,點Q的軌跡方程為      .

  16.已知函數(shù)f(x)=xex,現(xiàn)有下列五種說法:

  ①函數(shù)f(x)為奇函數(shù);

 ?、诤瘮?shù)f(x)的減區(qū)間為(﹣∞,1),增區(qū)間為(1,+∞);

 ?、酆瘮?shù)f(x)的圖象在x=0處的切線的斜率為1;

 ?、芎瘮?shù)f(x)的最小值為 .

  其中說法正確的序號是      (請寫出所有正確說法的序號).

  三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

  17.設(shè)命題p:|x﹣2|>1;命題q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.

  18.某校對高二年段的男生進行體檢,現(xiàn)將高二男生的體重(kg)數(shù)據(jù)進行整理后分成6組,并繪制部分頻率分布直方圖(如圖所示).已知第三組[60,65)的人數(shù)為200.根據(jù)一般標準,高二男生體重超過65kg屬于偏胖,低于55kg屬于偏瘦.觀察圖形的信息,回答下列問題:

  (1)求體重在[60,65)內(nèi)的頻率,并補全頻率分布直方圖;

  (2)用分層抽樣的方法從偏胖的學生中抽取6人對日常生活習慣及體育鍛煉進行調(diào)查,則各組應(yīng)分別抽取多少人?

  (3)根據(jù)頻率分布直方圖,估計高二男生的體重的中位數(shù)與平均數(shù).

  19.(1)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的t∈[﹣1,3],若輸出的s的取值范圍記為集合A,求集合A;

  (2)命題p:a∈A,其中集合A為第(1)題中的s的取值范圍;命題q:函數(shù) 有極值;若p∧q為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.

  20.已知雙曲線C: ﹣ =1(a>0,b>0).

  (1)有一枚質(zhì)地均勻的正四面體玩具,玩具的各個面上分別寫著數(shù)字1,2,3,4.若先后兩次投擲玩具,將朝下的面上的數(shù)字依次記為a,b,求雙曲線C的離心率小于 的概率;

  (2)在區(qū)間[1,6]內(nèi)取兩個數(shù)依次記為a,b,求雙曲線C的離心率小于 的概率.[來源:Zxxk.Com]

  21.已知橢圓C: 的中心在坐標原點O,對稱軸在坐標軸上,橢圓的上頂點與兩個焦點構(gòu)成邊長為2的正三角形.

  (1)求橢圓C的標準方程;

  (2)若斜率為k的直線l經(jīng)過點M(4,0),與橢圓C相交于A,B兩點,且 ,求k的取值范圍.

  22.已知函數(shù) .

  (1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

  (2)當a>0時,若函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值記為g(a),請寫出g(a)的函數(shù)表達式.

  2015-2016學年福建省三明市A片區(qū)高中聯(lián)盟校高二(上)期末數(shù)學試卷(文科)

  2016年高二文科數(shù)學上學期期末試卷參考答案與試題解析

  一、選擇題:本大題共12小題.每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.

  1.已知命題p:∀x∈R,log2x=2015,則¬p為(  )

  A.∀x∉R,log2x=2015 B.∀x∈R,log2x≠2015

  C.∃x0∈R,log2x0=2015 D.∃x0∈R,log2x0≠2015

  【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可.

  【解答】解:命題是全稱命題,則命題的否定是特稱命題,

  即∃x0∈R,log2x0≠2015,

  故選:D.

  【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定,根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題是解決本題的關(guān)鍵.

  2.為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要從編號依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進行檢驗,用系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號可能是(  )

  A.5,10,15,20,25 B.2,4,8,16,32

  C.5,6,7,8,9 D.6,16,26,36,46

  【分析】利用系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)求解.

  【解答】解:∵要從編號依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進行檢驗,用系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號,

  ∴所選取的5袋奶粉的編號應(yīng)該分別在1~10,11~20,21~30,30~40,41~50中各一袋,

  且所選取的5袋奶粉的編號間隔相等,

  由此能排除A、B、C,用系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號可能是D.

  故選:D.

  【點評】本題考查用系統(tǒng)抽樣方法確定所選取樣本的編號的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要注意系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)的合理運用.

  3.如果一個家庭有兩個小孩,則兩個孩子是一男一女的概率為(  )

  A. B. C. D.

  【分析】利用列舉法求出基本事件空間,由此能求出結(jié)果.

  【解答】解:一個家庭有兩個小孩,

  基本事件為:{男男},{女女},{男女},{女男},

  ∴兩個孩子是一男一女的概率為p= .

  故選:C.

  【點評】本題考查概率的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意列舉法的合理運用.

  4.雙曲線 的漸近線方程為(  )

  A.x±2y=0 B.2x±y=0 C. D.

  【分析】由雙曲線 ﹣ =1(a,b>0)的漸近線方程為y=± x,即可得到所求雙曲線的漸近線方程.

  【解答】解:由雙曲線 ﹣ =1(a,b>0)的漸近線方程為y=± x,

  可得雙曲線 的漸近線方程為y=± x.

  故選:D.

  【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程,注意運用雙曲線的方程和漸近線方程的關(guān)系,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.

  5.甲、乙兩名學生五次數(shù)學測驗成績(百分制)如圖所示.

 ?、偌淄瑢W成績的中位數(shù)大于乙同學成績的中位數(shù);

 ?、诩淄瑢W的平均分與乙同學的平均分相等;

 ?、奂淄瑢W成績的方差大于乙同學成績的方差.

  以上說法正確的是(  )[來源:Z_xx_k.Com]

  A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

  【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),求出甲、乙兩同學成績的中位數(shù)、平均數(shù)與方差即可.

  【解答】解:根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),得;

  甲同學成績的中位數(shù)是90,乙同學成績的中位數(shù)是90,中位數(shù)相等,①錯誤;

  甲同學的平均分是 = (87+89+90+91+93)=90,

  乙同學的平均分是 = (88+89+90+91+92)=90,平均分相等,②正確;

  甲同學成績的方差是 = [(﹣3)2+(﹣1)2+02+12+32]=4,

  乙同學成績的方差是 = [(﹣2)2+(﹣1)2+02+12+22]=2, > ,③正確;

  綜上,正確的命題是②③.

  故選:B.

  【點評】本題考查了利用莖葉圖中的數(shù)據(jù)求中位數(shù)、平均數(shù)與方差的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.

  6.用秦九韶算法求多項式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值,則f(2)的值為(  )

  A.98 B.105 C.112 D.119

  【分析】f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7=(((4x+3)x+2)x+1)x+7,即可得出.

  【解答】解:f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7=(((4x+3)x+2)x+1)x+7,

  ∴f(2)=(((4×2+3)×2+2)×2+1)×2+7=105,

  故選:B.

  【點評】本題考查了秦九韶算法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

  7.運行如圖的程序后,輸出的結(jié)果為(  )

  A. B. C. D.

  【分析】根據(jù)程序語言的運行過程,得出程序運行后輸出的S= + + + + ;計算S的值即可.

  【解答】解:根據(jù)程序語言的運行過程,得

  該程序運行后輸出的是S= + + + + ;

  計算S=(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )=1﹣ = .

  所以輸出S= .

  故選:C.

  【點評】本題利用程序語言考查了數(shù)列求和的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.

  8.已知橢圓 過點P(﹣2,1)作弦且弦被P平分,則此弦所在的直線方程為(  )

  A.2x﹣y﹣3=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.x﹣2y﹣4=0 D.x﹣2y+4=0

  【分析】判斷點P在橢圓內(nèi),設(shè)弦的端點的坐標為(x1,y1),(x2,y2),代入橢圓方程,運用作差法,結(jié)合直線的斜率公式和斜率公式,可得斜率,再由點斜式方程即可得到所求直線方程.

  【解答】解:將P(﹣2,1)代入橢圓方程可得: + <1,即點P在橢圓內(nèi),

  設(shè)弦的端點的坐標為(x1,y1),(x2,y2),

  可得 + =1, + =1,

  相減可得 + =0,

  則弦所在直線的斜率為 =﹣ ,

  由中點坐標公式可得,x1+x2=﹣4,y1+y2=2,

  可得斜率為﹣ = ,

  即有直線的方程為y﹣1= (x+2),

  即為x﹣2y+4=0.

  故選:D.

  【點評】本題考查橢圓的方程的運用,直線方程的求法,注意運用點差法,以及中點坐標公式,考查運算能力,屬于中檔題.

  9.已知g(x)為函數(shù)f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的導函數(shù),則它們的圖象可能是(  )

  A. B. C. D.

  【分析】利用導數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系.把握住導數(shù)的正負確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)變化趨勢選出恰當?shù)膱D象.確定出答案.

  【解答】解:∵f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0),

  ∴g(x)=f′(x)=6ax2﹣6ax﹣12a=6a ﹣ ,

  對稱軸x= ,而f′(﹣1)=f′(2)=0,

  根據(jù)f′(x)>0時,y=f(x)遞增;f′(x)<0時,y=f(x)遞減可得.

 ?、僦泻瘮?shù)的圖象的增減趨勢與導函數(shù)的正負區(qū)間是吻合的,可能正確;

  而②④中的對稱軸不是 ,③中函數(shù)的圖象的增減趨勢與導函數(shù)的正負區(qū)間不吻合,故錯誤,

  故選:A.

  【點評】本題考查函數(shù)與其導函數(shù)的關(guān)系,函數(shù)的遞增區(qū)間即為導函數(shù)為正的區(qū)間,函數(shù)的遞減區(qū)間即為導函數(shù)為負的區(qū)間,根據(jù)這個依賴性可以確定出函數(shù)圖形吻合的是哪一個.

  10.已知傾斜角為45°的直線l過拋物線y2=4x的焦點,且與拋物線交于A,B兩點,則△OAB(其中O為坐標原點)的面積為(  )

  A.2 B. C. D.8

  【分析】先確定拋物線的焦點坐標,可得直線l的方程,與拋物線方程聯(lián)立,求弦AB的長,再求出原點到直線的距離,即可求得△OAB的面積.

  【解答】解:拋物線C:y2=4x的焦點F(1,0),

  ∵直線l:y=x+b經(jīng)過拋物線的焦點,

  ∴b=﹣1,

  ∴直線l:y=x﹣1,

  由拋物線的定義:|AB|=xA+xB+2,

  將直線與拋物線方程聯(lián)立,消去y可得x2﹣6x+1=0,

  ∴xA+xB=6,

  ∴|AB|=8,

  ∵原點到直線的距離為d= ,

  ∴S= =2 .

  故選:B.

  【點評】本題考查三角形面積的計算,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是求出弦AB的長.

  11.已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),且滿足以下條件:

 ?、賔(x)=ax•g(x)(a>0,且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)

  若 + = ,則實數(shù)a的值為(  )

  A. B.2 C. D.2或

  【分析】先根據(jù) + = ,得到含a的式子,求出a的兩個值,再由已知,利用導數(shù)判斷函數(shù) =ax的單調(diào)性求a的范圍,判斷a的兩個之中哪個成立即可.

  【解答】解:由 + = ,得a1+a﹣1= ,

  所以a=2或a= .

  又由f(x)•g′(x)>f′(x)•g(x),

  即f(x)g′(x)﹣f′(x)g(x)>0,

  也就是[ ]′=﹣ <0,

  說明函數(shù) =ax是減函數(shù),

  即0

  故選:A.

  【點評】本題考查了應(yīng)用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,做題時應(yīng)認真觀察.

  12.如圖,直線x=m與拋物線x2=4y交于點A,與圓(y﹣1)2+x2=4的實線部分(即在拋物線開口內(nèi)的圓弧)交于點B,F(xiàn)為拋物線的焦點,則△ABF的周長的取值范圍是(  )

  A.(2,4) B.(4,6) C.[2,4]D.[4,6]

  【分析】圓(y﹣1)2+x2=4的圓心為(0,1),與拋物線的焦點重合,可得|FB|=2,|AF|=yA+1,|AB|=yB﹣yA,即可得出三角形ABF的周長=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3,利用1

  【解答】解:圓(y﹣1)2+x2=4的圓心為(0,1),與拋物線的焦點重合,

  ∴|FB|=2,|AF|=yA+1,|AB|=yB﹣yA,

  ∴三角形ABF的周長=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3,

  ∵1

  ∴三角形ABF的周長的取值范圍是(4,6).

  故選:B.

  【點評】本題考查了拋物線與圓的標準方程及其性質(zhì)、三角形的周長,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

  二、填空題:本大題共四小題,每小題5分.

  13.將十進制數(shù)2016(10)化為八進制數(shù)為 3740(8) .

  【分析】將十進制數(shù)2016轉(zhuǎn)化為八進制數(shù),利用除K取余法直接計算得解.

  【解答】解:2016÷8=252…0

  252÷8=31…4

  31÷8=3…7

  3÷8=0…3

  ∴化成8進制是3740(8).

  故答案為:3740(8).

  【點評】本題考查帶余除法,進位制的轉(zhuǎn)化,由十進制數(shù)轉(zhuǎn)化為八進制數(shù),用除K取余法計算即可,屬于基礎(chǔ)題.

  14.已知變量x與y的取值如下表:

  x 2 3 5 6

  y 7 8﹣a 9+a 12

  從散點圖可以看出y對x呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系,則y與x的線性回歸直線方程 必經(jīng)過的定點為 (4,9) .

  【分析】由最小二乘法原理可知線性回歸方程必經(jīng)過數(shù)據(jù)中心( ).

  【解答】解: = =4, = =9,

  ∴線性回歸方程必經(jīng)過(4,9).

  故答案為(4,9).

  【點評】本題考查了線性回歸方程的特點,屬于基礎(chǔ)題.

  15.已知P為圓M:(x+2)2+y2=4上的動點,N(2,0),線段PN的垂直平分線與直線PM的交點為Q,點Q的軌跡方程為 x2﹣ =1 .

  【分析】由中垂線的性質(zhì)可知|QN|=|PQ|,故而||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2,所以Q的軌跡為以M,N為焦點的雙曲線.

  【解答】解:∵Q在PN的中垂線上,∴|QN|=|PQ|,∴||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2,

  ∴Q的軌跡為以M,N為焦點的雙曲線.

  設(shè)雙曲線方程為 ,則 ,又∵a2+b2=c2,∴a2=1,b2=3,

  ∴點Q的軌跡方程為x2﹣ =1.

  故答案為x2﹣ =1.

  【點評】本題考查了雙曲線的定義,屬于基礎(chǔ)題.

  16.已知函數(shù)f(x)=xex,現(xiàn)有下列五種說法:

  ①函數(shù)f(x)為奇函數(shù);

 ?、诤瘮?shù)f(x)的減區(qū)間為(﹣∞,1),增區(qū)間為(1,+∞);

  ③函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線的斜率為1;

 ?、芎瘮?shù)f(x)的最小值為 .

  其中說法正確的序號是?、邰堋?請寫出所有正確說法的序號).

  【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷①,求出函數(shù)的導數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷②③④即可.

  【解答】解:①f(﹣x)=(﹣x)• ≠﹣f(x),不是奇函數(shù),故①錯誤;

 ?、趂′(x)=(1+x)ex,

  當x∈(﹣∞,﹣1)時,f′(x)<0,當x∈(﹣1,+∞)時,f′(x)>0,

  ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣∞,﹣1),

  故②錯誤;

  ③∵f′(x)=(1+x)ex,∴f′(0)=1,

  即函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線的斜率為1;

  故③正確;

 ?、躥(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣∞,﹣1),

  ∴f(x)的最小值是f(﹣1)=﹣ ,

  故④正確;

  故答案為:③④.

  【點評】本題考查了利用導研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值問題,考查函數(shù)的奇偶性問題,是一道基礎(chǔ)題.

  三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

  17.設(shè)命題p:|x﹣2|>1;命題q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.

  【分析】由p:|x﹣2|>1,解出x的范圍.由q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,解出x的范圍.由于¬p是¬q的必要不充分條件,可得p是q的充分不必要條件.

  【解答】解:由p:|x﹣2|>1,

  解得x<1或x>3.…(3分)

  由q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x﹣a)[x﹣(a+1)]≥0,

  解得x≤a或x≥a+1.…(6分)

  ∵¬p是¬q的必要不充分條件,∴p是q的充分不必要條件.…(8分)

  ∴ ,則1≤a≤2.

  ∴實數(shù)a的取值范圍是[1,2].(10分)

  【點評】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

  18.某校對高二年段的男生進行體檢,現(xiàn)將高二男生的體重(kg)數(shù)據(jù)進行整理后分成6組,并繪制部分頻率分布直方圖(如圖所示).已知第三組[60,65)的人數(shù)為200.根據(jù)一般標準,高二男生體重超過65kg屬于偏胖,低于55kg屬于偏瘦.觀察圖形的信息,回答下列問題:

  (1)求體重在[60,65)內(nèi)的頻率,并補全頻率分布直方圖;

  (2)用分層抽樣的方法從偏胖的學生中抽取6人對日常生活習慣及體育鍛煉進行調(diào)查,則各組應(yīng)分別抽取多少人?

  (3)根據(jù)頻率分布直方圖,估計高二男生的體重的中位數(shù)與平均數(shù).

  【分析】(1)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出求出體重在[60,65)內(nèi)的頻率,由此能補全的頻率分布直方圖.

  (2)設(shè)男生總?cè)藬?shù)為n,由 ,可得n=1000,從而體重超過65kg的總?cè)藬?shù)300,由此能求出各組應(yīng)分別抽取的人數(shù).

  (3)利用頻率分布直方圖能估計高二男生的體重的中位數(shù)與平均數(shù).

  【解答】解:(1)體重在[60,65)內(nèi)的頻率=1﹣(0.03+0.07+0.03+0.02+0.01)×5=0.2

  = ,

  補全的頻率分布直方圖如圖所示.…(4分)

  (2)設(shè)男生總?cè)藬?shù)為n,

  由 ,可得n=1000

  體重超過65kg的總?cè)藬?shù)為(0.03+0.02+0.01)×5×1000=300

  在[65,70)的人數(shù)為0.03×5×1000=150,應(yīng)抽取的人數(shù)為 ,

  在[65,70)的人數(shù)為0.02×5×1000=100,應(yīng)抽取的人數(shù)為 ,

  在[75,80)的人數(shù)為0.01×5×1000=50,應(yīng)抽取的人數(shù)為 .

  所以在[65,70),[70,75),[75,80]三段人數(shù)分別為3,2,1.…(8分)

  (3)中位數(shù)為60kg

  平均數(shù)為(52.5×0.03+57.5×0.07+62.5×0.04+67.5×0.03+72.5×0.02+77.5×0.01)×5=61.75(kg)…(12分)

  【點評】本題考查頻率的求法,考查頻率分布直方圖的作法,考查中位數(shù)、平均數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意分層抽樣、頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運用.

  19.(1)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的t∈[﹣1,3],若輸出的s的取值范圍記為集合A,求集合A;

  (2)命題p:a∈A,其中集合A為第(1)題中的s的取值范圍;命題q:函數(shù) 有極值;若p∧q為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.

  【分析】(1)由程序框圖可知,分段函數(shù)的對稱軸為t=2,在[1,2]上單調(diào)遞增,在[2,3]上單調(diào)遞減,解得smax=3,smin=2,即可解得集合A.

  (2)函數(shù) 有極值,等價于f′(x)=x2+2ax+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,即△=(2a)2﹣4>0,由此能求出命題p:a<﹣1或a>1,利用p∧q為真命題,建立不等式組,即可解得實數(shù)a的取值范圍.

  【解答】(本題滿分為12分)

  解:(1)由程序框圖可知,當﹣1≤t<1時,s=2t,則s∈[﹣2,2),

  當1≤t≤3時,s=﹣(t﹣2)2+3,

  ∵該函數(shù)的對稱軸為t=2,

  ∴該函數(shù)在[1,2]上單調(diào)遞增,在[2,3]上單調(diào)遞減.

  ∴smax=3,smin=2,

  ∴s∈[2,3].

  綜上知,s∈[﹣2,3],集合A=[﹣2,3].…(4分)

  (2)∵函數(shù) 有極值,且f′(x)=x2+2ax+1,

  ∴f′(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根,即△=(2a)2﹣4>0,解得a<﹣1或a>1,

  即命題p:a<﹣1或a>1.…(8分)

  ∵p∧q為真命題,

  ∴則 ,解得﹣2≤a<﹣1或1

  ∴實數(shù)a的取值范圍是[﹣2,﹣1)∪(1,3].…(12分)

  【點評】本題主要考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序框圖,考查函數(shù)的極大值和極小值的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用.

  20.已知雙曲線C: ﹣ =1(a>0,b>0).

  (1)有一枚質(zhì)地均勻的正四面體玩具,玩具的各個面上分別寫著數(shù)字1,2,3,4.若先后兩次投擲玩具,將朝下的面上的數(shù)字依次記為a,b,求雙曲線C的離心率小于 的概率;

  (2)在區(qū)間[1,6]內(nèi)取兩個數(shù)依次記為a,b,求雙曲線C的離心率小于 的概率.

  【分析】(1)由雙曲線C的離心率小于 ,得到0

  (2)由a∈[1,6],b∈[1,6],以a為橫軸,以b為縱軸建立直角坐標系,由幾何概型能求出雙曲線C的離心率小于 的概率.

  【解答】解:(1)雙曲線的離心率 .

  因為 ∴ .…(2分)

  因玩具枚質(zhì)地是均勻的,各面朝下的可能性相等,

  所以基本事件(a,b)共有16個:

  (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

  (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

  設(shè)“雙曲線C的離心率小于 ”為事件A,

  則事件A所包含的基本事件為:

  (1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),

  (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共有12個.

  故雙曲線C的離心率小于 的概率為 .…(7分)

  (2)∵a∈[1,6],b∈[1,6]

  ∴

  所以以a為橫軸,以b為縱軸建立直角坐標系,如圖所示,

  S陰影= =21,

  由幾何概型可知,雙曲線C的離心率小于 的概率為 .…(12分)

  【點評】本題考查概率的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意列舉法和幾何概型的合理運用.

  21.已知橢圓C: 的中心在坐標原點O,對稱軸在坐標軸上,橢圓的上頂點與兩個焦點構(gòu)成邊長為2的正三角形.

  (1)求橢圓C的標準方程;

  (2)若斜率為k的直線l經(jīng)過點M(4,0),與橢圓C相交于A,B兩點,且 ,求k的取值范圍.

  【分析】(1)由已知得2c=2,a=2,由此能求出橢圓C的標準方程.

  (2)設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣4),與橢圓聯(lián)立,得((3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0,由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積,能求出k的取值范圍.

  【解答】解:(1)∵橢圓的上頂點與兩個焦點構(gòu)成邊長為2的正三角形,

  ∴2c=2,a=2,∴b2=a2﹣c2=3

  ∴橢圓C的標準方程為 .…(4分)

  (2)設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣4),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)

  聯(lián)立 ,消去y可得((3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0

  ∵直線l與橢圓C相交于A,B兩點,∴△>0

  由△=(32k2)2﹣4(3+4k2)(64k2﹣12)>0解得

  設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)

  則 , …(7分)

  解得 ∴

  ∴k的取值范圍是﹣ 或 .…(12分)

  【點評】本題考查橢圓的標準方程的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積的合理運用.

  22.已知函數(shù) .

  (1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

  (2)當a>0時,若函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值記為g(a),請寫出g(a)的函數(shù)表達式.

  【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),求出f(1),f′(1)的值,代入切線方程即可;

  (2)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出區(qū)間上的最小值即可.

  【解答】解:(1)∵ ,

  ∴

  當a=1時, ,

  f(1)=3,k=f′(1)=﹣2,

  曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為:

  y﹣3=﹣2(x﹣1)即2x+y﹣5=0.…(3分)

  (2) ,

  ∵a>0,x>0,由f′(x)>0得x>2a,由f′(x)<0得0

  ∴f(x)在(0,2a]上為減函數(shù),在(2a,+∞)上為增函數(shù).…(5分)

 ?、佼?<2a≤1即0

  ∴g(a)=f(1)=2a2+1在(0,2a]上為減函數(shù),在(2a,+∞)上為增函數(shù).…(7分)

 ?、诋?<2a

  ∴g(a)=f(2a)=﹣aln(2a)+3a…(9分)

 ?、郛?a≥e即a≥ 時,f(x)在[1,e]上為減函數(shù),

  ∴ …(11分)

  綜上所述, …(12分)

  【點評】本題考查了曲線的切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.

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