八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案(新人教版)
八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案(新人教版)
數(shù)學(xué)試卷點(diǎn)評課實(shí)質(zhì)是復(fù)習(xí)課的繼續(xù),是對學(xué)生掌握、運(yùn)用知識查漏補(bǔ)缺、提升能力的過程。那么八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案(新人教版)該怎么寫呢?下面是小編為大家整理的八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案(新人教版),希望對大家有幫助。
八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案(新人教版)篇一
一、選擇題(本大題共6小題,每小題2分,共12分)
1.下列圖形中,是中心對稱圖形但不是軸對稱的圖形是( )
A.
等邊三角形 B.
正方形 C.
圓 D. 平行四邊形
【考點(diǎn)】中心對稱圖形;軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解.
【解答】解:A、不是中心對稱圖形,是軸對稱的圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是中心對稱圖形,也是軸對稱的圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、是中心對稱圖形,也是軸對稱的圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、是中心對稱圖形但不是軸對稱的圖形,故本選項(xiàng)正確.
故選D.
2.下面有四種說法:
?、倭私饽骋惶斐鋈肽暇┦械娜丝诹髁窟m合用普查方式;
?、趻仈S一個(gè)正方體骰子,點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是
?、?ldquo;打開電視機(jī),正在播放關(guān)于籃球巨星科比退役的相關(guān)新聞”是隨機(jī)事件.
?、苋绻患掳l(fā)生的概率只有十萬分之一,那么它仍是可能發(fā)生的事件.
其中正確說法是( )
A.①②④ B.①②④ C.②③④ D.②④
【考點(diǎn)】概率的意義;全面調(diào)查與抽樣調(diào)查;隨機(jī)事件.
【分析】根據(jù)調(diào)查方式的選擇、必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念分別進(jìn)行解答即可.
【解答】解:①了解某一天出入南京市的人口流量適合用抽樣調(diào)查的方式,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
?、趻仈S一個(gè)正方體骰子,點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是 ,正確;
?、?ldquo;打開電視機(jī),正在播放關(guān)于籃球巨星科比退役的相關(guān)新聞”是隨機(jī)事件,正確;
?、苋绻患掳l(fā)生的概率只有十萬分之一,那么它仍是可能發(fā)生的事件,正確;
故選C.
3.下列各式從左到右的變形正確的是( )
A. =1 B. =
C. =x+y D. =
【考點(diǎn)】分式的基本性質(zhì).
【分析】原式變形變形得到結(jié)果,即可作出判斷.
【解答】解:A、原式= =1,正確;
B、原式= ,錯(cuò)誤;
C、原式為最簡結(jié)果,錯(cuò)誤;
D、原式= ,錯(cuò)誤,
故選A
4.下列命題中,假命題是( )
A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
B.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形
C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
【考點(diǎn)】命題與定理;平行四邊形的判定;菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定.
【分析】根據(jù)平行四邊形,矩形,菱形和正方形的對角線矩形判斷即可.
【解答】解:對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形,所以A為假命題;
對角線相等且互相平分的四邊形是矩形,所以B為真命題;
對角線互相垂直平分的四邊形是菱形,所以C為真命題;
對角線互相平分的四邊形為平行四邊形,所以D為真命題.
故選A.
5.在大量重復(fù)試驗(yàn)中,關(guān)于隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概率,下列說法正確的是( )
A.頻率就是概率
B.頻率與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)
C.概率是隨機(jī)的,與頻率無關(guān)
D.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率一般會(huì)越來越接近概率
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率;隨機(jī)事件.
【分析】根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近,可以用這個(gè)常數(shù)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率解答即可.
【解答】解:∵大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近,可以用這個(gè)常數(shù)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率,
∴D選項(xiàng)說法正確.
故選:D.
6.四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,給出下列四個(gè)條件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD,從中任選兩個(gè)條件,能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有( )
A.6種 B.5種 C.4種 D.3種
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定.
【分析】根據(jù)題目所給條件,利用平行四邊形的判定方法分別進(jìn)行分析即可.
【解答】解:①②組合可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;
?、邰芙M合可根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;
?、佗劭勺C明△ADO≌△CBO,進(jìn)而得到AD=CB,可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;
?、佗芸勺C明△ADO≌△CBO,進(jìn)而得到AD=CB,可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;
∴有4種可能使四邊形ABCD為平行四邊形.
故選:C.
二、填空題(共共10小題,每小題2分,共20分)
7.若分式 有意義,則x的取值范圍是 x≠﹣1 ;當(dāng)x= ﹣1 時(shí),分式 的值為0.
【考點(diǎn)】分式的值為零的條件;分式有意義的條件.
【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得1+x≠0,再解即可;根據(jù)分式值為零的條件可得x2﹣1=0,且x﹣1≠0,再解即可.
【解答】解:由題意得:1+x≠0,
解得:x≠﹣1;
由題意得:x2﹣1=0,且x﹣1≠0,
解得:x=﹣1,
故答案為:x≠﹣1;﹣1.
8.已知▱ABCD中,∠A比∠B小20°,那么∠C= 80 °.
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)∠A+∠B=180°,∠A=∠B﹣20°,解方程組即可解決問題.
【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,∠A=∠C,
∴∠A+∠B=180°,
又∵∠A=∠B﹣20°,
∴∠A=80°,∠B=100°,
∴∠C=∠A=80°.
故答案為80°.
9.在一個(gè)不透明的口袋里裝了2個(gè)紅球和1個(gè)白球,每個(gè)球除了顏色外都相同,將球搖勻,據(jù)此,請你寫出一個(gè)發(fā)生的可能性小于 的隨機(jī)事件: 求摸到白球的概率 .
【考點(diǎn)】可能性的大小;隨機(jī)事件.
【分析】發(fā)生的可能性小于 的隨機(jī)事件就是摸出的球的個(gè)數(shù)占總數(shù)的一半以下,據(jù)此求解.
【解答】解:一個(gè)不透明的口袋里裝了2個(gè)紅球和1個(gè)白球,摸到白球的概率為: = < ,
故答案為:求摸到白球的概率.
10.一個(gè)樣本的50個(gè)數(shù)據(jù)分別落在5個(gè)組內(nèi),第1、2、3、4組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分別是2、8、15、5,則第5組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為 20 ,頻率為 0.4 .
【考點(diǎn)】頻數(shù)與頻率.
【分析】總數(shù)減去其它四組的數(shù)據(jù)就是第5組的頻數(shù),用頻數(shù)除以數(shù)據(jù)總數(shù)就是頻率.
【解答】解:根據(jù)題意可得:第1、2、3、4組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分別是2、8、15、5,共(2+8+15+5)=30,
樣本總數(shù)為50,
故第5小組的頻數(shù)是50﹣30=20,
頻率是 =0.4.
故答案為20,0.4.
11.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,已知∠AOB=60°,AC=8,則BC的長為 4 .
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).
【分析】由矩形的性質(zhì)可得到OA=OB,于是可證明△ABO為等邊三角形,于是可求得AB=4,然后依據(jù)勾股定理可求得BC的長.
【解答】解:∵四邊形ABCD為矩形,
∴OA=OB= AC=4.
∵OA=OB,∠AOB=60°,
∴△OAB為等邊三角形.
∴AB=4.
在Rt△ABC中,BC= =4 .
故答案為:4 .
12.如圖,將▱ABCD折疊,使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處(點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上),折痕為MN,若∠AMF=50°,則∠A= 65 °.
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).
【分析】由平行四邊形與折疊的性質(zhì),易得CD∥MN∥AB,然后根據(jù)平行線的性質(zhì),即可求得∠DMN=∠FMN=∠A,又由平角的定義,根據(jù)∠AMF=50°,求得∠DMF的度數(shù),然后可求得∠A的度數(shù).
【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得:MN∥AE,∠FMN=∠DMN,
∴AB∥CD∥MN,
∴∠DMN=∠FMN=∠A,
∵∠AMF=50°,
∴∠DMF=180°﹣∠AMF=130°,
∴∠FMN=∠DMN=∠A=65°,
故答案為:65.
13.如圖,在菱形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P是AB的中點(diǎn),PO=3,則菱形ABCD的周長是 24 .
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD,AB=BC=CD=AD,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB=2OP,進(jìn)而得到AB長,然后可算出菱形ABCD的周長.
【解答】解:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AB=BC=CD=AD,
∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn),
∴AB=2OP,
∵PO=3,
∴AB=6,
∴菱形ABCD的周長是:4×6=24,
故答案為:24
14.用平行四邊形的定義和課本上的三個(gè)定理可以判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形,請?zhí)剿鞑懗鲆粋€(gè)與它們不同的平行四邊形的判定方法: 答案不唯一,如兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形等 .
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定.
【分析】根據(jù)平行四邊形的定義以及判定方法得出即可.
【解答】解:答案不唯一,如兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形等;
理由:∵∠B=∠D,∠A=∠C,∠B+∠C+∠D+∠A=360°,
∴∠B+∠C=180°,∠A+∠D=180°,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四邊行ABCD是平行四邊形.
故答案為:答案不唯一,如兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形等.
15.若順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形,則原四邊形必須滿足的條件是 對角線互相垂直 .
【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形;矩形的判定.
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理求解;首先根據(jù)三角形中位線定理知:所得四邊形的對邊都平行且相等,那么其必為平行四邊形,若所得四邊形是矩形,那么鄰邊互相垂直,故原四邊形的對角線必互相垂直.
【解答】解:由于E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn),
根據(jù)三角形中位線定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG,
∴四邊形EFGH是平行四邊形,
∵四邊形EFGH是矩形,即EF⊥FG,
∴AC⊥BD,
故答案為:對角線互相垂直.
16.已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)依次為(﹣1,0),(m,n),(﹣1,10),(﹣7,p),且p≤n.若以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,則n的值是 2,5,18 .
【考點(diǎn)】菱形的判定;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】利用菱形的性質(zhì)結(jié)合A,C點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出符合題意的n的值.
【解答】解:如圖所示:當(dāng)C(﹣7,2),C′(﹣7,5)時(shí),都可以得到以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,
同理可得:當(dāng)D(﹣7,8)則對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為;(﹣7,18)可以得到以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,
故n的值為:2,5,18.
故答案為:2,5,18.
八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案(新人教版)篇二
三、解答題(本大題共10小題,共68分)
17.計(jì)算:
(1) •
(2) ﹣ ﹣3.
【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算.
【分析】(1)先約分,再計(jì)算即可;
(2)化為同分母的分式,再進(jìn)行相加即可.
【解答】解:(1)原式=﹣ ;
(2)原式= ﹣ ﹣
=
=
=﹣2.
18.先化簡,再求值: ÷( ﹣1),然后從2,1,﹣1,﹣2中選一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為a的值代入求值.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值.
【分析】先算括號里面的,再算除法,最后選出合適的a的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解:原式= ÷
= •
=﹣ ,
當(dāng)a=﹣2時(shí),原式=﹣ =1.
19.矩形定義,有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.
已知:如圖,▱ABCD中,且AC=DB.
求證:▱ABCD是矩形.
【考點(diǎn)】矩形的判定;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠ABC=∠DCB=90°,再利用矩形的判定方法得出答案.
【解答】證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=DC,AB∥DC,
在△ABC和△DCB中
,
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∴∠ABC=∠DCB,
∵AB∥DC,
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴▱ABCD是矩形.
20.如圖,線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到線段A1B1(點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A1).
(1)請用直尺和圓規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心O(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)連接OA、OA1、OB、OB1,并根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)用符號語言寫出2條不同類型的正確結(jié)論.
【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換.
【分析】(1)連接八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案(新人教版)1、BB1,再分別作八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案(新人教版)1、BB1中垂線,兩中垂線交點(diǎn)即為點(diǎn)O;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等,據(jù)此可知.
【解答】解:(1)如圖,點(diǎn)O即為所求;
(2)OA=OA1、∠AOA1=∠BOB1.
21.在▱ABCD中,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),AF與DE相交于點(diǎn)G,CE與BF相交于點(diǎn)H.
(1)求證:四邊形EHFG是平行四邊形;
(2)若四邊形EHFG是矩形,則▱ABCD應(yīng)滿足什么條件?(不需要證明)
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì);矩形的判定.
R>【分析】(1)通過證明兩組對邊分別平行,可得四邊形EHFG是平行四邊形;
(2)當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形,并且AB=2AD時(shí),先證明四邊形ADFE是正方形,得出有一個(gè)內(nèi)角等于90°,從而證明菱形EHFG為一個(gè)矩形.
【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AE∥CF,AB=CD,
∵E是AB中點(diǎn),F(xiàn)是CD中點(diǎn),
∴AE=CF,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∴AF∥CE.
同理可得DE∥BF,
∴四邊形FGEH是平行四邊形;
(2)當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形,并且AB=2AD時(shí),平行四邊形EHFG是矩形.
∵E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點(diǎn),且AB=CD,
∴AE=DF,且AE∥DF,
∴四邊形AEFD為平行四邊形,
∴AD=EF,
又∵AB=2AD,E為AB中點(diǎn),則AB=2AE,
于是有AE=AD= AB,
這時(shí),EF=AE=AD=DF= AB,∠EAD=∠FDA=90°,
∴四邊形ADFE是正方形,
∴EG=FG= AF,AF⊥DE,∠EGF=90°,
∴此時(shí),平行四邊形EHFG是矩形.
22.某校有1000名學(xué)生.為了解全校學(xué)生的上學(xué)方式,該校數(shù)學(xué)興趣小組在全校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生 進(jìn)行抽樣調(diào)查.整理樣本數(shù)據(jù),得到下列圖表(頻數(shù)分布表中部分劃記被污染漬蓋住):
(1)本次調(diào)查的個(gè)體是 每名學(xué)生的上學(xué)方式 ;
(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中,乘私家車部分對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)請估計(jì)該校1000名學(xué)生中,選擇騎車和步行上學(xué)的一共有多少人?
【考點(diǎn)】頻數(shù)(率)分布表;用樣本估計(jì)總體;扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)每一個(gè)調(diào)查對象稱為個(gè)體,據(jù)此求解;
(2)首先求得私家車部分所占的百分比,然后乘以周角即可求得圓心角的度數(shù);
(3)用學(xué)生總數(shù)乘以騎車和步行上學(xué)所占的百分比的和即可求得人數(shù).
【解答】解:(1)本次調(diào)查的個(gè)體是每名學(xué)生的上學(xué)方式;
(2)(1﹣15%﹣29%﹣30%﹣6%)×360°=72°;
答:乘私家車部分對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為72°;
(3)1000×(15%+29%)=440人.
答:估計(jì)該校1000名學(xué)生中,選擇騎車和步行上學(xué)的一共有440人.
23.已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F.
求證:(1)∠1=∠2.
(2)四邊形AFCE是菱形.
【考點(diǎn)】菱形的判定;線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】(1)由平行線的性質(zhì):內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明;
(2)由于知道了EF垂直平分AC,因此只要證出四邊形AFCE是平行四邊形即可得出AFCE是菱形的結(jié)論.
【解答】證明:(1)∵AD∥BC,
∴∠1=∠2;
(2)∵EF是對角線AC的垂直平分線,
∴AO=CO,AC⊥EF,
∵AD∥BC,
∴∠AEO=∠CFO,
在△AEO和△CFO中,
,
∴△AEO≌△CFO(八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案(新人教版)S),
∴AE=CF,
∴四邊形AFCE是平行四邊形,
又∵AC⊥EF,
∴四邊形AFCE是菱形.
24.如圖①,已知△ABC是等腰三角形,∠BAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),作正方形DEFG,使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上,連接AE、BG.
(1)試猜想線段BG和AE的關(guān)系為;
(2)如圖②,將正方形DEFG繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤90°),判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立,證明你的結(jié)論.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論;
(2)如圖2,連接AD,由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論.
【解答】解:(1)BG=AE.
理由:∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),
∴AD⊥BC,BD=CD,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵四邊形DEFG是正方形,
∴DE=DG.
在△BDG和△ADE中,
,
∴△ADE≌△BDG(SAS),
∴BG=AE;
(2)成立BG=AE.
理由:如圖②,連接AD,
∵在Rt△BAC中,D為斜邊BC中點(diǎn),
∴AD=BD,AD⊥BC,
∴∠ADG+∠GDB=90°.
∵四邊形EFGD為正方形,
∴DE=DG,且∠GDE=90°,
∴∠ADG+∠ADE=90°,
∴∠BDG=∠ADE.
在△BDG和△ADE中,
,
∴△BDG≌△ADE(SAS),
∴BG=AE.
25.浴缸有兩個(gè)水龍頭,一個(gè)放熱水,一個(gè)放冷水,兩水龍頭放水速度:放熱水的是a升/分,放冷水的速度是b升/分,下面有兩種放水方式:
方式一:先開熱水,使熱水注滿浴缸的一半,后一半容積的水接著開冷水龍頭注放.
方式二:前一半時(shí)間讓熱水龍頭注放,后一半時(shí)間讓冷水龍頭注放.
(1)在方式一中:設(shè)浴缸容積為V升,則先開熱水,熱水注滿浴缸一半所需的時(shí)間為 分;
(2)兩種方式中,哪種方式更節(jié)省時(shí)間?請說明理由.
【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算.
【分析】(1)根據(jù)題意即可得到結(jié)論;
(2)首先浴缸容積為V,然后求出方式一和方式二注滿時(shí)間為t、t′,最后作差比較.
【解答】解:(1)先開熱水注滿浴缸一半所需的時(shí)間為 分;
故答案為: ;
(2)方式一:設(shè)浴缸容積為V,注滿時(shí)間為t,依題意,得t= + ,
方式二:同樣設(shè)浴缸容積為V,注滿總時(shí)間為t′,依題意得 t′a+ t′b=V
所以t′= ,故t﹣t′= + ﹣ = = ,
分類討論:
(Ⅰ)當(dāng)a=b時(shí),t﹣t′=0,即t=t′
(Ⅱ)當(dāng)a≠b時(shí), >0,即t>t′
綜上所述:(1)當(dāng)放熱水速度與放冷水速度不相等時(shí),選擇方式二節(jié)約時(shí)間.
(2)當(dāng)兩水龍頭放水速度相等時(shí),選其中任一方式都可以,因?yàn)榇藭r(shí)注滿水的時(shí)間相等.
26.在正方形ABCD中,M、N是對角線AC上的兩點(diǎn).
(1)如圖①,AM=CN,連接DM并延長,交AB于點(diǎn)F,連接BN并延長,交DC于點(diǎn)E,連接BM、DN.
求證:①四邊形MBND為菱形
?、凇鱉FB≌△NED.
(2)如圖②,AM≠CN,連接BM并延長交AD于點(diǎn)G,連接DH并延長交BC于點(diǎn)N.連接DM、BN,若∠AMB=105°,∠DNC=115°,則∠GMD﹢∠HNB的度數(shù)是 80 °.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1))①如圖①中,連接BD交AC于O,先證明四邊形BMDN是平行四邊形,再根據(jù)NM⊥BD即可證明.
?、谙茸C明四邊形BFDE是平行四邊形,得到∠BFM=∠DEN,再證明BM=DN,∠BMF=∠DNE即可解決問題.
(2)分別求出∠GMD、∠HNB即可解決問題.
【解答】(1)①證明:如圖①中,連接BD交AC于O.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,
∵AM=CN,
∴OM=ON,∵OB=OD,
∴四邊形MBND是平行四邊形,
∵M(jìn)N⊥DB,
∴四邊形MBND是菱形.
②證明:∵四邊形MBND是菱形,
∴DM∥NB,BM=DN,∠DMB=∠DNB,
∴∠BMF=∠DNE,
∵BF∥DE,
∴四邊形BFDE是平行四邊形,
∴∠BFM=∠DEN,
在△MFB和△NED中,
,
∴△MFB≌△NED.
(2)如圖②中,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCN=∠DCN,BC=CD,
在△NCB和△NCD中,
,
∴△NCB≌△NCD,
∴∠BNC=∠DNC=115°,同理可證∠AMD=∠AMB=105°,
∵∠CNH=180°﹣∠DNC=65°,
∴∠BNH=∠BNC﹣∠CNH=50°,
∴∠DMG=105°﹣75°=30°,
∴∠GMD﹢∠HNB=30°+50°=80°.
故答案為80.
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